أثر الضوضاء على ظواهر السوليتون في نظام كراينكل-مانا-ميرل العشوائي الكسري الناشئ في المواد الفيرومغناطيسية Noise effect on soliton phenomena in fractional stochastic Kraenkel-Manna-Merle system arising in ferromagnetic materials

المجلة: Scientific Reports، المجلد: 14، العدد: 1
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-024-52211-3
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38245610
تاريخ النشر: 2024-01-20

أثر الضوضاء على ظواهر السوليتون في نظام كراينكل-مانا-ميرل العشوائي الكسري الناشئ في المواد الفيرومغناطيسية

هميرة ياسمين , عذّب سعد الشهري , عبد الحميد قاني , أحمد شفي & رسول شاه

تتناول هذه الدراسة نظام كرينكل-مانا-ميرل العشوائي القابل للتوافق (CSKMMS)، وهو نموذج رياضي مهم لاستكشاف الظواهر في المواد الفيرومغناطيسية. يتم توليد طيف واسع من حلول السوليتون العشوائي التي تشمل الدوال الزائدية، والدوال المثلثية، والدوال الكسرية، باستخدام نسخة معدلة من الطريقة الجبرية المباشرة الموسعة (EDAM) وهي . هذه الحلول السوليتونية العشوائية لها أهمية عملية لوصف سلوك المجال المغناطيسي في الفيرومغناطيسيات ذات التوصيلية الصفرية. من خلال استخدام برنامج مابل لتوليد تمثيلات رسومية ثنائية وثلاثية الأبعاد، تحلل الدراسة كيف تؤثر المصطلحات العشوائية والضوضاء على هذه الحلول السوليتونية. أخيرًا، تضيف هذه الدراسة إلى معرفتنا بسلوك المجال المغناطيسي في المواد الفيرومغناطيسية من خلال تسليط الضوء على تأثير الضوضاء على عمليات السوليتون داخل CSKMMS.
المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية الكسريّة (SFPDEs)، هي فئة فرعية من المعادلات التفاضلية الجزئية الكسريّة (FPDEs)، تشكل أساسًا رياضيًا قويًا مع العديد من التطبيقات في العلوم والهندسة . تجمع هذه المعادلات بين العمليات العشوائية، التي تتعامل مع عدم القدرة على التنبؤ، وحساب الكسور، الذي يتناول الذاكرة والتأثيرات غير المحلية. يمكّن هذا المزيج غير العادي من محاكاة أحداث معقدة تتجاوز نطاق المعادلات التفاضلية التقليدية. تعتبر SFDEs مفيدة في المالية لمهام مثل نمذجة أسعار الأصول وتقييم المخاطر. علاوة على ذلك، تلعب دورًا مهمًا في مجالات مثل الفيزياء، وعلم الأحياء، والجيولوجيا، والبحث البيئي، مما يعزز الفهم لمجموعة واسعة من العمليات الطبيعية. علاوة على ذلك، تقدم SFPDEs مساهمات كبيرة في نظرية التحكم، ومعالجة الإشارات، وتحليل الصور من خلال اقتراح حلول جديدة لمشكلات معقدة في تحليل الأنظمة والبيانات.
كان للرياضيين دور كبير في البحث في المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) وFPDEs لاستكشاف الحلول العددية، والتحليلية، والسفر، والسوليتون . من بين هذه التحقيقات، أسرت السوليتونات في سياق FPDEs غير الخطية (NFPDEs) الفيزيائيين والمحترفين في الرياضيات على حد سواء. تم تطوير العديد من التقنيات التحليلية، مثل طريقة المعادلة الفرعية سardar , طريقة الدالة الظل , طريقة ( )-التوسع , طريقة خاتر , طريقة المعادلة الفرعية , طريقة كودرياشوف , طريقة الدالة الإهليلجية جاكوب , الطريقة الثنائية والطريقة exp لتوضيح وتوصيف سلوك السوليتون داخل NFPDEs. لقد ظهرت mEDAM كاستراتيجية واعدة يمكن استخدامها لكل من NPDEs وNFPDEs. تستخدم هذه الطريقة آلية تحويل لتحويل NFPDEs أو NPDEs إلى معادلات تفاضلية عادية غير خطية (NODEs)، والتي يتم حلها بعد ذلك باستخدام حلول قائمة على السلاسل. يتم استخدام NODE الناتج بعد ذلك لبناء مجموعة من المعادلات الجبرية التي، عند حلها، تقدم حلول السوليتون للFPDE المعني. تتميز mEDAM بقدرتها الاستثنائية على تطوير مجموعة أكبر من عائلات حلول السوليتون.
في هذه الدراسة، نأخذ في الاعتبار CSKMMS الذي يتم التعبير عنه على النحو التالي :

حيث تشير إلى المغنطة، تشير إلى المجالات المغناطيسية الخارجية وترتبط بالفريت، تمثل معامل التخميد، هو شدة الضوضاء، هو الحركة البراونية والمشغل تشير إلى المشتقات الجزئية القابلة للتوافق. قام Nguepjouo وآخرون بالتحقيق في تطبيق توسيع كثافة المغنطة وتحويلات الإحداثيات لتحويل الهيكل إلى ما يلي:
تتضمن هذه الوصف الانتشار غير الخطي للأمواج القصيرة في المواد الفيرومغناطيسية المشبعة ذات التوصيلية الصفرية. نحصل على نظام كرينكل-مانا-ميرل (KMMS) في (2) من CSKMMS في (1) عن طريق تعيين و . عندما تتم إزالة التخميد ( )، تصبح المعادلة (2) قابلة للتكامل وتظهر أزواج لاكس. لقد وضع العديد من العلماء طرقًا مختلفة على مر السنين لتوليد حلول لكل من CSKMMS (1) وKMMS (2)، مع الأخذ في الاعتبار قيمًا متغيرة من . من بين هذه الطرق الطريقة الثنائية , طريقة التشتت العكسي , طريقة (G’/G)-التوسع , طريقة المعادلة المساعدة الجديدة , طريقة المعادلة المساعدة , وتقنية F-expansion . الهدف من هذه الدراسة هو استخدام تقنية لبناء حلول سوليتون عشوائية لـ CSKMMS المعطاة في (1)، مع القيد الخاص لـ . من المقرر أن تقدم هذه الحلول رؤى مهمة للفيزيائيين حول الأحداث الفيزيائية الأساسية. علاوة على ذلك، نستخدم برنامج مابل لإنتاج مجموعة كبيرة من التمثيلات الرسومية، مما يسمح بإجراء تحقيق أعمق في تأثير الضوضاء على حلول السوليتون العشوائية داخل CSKMMS. تلخص المنشورات الحديثة عبر مجالات مختلفة طيفًا متنوعًا من التحقيقات العلمية. يستكشف Zhang وآخرون مرشحًا فيروتوريوديكي يتميز بسلاسل دوران متميزة، بينما يركز Huang وآخرون على تشخيص الأعطال في المحامل في صناديق تروس توربينات الرياح تحت ظروف التشغيل الحقيقية مع تسميات بيانات ضوضاء محدودة. يقترح Wang وآخرون طريقة تقدير عالمية لضوضاء تفاعل الإطارات مع الرصيف (TPIN) باستخدام تقنية الصور ثلاثية الأبعاد، مما يساهم في جهود الاستدامة. في الديناميات غير الخطية، يتعمق Li و في هياكل الموجات والسلوكيات الفوضوية لمعادلة شرودنجر غير الخطية المكعبة-الرابعة في الألياف ثنائية الانكسار. بالإضافة إلى ذلك، يقدم Li وآخرون معادلة التمدد بناءً على نظرية الإمكانية البلاستيكية المعتمدة على الخصائص للمواد الجيولوجية في سياق الفراكتلات والكسور. علاوة على ذلك، يناقش Hu وآخرون التحكم في التوافق للأنظمة متعددة الوكلاء العامة مع تفاعلات معادية وضوضاء اتصالات، بينما يقيم Wang وآخرون تعرض ضوضاء حركة المرور على الطرق مع الأخذ في الاعتبار خصائص الحشود المختلفة في أبحاث النقل. تؤكد هذه الدراسات المتنوعة على الطبيعة متعددة التخصصات والنطاق الواسع للجهود العلمية الحديثة.
الجزء الآخر من هذه الدراسة هيكل كما يلي: القسم “المنهجية والموارد” يقدم الحركة البراونية، وتعريفات المشتقات الكسريّة القابلة للتوافق، ونهج . يركز القسم “معادلة الموجة لـ CSKMMS” على اشتقاق معادلة الموجة لـ CSKMMS، بينما يستخدم القسم “حلول السوليتون العشوائية لـ CSKMMS” تقنية mEDAM لاشتقاق حلول السوليتون العشوائية لـ CSKMMS. يقدم القسم “المناقشة والرسوم البيانية” سلسلة من الرسوم البيانية توضح تأثير الضوضاء المضاعفة على حلول السوليتون لـ CSKMMS. أخيرًا، في القسم الأخير، نقوم بتلخيص نتائجنا وتقديم الاستنتاجات.

