دراسة حول الاستقرار وخوارزمية محاكاتها لنظام غير خطي متقطع مرتبط من نوع ABC-كسر مع مشغل لابلاسي عبر خريطة F-تقلصية

تصنيف موضوع الرياضيات: 34A08؛ 34A37؛ 34D20
الكلمات المفتاحية: نظام ABC-كسر مرتبط؛ مشغل لابلاس؛ القابلية للحل والاستقرار؛ خريطة F-انكماش؛ خوارزمية المحاكاة

في عام 2016، قدم أتانغانا وباليانو [8] أولاً مشتقاً كسرياً جديداً بمعنى كابوتو. يُشار إليه بمشتق ABC الكسري. بالمقارنة مع كل من المشتقات الكسريّة ريمان-ليوفيلي ومشتقات كابوتو، تستخدم المشتقات الكسريّة ABC دالة ميتاج-ليفيلر خاصة ك kernel تكامل لتجنب التفرد، وهو ما يمكن شرحه من خلال التحليل أدناه. دعونا نعتبر أن رتبة المشتقات هي ثم نواة التكامل مشتقات ABC الكسرية تلبي (غير مفرد)، كـ ومع ذلك، فإن نواة التكامل من كل من مشتقات ريمان-ليوفييل ومشتقات كابوتو الكسرية يتفق مع (مفرد)، كـ . لذلك، أصبح دراسة أنظمة التفاضل الكسرية من نوع ABC واحدة من المواضيع الساخنة في السنوات الأخيرة. على سبيل المثال، درس بعض العلماء مشكلاتهم النظرية مثل طرق البحث [18، 27]، وعدم المساواة المهمة [19]، التحليل النوعي [5]، تحليل الفوضى [9]، والتقريبات العددية [49]. إعادة-

قام الباحثون بتطبيق نظرية حساب التفاضل والتكامل الكسري ABC لاستكشاف بعض مشاكل التطبيقات على وجه التحديد، أجرى تشاو وآخرون سلسلة من الدراسات [21،53-55،60،61] حول قابلية الحل واستقرار بعض أنظمة المعادلات التفاضلية الكسرية ABC في العامين الماضيين.

في عام 1983، اقترح ليبينسون [31] لأول مرة -نموذج معادلة تفاضلية لابلاس لوصف مشكلة الاضطراب في الوسائط المسامية. الشكل الأساسي الأكثر بساطة من معادلة لابلاس التفاضلية هي كما يلي:

أين يسمى بـ -مؤثر لابلاس. معكوسه هو مع . نظرًا لخلفيته الفيزيائية القوية وتطبيقه، فإن لقد أصبحت معادلة لابلاس التفاضلية واحدة من أشهر وأهم المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية من الدرجة الثانية، وقد تم دراستها بشكل موسع وعميق. في السنوات الأخيرة، أصبحت غير الخطية لقد تم تفضيل نظام التفاضل الكسري -لابلاس من قبل بعض العلماء. على سبيل المثال، ناقش السعيدي وآخرون [7] تعدد الحلول الإيجابية لمشكلة القيمة الحدية للتكامل الكسري غير الخطي من الرتبة العالية ريمان-ليوفيلي. -لابلاسيان. درس زهاو [62] وجود واستقرار UH العام للحل لمعادلة لابلاسيان المرتبطة غير الخطية من نوع كابوتو-فابريزيو. طبق راو وأحمديني [39] نظرية النقطة الثابتة لجو-كراسنوسيلسكي للحصول على تعددية الحلول الإيجابية لنظام من مشاكل القيمة الحدية الكسرية المختلطة من نوع هادامارد مع ( مشغل لابلاس. في الواقع، كانت هناك بعض الأوراق التي تتعامل مع مشاكل القيمة الحدية المختلفة (BVP) لـ نظام لابلاس يتضمن مشتقات كسرية ريمان-ليوفيل أو كابوتو أو هادامارد، على سبيل المثال، مشكلة القيمة الحدية التكاملية [2، 6]، مشكلة القيمة الحدية متعددة النقاط [32، 40]، مشكلة القيمة الحدية اللانهائية [43]، مشكلة القيمة الحدية المفردة [24]، مشكلة القيمة الحدية الدورية [63].

