الحدود الثابتة زمنياً في فئة من نماذج الكيمياء الحيوية الجاذبة–الطاردة غير الخطية المحلية وغير المحلية مع اللوجستيات Uniform-in-time boundedness in a class of local and nonlocal nonlinear attraction–repulsion chemotaxis models with logistics

المجلة: Nonlinear Analysis Real World Applications، المجلد: 79
DOI: https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2024.104135
تاريخ النشر: 2024-05-15

الحدود الثابتة زمنياً في فئة من نماذج الكيمياء الحيوية الجاذبة–الطاردة غير الخطية المحلية وغير المحلية مع اللوجستيات

أليساندرو كولومبو، رافائيل دياز فوينتس، سيلفيا فراسو*قسم الرياضيات وعلوم الحاسوبجامعة كالياريعبر أوسبيدالي 72، 09124. كالياري (إيطاليا)

الملخص. يتم دراسة نموذج الجذب-النفور غير الخطي بالكامل وكيمياء الحركة ذات التدفق الصفري كما يلي:
هنا هي منطقة محدودة وناعمة من ، من أجل أعداد صحيحة موجبة ، و و وظائف منتظمة تعمم النماذج الأولية و للبعض وكل . علاوة على ذلك، ، و هو الحد الأقصى لفترة وجود الحلول للنموذج. بمجرد توفر بيانات أولية مناسبة ثابتة، نحن مهتمون باشتقاق شروط كافية تشير إلى العالمية (أي، ) وحدود (أي، للجميع ) من الحلول للمشكلة ( ). يتم تحقيق ذلك في هذه السيناريوهات:
لـ متناسب مع و إلى كلما وشرط أن يتم توفير أحد الشروط التالية
(أنا) (II) (III)
مُنجز أو بالاشتراك مع أحد هذه القيود
(ط) ،
(ii) ،
(iii) و ،
(رابعًا) و ؛
لـ و كلما إذا تم الوفاء بأحد (I) أو (II) أو (III) أيضًا.
تعمل أبحاثنا على تحسين وتوسيع بعض النتائج المستمدة من [15، 26، 3، 6].