المنهجية والموارد الحركة البراونية

تسمى العملية العشوائية حركة براونية إذا كانت تلبي الشروط التالية :
  • ,
  • هي دالة مستمرة،
  • هي مستقلة لـ ,
  • لها توزيع غاوسي مع تباين ومتوسط 0.

المشتق القابل للتوافق

قام الباحثون بتأسيس تباينات مختلفة للمشتقات الكسريّة . ومع ذلك، يمكننا معالجة FPDEs من خلال الاستفادة من تفوق المشتق القابل للتوافق. على سبيل المثال، لا يمكن الحصول على حلول السوليتون العشوائية لـ CFKMMS المعطاة في (1) باستخدام صيغ المشتقات الكسريّة البديلة لأنها لا تلتزم بقانون السلسلة . نتيجة لذلك، في المعادلة (1)، المشتقات المستخدمة تتوافق مع المشتقات القابلة للتوافق. يتم تعريف المشغل الذي يمثل هذه المشتقات من الدرجة في كما يلي:
تستخدم الميزات التالية من هذا المشتق في هذه التحقيق:
حيث تمثل دوالًا تظهر القابلية للاشتقاق، بينما تشير إلى ثوابت.

آلية التشغيل لـ

يقدم هذا القسم ويوسع تقنية . نبدأ بمعادلة تفاضلية جزئية غير خطية على النمط الموضح أدناه :
حيث . لحل (7)، يتم استخدام الإجراءات المدرجة أدناه:
  1. أولاً، يتم إجراء تحويل متغيرات على الشكل , حيث يمكن تعريفه بطرق مختلفة. يتم تحويل المعادلة (7) إلى NODE التالية من خلال تطبيق هذا التحويل:
تمثل العلامات في (8) المشتقات لـ بالنسبة لـ قد تتطلب المعادلة (8) مرحلة أو أكثر من التكامل للحصول على ثوابت التكامل.
2. نتيجة لذلك، نقترح أن (8) له الحل التالي:
المعلمات (حيث ) سيتم قيادتها لاحقًا، و تلتقي بالعقدة التالية:
أين هي ثوابت.
3. يمكننا حساب العدد الصحيح الموجب من خلال السعي لتحقيق توازن متجانس بين المكون غير الخطي الرئيسي وأعلى مشتق في المعادلة (8).
4. خطوتنا التالية هي إدخال (9) في (8)، أو المعادلة التي تم الحصول عليها من تكامل (8)، بهدف بناء تعبير متعدد الحدود في . بعد ذلك، نقوم بتنظيم جميع التعبيرات التي تتضمن بشكل متسق. هذا يسمح لنا بتعيين معاملات كثير الحدود الناتج إلى الصفر، مما يؤدي إلى نظام من المعادلات الجبرية غير الخطية التي تتضمن (حيث ) وعوامل مهمة أخرى.
5. نستخدم برنامج MAPLE لحل هذا النظام من المعادلات الجبرية.
6. بعد تقييم المعلمات غير المعروفة وإدراجها مع الحلول لـ في المعادلة (9)، يتم بناء حلول السوليتون للمعادلة (7). يمكننا استنتاج عائلات من حلول السوليتون باستخدام الحل العام المقدم بواسطة المعادلة (10)، كما هو موضح أدناه:
العائلة 1 من ،
&
العائلة 2 من ،
&
العائلة 3 من ،
&
عائلة 4 من أجل ،
&
العائلة 5 من ،
&
العائلة 6 ،
&
العائلة 7 من ،
العائلة 8 من أجل ,:
العائلة 9 من أجل ،
العائلة 10 من أجل ،
العائلة 11 من ،
&
العائلة 12 من ،
هنا دعونا الآن نلقي نظرة على تعميم الدوال الزائدية والدوال المثلثية التي تُعرف على أنها:
بالمثل،

معادلة الموجة لـ CSKMMS

للحصول على معادلة الموجة لـ CSKMMS (1)، نأخذ في الاعتبار تأثير التخميد واستخدام تحويل الموجة التالي:
أين و هي دوال حقيقية، و هي ثوابت غير صفرية، ونحن قادرون على الحصول على معادلة الموجة لـ CSKMMS (1). نلاحظ أن
أين هو مصطلح تصحيح إيتو. بإدخال (11) في (1) واستخدام (12)، نحصل على
أخذ التوقع على كلا جانبي المعادلات في (13)، لدينا
نلاحظ أن ، حيث هو توزيع قياسي طبيعي و هو ثابت حقيقي. الآن، (14) له الشكل
نحصل على النتيجة التالية بعد إجراء التكامل الفردي على المعادلة الثانية في (15):
أين يمثل ثابت التكامل. من خلال استبدال (16) في المعادلة الأولى في (15)، نحصل على:

حلول السوليتون العشوائية لـ CSKMMS

من خلال توليد حالة من التوازن المتجانس بين و الموجود في (17)، نستنتج أن . عن طريق إدراج في المعادلة (9) نصل إلى الحلول المستندة إلى السلاسل التالية لـ (17):
من خلال وضع (18) في (17) وتجميع الحدود ذات القوى المتكافئة لـ لدينا تعبير في عندما يتم تعيين المعاملات إلى الصفر، ينتج عن العملية نظام من المعادلات الجبرية غير الخطية. عند استخدام برنامج مابل لحل هذا النظام، فإن مجموعتي الحلول المقدمة هي كما يلي:

الحالة 1

الحالة 2

بالنظر إلى الحالة. 1 في (19)، واستخدام (11) و(16) و(18) مع الحل العام المقابل لـ (10)، نحصل على العائلات التالية من حلول السوليتون العشوائية لـ (1):
العائلة 1.1 عندما ،
و
العائلة 1.2 عندما ،
و
العائلة 1.3 عندما و ،
و
العائلة 1.4 عندما و ،
و
العائلة 1.5 عندما و ،
و
العائلة 1.6 عندما و ،
و
العائلة 1.7 عندما ،
العائلة 1.8 عندما و ،
العائلة 1.9 عندما ،
العائلة 1.10 عندما و ،
أين .
بالنظر إلى الحالة. 2 في (20)، واستخدام (11) و(16) و(18) مع الحل العام المقابل لـ (10)، نحصل على العائلات التالية من حلول السوليتون العشوائية لـ (1):
العائلة 2.1 عندما ،
و
العائلة 2.2 عندما ،
و
العائلة 2.3 عندما و ،
و
العائلة 2.4 متى و ،
و
العائلة 2.5 متى و ،
و
العائلة 2.6 عندما و ،
و
العائلة 2.8 عندما و ،
العائلة 2.9 متى و ،
أين .