كما هو معروف، لا يمكن للعديد من العمليات التطورية الحفاظ على استقرار دائم، وعملية تطورها دائمًا ما تشهد تغييرات مفاجئة وجذرية. على سبيل المثال، في أنظمة ديناميات السكان، يمكن أن ينخفض عدد الأنواع بشكل حاد أو قد تنقرض الأنواع بسبب عوامل مثل الزلازل، والتسونامي، والأوبئة، والصيد الجائر على المدى القصير. تُسمى هذه الحالة ظاهرة اندفاعية. تعتبر المعادلات التفاضلية الاندفاعية واحدة من الأدوات القوية لوصف الظواهر الاندفاعية. لقد ازدهرت نظرية وتطبيق المعادلات التفاضلية الاندفاعية. في السنوات الأخيرة، ظلت المعادلات التفاضلية الاندفاعية الكسرية موضوع اهتمام ساخن للعلماء. على سبيل المثال، قام بنكرّوش وآخرون [13] بتطبيق نظريتين لنقطة ثابتة لدراسة وجود وحيدة واستقرار UH للحلول لمعادلات كابوتو-هادامارد الاندفاعية متعددة الحدود. استخدم بريا وكاليراج [37] تقنية نقطة ثابتة لروث لمناقشة قابلية التحكم في الأنظمة الاندفاعية غير الخطية ذات الترتيب الكسر. استكشف شياو ولي [48] الاستقرار الأسي للأنظمة الاندفاعية غير الخطية المتأخرة القابلة للتوافق من خلال مبدأ المقارنة وطريقة دالة ليابونوف. بحث فوه وهوا [35] في استقرار ميتاج-ليفلر للأنظمة الديناميكية غير المؤكدة غير الخطية مع تأثيرات الاندفاع باستخدام المشتق الكسر العشوائي. قدم سيفالينغام وغوفينداراج [42] خوارزمية عددية جديدة لمعادلة التفاضل الكسرية الاندفاعية المتغيرة مع الزمن. على الرغم من أن الظاهرة الاندفاعية يمكن أن تسبب تغييرات جذرية في النظام في فترة زمنية قصيرة، إلا أننا نتوقع أن يكون السلوك على المدى الطويل للنظام مستقرًا. لذلك، تم اقتراح العديد من مفاهيم استقرار النظام. على سبيل المثال، تم اقتراح استقرار UH لأول مرة من قبل هايرز وأولام.
[22,45] في الأربعينيات. لاحقًا، تم إجراء سلسلة من التعميمات حول استقرار UH، مثل الاستقرار UH العام، واستقرار أولام-هايرس-راسياس (UHR)، والاستقرار UHR العام. مؤخرًا، حقق بعض العلماء إنجازات كبيرة في دراسة استقرار نوع UH للأنظمة التفاضلية من الرتبة الكسرية. على سبيل المثال، ناقش زادا وآخرون [52] استقرار نظام متصل مفاجئ من معادلات التفاضل التكاملي الكسرية. أنشأ يو [51] -استقرار نوع UH لمعادلة تفاضلية كسرية مع دفعات غير فورية. قام تشين ولين [14] بدراسة استقرار نوع أولام للأنظمة التفاضلية الكسرية المتأثرة بالدفعات والتأخيرات. تناول محمود وآخرون [33] استقرار نوع UH للأنظمة التفاضلية الكسرية المترابطة من نوع ABC. اعتمد ياغوبي وآخرون [50] الطريقة المعتمدة على التردد لتحليل استقرار نوع UH لمعادلات تفاضلية كسرية متعددة الحدود. استكشف تشاو [56] استقرار نوع UH وUHR للأنظمة الكسرية من نوع لانغفين ذات النواة الأسية غير المفردة. يمكن أيضًا العثور على بعض الإنجازات المهمة حول استقرار المعادلات التفاضلية الكسرية في الأدبيات [4، 15، 16، 26، 29، 30]. ومع ذلك، من النادر دراسة استقرار نوع UH لمعادلات تفاضلية كسرية من نوع ABC مع دفعات، لأن هيكل المعادلات التفاضلية أكثر تعقيدًا من معادلة تفاضلية واحدة. بالإضافة إلى ذلك، لا توجد دراسات تجمع بين المشتق الكسرية من نوع ABC ونظام لابلاس المترابط. وبالتالي، من الجديد والمثير استكشاف هذه المشكلات.