1. المقدمة والدوافع

1.1. بعض الإشارات حول نماذج الكيمياء الحيوية للجذب والطرد. يمكن التعبير عن الصياغة العامة لنموذج الكيمياء الحيوية للجذب والطرد، الذي يتضمن مصادر لوجستية وإنتاجات خطية أو غير خطية، كما يلي:
أين هي منطقة محدودة وناعمة في ، و و هي دوال تتمتع بخصائص انتظام محددة. علاوة على ذلك، وبيانات أولية منتظمة إضافية و مقدمة. الحرف السفلي في يمثل المشتق الطبيعي الخارجي على و يمثل اللحظة الزمنية القصوى التي توجد حتى حلول النظام.
هذا النموذج يحمل أهمية عملية لأنه قابل للتطبيق في دراسة الالتهاب في مرض الزهايمر. في هذا الإطار، تقوم الخلايا الدبقية الصغيرة بإفراز مواد كيميائية جذابة وطاردة، والنظام أعلاه يصف الآليات العامة للكميات المعنية. في حالة الانتشار الخطي المحدد، الحساسية والإنتاج (أي، , ، و )، وفي غياب المصطلحات الخارجية المثبطة (أي، )، من أجل و في [20] يقدم المؤلفون رؤى متعلقة بآليات الجمع لـ (1) ويطورون تحليلات عددية ضمن فترات محدودة، خاصة عندما .
1.2. النماذج الجذابة والنماذج الطاردة. النموذج (1) ينتج عن دمج هذه الآليات المضطربة لإنتاج الإشارات مع تأثير تجميعي.
وواحد مثير للاشمئزاز
لفهم النموذج (1) بشكل صحيح، من الضروري ربطه بالآليات البيولوجية الموصوفة في المشكلتين (2) و(3). تُستخدم المعادلات التفاضلية الجزئية ذات الصلة بشكل أساسي لتصوير الظواهر التي تتعلق بالتوزيع الزماني المكاني للكائنات وحيدة الخلية (المشار إليها بـ ) داخل بيئة محصورة وغير قابلة للاختراق ( ، مع على ). حركة هذه الكائنات تتأثر ليس فقط بالانتشار الطبيعي (أي، ولكن أيضًا بواسطة تدرج إشارة كيميائية يشار إليه باسم مادة جاذبة كيميائيًا، والتي يتم إنتاجها بمعدل ويؤدي إلى تجميع الخلايا من خلال الانتشار المتقاطع . بالإضافة إلى ذلك، مادة طاردة كيميائية يتم إفرازه بمعدل يساهم في نفور الخلايا من خلال النظير ؛ علاوة على ذلك، مصدر خارجي مع تأثيرات متزايدة ومتناقصة على توزيع الخلايا تشارك في الظواهر. بطبيعة الحال، من أجل الحصول على أنظمة محددة بشكل جيد، يجب إعطاء بعض التكوينات الأولية لكثافة الخلايا والإشارات الكيميائية؛ وهذه تُشار إليها بـ ، و .
بالنسبة للنموذج (2)، للاختيار المحدد و (الذي من أجله الإشارة الكيميائية الأساسية يزداد مع قد يكون التأثير الطبيعي للتجانس الناتج عن الانتشار غير كافٍ لجعل كثافة الخلايا تتوزع بالتساوي في البيئة؛ في الواقع، قد يجبر مصطلح الانجراف النظام على تجربة عملية تجمع، مما يؤدي إلى تكوين قمم مركزة للغاية في بعض اللحظات. هذه الظاهرة، التي تُسمى الانهيار الكيميائي أو الانفجار في وقت محدود، مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالقيمة (كونه الكتلة الأولية لتوزيع الجسيمات) والأبعاد . رياضياً، 有限且解（ يصبح غير محدود عند . من الجدير بالذكر، عندما تُستبعد ظواهر الانفجار وفي هذه الحالة والحل ( ) محصور. ومع ذلك، بالنسبة لـ يحدث الانهيار الكيميائي عندما يتجاوز قيمة حرجة، المشار إليها هنا بـ . إذا أقل من لا تظهر أي عدم استقرار في حركة الخلايا. هذه النتائج هي جزء من تحليلات أوسع، تستكشف وجود وخصائص (العالمية، التقييد الموحد، أو الانفجار) للحلول لمشكلة القيمة الحدية المرتبطة بـ (2)، خاصة في النسخة البارابولية-الإهليلجية. ). يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في المراجع مثل [ ] وآخرون.
إذا في المشكلة (2) قمنا بتثبيت ، و عن طريق استبدال الفصل الخطي مع نوع غير خطي من مع (لـ )، يعني (انظر [18]) أن جميع الحلول تبقى محدودة. على العكس، عندما و ، من المعروف أنه في السياقات الشعاعية المكانية (انظر [40])، تلعب دور القيمة الحرجة؛ في الواقع، الحلول محدودة لأي و بينما قد تحدث ظواهر الانفجار عندما . (كما سيتم توضيحه أدناه، مصطلح التأثيرات على الإنتاج لـ بطريقة غير محلية: انظر الملاحظة 1.)
من ناحية أخرى، في حالة معدل الإنتاج الخطي، يبدو من الطبيعي دمج (2) مع المصطلحات التي تمثل نمو أو انكماش السكان، مثل المصادر اللوجستية (انظر [31]). تصبح المعادلة لكثافة الجسيمات