المناقشة والرسوم البيانية

يتناول هذا القسم حلول السوليتون التي تم اكتشافها خلال تحقيقنا في CSKMMS. نستخرج هذه الحلول السوليتونية باستخدام طريقة مختلفة النهج الذي يوفر لنا فهمًا كاملاً للديناميات المعقدة لنظام CSKMMS. يتم تمثيل تنوع سلوك السوليتون، ولا سيما الصدمات والسوليتونات الطوبولوجية، بشكل فعال من خلال العروض المرئية.
نوعان هامين من السوليتونات، وهما سوليتونات الصدمة والسوليتونات الطوبولوجية، يظهران كترتيبات فريدة من نوعها في المجال المغناطيسي وإثارات في مجال الفيرومغناطيسية. سوليتونات الصدمة هي سوليتونات مثلثية ومستطيلة تظهر تحولات سريعة في المغنطة في تكوينات مختلفة نتيجة للحقول المغناطيسية الخارجية أو تفاعلات المجالات المغناطيسية. تظهر هذه السوليتونات نتيجة لديناميات مغنطة غير خطية موجهة بواسطة توازن مكونات الطاقة بما في ذلك تفاعلات التبادل وتأثيرات الأنيسوتروبي. من ناحية أخرى، فإن السوليتونات الطوبولوجية هي هياكل مستقرة ومقيدة تنشأ من الحاجة لقبول التغيرات في اتجاه المغنطة.
الشكل 1. هذه الأشكال من و في (21)، تم رسمها مع على التوالي. علاوة على ذلك، يتم بناء الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد في نفس الوقت لـ .
بينما تقلل من نفقات الطاقة. توفر خصائصها الطوبولوجية استقرارها وسلوكها المميز، مما يجعلها كيانات قوية حتى في غياب الاضطرابات الخارجية داخل المواد الفيرومغناطيسية.
الشكل 1، هذه الأشكال من و في (21)، تم رسمها مع ، على التوالي. علاوة على ذلك، يتم بناء الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد في نفس الوقت لـ الشكل 2، هذه الأشكال من في (22)، تم رسمها مع على التوالي. يتم بناء الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد في نفس الوقت لـ و على التوالي. الشكل 3، هذه الأرقام من في (40)، يتم تصويرها بـ
الشكل 2. هذه الأشكال من في (22)، تم رسمها مع على التوالي. يتم بناء الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد في نفس الوقت لـ و على التوالي.
الشكل 3. هذه الأشكال من في (40)، يتم تصويرها بـ على التوالي.
على التوالي. الشكل 4، هذه الأرقام من في (52)، تم رسمها مع تُبنى الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد في نفس الوقت لـ و على التوالي. الشكل 5، هذه الأرقام من و في (53)، تم رسمها مع تُبنى الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد في نفس الوقت لـ على التوالي. الشكل 6، هذه الأرقام من و في (69)، تم رسمها مع الشكل 7، هذه الأشكال من و في (90)، تم رسمها مع لتمثيل العلاقات المتبادلة بين أنواع مختلفة من السوليتونات، وأنماط انتشارها، وتفاعلاتها، وتأثير الضوضاء عليها، يتم استخدام عدة رسوم بيانية ثنائية وثلاثية الأبعاد. يبرز هذا التحليل البصري أهمية اكتشافاتنا ويؤكد على كفاءة طريقة mEDAM في فك تشابك الأنظمة غير الخطية المعقدة. علاوة على ذلك، يبرز هذا التصوير البصري المساهمات الكبيرة للنهج في فك الأحداث غير الخطية المعقدة وتحسين معرفتنا بالسلوك السوليتوني في مجال CSKMMS. من الواضح أيضًا أنه عندما يؤثر الضجيج ( عندما يرتفع، تتحول السوليتونات الطوبولوجية إلى موجات صدمية. يحدث الانتقال من السوليتونات الطوبولوجية إلى موجات الصدمة عندما تزداد تأثيرات الضوضاء في النظام، مما يزعج استقرار السوليتونات ويجبرها على التحول إلى أنماط موجات صدمية.

الخاتمة

تدور أبحاثنا حول (CSKMMS)، وهو إطار رياضي حاسم لفهم ظواهر المواد الفيرومغناطيسية. لقد طورنا مجموعة منظمة من عائلات الحلول السوليتونية العشوائية التي تشمل الدوال المثلثية، والهايبروليكية، والكسريّة. يمكن استخدام هذه الحلول لتعريف المجالات المغناطيسية في الفيرومغناطيسيات ذات التوصيلية الصفرية باستخدام . لقد تم فحص تأثير المصطلحات العشوائية والضوضاء على هذه الحلول السوليتونية بشكل موسع باستخدام تمثيلات رسومية ثنائية وثلاثية الأبعاد تم إنشاؤها بواسطة برنامج مابل. تكشف نتائجنا عن علاقات معقدة ضمن إطار CSKMMS، مما يشير إلى تأثير زيادة مستويات الضوضاء. من الجدير بالذكر أن زيادة الضوضاء تسبب تحول السوليتونات إلى موجات صدمية، مما يبرز حساسية ديناميات السوليتون تجاه الضوضاء ويعزز فهمنا لسلوك المجال المغناطيسي في المواد الفيرومغناطيسية. في المستقبل، سنغوص أعمق في النموذج العشوائي، مستكشفين أبعادًا ومعلمات إضافية لفهم دينامياته المعقدة بشكل أفضل. الطريقة المستخدمة في هذه الدراسة لا تنتج فقط عائلة كبيرة من الحلول الدقيقة، ولكنها تقدم أيضًا رؤى قيمة حول سلوك النموذج. ونتيجة لذلك، تفتح آفاقًا لمزيد من الدراسة وثراء الأطر الحسابية لتمثيل التعقيد الذي يميز ظواهر المواد الفيرومغناطيسية بشكل أكثر دقة.
الشكل 4. هذه الأشكال من في (52)، تم رسمها مع . تم بناء الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد في وقت واحد لـ و على التوالي.
الشكل 5. هذه الأشكال من و في (53)، تم رسمها مع
. تم بناء الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد في وقت واحد لـ على التوالي.
الشكل 6. هذه الأشكال من و في (69)، تم رسمها مع .
الشكل 7. هذه الأشكال من و في (90)، تم رسمها مع
.

