DOI: https://doi.org/10.1038/s41467-024-48460-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38802336
تاريخ النشر: 2024-05-27
المؤلف: Rahul K. Singh وآخرون
الموضوع الرئيسي: دراسات الريولوجيا وديناميات السوائل
نظرة عامة
تناقش هذه الفقرة ظاهرة الاضطراب المرن، التي تتميز بحركة سائلة فوضوية تنشأ من عدم الاستقرار المرن بسبب تركيزات منخفضة من البوليمرات عند أرقام رينولدز (Re) منخفضة جدًا. أجرى المؤلفون محاكاة عددية مباشرة تكشف أن الاضطراب المرن يشترك في تشابهات كبيرة مع الاضطراب النيوتوني الكلاسيكي، على عكس الافتراضات السابقة. ومن الملاحظ أنهم رصدوا طيف القوة لقوة الحركة، الممثل كـ \( E(k) \sim k^{-4} \)، وللطاقة البوليمرية، \( E_p(k) \sim k^{-3/2} \)، والتي تظل متسقة عبر أرقام ديبورا (De) المتغيرة.
تشير التحليلات الإضافية من خلال ميزانية الطاقة على أساس المقياس إلى توازن بين الحدود اللزجة والبوليمرية في معادلة الزخم. في الفضاء الحقيقي، يظهر حقل السرعة سلاسة، مع اختلاف السرعة عبر مقياس طول \( r \) موصوف بـ \( \delta u \sim r \)، مكملًا بمساهمة فرعية كبيرة من \( r^{3/2} \). يقدم المؤلفون أيضًا أدلة على التقطع والتعددية في دوال الهيكل للاختلاف الثاني للسرعة، حتى الترتيب السادس. يتم تأكيد ذلك بشكل أكبر من خلال حساب لحظات معدل استهلاك الطاقة الحركية المتوسطة على مدى نصف قطر \( r \)، \( \epsilon_r \)، والتي يستخلصون منها الطيف المتعدد الأبعاد.
الطرق
في هذه الدراسة، يستخدم المؤلفون مخطط فرق مركزي من الدرجة الثانية لحل المعادلات (2a) و(2b) داخل صندوق ثلاثي دوري بطول \( L = 2\pi \)، تم تفكيكه باستخدام \( N^3 = 1024^3 \) نقاط تجميع. يتم تحديد الدقة المكانية بواسطة \( L/N = \Delta \approx 0.05 \eta \)، حيث \( \eta = (\nu^3/\epsilon_f)^{1/4} \) يمثل مقياس طول استهلاك كولموغوروف، و \( \nu \) هو اللزوجة الحركية المعرفة كـ \( \mu_f/\rho \). يتم إجراء التكامل الزمني باستخدام طريقة آدامز-باشفورث من الدرجة الثانية مع خطوة زمنية \( \Delta t \approx 10^{-5} \tau_K \)، حيث \( \tau_K = \sqrt{\nu/h\langle \epsilon_f \rangle} \). تشمل التحليلات 18 لقطة، متباعدة تقريبًا بمقدار \( 1.6 \times 10^4 \tau_K \).
لتحقيق تدفق لامع في الحالة النيوتونية، يحدد المؤلفون \( A = B = C = 1 \)، مما يؤدي إلى رقم رينولدز لمقياس تايلور \( Re_\lambda \approx 40 \). يتم ضبط نسبة اللزوجة لمحلول البوليمر إلى \( \mu_f / (\mu_f + \mu_p) = 0.9 \)، مع تغيير \( \mu_p \) عبر ترتيبين من الحجم. يتم تنفيذ المحاكاة العددية باستخدام كود فوجين الداخلي، الذي تم التحقق منه لمجموعة متنوعة من التطبيقات التي تشمل كل من السوائل النيوتونية وغير النيوتونية. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل واختبارات التحقق من الكود في الرابط المقدم.