مع عادة ما تأخذ الشكل ، حيث و تشير الحدس الرياضي إلى أن وجود تأثير تخميد فوق خطي قد يؤدي إلى التقييد والنعومة. وقد تم إثبات ذلك بالنسبة لـ (خاصة عندما كما هو موضح في [30]، [37] على التوالي و ). ومع ذلك، لبعض القيم من تم إثبات الانفجار في الصيغة القطعية-الإهليلجية، أولاً مع للبعد 5 أو أعلى [38] (انظر أيضًا [8] لتحسين حديث)، ولاحقًا حتى في المجالات ثلاثية الأبعاد، مع وللاختيار (انظر [41]).
أخيرًا، نوجه انتباهنا إلى الحالة التي يكون فيها الإشارة المنتجة له عواقب منفرة على حركة الخلايا، وهذا يتوافق مع النموذج (3)، ولأقصى حد من معرفتنا لا توجد نتائج تتعلق بسيناريوهات الانفجار متاحة. من المحتمل أن يكون ذلك بسبب الطبيعة المنفرة للآلية، والأدبيات الموجودة حول هذا الموضوع محدودة نسبيًا، كما هو موضح في المراجع مثل [21] و [22] التي تحلل سياقات مشابهة.
1.3. نظرة عامة على أحدث ما توصلت إليه الأبحاث في النسخة الخطية من النموذج (1). ما ناقشناه بالنسبة للآلية الجذابة البحتة (2) يمكن ملاحظته أيضًا في النماذج الجذابة-الطاردة مع مصطلحات الانتشار الخطي والانجراف. لتكون أكثر دقة، عندما نحدد في النظام (1) تم اشتقاق نتائج تتعلق بالانفجار والحدود للحلول لتعبيرات محددة من المعادلات لـ و . نذكر حالتين، معروفتين في الأدبيات كنماذج محلية وغير محلية.
النموذج المحلي: .
  • الحالة غير اللوجستية ( )
    القضية في حالة النمو الخطي لكل من الجاذب الكيميائي والمنافر الكيميائي، أي، ، ، و الفرق بين المعلمات التي تصف تأثيرات الجذب والنبذ، تلعب دورًا حاسمًا. على وجه التحديد، عندما (مؤشرًا إلى نظام حيث تهيمن النفور على الجذب)، فإن جميع الحلول للنموذج تكون محدودة عالميًا في أي بعد. وعلى العكس، عندما (مؤكداً الآن، أن الجذب هو التأثير السائد) و يمكن اكتشاف الحلول غير المحدودة (للمزيد من التفاصيل، انظر [9، 17، 28، 32، 43]). من ناحية أخرى، بالنسبة لمزيد من العموميات
    تعبيرات قوانين الإنتاج و ، والأكثر دقة أولئك الذين يعممون النماذج الأولية ، ، و النتائج الأخيرة التالية صالحة لـ تطبيق ([33]): لأي ، و (أو )، يوجد (أو ) بحيث إذا (أو أي بيانات أولية منتظمة بشكل كاف (أو صغير في بعض فضاءات ليبغ” يؤدي إلى حل كلاسيكي فريد يبقى محدودًا بشكل موحد مع مرور الوقت. علاوة على ذلك، فإن نفس الاستنتاج ينطبق على أي ، وأي شيء منتظم بشكل كافٍ إذا كانت الشروط و راضون (انظر أيضًا [6] لمزيد من التحسينات في بعض الحالات).
    القضية : البحث في [28] يثبت أنه في المجالات ثنائية الأبعاد، عندما و البيانات الأولية الملساء بشكل كاف تؤدي إلى حلول محدودة عالميًا في الزمن. هذا صحيح إذا كانت الشرط يتم الالتقاء (حيث ) أو
بالإضافة إلى ذلك، في المجالات الكروية ثلاثية الأبعاد، يبرز [16] حدوث الانفجار في وقت محدود تحت الشرط .
  • الحالة اللوجستية ( )
    القضية : لمعدلات خطية من الجاذب الكيميائي والطارد الكيميائي، ، و تم إثبات الانفجار في زمن محدود في [2] تحت فرضية في كرات بُعدية ( )، لبعض قريب من 1 (بالإضافة إلى ذلك، يتم تقديم تقديرات لوقت الانفجار). خلاف ذلك، لسلوك غير خطي من و ، في [11] يظهر المؤلفون، من بين أمور أخرى، أنه إذا كان جميع الحلول محدودة عالميًا؛ تم دراسة السلوك طويل الأمد لهذه الحلول في [44].
    القضية : لــ وفي الإعداد ثلاثي الأبعاد كلما كافٍ كبير، يتم مناقشة الحدود وسرعة التقارب إلى التوازنات الثابتة في [27].
النموذج غير المحلي: . في [19] تم إثبات، مع نتائج أخرى، أنه بالنسبة لـ و مع و يمكن اكتشاف الحلول غير المحدودة، في غياب اللوجستيات. بالمقابل، أيضًا في حالة ، في [6] يظهر المؤلفون حدودية الحلول بشرط أن أو و ، أو و .
حتى الآن، قصرنا مناقشتنا على الانتشار الخطي والحساسيات في النموذج (1). بالمقابل، يهدف هذا المشروع إلى تقديم نتائج لنماذج مشابهة (تشمل التأثيرات المحلية وغير المحلية) تتضمن الانتشار غير الخطي وعبور المصطلحات، التي تعتبر نماذجها الأولية هي ، حيث .