توفر البيانات

تتوفر مجموعات البيانات المستخدمة و/أو التي تم تحليلها خلال الدراسة الحالية من المؤلف المراسل عند الطلب المعقول.
تاريخ الاستلام: 3 نوفمبر 2023؛ تاريخ القبول: 16 يناير 2024
تم النشر عبر الإنترنت: 20 يناير 2024

References

  1. Kamrani, M. Numerical solution of stochastic fractional differential equations. Numer. Algorithms 68, 81-93 (2015).
  2. Mohammadi, F. Efficient Galerkin solution of stochastic fractional differential equations using second kind Chebyshev wavelets. Boletim da Sociedade Paranaense de Matematica 35(1), 195-215 (2017).
  3. Abouagwa, M. & Li, J. Approximation properties for solutions to Itô-Doob stochastic fractional differential equations with nonLipschitz coefficients. Stochastics Dyn. 19(04), 1950029 (2019).
  4. Hussain, A., Ali, H., Zaman, F., & Abbas, N. New closed form solutions of some nonlinear pseudo-parabolic models via a new extended direct algebraic method. Int. J. Math. Comput. Eng..
  5. Srinivasa, K., Ramane, H. S., Mundewadi, R. A., & Jummannaver, R. B. Solutions of differential equations using linearly independent Hosoya polynomials of trees. Int. J. Math. Comput. Eng..
  6. Sivasundaram, S., Kumar, A., & Singh, R. K. On the complex properties to the first equation of the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy. Int. J. Math. Comput. Eng..
  7. Bilal, M., Haris, H., Waheed, A. & Faheem, M. The analysis of exact solitons solutions in monomode optical fibers to the generalized nonlinear Schrödinger system by the compatible techniques. Int. J. Math. Comput. Eng. 1(2), 149-170 (2023).
  8. Kumar, A., & Kumar, S. Dynamic nature of analytical soliton solutions of the ( )-dimensional Mikhailov-Novikov-Wang equation using the unified approach. Int. J. Math. Comput. Eng. (2023).
  9. Tozar, A., Tasbozan, O. & Kurt, A. Optical soliton solutions for the ( )-dimensional resonant nonlinear Schröndinger’s equation arising in optical fibers. Opt. Quant. Electron. 53(6), 316 (2021).
  10. Alsharidi, A. K. & Bekir, A. Discovery of new exact wave solutions to the M-fractional complex three coupled Maccari’s system by Sardar sub-equation scheme. Symmetry 15(8), 1567 (2023).
  11. Manafian, J. & Foroutan, M. Application of -expansion method for the time-fractional Kuramoto-Sivashinsky equation. Opt. Quant. Electron. 49, 1-18 (2017).
  12. Khan, H., Shah, R., Gómez-Aguilar, J. F., Baleanu, D. & Kumam, P. Travelling waves solution for fractional-order biological population model. Math. Modell. Nat. Phenom. 16, 32 (2021).
  13. Bibi, S., Mohyud-Din, S. T., Khan, U. & Ahmed, N. Khater method for nonlinear Sharma Tasso-Olever (STO) equation of fractional order. Results Phys. 7, 4440-4450 (2017).
  14. Zheng, B. & Wen, C. Exact solutions for fractional partial differential equations by a new fractional sub-equation method. Adv. Differ. Equ. 2013, 1-12 (2013).
  15. Gaber, A. & Ahmad, H. Solitary Wave Solutions for Space-Time Fractional Coupled Integrable Dispersionless System via Generalized Kudryashov Method 1439-1449 (Facta Universitatis, Series: Mathematics and Informatics, 2021).
  16. Fan, E. & Zhang, J. Applications of the Jacobi elliptic function method to special-type nonlinear equations. Phys. Lett. A 305(6), 383-392 (2002).
  17. Wazwaz, A. M. Multiple-soliton solutions for the KP equation by Hirota’s bilinear method and by the tanh-coth method. Appl. Math. Comput. 190(1), 633-640 (2007).
  18. Yasmin, H., Aljahdaly, N. H., Saeed, A. M. & Shah, R. Probing families of optical soliton solutions in fractional perturbed Rad-hakrishnan-Kundu-Lakshmanan model with improved versions of extended direct algebraic method. Fractal Fractional 7(7), 512 (2023).
  19. Zheng, B. Exp-Function Method for Solving Fractional Partial Differential Euations (The Scientific World, 2013).
  20. Yasmin, H., Aljahdaly, N. H., Saeed, A. M. & Shah, R. Investigating families of soliton solutions for the complex structured coupled fractional Biswas-Arshed model in birefringent fibers using a novel analytical technique. Fractal Fractional 7(7), 491 (2023).
  21. Yasmin, H., Aljahdaly, N. H., Saeed, A. M. & Shah, R. Investigating symmetric soliton solutions for the fractional coupled KonnoOnno system using improved versions of a novel analytical technique. Mathematics 11(12), 2686 (2023).
  22. Mohammed, W., El-Morshedy, M., Cesarano, C. & Al-Askar, F. M. Soliton solutions of fractional stochastic Kraenkel-Manna-Merle equations in ferromagnetic materials. Fractal Fractional 7(4), 328 (2023).
  23. Nguepjouo, F. T., Kuetche, V. K. & Kofane, T. C. Soliton interactions between multivalued localized waveguide channels within ferrites. Phys. Rev. E 89(6), 063201 (2014).
  24. Tchokouansi, H. T., Kuetche, V. K. & Kofane, T. C. On the propagation of solitons in ferrites: The inverse scattering approach. Chaos Solitons Fractals 86, 64-74 (2016).
  25. Li, B. Q. & Ma, Y. L. Rich soliton structures for the Kraenkel-Manna-Merle (KMM) system in ferromagnetic materials. J. Supercond. Novel Magn. 31, 1773-1778 (2018).
  26. Raza, N. et al. New and more dual-mode solitary wave solutions for the Kraenkel-Manna-Merle system incorporating fractal effects. Math. Methods Appl. Sci. 45(5), 2964-2983 (2022).
  27. Li, B. Q. & Ma, Y. L. Loop-like periodic waves and solitons to the Kraenkel-Manna-Merle system in ferrites. J. Electromagn. Waves Appl. 32(10), 1275-1286 (2018).
  28. He, J. H., Elagan, S. K. & Li, Z. B. Geometrical explanation of the fractional complex transform and derivative chain rule for fractional calculus. Phys. Lett. A 376(4), 257-259 (2012).
  29. Zhang, J. et al. A ferrotoroidic candidate with well-separated spin chains. Adv. Mater. (Weinheim) 34(12), e2106728. https://doi. org/10.1002/adma. 202106728 (2022).
  30. Huang, N. et al. Fault diagnosis of bearing in wind turbine gearbox under actual operating conditions driven by limited data with noise labels. IEEE Trans. Instrum. Meas. 70, 1-10. https://doi.org/10.1109/TIM.2020.3025396 (2021).
  31. Wang, H., Zhang, X. & Jiang, S. A laboratory and field universal estimation method for tire-pavement interaction noise (TPIN) based on 3D image technology. Sustainability 14(19), 12066. https://doi.org/10.3390/su141912066 (2022).
  32. Li, Y. & Kai, Y. Wave structures and the chaotic behaviors of the cubic-quartic nonlinear Schrodinger equation for parabolic law in birefringent fibers. Nonlinear Dyn. 111(9), 8701-8712. https://doi.org/10.1007/s11071-023-08291-3 (2023).
  33. Li, X., Zhu, H. & Yuan, Q. Dilatancy equation based on the property-dependent plastic potential theory for geomaterials. Fractal Fractional 7(11), 824. https://doi.org/10.3390/fractalfract7110824 (2023).
  34. Hu, J., Wu, Y., Li, T. & Ghosh, B. K. Consensus control of general linear multiagent systems with antagonistic interactions and communication noises. IEEE Trans. Autom. Control 64(5), 2122-2127. https://doi.org/10.1109/TAC.2018.2872197 (2019).
  35. Wang, H., Wu, Z., Chen, J. & Chen, L. Evaluation of road traffic noise exposure considering differential crowd characteristics. Transp. Res. D Transp. Environ. 105, 103250. https://doi.org/10.1016/j.trd.2022.103250 (2022).
  36. Mohammed, W. W. et al. The analytical solutions of the stochastic fractional Kuramoto-Sivashinsky equation by using the Riccati equation method. Math. Probl. Eng. 2022, 1-8 (2022).
  37. Akinyemi, L., Şenol, M., Tasbozan, O. & Kurt, A. Multiple-solitons for generalized (2+ 1)-dimensional conformable Korteweg-de Vries-Kadomtsev-Petviashvili equation. J. Ocean Eng. Sci. 7(6), 536-542 (2022).
  38. Yalcinkaya, I., Ahmad, H., Tasbozan, O. & Kurt, A. Soliton solutions for time fractional ocean engineering models with Beta derivative. J. Ocean Eng. Sci. 7(5), 444-448 (2022).
  39. Varol, D. Solitary and periodic wave solutions of the space-time fractional Extended Kawahara equation. Fractal Fractional 7(7), 539 (2023).
  40. Cenesiz, Y., Kurt, A. & Tasbozan, O. On the new solutions of the conformable time fractional generalized hirota-satsuma coupled KdV system. Ann. West Univ. Timisoara-Math. Comput. Sci. 55(1), 37-50 (2017).
  41. Tasbozan, O., Cenesiz, Y., Kurt, A. & Iyiola, O. S. New analytical solutions and approximate solution of the space-time conformable Sharma-Tasso-Olver equation. Progress Fract. Differ. Appl. 4(4), 519-531 (2018).
  42. Tarasov, V. E. On chain rule for fractional derivatives. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 30(1-3), 1-4 (2016).
  43. Sarikaya, M. Z., Budak, H. & Usta, H. On generalized the conformable fractional calculus. TWMS J. Appl. Eng. Math. 9(4), 792-799 (2019).