النتائج
في هذه الدراسة، يستكشف المؤلفون ديناميات محلول بوليمر مخفف باستخدام محاكاة عددية مباشرة (DNS) لمعادلات نافير-ستوكس المرتبطة بنموذج أولدرويد-ب. يؤسسون تدفقًا ثابتًا إحصائيًا ومتجانسًا ومتساوي الأبعاد من خلال تطبيق قوة أرنولد-بلترامي-تشايلدريس (ABC)، التي تضخ الطاقة في النظام. يتم تحديد معدلات استهلاك الطاقة لكل من المذيب النيوتوني والبوليمر، مما يكشف أن التدفق ينتقل إلى سلوك فوضوي ويمكن أن يحافظ على الاضطراب المرن (ET) عندما يتجاوز رقم ديبورا (De) 1. ومن الملاحظ أن أطياف الطاقة للتدفقات تظهر مقياس قوة، مع الأس المميز $\xi = 4$ للـ ET، مما يشير إلى سلوك مميز مقارنة بالاضطراب النيوتوني التقليدي.
يحلل المؤلفون أيضًا طيف الطاقة المرتبط بديناميات البوليمر، ويجدون مقياسًا لـ $E_p(k) \sim k^{-3/2}$. يؤكدون أن مساهمة غير الخطية في الاضطراب غير ملحوظة، مما يدعم استنتاجهم بأن الاضطراب المرصود مدفوع أساسًا بالتأثيرات المرنة. كما تؤكد الدراسة علاقات القياس المستمدة من الحجج النظرية، مما يظهر التوافق مع النتائج التجريبية السابقة ومحاكاة نموذج القشرة. بشكل عام، تسلط النتائج الضوء على الخصائص الفريدة للاضطراب المرن في حلول البوليمر، مع التأكيد على دور مرونة البوليمر في تغيير ديناميات التدفق.
المناقشة
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون دالة الهيكل من الدرجة الثانية، \( S_2(r) \)، في سياق الاضطراب المرن (ET) ومقارنتها بالاضطراب المتجانس والمتساوي الأبعاد (HIT). يؤسسون أن \( S_2(r) \) تظهر مقياسًا تافهًا \( S_2(r) \sim r^2 \) لـ \( r \) صغير، متسقًا مع التحليلية لحقل السرعة. ومع ذلك، يحددون أيضًا انحرافًا عن هذا المقياس التافه عند المقاييس الأكبر، مما يشير إلى إمكانية وجود أس مقياس غير تافه \( \zeta_2 \). يؤكد المؤلفون أن استخراج هذا الأس في ET يمثل تحديًا بسبب الحاجة إلى أرقام ديبورا العالية، مما يعقد تحديد نطاق حركي كبير.
تكشف التحليلات الإضافية أن استخدام الاختلافات الثانية للسرعة، \( \delta^2 u(r) \)، أمر حاسم لكشف سلوك المقياس غير التافه في ET. يجد المؤلفون أن دالة الهيكل من الدرجة الثانية لهذه الاختلافات، \( \Sigma_2(r) \)، تظهر نطاق مقياس كبير، مما يسمح باستخراج الأس \( \zeta_2 \approx 3 \). تشير هذه النتيجة إلى أنه بينما يبقى حقل السرعة سلسًا في الترتيب الرئيسي، تظهر الخشونة والتعددية من الحدود الفرعية. يستنتج المؤلفون أن التقطع في ET هو سمة عالمية، مستقلة عن رقم ديبورا وطريقة التحريك، على الرغم من أنهم يلاحظون أن المزيد من المحاكاة العددية المباشرة عالية الدقة (DNS) ضرورية لتدعيم هذه الاستنتاجات.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41467-024-48460-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38802336
Publication Date: 2024-05-27
Author(s): Rahul K. Singh et al.
Primary Topic: Rheology and Fluid Dynamics Studies
Overview
The section discusses the phenomenon of elastic turbulence, characterized by chaotic fluid motion arising from elastic instabilities due to low concentrations of polymers at very low Reynolds (Re) numbers. The authors conducted direct numerical simulations revealing that elastic turbulence shares significant similarities with classical Newtonian turbulence, contrary to prior assumptions. Notably, they observed power-law spectra for kinetic energy, represented as \( E(k) \sim k^{-4} \), and for polymeric energy, \( E_p(k) \sim k^{-3/2} \), which remain consistent across varying Deborah (De) numbers.