2. النماذج غير الخطية المحلية وغير المحلية، النتائج المعروفة والمطالب الرئيسية

من وجهة نظر رياضية بحتة، فإن انتباهنا موجه إلى هذين النظامين، أحدهما من النوع المحلي (المشار إليه بـ والآخر من طبيعة غير محلية، ( ):
و
ملاحظة 1. في المشكلة ( المعادلة يصف التفاعل المحلي بين الكميات المعنية عند كل نقطة مكانية ; على العكس، في ( الحد غير المحلي يظهر، ويأخذ في الاعتبار التوزيع الكامل لـ في جميع أنحاء المجال . (بالطبع، يمكن إجراء نفس الملاحظة بالنسبة للمعادلات المتعلقة بـ .)
بالإضافة إلى ذلك، دعنا نوضح أنه في النموذج غير المحلي، و تمثل الانحرافات للمواد الجاذبة كيميائيًا والمواد الطاردة كيميائيًا (وليس للمواد الكيميائية نفسها). نظرًا لأن الانحراف، حسب التعريف، هو الفرق بين تركيز الإشارة وقيمتها المتوسطة، فإنه يتبع أن المتوسطات لـ و تختفي، تمامًا كما هو محدد في آخر مواضع المشكلة . كنتيجة لذلك، و غير العلامة.
تماشيًا مع المشاكل المذكورة أعلاه، يتم وضع هذه الورقة في إطار سلسلة من النتائج التي تتعامل مع أنظمة الكيمياء الحيوية الجاذبة-الطاردة المحلية وغير المحلية، والخطية وغير الخطية؛ على وجه الخصوص، تعمل هذه الدراسة على تحسين وتوسيع التحليلات المعروفة بالفعل في الأدبيات (سنقدم المزيد من التفاصيل في ما يلي).
بالنسبة لما نعرفه، فإن الأدبيات المتعلقة بالإصدارات غير الخطية بالكامل التي تم مناقشتها تعتبر ضعيفة إلى حد ما؛ ومع ذلك، تم تناول القضايا المتعلقة بالحدود والانفجار في الحلول. بشكل أكثر دقة، بالنسبة للمشكلة ( نذكر الأعمال [26] و [3]، حيث يضمن المؤلفون في الأولى حدودية الحلول، لكل من و ، تحت افتراضات مناسبة على البيانات؛ في تحليل الحدود والانفجار الثاني، في هذه الحالة للإصدار المبسط من المعادلات البارابولية-الإليبتية-الإليبتية، يتم مناقشتها. بالنسبة للمشكلة غير المحلية ( )، وفي سياق الإنتاجات غير الخطية، تم اكتشاف سيناريوهات الانفجار في [34] لـ و ; بدوره، في الورقة الأخيرة [5] تم توسيع هذه النتيجة لتشمل الحالة و أما بالنسبة لنظير الحدود، في هذه المرحلة نشير ببساطة إلى [15]. (نظرًا لأننا في هذا البحث سنحسن بعض النتائج المستمدة من [15، 26، 3، 6]، سنخصص المزيد من الكلمات لهذه الأوراق في الملاحظتين 2 و 3 أدناه.)
2.1. عرض النظريات الرئيسية. من أجل تقديم مطالبنا، يجب تثبيت بعض المواقف مسبقًا. على وجه الخصوص، هنا نفترض أن المصادر والبيانات الأولية و هي على نحو
علاوة على ذلك، نفترض، من أجل و ،
بالإضافة إلى ذلك، سنقوم باستدعاء هذه بشكل متكرر
الافتراضات 2.1. لـ و دعنا نحدد:
تسمح لنا التحضيرات المذكورة أعلاه بتقديم النظريتين التاليتين.
النظرية 2.2. من أجل “، دع ، ، الامتثال للفرضيات في (4)، (5)، و . بالإضافة إلى ذلك، دع واحدًا من بين ( ) ، ( ) ، ( ) في الافتراضات 2.1 صحيحة. ثم المشاكل ( ) و ( ) تعترف بحل فريد
بحيث غير سالب و محددة على . على وجه الخصوص، غير سلبية أيضًا على للمشكلة .
النظرية 2.3. من أجل دع الفرضيات المتبقية من النظرية 2.2 تكون مُرضية. بالإضافة إلى ذلك، دع واحدة من بين ( ) و ( ) بشكل مشترك مع واحد بين ( ) و ( ) في الافتراضات 2.1 صحيحة. ثم المشكلة ( تعترف بحل فريد
بحيث غير سالبة ومحدودة على .
كما تم التوقع في الجزء التمهيدي، دعونا نحدد بالضبط كيف تحسن نتائجنا ما هو معروف حتى الآن في الأدبيات.
ملاحظة 2. (مقارنات مع المشكلة غير المحلية ( دعونا نقوم بهذه الملاحظات.
  • الانتشار غير الخطي والحساسيات : في [15، نظرية 1.1] التقييد لمشكلة ( ) يتم تحقيقه لكل من الحالات التالية:
    i) و ; ii) ; iii) . يُرى أن الافتراض ( ) في النظرية 2.2 أكثر دقة بالنسبة لـ ، و ( ) فيما يتعلق بـ iii) وأخيرًا، فيما يتعلق بـ ).
  • الانتشار الخطي والحساسيات ): في [6، النظرية 2.3] التقييد لمشكلة ( ) يتم تأسيسه، من بين حالات أخرى، كلما:
    (أ) ؛
    (ب) و .
من الواضح أنه إذا تم استرداد (أ) من جهة واحدة ( )، من ناحية أخرى، يمكن أيضًا ملاحظة بعض الاستنتاجات الأكثر اعتدالًا في هذه الحالة: في المحدد ( تحسن ) ويوفر حالة إضافية حيث و .
ملاحظة 3. (مقارنات مع المشكلة المحلية حتى بالنسبة للمشكلة المحلية، فإن التحليل الحالي يوفر بعض الرؤى الأكثر دقة في سياق آليات الكيمياء الحيوية للجذب والنبذ.
  • انتشار غير خطي وحساسيات ):
  • : في [3، النظرية 3.1 والنظرية 3.5]، حيث يعتبر المؤلفون المشكلة مع الإنتاجات الخطية ( يتم تنفيذ العالمية للحلول في الحالة ، لذا ترك مجالًا للحالة ؛ على وجه الخصوص، إما أو و (بطبيعة الحال، لـ لدينا )، يتم تحقيق الحدودية، على التوالي. في الواقع، الافتراضات ( ) و ( ) من النظرية 2.2 تغطي الحالة .
    علاوة على ذلك، يمتد النظرية 2.2 [26، النظرية 1.3]، حيث الحالة فقط و يتم تناولها؛ لا سيما الافتراض ( ) أقل تقييدًا من [26، النظرية 1.3، (i)].
    في [26، النظرية 1.1] يتم إثبات حدودية الحلول، من بين أمور أخرى، إذا
تتحقق. بهذه الطريقة، ( ) و ( ) من النظرية 2.3 تتطابق مع (6)، لكن ( ) و قدم سيناريو آخر يتعلق بالحدود.
  • الانتشار الخطي والحساسيات ): لــ إذا قمنا بمقارنة النظرية 2.2 مع [6، النظرية 2.1]، فإن الاستنتاج نفسه المذكور في البند الثاني من الملاحظة 2 لا يزال ينطبق، بل حتى [6، النظرية 2.1، (2)] يتحول إلى شرط أضعف. بالنسبة للحالة البارابولية الكاملة، فإن الافتراض ( ) و ( ) من النظرية 2.3 تقتضي ، لذا تحسين [6، النظرية 2.2].