الشكر والتقدير

مشروع دعم الباحثين بجامعة الأميرة نورة بنت عبد الرحمن رقم (PNURSP2024R183)، جامعة الأميرة نورة بنت عبد الرحمن، الرياض، المملكة العربية السعودية. تم دعم هذا العمل من قبل عمادة البحث العلمي، نائب رئيس الجامعة للدراسات العليا والبحث العلمي، جامعة الملك فيصل، المملكة العربية السعودية (رقم المنحة 5583).

مساهمات المؤلفين

التصور، H.Y.; المنهجية، A.S.A.; البرمجيات، H.Y.; التحقق، R.S.; التحليل الرسمي، A.H.G.; التحقيق، R.S. و A.S.A.; الموارد، A.M.A. و H.Y.; الكتابة – المراجعة والتحرير، R.S.; التمويل H.Y. جميع المؤلفين قرأوا ووافقوا على النسخة المنشورة من المخطوطة.

التمويل

مشروع دعم الباحثين بجامعة الأميرة نورة بنت عبد الرحمن رقم (PNURSP2024R183)، جامعة الأميرة نورة بنت عبد الرحمن، الرياض، المملكة العربية السعودية. تم دعم هذا العمل من قبل عمادة البحث العلمي، نائب رئيس الجامعة للدراسات العليا والبحث العلمي، جامعة الملك فيصل، المملكة العربية السعودية (رقم المنحة 5583).

المصالح المتنافسة

يعلن المؤلفون عدم وجود مصالح متنافسة.

معلومات إضافية

يجب توجيه المراسلات وطلبات المواد إلى H.Y.
معلومات إعادة الطبع والتصاريح متاحة على www.nature.com/reprints.
ملاحظة الناشر تظل Springer Nature محايدة فيما يتعلق بالمطالبات القضائية في الخرائط المنشورة والانتماءات المؤسسية.
الوصول المفتوح هذه المقالة مرخصة بموجب رخصة المشاع الإبداعي للاستخدام والمشاركة والتكيف والتوزيع وإعادة الإنتاج في أي وسيلة أو صيغة، طالما أنك تعطي الائتمان المناسب للمؤلفين الأصليين والمصدر، وتوفر رابطًا لرخصة المشاع الإبداعي، وتوضح ما إذا كانت هناك تغييرات قد تم إجراؤها. الصور أو المواد الأخرى من طرف ثالث في هذه المقالة مشمولة في رخصة المشاع الإبداعي للمقالة، ما لم يُذكر خلاف ذلك في سطر ائتمان للمادة. إذا لم تكن المادة مشمولة في رخصة المشاع الإبداعي للمقالة واستخدامك المقصود غير مسموح به بموجب اللوائح القانونية أو يتجاوز الاستخدام المسموح به، ستحتاج إلى الحصول على إذن مباشرة من صاحب حقوق الطبع والنشر. لعرض نسخة من هذه الرخصة، قم بزيارة http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
© المؤلفون 2024
  1. قسم العلوم الأساسية، الإدارة العامة للسنة التحضيرية، جامعة الملك فيصل، الأحساء 31982، المملكة العربية السعودية. قسم العلوم الرياضية، كلية العلوم، جامعة الأميرة نورة بنت عبد الرحمن، ص.ب 84428، الرياض 11671، المملكة العربية السعودية. قسم العلوم الأساسية، كلية العلوم والدراسات النظرية، الجامعة الإلكترونية السعودية، الرياض 11673، المملكة العربية السعودية. الهيئة العامة للتعليم التطبيقي والتدريب، كلية الدراسات التكنولوجية، قسم تكنولوجيا المختبرات، الشويخ 70654، الكويت. قسم الرياضيات، جامعة عبد الوالي خان، مردان، باكستان. البريد الإلكتروني: hhassain@kfu.edu.sa

Journal: Scientific Reports, Volume: 14, Issue: 1
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-024-52211-3
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38245610
Publication Date: 2024-01-20

Noise effect on soliton phenomena in fractional stochastic Kraenkel-Manna-Merle system arising in ferromagnetic materials

Humaira Yasmin , Azzh Saad Alshehry , Abdul Hamid Ganie , Ahmad Shafee & Rasool Shah

This work dives into the Conformable Stochastic Kraenkel-Manna-Merle System (CSKMMS), an important mathematical model for exploring phenomena in ferromagnetic materials. A wide spectrum of stochastic soliton solutions that include hyperbolic, trigonometric and rational functions, is generated using a modified version of Extended Direct Algebraic Method (EDAM) namely . These stochastic soliton solutions have practical relevance for describing magnetic field behaviour in zero-conductivity ferromagnets. By using Maple to generate 2D and 3D graphical representations, the study analyses how stochastic terms and noise impact these soliton solutions. Finally, this study adds to our knowledge of magnetic field behaviour in ferromagnetic materials by shedding light on the effect of noise on soliton processes inside the CSKMMS.
Stochastic Fractional Partial Differential Equations (SFPDEs), a subcategory of Fractional Partial Differential Equations (FPDEs), are a solid mathematical foundation with numerous applications in science and engineering . These equations combine stochastic processes, which handle unpredictability, with fractional calculus, which addresses memory and non-local effects. This unusual mix enables them to mimic sophisticated occurrences that are beyond the scope of traditional differential equations. SFDEs are useful in finance for tasks like asset price modelling and risk assessment. Furthermore, they serve an important role in subjects such as physics, biology, geophysics, and environmental research, improving understanding of a wide range of natural processes. Furthermore, SFPDEs provide significant contributions to control theory, signal processing, and image analysis by proposing novel solutions to complicated issues in system and data analysis.
Mathematicians have been heavily involved in researching Partial Differential Equations (PDEs) and FPDEs to investigate numerical, analytical, travelling, and soliton solutions . Among these investigations, solitons in the setting of Nonlinear FPDEs (NFPDEs) have long captivated physicists and mathematics professionals alike. Numerous analytical techniques, such as the the Sardar sub-equation method , tan-function method , the ( )-expansion approach , the Khater method , the sub-equation method , the Kudryashov method , Jacobi elliptic function method , Bilinear method method and the exp-function method have been developed to elucidate and characterise soliton behaviours within NFPDEs. mEDAM has emerged as a promising strategy that can be used to both NPDEs and NFPDEs. This approach uses a transformational mechanism to convert NFPDEs or NPDEs into Nonlinear Ordinary Differential Equations (NODEs), which are then solved with series-based solutions. The resultant NODE is then used to construct a set of algebraic equations that, when solved, offer soliton solutions to the FPDE at hand. mEDAM is notable for its extraordinary ability to develop a larger range of soliton solution families.
In this study, we take into account the CSKMMS which is articulated as :