Further analysis through a scale-by-scale energy budget indicates a balance between viscous and polymeric terms in the momentum equation. In real space, the velocity field exhibits smoothness, with the velocity difference across a length scale \( r \) described by \( \delta u \sim r \), complemented by a significant sub-leading contribution of \( r^{3/2} \). The authors also present evidence of intermittency and multifractality in the structure functions of the second difference of velocity, up to sixth order. This is further substantiated by calculating the moments of the rate of dissipation of kinetic energy averaged over a radius \( r \), \( \epsilon_r \), from which they derive the multifractal spectrum.
Methods
In this study, the authors employ a second-order central-difference scheme to solve equations (2a) and (2b) within a tri-periodic box of length \( L = 2\pi \), discretized using \( N^3 = 1024^3 \) collocation points. The spatial resolution is determined by \( L/N = \Delta \approx 0.05 \eta \), where \( \eta = (\nu^3/\epsilon_f)^{1/4} \) represents the Kolmogorov dissipation length scale, and \( \nu \) is the kinematic viscosity defined as \( \mu_f/\rho \). Temporal integration is conducted using the second-order Adams-Bashforth method with a time step \( \Delta t \approx 10^{-5} \tau_K \), where \( \tau_K = \sqrt{\nu/h\langle \epsilon_f \rangle} \). The analysis incorporates 18 snapshots, spaced approximately \( 1.6 \times 10^4 \tau_K \) apart.
To achieve laminar flow in the Newtonian case, the authors set \( A = B = C = 1 \), resulting in a Taylor scale Reynolds number \( Re_\lambda \approx 40 \). The viscosity ratio for the polymer solutions is adjusted to \( \mu_f / (\mu_f + \mu_p) = 0.9 \), with \( \mu_p \) varied over two orders of magnitude. The numerical simulations are executed using the in-house code Fujin, which has been validated for various applications involving both Newtonian and non-Newtonian fluids. Further details and validation tests of the code can be found at the provided link.
Results
In this study, the authors investigate the dynamics of a dilute polymer solution using direct numerical simulations (DNS) of the Navier-Stokes equations coupled with the Oldroyd-B model. They establish a statistically stationary, homogeneous, and isotropic flow by applying Arnold-Beltrami-Childress (ABC) forcing, which injects energy into the system. The energy dissipation rates for both the Newtonian solvent and the polymer are quantified, revealing that the flow transitions to chaotic behavior and can sustain elastic turbulence (ET) when the Deborah number (De) exceeds 1. Notably, the energy spectra of the flows exhibit power-law scaling, with the exponent $\xi = 4$ for ET, indicating a distinct behavior compared to traditional Newtonian turbulence.
The authors further analyze the energy spectrum associated with polymer dynamics, finding a scaling of $E_p(k) \sim k^{-3/2}$. They confirm that the advective nonlinearity’s contribution to the turbulence is negligible, supporting their conclusion that the observed turbulence is primarily driven by elastic effects. The study also validates the scaling relationships derived from theoretical arguments, demonstrating consistency with previous experimental findings and shell-model simulations. Overall, the results highlight the unique characteristics of elastic turbulence in polymer solutions, emphasizing the role of polymer elasticity in altering flow dynamics.
Discussion
In this section, the authors investigate the second-order structure function, \( S_2(r) \), in the context of elastic turbulence (ET) and its comparison to homogeneous isotropic turbulence (HIT). They establish that \( S_2(r) \) exhibits trivial scaling \( S_2(r) \sim r^2 \) for small \( r \), consistent with the analyticity of the velocity field. However, they also identify a departure from this trivial scaling at larger scales, suggesting the potential existence of a non-trivial scaling exponent \( \zeta_2 \). The authors emphasize that extracting this exponent in ET is challenging due to the requirement of high Deborah numbers, which complicates the identification of a significant inertial range.
The analysis further reveals that the use of second differences of velocity, \( \delta^2 u(r) \), is crucial for uncovering the non-trivial scaling behavior in ET. The authors find that the second-order structure function of these differences, \( \Sigma_2(r) \), demonstrates a significant scaling range, allowing for the extraction of the exponent \( \zeta_2 \approx 3 \). This finding indicates that while the velocity field remains smooth at leading order, the roughness and multifractality emerge from subleading terms. The authors conclude that intermittency in ET is a universal characteristic, independent of the Deborah number and the method of stirring, although they note that further high-resolution direct numerical simulations (DNS) are necessary to solidify these conclusions.