3. ضبط المعلمات واسترجاع النتائج اللازمة

دعونا الآن نخصص لتلخيص بعض الأدوات التي ستستخدم في تفكيرنا. هذه مرتبطة باللامساواة الجبرية ونتائج الانتظام لمعادلات التفاضل الجزئي.
اللمّا 3.1. دع و كن بحيث . ثم لكل يوجد بحيث
الدليل. يمكن العثور على الدليل في [7، ليمما 4.3].
اللمّا 3.2. دع تلبية الشرط في (4)، و .
انتظام إهليلجي: دع . إذا ثم الحل من
بحيث
علاوة على ذلك لأي هناك بحيث
انتظام بارابولي: دع . ثم، من أجل و مع على يوجد بحيث أن كل حل من
يُرضي
بالإضافة إلى ذلك، إذا ثم
برهان. العلاقة (7) هي نتيجة واضحة من [1، نظرية IX.33]. بالنسبة للتقدير (8)، نشير إلى [39، ليمّا 2.2] (وأيضًا [33، ليمّا 3.1]) ونوضح أن القوة يمكن استبداله بأي شيء آخر أكبر من 1. (نظرًا لـ سيتم اختياره بشكل عشوائي كبير، وفضلنا تركيب التسمية.) من ناحية أخرى، بالنسبة لـ (9) نشير إلى [13، ليمما 3.6]، بينما بالنسبة لـ (10) يمكننا الاستناد إلى [12، ليمما 4.1] والتضمين صالح لـ . (السبب الذي يجعلنا بحاجة إلى من المفهوم رؤية [13، ليمما 3.6].)
العبارة التالية تعرف معلمات حاسمة؛ يعتمد إثباتها على بعض العلاقات المحددة في الافتراضات 2.1.
اللمّا 3.3. دع كن كما في الافتراضات 2.1 ودع العلاقات ( ) و ( ) تكون صالحة. ثم، يوجد بحيث، لكل و
تلك العلاقات قائمة
(11أ) ،
(11ب) ،
(11c) ،
(11د) ،
(11e) ،
(11f) ،
،
(11 ساعة) ،
(11i) ،
حيث (11e) و (11f) صالحان فقط لـ .
برهان. أولاً دعنا نعتبر الدالة . منذ لدينا ذلك إيجابي بشكل قاطع؛ من ناحية أخرى، زيادات لـ كافٍ كبير بحيث يكون 1 حدًا أعلى. لذلك، تم إثبات (11a). العلاقات (11c) و(11i) و(11b) و(11d) تتبع من خلال حجج مماثلة، مرة واحدة لـ (11b) و(11d) الشروط ( ) و ( يتم أخذها في الاعتبار على التوالي. دعنا نعتبر الآن الدوال و العلاقات (11e) و (11f) هي نتيجة لـ
بنفس الطريقة، يتم إعطاء العلاقات (11 ج) و(11 ح) لكل .
من كل ما سبق، من الممكن أن نجد بحيث يتم الالتزام بالعلاقات السابقة لكل .