where denotes magnetization, denotes outer magnetic fields and are related to the ferrite, represents damping coefficient, is the noise intensity, is the Brownian motion and the operator denote conformables partial derivatives. Nguepjouo et al. investigated the application of magnetization density expansion and coordinate transformations to convert the structure to the following:
This description encompasses the nonlinear propagation of short waves in saturated ferromagnetic materials with zero conductivity. We get the Kraenkel-Manna-Merle system (KMMS) in (2) from the CSKMMS in (1) by setting and . When damping is removed ( ), Equation (2) becomes integrable and displays Lax pairings. Numerous scholars have devised various approaches over the years to generate solutions for both the CSKMMS (1) and KMMS (2), taking into account varying values of . Among these approaches are the bilinear method , inverse scattering method , (G’/G)-expansion method , new auxiliary equation method , auxiliary equation method , and F-expansion technique . The goal of this study is to use the technique to construct stochastic soliton solutions for the CSKMMS given in (1), with the special constraint of . These solutions are set to provide physicists with significant insights into fundamental physical events. Furthermore, we use the Maple programme to produce a plethora of graphical representations, allowing for a more in-depth investigation of the effect of noise on the stochastic soliton solutions inside the CSKMMS. Recent publications across various domains encapsulate a diverse spectrum of scientific investigations. Zhang et al. explore a Ferrotoroidic candidate characterized by distinct spin chains, while Huang et al. focus on fault diagnosis of bearings in wind turbine gearboxes under real operating conditions with limited noisy data labels. Wang et al. propose a universal estimation method for Tire-Pavement Interaction Noise (TPIN) using 3D image technology, contributing to sustainability efforts. In nonlinear dynamics, Li and delve into wave structures and chaotic behaviors of the cubic-quartic nonlinear Schrodinger equation in birefringent fibers. Additionally, Li et al. introduce a Dilatancy Equation based on property-dependent plastic potential theory for geomaterials in the context of fractals and fractions. Furthermore, Hu et al. discuss consensus control of general linear multiagent systems with antagonistic interactions and communication noises, while Wang et al. evaluate road traffic noise exposure considering differential crowd characteristics in transportation research. These diverse studies underscore the multidisciplinary nature and broad scope of recent scientific endeavors.
The other part of this study is structured as follows: Section “Methodology and resources” presents Brownian motion, conformable fractal derivative definitions, and the approach of . Section “Wave equation for CSKMMS” focuses on deriving the wave equation for CSKMMS, while Section “Stochastic soliton solutions For CSKMMS” uses the mEDAM to derive stochastic soliton solutions for CSKMMS. Section “Discussion and graphs” presents a series of graphs illustrating the influence of multiplicative noise on CSKMMS’s soliton solutions. Finally, in the final section, we synthesise our findings and give conclusions.

Methodology and resources Brownian motion

The stochastic process is called a Brownian motion if it satisfies the following conditions :
  • ,
  • is continuous function,
  • is independent for ,
  • has a Gaussian distribution with variance and mean 0 .

Conformable derivative

Researchers have established various dissentions for fractional derivatives . However, We can address FPDEs by leveraging the supremacy of conformable derivative. The stochastic soliton solutions of CFKMMS given in (1), for instance, cannot be obtained using alternative fractional derivative formulations because they do not obey the chain rule . As a result, in equation (1), the derivatives utilised are corresponded to conformable derivatives. The operator that represents these derivatives of order is defined in as follows:
The following features of this derivative are used in this investigation:
where represent functions that exhibit differentiability, whereas signify constants.

The operational mechanism of

This section introduces and expands on the technique. We start with a nonlinear FPDE in the style shown below :
where . To solve (7), the subsequently listed procedures are used:
  1. First, a variable transformation of the form , where can be defined in different ways, is performed. Equation (7) is transformed into the following NODE by the application of this transformation:
The primes in (8) represent derivatives of with respect to . Equation (8) may require one or more integration stages to get the constants of integration.
2. As a result, we propose that (8) has the following solution:
The parameters (where ) are to be driven later, and meets the following NODE:
where are constants.
3. We may calculate the positive integer by seeking a homogeneous balance between the major nonlinear component and the highest order derivative in Equation (8).
4. Our next step is to plug (9) into (8), or the equation obtained by integrating (8), with the goal of building a polynomial expression in . Following that, we organise all expressions involving consistently. This allows us to set the coefficients of the resultant polynomial to zero, resulting in a system of nonlinear algebraic equations involving (where ) and other important factors.
5. We use the MAPLE programme to solve this system of algebraic equations.
6. After evaluating the unknown parameters and inserting them together with the solutions for into equation (9), the soliton solutions for (7) are constructed. We may infer families of soliton solutions using the general solution supplied by equation (10), as shown below:
Family 1 For ,
&
Family 2 For ,
&
Family 3 For ,
&
Family 4 For ,
&
Family 5 For ,
&
Family 6 For ,
&
Family 7 For ,
Family 8 For ,:
Family 9 For ,
Family 10 For ,
Family 11 For ,
&
Family 12 For ,
Here . Let us now look at the generalisation of hyperbolic and trigonometric functions which are defined as:
Similarly,

Wave equation for CSKMMS

To get the wave equation of CSKMMS (1), we consider the damping effect and utilize the following wave transformation:
where and are real functions, and are nonzero constants, and we are able to obtain the wave equation of the CSKMMS (1). We note that
where is the Itô correction term. Inserting (11) into (1) and using (12), we have
Taking expectation on both sides of the equations in (13), we have
We note that , where is normal standard distribution and is a real constant. Now, (14) has the form
We get the following result after performing single integration on the second equation in (15):
where represents an integration constant. By substituting (16) into the first equation in (15), we get:

Stochastic soliton solutions For CSKMMS

By generating a condition of homogeneous balance between and present in (17), we deduce that . By inserting into the equation (9) we arrive at the following series-based solutions for (17):
By putting (18) into (17) and stacking terms with equivalent powers of , we have an expression in . When the coefficients are set to zero, the process generates a system of nonlinear algebraic equations. When Maple is used to solve this system, the two sets of solutions offered are as follows:

Case 1

Case 2

Considering case. 1 into (19), and utilizing (11), (16) and (18) together with the corresponding general solution of (10), we get the following families of stochastic soliton solutions for (1):
Family 1.1 When ,
and
Family 1.2 When ,
and
Family 1.3 When and ,
and
Family 1.4 When and ,
and
Family 1.5 When and ,
and
Family 1.6 When and ,
and
Family 1.7 When ,
Family 1.8 When and ,
Family 1.9 When ,
Family 1.10 When and ,
Where .
Considering case. 2 into (20), and utilizing (11), (16) and (18) together with the corresponding general solution of (10), we get the following families of stochastic soliton solutions for (1):
Family 2.1 When ,
and
Family 2.2 When ,
and
Family 2.3 When and ,
and
Family 2.4 When and ,
and
Family 2.5 When and ,
and
Family 2.6 When and ,
and
Family 2.8 When and ,
Family 2.9 When and ,
Where .

