DOI: https://doi.org/10.1007/s11134-026-09987-0
تاريخ النشر: 2026-08-07
المؤلف: Zhenyun Du وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل نظرية الطوابير المتقدمة
نظرة عامة
تبحث هذه الورقة البحثية في نماذج الطوابير التي تتميز بوصول العملاء وفقًا لعملية ثنائية الحد المستمرة (CTBP) على فترة محدودة \([0, T]\). على وجه التحديد، تفحص السيناريوهات التي يصل فيها \(K\) من العملاء بشكل مستقل وموزع بشكل متطابق وفقًا لدالة كثافة الاحتمال \(f(t)\) على الفترة. لاستنتاج توزيع طول الطابور المعتمد على الزمن، يقدم المؤلفون نموذجًا مساعدًا مع وصولات عملية بواسون غير متجانسة (NHPP)، موضحين أن توزيع طول الطابور في نموذج CTBP الأصلي يمكن التعبير عنه من حيث التوزيع المشترك للوصولات والمغادرات في النموذج المساعد. كما يقترحون طريقة عددية لحساب هذا التوزيع في إعدادات ماركوفية مع \(f(t)\) ثابتة قطعة، مشيرين إلى أن خطأ الاقتطاع يمكن التحكم فيه كمعامل إدخال.
تكشف النتائج أن العدد الإجمالي للوصولات \(K\) يؤثر بشكل كبير على توزيع طول الطابور، وتوضح الفروقات بين وصولات CTBP وNHPP من خلال أمثلة عددية. تناقش الورقة التحديات الحسابية، خاصة فيما يتعلق بدقة احتمالات بواسون وإمكانية حدوث أخطاء عددية مع زيادة \(K\). تؤكد على الحاجة لاختيار المعاملات بعناية لتجنب مشكلات مثل تدني الأس في الحسابات الكبيرة. يقترح المؤلفون أن تركز الأعمال المستقبلية على تطوير إجراءات حسابية للأنظمة الأكبر وتوسيع النموذج ليأخذ في الاعتبار وصول العملاء قبل بدء الخدمة، مما يعزز قابليته للتطبيق في السيناريوهات العملية.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة أهمية نظرية الطوابير في أنظمة الخدمة المختلفة، مسلطة الضوء على التحديات التي تطرحها معدلات وصول العملاء المتقلبة وإمكانية تجاوز أطوال الطوابير سعة الخدمة خلال أوقات الذروة. غالبًا ما تعتمد تحليلات الطوابير التقليدية على افتراضات الحالة الثابتة، والتي قد لا تعكس بشكل كافٍ ديناميكيات الأنظمة ذات الأوقات التشغيلية المحدودة ومعدلات الوصول المعتمدة على الزمن. تؤكد هذه القيود على الحاجة إلى نهج أكثر دقة لفهم سلوك الطوابير في السيناريوهات الواقعية.
المساهمة الرئيسية للورقة هي تطوير منهجية عامة لتحليل نماذج الطوابير مع وصولات عمليات الولادة المستمرة (CTBP). يوضح المؤلفون أنه يمكن استنتاج توزيع طول الطابور المعتمد على الزمن من التوزيع المشترك للوصولات والمغادرات التراكمية في نموذج مساعد يتميز بوصولات عملية بواسون غير متجانسة (NHPP)، مما يبسط تحليل نماذج CTBP. بالإضافة إلى ذلك، يطبقون هذه المنهجية على الطوابير الماركوفيانية القطعية مع توزيعات زمن الوصول الثابتة قطعة، مستنتجين صيغة عالمية للحد الأعلى على أخطاء الاقتطاع المرتبطة بالسلاسل اللانهائية ويقدمون خوارزمية حسابية تتضمن هذا الحد من الخطأ. تتضمن الورقة أيضًا أمثلة عددية لتوضيح تأثير العدد الإجمالي للوصولات على توزيع طول الطابور المعتمد على الزمن، مع مخطط منظم للأقسام اللاحقة التي تفصل إطار النموذج، والنتائج الرئيسية، والتطبيقات، والاستنتاجات.
نقاش
في مناقشة الطوابير المعتمدة على الزمن، تسلط الورقة الضوء على أهمية فهم تأثير العدد الإجمالي للوصولات، الممثل بـ \(K\)، على أداء النظام ضمن فترة تشغيل محدودة \( [0, T] \). يشير المؤلفون إلى أنه بينما تركز العديد من الدراسات الحالية على نماذج الطوابير المعتمدة على الزمن، فإن القليل منها يتناول السيناريوهات ذات الفترة التشغيلية المحدودة. يقدمون عملية ثنائية الحد المستمرة (CTBP) لنمذجة وصول العملاء، حيث تكون أوقات الوصول متغيرات عشوائية مستقلة وموزعة بشكل متطابق (i.i.d.) مأخوذة من توزيع احتمالي مستمر. يسمح هذا النهج بتحليل أوضح لكيفية تأثير التغيرات في \(K\) على ازدحام الطابور، خاصة من حيث الحد الأقصى لعدد العملاء المنتظرين.