4. معيار الوجود المحلي وقابلية التمديد

خطوة أولى ضرورية تعتمد عليها حساباتنا هي الوجود المحلي في الزمن للحلول الكلاسيكية للأنظمة. و المتطلب التالي هو، في الواقع، توفير معيار قادر على تحويل هذه الحلول إلى حلول عالمية. تركز العبارة التالية على هذين الجانبين.
اللمّا 4.1. بالنسبة لـ دع و الامتثال للفرضيات في (4). علاوة على ذلك، دع ، ، و . ثم يوجد وحل فريد ( ) للمشاكل ( ) و ( )، معرف في وذلك بحيث إذا
بينما إذا
و .
المكونات حلول للمشكلة غير سالبة، بينما بالنسبة لـ فقط غير سالب.
بالإضافة إلى ذلك،
أخيرًا، دع للجميع ; ثم و .
برهان. يمكن إثبات وجود وحيدة الحلول باستخدام تقنيات معروفة تعتمد على حجج النقاط الثابتة ونتائج الانتظام البيضاوي والبرابولي: نشير إلى [4، 23، 35، 42].
دعنا نقضي بعض الكلمات على آخر دلالة. بطبيعة الحال مع كما يحل بشكل كلاسيكي المشكلة (A.1) في [29، الملحق A] لـ
على وجه التحديد، من خلال الاستفادة من شروط الحدود لنيويمان، يمكننا أن نرى أن (A.2)-(A.5) قد تم الامتثال لها. من ناحية أخرى، بالنسبة لأي و ، فإنه ينص على أن لديه حد أقصى إيجابي في ، حتى من في يتم الحصول على الإدراج الثاني (A.6) لأي . نظرًا، وفقًا للفرضيات، لكل لدينا أن محدود بشكل موحد على ( ) ل كبير تعسفي (دون إعادة تسميته) ومن ثم يتم الوفاء بالشروط (A.7)-(A.10). أما بالنسبة للإدراج الأول من [29، (A.6)]، إذا كان في المشكلة ( ) (أو نموذج ( من الإدراج المكتسب لدينا ، وبالمقابل توفر العلاقة (7) ، وبالمثل . ل نحن نستدعي مباشرة (10)؛ في كلا الحالتين لدينا أنه، لأي نتيجة لما تم شرحه، لدينا المطالبة بموجب [29، ليمّا A.1] ومعيار القابلية للتوسيع (12).