استنادًا إلى ما ذُكر أعلاه، نعتبر بشكل أساسي النظام غير الخطي المتقطع المرتبط من نوع ABC-كسر مع ( (-لابلاسيان:

أين هي سلسلة نقاط متهورة تلبي و بعض الثوابت؛ هو -مشتق كسرية من الرتبة ABC؛ وعكسه بشرط أن ; غير خطي؛ و تمثل الحد الأيمن؛ و عبّر عن الحد الأيسر الذي يحقق و .

ملاحظة 1.1 بالمقارنة مع الأوراق السابقة مثل [23،41،56]، يعتبر نظامنا (1.1) نظامًا مترابطًا من المعادلات التي تتضمن تأثيرات مفاجئة ومشتقات كسرية متعددة. ، و التي تتضمن معادلة واحدة وتكون أكثر تعقيدًا وصعوبة في الدراسة.

الهدف من هذه المخطوطة هو التحقيق في وجود واستقرار الحلول العامة لنظام (1.1). تشمل مساهماتنا الرئيسية الجوانب التالية. (i) نظرًا لعدم العثور على أوراق بحثية حتى الآن تتناول نظام المعادلات التفاضلية غير الخطية المرتبطة بـ ABC-الكسري مع الاندفاعات، فإننا نعتبر أولاً النظام (1.1) لسد هذه الفجوة. (ii) يتم عادةً تنفيذ طريقة البحث للمعادلات التفاضلية الاندفاعية بشكل متقطع استنادًا إلى فترات الاندفاع. هذه الطريقة معقدة نسبيًا في بناء فضاء وجود الحل وإجراء التقديرات السابقة. نحن نتغلب على
نقوم بتجاوز هذا العيب من خلال تطبيق تحويل مناسب لتحويل النظام الاندفاعي (1.1) إلى نظام غير اندفاعي. (iii) من خلال بناء خريطة F-تقلصية وفضاء متري كامل، نطبق نظرية جديدة لنقطة ثابتة على الفضاء المتري للحصول على وجود وحيدة الحل للنظام (1.1). نظرًا لأن خريطة F-التقلص هي امتداد مهم لخريطة التقلص، فإنها توسع نطاق تطبيق طرق خرائط التقلص في دراسة حلول معادلات المشغل المعرفة على الفضاءات المترية الكاملة. بالإضافة إلى ذلك، يتم أيضًا إثبات الاستقرار العام للنظام (1.1) من خلال طرق التحليل غير الخطي. (iv) نقترح خوارزمية محاكاة عددية جديدة للنظام (1.1).

الإطار المتبقي من الورقة هو كما يلي. القسم 2 يستعرض بعض المحتويات الضرورية حول حساب التفاضل والتكامل الكسر ABC. استنادًا إلى خريطة F-contractiva ونظرية النقطة الثابتة الجديدة في فضاء متري، نحصل على بعض الشروط الكافية لضمان أن النظام (1.1) له حل فريد في القسم 3. القسم 4 يبني المزيد من الاستقرار العام للنظام (1.1). في القسم 5، نقدم أولاً خوارزمية جديدة لمحاكاة عددية. ثم، يتم تطبيق مثال للتحقق من صحة نتائجنا النظرية وفعالية الخوارزمية. يتم تقديم استنتاج موجز في القسم 6.