Discussion and graphs

This section digs into the soliton solutions uncovered during our investigation of the CSKMMS. We derive these soliton solutions using a different approach, which provides us with a complete understanding of the CSKMMS’s complex dynamics. The diversity of soliton behaviour, notably shock and topological solitons, is efficiently represented through visual presentations.
Two significant types of solitons, shock and topological solitons, arise as unique magnetic field configurations and excitations in the field of ferromagnetism. Shock solitons are triangular and rectangular solitons that exhibit rapid magnetization shifts in various configurations as a result of external magnetic fields or magnetic domain interactions. These solitons emerge as a result of nonlinear magnetization dynamics guided by a balance of energy components including exchange interactions and anisotropy effects. Topological solitons, on the other hand, are stable, confined structures that originate from the need to accept changes in magnetization direction
Figure 1. These figures of and in (21), are plotted with respectively. Moreover, the 2D graphs are constructed simultaneously for .
while reducing energy expenditures. Their topological properties provide their stability and distinctive behaviour, making them robust entities even in the absence of external disturbances inside ferromagnetic materials.
Figure 1, these figures of and in (21), are plotted with , respectively. Moreover, the 2D graphs are constructed simultaneously for . Figure 2, these figures of in (22), are plotted with respectively. The 2D graphs are constructed simultaneously for and respectively. Figure 3 , these figures of in (40), are depicted with
Figure 2. These figures of in (22), are plotted with respectively. The 2D graphs are constructed simultaneously for and respectively.
Figure 3. These figures of in (40), are depicted with respectively.
respectively. Figure 4, these figures of in (52), are plotted with . The 2D graphs are constructed simultaneously for and respectively. Figure 5, these figures of and in (53), are plotted with . The 2D graphs are constructed simultaneously for respectively. Figure 6, these figures of and in (69), are plotted with . Figure 7, these figures of and in (90), are plotted with . To represent the interrelationships between different types of solitons, their propagation patterns, interactions, and the impact of noise on them, several 2D and 3D graphs are used. This visual analysis emphasises the relevance of our discoveries and verifies the mEDAM method’s efficiency in disentangling complex nonlinear systems. Furthermore, this visual depiction highlights the approach’s significant contributions to unravelling complicated nonlinear events and improving our knowledge of solitonic behaviour in the field of CSKMMS. It is also clear that when the noise effect ( ) rises, topological solitons convert into shock waves. The shift from topological solitons to shock waves happens when the system’s noise effect increases, disturbing solitonic stability and forcing them to convert into shock wave patterns.

Conclusion

Our research revolved around the (CSKMMS), a critical mathematical framework for comprehending ferromagnetic material phenomena. We have developed a systematic set of families of stochastic soliton solutions that include trigonometric, hyperbolic, and rational functions. These solutions can be used to define magnetic fields in zero-conductivity ferromagnets using the . The effect of stochastic terms and noise on these soliton solutions has been extensively examined using Maple-generated 2D and 3D graphical representations. Our findings reveal complex relationships within the CSKMMS framework, indicating the impact of increasing noise levels. Notably, increased noise causes solitons to transform into shock waves, highlighting the sensitivity of soliton dynamics to noise and improving our understanding of magnetic field behaviour in ferromagnetic materials. In the future, we will delve deeper into the stochastic model, investigating additional dimensions and parameters to better understand its intricate dynamics. The method used in this study not only produces a large family of exact solutions, but it additionally delivers valuable insights into the model’s behaviour. As a result, avenues for further study and affluence of computational frameworks to more accurately represent the complexity that characterise ferromagnetic material phenomena are opened up.
Figure 4. These figures of in (52), are plotted with . The 2D graphs are constructed simultaneously for and respectively.
Figure 5. These figures of and in (53), are plotted with
. The 2D graphs are constructed simultaneously for respectively.
Figure 6. These figures of and in (69), are plotted with .
Figure 7. These figures of and in (90), are plotted with
.

Data availability

The data sets used and/or analysed during the current study available from the corresponding author on reasonable request.
Received: 3 November 2023; Accepted: 16 January 2024
Published online: 20 January 2024