5. بعض التقديرات الأولية

في هذا القسم سنخصص لاشتقاق بعض التقديرات الموحدة في الزمن للحل المحلي الذي تم الحصول عليه سابقًا للمشكلات المدروسة. في هذا الإطار، سنفترض ضمنيًا من الآن فصاعدًا أن
جميع الثوابت التي تظهر أدناه هي إيجابية،
الثلاثي ( ) تشير إلى الحل المحلي للنماذج ( ) أو ( ) (المعروف بشكل طبيعي من السياق)، تم الحصول عليه في اللمحة 4.1.
المصطلحات القادمة تنطبق على النماذج ( ) و ( ).
العبارة 5.1. المكون هو بحيث أن الكتلة المرتبطة محدود بشكل موحد على ( )؛ بشكل أكثر تحديدًا،
برهان. يمكن إثبات هذه الخاصية من خلال التكامل على المعادلة الأولى للنماذج ثم من خلال تطبيق عدم المساواة لهولدر ومبادئ مقارنة ODI.
الفرضية 5.2. لنفترض أن فرضيات الفرضية 3.3 صحيحة و القيمة الموجودة فيها. ثم لكل ولكل ، توجد بعض الثوابت بحيث
برهان. دعنا نوضح (13أ). تحت الافتراض ( من خلال أخذ (11a) و(11b) في الاعتبار وحدود الكتلة (اللمّة 5.1)، يمكننا استنتاج هذا الحد من خلال عدم المساواة غاغلياردو-نيرنبرغ وعدم المساواة يونغ.
(نوضح أننا قد استخدمنا
وقد نستخدم هذه العلاقة الجبرية دون ذكرها إذا لم يكن ذلك ضروريًا.
بالمثل لما قمنا به من قبل، من خلال افتراض ( )، يتم الحصول على التقدير (13ب) من خلال تطبيق (11ج) و(11د) في هذه الحالة، مما يستلزم
من أجل إثبات (13c) نميز بين الحالات و . إذا حدود الكتلة، كما هو موضح في اللمحة 5.1، وعدم المساواة ليوغ تعطي
من ناحية أخرى، إذا علينا أولاً أن نقدم . بعد ذلك، من خلال تطبيق عدم المساواة هولدر مرتين، نحصل بالاعتماد على اللمحة 3.1
الآن نركز على التكامل الثاني في الجانب الأيمن من (15). من خلال الاستفادة من (11g) و(11h) واللما 5.1، فإن مجموعة من متباينات جاجلياردو-نيرنبرغ ومتعادلة يونغ تعطي
الذي تم توصيله بالسابقة يختتم البرهان.
أما بالنسبة لـ (13d)، مرة أخرى من خلال استخدام عدم المساواة ليوغ والعلاقة (8)، مع تذكير بتعريف في (5) يمكننا كتابة
لـ نظرًا لlemma 5.1، فإن التكامل الأخير في الجانب الأيمن من (16) محدود، ولدينا
بدلاً من ذلك، لـ بموجب (11e)، فإن ليمّا 5.1 و(11f) تشير إلى أن متباينات جاجلياردو-نيرنبرغ ويونغ تقتضي
ونختتم بإدخال هذا الحد المكتسب في (16).
أخيرًا، دعنا نثبت (13e). من خلال أخذ (11i) وLemma 5.1 في الاعتبار، يؤدي تطبيق إضافي لعدم المساواة غاغلياردو-نيرنبرغ إلى
الحصول على المطالبة بعد إجراء التعديلات الأساسية في التقدير السابق.
العبارة 5.3. لقيمة وجد في اللمّا 3.3، دع لـ حدد الوظيفة بواسطة
ومن أجل دع
ثم للجميع وبعض و
برهان. دعنا نفرق الوظيفة الطاقية؛ لدينا
نظرًا لنظرية التباين، فإن الثلاثة تكاملات الأولى على الجانب الأيمن تجعل الهوية أعلاه تصبح
من خلال استدعاء (17)، نعيد كتابة التعبير السابق كـ
ومرة أخرى يوفر نظرية التباين
اللامساواة
المبرر بعدم المساواة (14) يؤدي إلى الحد الإضافي
أخيرًا، تطبيق مزدوج لعدم المساواة ليوغ ) يعطي
التي، بالاشتراك مع عدم المساواة (19)، تؤدي إلى (18).
من الآن فصاعدًا، سنميز بين التحليلات للمشكلة المحلية والمشكلة غير المحلية.
5.1. دراسة المشكلة المحلية دعنا نفصل بين الحالات البيضاوية والبارابولية، أي، و على التوالي.

5.1.1. الحالة القطعية-الإهليلجية: .

العبارة 5.4. لقيمة وجد في اللمّا 3.3، دع الشروط (5)، ( ) ، ( ) و ( كن راضيًا. ثم للجميع .
برهان. المعادلتان الثانية والثالثة في ( يسمح باستبدال و في (18)، يتم الحصول على ذلك بمجرد إسقاط الحدود غير الموجبة
من خلال بعض الحسابات، باستخدام التعريف في (17)، نجد أن
من خلال النظر في (5) و(20) و(21)، لدينا
حيث قمنا بإعادة ترتيب المصطلح المتناسب مع من خلال (14). دعنا نتعامل مع المصطلحين و . لكل ، لدينا بفضل عدم المساواة الشابة أنه لكل
(لـ إن حدود الكتلة (انظر مرة أخرى إلى اللمحة 5.1) ستوفر تقديرًا أكثر دقة، بينما من خلال (13د) المطبق مع ، من (22) نستنتج لجميع
الآن نستخدم الافتراض ( ) للكتابة بواسطة عدم المساواة ليوغ
الذي، تم تقديمه في (24)، يوفر بعد تجاهل المصطلح من المصدر اللوجستي
يتم الحصول على نفس التقدير، مع ثوابت، باستخدام الافتراض ( ) عن طريق التحكم مع ، مستندًا إلى عدم المساواة يونغ، أو اعتمادًا على الافتراض ( ) من خلال استغلال (13a).
أخيرًا، عدم المساواة (13e) ينتج المشكلة الأولية
وضمانات مقارنات ODI للجميع .