التعريف 2.1 ([23]) لـ و الجانب الأيسر -ترتيب التكامل الكسري ABC يتم تعريفه بواسطة

أين هو ثابت تطبيع مع .

التعريف 2.2 ([8]) لـ و الجانب الأيسر -مشتق ABC الكسري من يتم تعريفه بواسطة

أين هي دالة ميتاج-ليفير الخاصة بالمعامل .
اللمّا 2.1 ([41]) إذا . ثم الحل الفريد لمشكلة القيمة الابتدائية التالية

يتم إعطاؤه بواسطة

اللمّا 2.2 دع . الـ -مؤثر لابلاس تتميز بما يلي:
(ط) إذا ، ثم ، و يزداد بالنسبة إلى ؛
(ii) لجميع ؛
(iii) إذا ، ثم لجميع ؛
(رابعًا) لجميع ؛
(v) ؛
(vi)

نظرية النقطة الثابتة المقدمة أدناه هي وسيلة مهمة لحل مشكلتنا.

التعريف 2.3 ([46]) دالة يسمى دالة واردوفسكي إذا تفي بما يلي:
(f1) لجميع وهو، يزداد بصرامة بشكل أحادي.
(f2) ؛
(f3) لديها بحيث .
جميع دوال واردوفسكي مُعلمة على أنها . ووردوفسكي [47] استبدل (f2) بـ (f2)’: لأي تسلسل ، وسمى إرضاء (f1) و(f2) دالة ووردوفسكي شبه.

التعريف 2.4 ([46]) دع كن فضاء متري كامل، و كن مشغلًا. إذا كان هناك و بحيث

ثم يسمى -انكماش.

ملاحظة 2.1 من السهل التحقق من أن تفي بالشروط (f1)-(f3)، أي، . في الوقت نفسه، يعني أن أي، هو انكماش باناش. بعبارة أخرى، -الانكماش هو تعميم لانكماش باناش.

اللمّا 2.3 ([34]) دع كن مشغلاً معرفًا على الفضاء المتري الكامل افترض أن ما يلي صحيح:
(أ1) يوجد و بحيث

أين

(a2) واحد من و مستمر.
ثم، يوجد واحد فريد بحيث .

هذا القسم مخصص لإثبات وجود وحيدة الحل للنظام (1.1). نقوم أولاً بتحويل النظام المفاجئ (1.1) إلى نظام غير مفاجئ. في ماذا
يتبع، دع ، وبتطبيق اللمّة 2.2، يصبح النظام (1.1) النظام التالي:

من الواضح أن قابلية الحل للنظام (1.1) والنظام (3.1) متكافئة تمامًا. لذا، يكفي مناقشة وجود وحيدة الحل للنظام (3.1). ولهذا الغرض، اعتبر النظام التفاضلي غير الاندفاعي ABC-كسرية التالي:

اللمّة 3.1 بالنسبة للأنظمة (3.1) و (3.2)، فإن التصريحات التالية صحيحة:
(ب1) إذا و تلبية النظام (3.2)، ثم و تلبية النظام (3.1);
(ب2) إذا و تلبية النظام (3.1)، ثم و تلبية النظام (3.2).

الدليل من الواضح أن (3.1) و (3.2) لهما نفس الشروط الابتدائية. افترض أن و تلبية النظام (3.2)، عندما نستبدل و في المعادلات الأربعة الأولى من (3.2) للحصول على المعادلات الأربعة الأولى من (3.1)، مما يعني أن و تلبية النظام (3.1). عندما لدينا

و

مع (3.3) و (3.4)، نحصل على

المعادلة (3.5) هي شروط الاندفاع لـ (3.1). وبالتالي، فإن الادعاء (b1) صحيح.
بعد ذلك، نوضح أن الادعاء (b2) صحيح. في الواقع، عندما ، بنفس الطريقة التي تم بها إثبات (ب1) أن و تلبية النظام (3.2). في الجوار الصغير من )، نستنتج من (3.5)، و ذلك