ترتبط الورقة أيضًا بـ CTBP بعمليات بواسون غير متجانسة (NHPP)، مما يثبت أن النموذجين متطابقان عشوائيًا تحت ظروف معينة. يستنتج المؤلفون صيغة لدالة الكتلة الاحتمالية المعتمدة على الزمن (pmf) لطول الطابور، \(\pi_\ell(t, K)\)، من حيث الاحتمالات المشتركة للوصولات والمغادرات في نموذج NHPP المساعد. تسهل هذه العلاقة حساب توزيعات طول الطابور، خاصة في الطوابير الماركوفيانية القطعية حيث تكون معدلات الوصول ثابتة قطعة. يقترح المؤلفون إجراء حسابي يستفيد من تقنيات التوحيد لحساب pmf بكفاءة، مما يضمن أن تظل النتائج دقيقة ضمن هامش خطأ محدد مسبقًا. بشكل عام، يعزز هذا العمل فهم أنظمة الطوابير المعتمدة على الزمن من خلال توفير إطار قوي لتحليل تأثيرات توزيعات الوصول على أداء الطابور.
DOI: https://doi.org/10.1007/s11134-026-09987-0
Publication Date: 2026-08-07
Author(s): Zhenyun Du et al.
Primary Topic: Advanced Queuing Theory Analysis
Overview
This research paper investigates queueing models characterized by customer arrivals following a continuous-time binomial process (CTBP) over a finite interval \([0, T]\). Specifically, it examines scenarios where \(K\) customers arrive independently and identically distributed according to a probability density function \(f(t)\) on the interval. To derive the time-dependent queue length distribution, the authors introduce an auxiliary model with non-homogeneous Poisson process (NHPP) arrivals, demonstrating that the queue length distribution in the original CTBP model can be expressed in terms of the joint distribution of arrivals and departures in the auxiliary model. They also propose a numerical method for computing this distribution in Markovian settings with piecewise constant \(f(t)\), highlighting that the truncation error can be controlled as an input parameter.
The findings reveal that the total number of arrivals \(K\) significantly influences the queue length distribution, and the differences between CTBP and NHPP arrivals are illustrated through numerical examples. The paper discusses computational challenges, particularly regarding the accuracy of Poisson probabilities and the potential for numerical errors as \(K\) increases. It emphasizes the need for careful selection of parameters to avoid issues like exponent underflow in large-scale computations. The authors suggest that future work should focus on developing computational procedures for larger systems and extending the model to account for customers arriving before the service begins, thereby enhancing its applicability to practical scenarios.
Introduction
The introduction of this paper discusses the relevance of queueing theory in various service systems, highlighting the challenges posed by fluctuating customer arrival rates and the potential for queue lengths to exceed service capacity during peak times. Traditional queueing analyses often rely on steady-state assumptions, which may not adequately reflect the dynamics of systems with finite operational times and time-dependent arrival rates. This limitation underscores the need for a more nuanced approach to understanding queue behavior in real-world scenarios.
The paper’s main contribution is the development of a general methodology for analyzing queueing models with Continuous-Time Birth Processes (CTBP) arrivals. The authors demonstrate that the time-dependent queue length distribution can be derived from the joint distribution of cumulative arrivals and departures in an auxiliary model characterized by Non-Homogeneous Poisson Process (NHPP) arrivals, thereby simplifying the analysis of CTBP models. Additionally, they apply this methodology to piecewise Markovian queues with piecewise-constant arrival time distributions, deriving a universal formula for the upper bound on truncation errors associated with infinite series and presenting a computational algorithm that incorporates this error bound. The paper further includes numerical examples to illustrate the impact of the total number of arrivals on the time-dependent queue length distribution, with a structured outline of subsequent sections detailing the model framework, main results, applications, and conclusions.
Discussion
In the discussion of time-dependent queues, the paper highlights the importance of understanding the impact of the total number of arrivals, denoted as $K$, on system performance within a finite operational interval $[0, T]$. The authors note that while many existing studies focus on time-dependent queueing models, few address scenarios with a finite operational period. They introduce a continuous-time binomial process (CTBP) to model customer arrivals, where the arrival times are independent and identically distributed (i.i.d.) random variables drawn from a continuous probability distribution. This approach allows for a clearer analysis of how variations in $K$ affect queue congestion, particularly in terms of the maximum number of waiting customers.
The paper also connects the CTBP to non-homogeneous Poisson processes (NHPP), establishing that the two models are stochastically identical under certain conditions. The authors derive a formula for the time-dependent probability mass function (pmf) of the queue length, $\pi_\ell(t, K)$, in terms of joint probabilities of arrivals and departures in an auxiliary NHPP model. This relationship facilitates the computation of queue length distributions, particularly in piecewise Markovian queues where arrival rates are piecewise constant. The authors propose a computational procedure leveraging uniformization techniques to efficiently calculate the pmf, ensuring that the results remain accurate within a predefined error margin. Overall, this work advances the understanding of time-dependent queueing systems by providing a robust framework for analyzing the effects of arrival distributions on queue performance.