References

  1. Kamrani, M. Numerical solution of stochastic fractional differential equations. Numer. Algorithms 68, 81-93 (2015).
  2. Mohammadi, F. Efficient Galerkin solution of stochastic fractional differential equations using second kind Chebyshev wavelets. Boletim da Sociedade Paranaense de Matematica 35(1), 195-215 (2017).
  3. Abouagwa, M. & Li, J. Approximation properties for solutions to Itô-Doob stochastic fractional differential equations with nonLipschitz coefficients. Stochastics Dyn. 19(04), 1950029 (2019).
  4. Hussain, A., Ali, H., Zaman, F., & Abbas, N. New closed form solutions of some nonlinear pseudo-parabolic models via a new extended direct algebraic method. Int. J. Math. Comput. Eng..
  5. Srinivasa, K., Ramane, H. S., Mundewadi, R. A., & Jummannaver, R. B. Solutions of differential equations using linearly independent Hosoya polynomials of trees. Int. J. Math. Comput. Eng..
  6. Sivasundaram, S., Kumar, A., & Singh, R. K. On the complex properties to the first equation of the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy. Int. J. Math. Comput. Eng..
  7. Bilal, M., Haris, H., Waheed, A. & Faheem, M. The analysis of exact solitons solutions in monomode optical fibers to the generalized nonlinear Schrödinger system by the compatible techniques. Int. J. Math. Comput. Eng. 1(2), 149-170 (2023).
  8. Kumar, A., & Kumar, S. Dynamic nature of analytical soliton solutions of the ( )-dimensional Mikhailov-Novikov-Wang equation using the unified approach. Int. J. Math. Comput. Eng. (2023).
  9. Tozar, A., Tasbozan, O. & Kurt, A. Optical soliton solutions for the ( )-dimensional resonant nonlinear Schröndinger’s equation arising in optical fibers. Opt. Quant. Electron. 53(6), 316 (2021).
  10. Alsharidi, A. K. & Bekir, A. Discovery of new exact wave solutions to the M-fractional complex three coupled Maccari’s system by Sardar sub-equation scheme. Symmetry 15(8), 1567 (2023).
  11. Manafian, J. & Foroutan, M. Application of -expansion method for the time-fractional Kuramoto-Sivashinsky equation. Opt. Quant. Electron. 49, 1-18 (2017).
  12. Khan, H., Shah, R., Gómez-Aguilar, J. F., Baleanu, D. & Kumam, P. Travelling waves solution for fractional-order biological population model. Math. Modell. Nat. Phenom. 16, 32 (2021).
  13. Bibi, S., Mohyud-Din, S. T., Khan, U. & Ahmed, N. Khater method for nonlinear Sharma Tasso-Olever (STO) equation of fractional order. Results Phys. 7, 4440-4450 (2017).
  14. Zheng, B. & Wen, C. Exact solutions for fractional partial differential equations by a new fractional sub-equation method. Adv. Differ. Equ. 2013, 1-12 (2013).
  15. Gaber, A. & Ahmad, H. Solitary Wave Solutions for Space-Time Fractional Coupled Integrable Dispersionless System via Generalized Kudryashov Method 1439-1449 (Facta Universitatis, Series: Mathematics and Informatics, 2021).
  16. Fan, E. & Zhang, J. Applications of the Jacobi elliptic function method to special-type nonlinear equations. Phys. Lett. A 305(6), 383-392 (2002).
  17. Wazwaz, A. M. Multiple-soliton solutions for the KP equation by Hirota’s bilinear method and by the tanh-coth method. Appl. Math. Comput. 190(1), 633-640 (2007).
  18. Yasmin, H., Aljahdaly, N. H., Saeed, A. M. & Shah, R. Probing families of optical soliton solutions in fractional perturbed Rad-hakrishnan-Kundu-Lakshmanan model with improved versions of extended direct algebraic method. Fractal Fractional 7(7), 512 (2023).
  19. Zheng, B. Exp-Function Method for Solving Fractional Partial Differential Euations (The Scientific World, 2013).
  20. Yasmin, H., Aljahdaly, N. H., Saeed, A. M. & Shah, R. Investigating families of soliton solutions for the complex structured coupled fractional Biswas-Arshed model in birefringent fibers using a novel analytical technique. Fractal Fractional 7(7), 491 (2023).
  21. Yasmin, H., Aljahdaly, N. H., Saeed, A. M. & Shah, R. Investigating symmetric soliton solutions for the fractional coupled KonnoOnno system using improved versions of a novel analytical technique. Mathematics 11(12), 2686 (2023).
  22. Mohammed, W., El-Morshedy, M., Cesarano, C. & Al-Askar, F. M. Soliton solutions of fractional stochastic Kraenkel-Manna-Merle equations in ferromagnetic materials. Fractal Fractional 7(4), 328 (2023).
  23. Nguepjouo, F. T., Kuetche, V. K. & Kofane, T. C. Soliton interactions between multivalued localized waveguide channels within ferrites. Phys. Rev. E 89(6), 063201 (2014).
  24. Tchokouansi, H. T., Kuetche, V. K. & Kofane, T. C. On the propagation of solitons in ferrites: The inverse scattering approach. Chaos Solitons Fractals 86, 64-74 (2016).
  25. Li, B. Q. & Ma, Y. L. Rich soliton structures for the Kraenkel-Manna-Merle (KMM) system in ferromagnetic materials. J. Supercond. Novel Magn. 31, 1773-1778 (2018).
  26. Raza, N. et al. New and more dual-mode solitary wave solutions for the Kraenkel-Manna-Merle system incorporating fractal effects. Math. Methods Appl. Sci. 45(5), 2964-2983 (2022).
  27. Li, B. Q. & Ma, Y. L. Loop-like periodic waves and solitons to the Kraenkel-Manna-Merle system in ferrites. J. Electromagn. Waves Appl. 32(10), 1275-1286 (2018).
  28. He, J. H., Elagan, S. K. & Li, Z. B. Geometrical explanation of the fractional complex transform and derivative chain rule for fractional calculus. Phys. Lett. A 376(4), 257-259 (2012).
  29. Zhang, J. et al. A ferrotoroidic candidate with well-separated spin chains. Adv. Mater. (Weinheim) 34(12), e2106728. https://doi. org/10.1002/adma. 202106728 (2022).
  30. Huang, N. et al. Fault diagnosis of bearing in wind turbine gearbox under actual operating conditions driven by limited data with noise labels. IEEE Trans. Instrum. Meas. 70, 1-10. https://doi.org/10.1109/TIM.2020.3025396 (2021).
  31. Wang, H., Zhang, X. & Jiang, S. A laboratory and field universal estimation method for tire-pavement interaction noise (TPIN) based on 3D image technology. Sustainability 14(19), 12066. https://doi.org/10.3390/su141912066 (2022).
  32. Li, Y. & Kai, Y. Wave structures and the chaotic behaviors of the cubic-quartic nonlinear Schrodinger equation for parabolic law in birefringent fibers. Nonlinear Dyn. 111(9), 8701-8712. https://doi.org/10.1007/s11071-023-08291-3 (2023).
  33. Li, X., Zhu, H. & Yuan, Q. Dilatancy equation based on the property-dependent plastic potential theory for geomaterials. Fractal Fractional 7(11), 824. https://doi.org/10.3390/fractalfract7110824 (2023).
  34. Hu, J., Wu, Y., Li, T. & Ghosh, B. K. Consensus control of general linear multiagent systems with antagonistic interactions and communication noises. IEEE Trans. Autom. Control 64(5), 2122-2127. https://doi.org/10.1109/TAC.2018.2872197 (2019).
  35. Wang, H., Wu, Z., Chen, J. & Chen, L. Evaluation of road traffic noise exposure considering differential crowd characteristics. Transp. Res. D Transp. Environ. 105, 103250. https://doi.org/10.1016/j.trd.2022.103250 (2022).
  36. Mohammed, W. W. et al. The analytical solutions of the stochastic fractional Kuramoto-Sivashinsky equation by using the Riccati equation method. Math. Probl. Eng. 2022, 1-8 (2022).
  37. Akinyemi, L., Şenol, M., Tasbozan, O. & Kurt, A. Multiple-solitons for generalized (2+ 1)-dimensional conformable Korteweg-de Vries-Kadomtsev-Petviashvili equation. J. Ocean Eng. Sci. 7(6), 536-542 (2022).
  38. Yalcinkaya, I., Ahmad, H., Tasbozan, O. & Kurt, A. Soliton solutions for time fractional ocean engineering models with Beta derivative. J. Ocean Eng. Sci. 7(5), 444-448 (2022).
  39. Varol, D. Solitary and periodic wave solutions of the space-time fractional Extended Kawahara equation. Fractal Fractional 7(7), 539 (2023).
  40. Cenesiz, Y., Kurt, A. & Tasbozan, O. On the new solutions of the conformable time fractional generalized hirota-satsuma coupled KdV system. Ann. West Univ. Timisoara-Math. Comput. Sci. 55(1), 37-50 (2017).
  41. Tasbozan, O., Cenesiz, Y., Kurt, A. & Iyiola, O. S. New analytical solutions and approximate solution of the space-time conformable Sharma-Tasso-Olver equation. Progress Fract. Differ. Appl. 4(4), 519-531 (2018).
  42. Tarasov, V. E. On chain rule for fractional derivatives. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 30(1-3), 1-4 (2016).
  43. Sarikaya, M. Z., Budak, H. & Usta, H. On generalized the conformable fractional calculus. TWMS J. Appl. Eng. Math. 9(4), 792-799 (2019).

Acknowledgements

Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project number (PNURSP2024R183), Princess Nourah bint Abdulrahman University, Riyadh, Saudi Arabia. This work was supported by the Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research, King Faisal University, Saudi Arabia (Grant No. 5583).

Author contributions

Conceptualization, H.Y.; Methodology, A.S.A.; Software, H.Y.; Validation, R.S.; Formal analysis, A.H.G.; Investigation, R.S. and A.S.A.; Resources, A.M.A. and H.Y.; Writing—review & editing, R.S.; Funding H.Y. All authors have read and agreed to the published version of the manuscript.

Funding

Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project Number (PNURSP2024R183), Princess Nourah bint Abdulrahman University, Riyadh, Saudi Arabia. This work was supported by the Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research, King Faisal University, Saudi Arabia (Grant No. 5583).

Competing interests

The authors declare no competing interests.

Additional information

Correspondence and requests for materials should be addressed to H.Y.
Reprints and permissions information is available at www.nature.com/reprints.
Publisher’s note Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.
Open Access This article is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License, which permits use, sharing, adaptation, distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons licence, and indicate if changes were made. The images or other third party material in this article are included in the article’s Creative Commons licence, unless indicated otherwise in a credit line to the material. If material is not included in the article’s Creative Commons licence and your intended use is not permitted by statutory regulation or exceeds the permitted use, you will need to obtain permission directly from the copyright holder. To view a copy of this licence, visit http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
© The Author(s) 2024
  1. Department of Basic Sciences, General Administration of Preparatory Year, King Faisal University, Al-Ahsa 31982, Saudi Arabia. Department of Mathematical Sciences, Faculty of Sciences, Princess Nourah Bint Abdulrahman University, P.O. Box 84428, Riyadh 11671, Saudi Arabia. Basic Science Department, College of Science and Theoretical Studies, Saudi Electronic University, Riyadh 11673, Saudi Arabia. PAAET, College of Technological Studies, Laboratory Technology Department, Shuwaikh 70654, Kuwait. Department of Mathematics, Abdul Wali Khan University, Mardan, Pakistan. email: hhassain@kfu.edu.sa