5.1.2. الحالة القطعية-القطعية: .

العبارة 5.5. لقيمة وجد في اللمّا 3.3، دع الشروط (5)، ( ) ، ( ) ، ( ) و ( ) تكون صالحة. ثم للجميع .
برهان. نبدأ بالتعامل مع الحدود للعبارات و . العلاقات في (21) وعدم المساواة ليوغ توفر لجميع
وبالمثل
لـ (واستخدام (5)) و ، عدم المساواة (9) يسمح لنا بكتابة
وبالمثل، من خلال التفكير في المعادلة الثالثة في النموذج ،
من خلال استبدال (25) و (26) في (18)، نحصل على
الآن نضيف إلى كلا الجانبين من (29) المصطلح ، ونتوالى الضرب بـ . منذ تكامل على ( ) يوفر للجميع
العلاقات (27) و (28)، بالتزامن مع عدم المساواة ليوغ، (تذكر تتضمن على ) بمجرد إدخاله في (30)
في هذه المرحلة، بشكل مشابه لما قمنا به في اللمحة السابقة، إذا كانت القيود ( ) مدعوم بواحد بين ( ) و ( )، تجعل عدم المساواة ليوغ (Young’s inequality) والمعادلة (13b) هذا الحد (31) يتحول إلى
تنطبق نفس الإجراءات إذا أخذنا في الاعتبار ( )، مما يعني (13أ)، مع إما ( ) (بواسطة عدم المساواة ليوغ) أو ( ), مع ضمان (13ب).
من الآن فصاعدًا، أيضًا في هذه الحالة يتم اشتقاق عدم المساواة (32) ونتيجة لذلك، في كل من الحالات المذكورة أعلاه، نستنتج أن

5.2. دراسة المشكلة غير المحلية ( ).

اللمحة 5.6 دع فرضيات اللمحة 5.4 تكون صحيحة. ثم لكل .
برهان. بدءًا من العلاقة (18)، تؤدي المعادلتان الثانية والثالثة في النموذج ( ) إلى
حيث أخذنا في الاعتبار خصائص و و ثابتة في (5) و (21)، وتجاهلنا الحدود غير الإيجابية. بدوره، بفضل (14) مرة أخرى، لدينا
بمساعدة التقدير (23)، من خلال استغلال (13ج) مع ، نحصل على ( )
نظرًا لأن التقدير السابق يتطابق مع (24) حتى الثوابت، يمكننا اتباع نفس الحجج في اللمحة 5.4 لنستنتج.

6. برهان النظريتين 2.2 و 2.3

بالنسبة لـ ، نستخدم على التوالي اللمحة 5.4 واللمحة 5.6، مدعومة بمعيار التمديد في اللمحة 4.1؛ بهذه الطريقة يتم إثبات النظرية 2.2. يتم الحصول على النظرية 2.3 بوضوح من خلال استدعاء اللمحة 5.5.
الشكر. جميع المؤلفين مدعومون جزئيًا من قبل مشروع البحث تحليل المعادلات التفاضلية الجزئية في اتصال مع الظواهر الحقيقية، CUP F73C22001130007، الممول من مؤسسة سردينيا، المعاش 2021. AC و SF هما أعضاء في المجموعة الوطنية لتحليل الرياضيات، الاحتمالات وتطبيقاتها (GNAMPA) من المعهد الوطني للرياضيات العليا (INdAM). RDF هو عضو في المجموعة الوطنية للحساب العلمي (GNCS) من INdAM ويعترف بالدعم المالي من PNRR e.INS نظام الابتكار للجيل القادم من سردينيا (CUP F53C22000430001، الرمز MUR ECS0000038). SF مدعوم أيضًا جزئيًا من: مشروع البحث الخاص بMIUR (وزارة التعليم والجامعة والبحث الإيطالية) Prin 2022 مشاكل تفاضلية غير خطية مع تطبيقات على الظواهر الحقيقية (رقم المنحة: 2022ZXZTN2).

References

[1] H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, volume Universitext. Springer-Verlag, New York, 2011.
[2] Y. Chiyo, M. Marras, Y. Tanaka, and T. Yokota. Blow-up phenomena in a parabolic-elliptic-elliptic attraction-repulsion chemotaxis system with superlinear logistic degradation. Nonlinear Anal., 212:Paper No. 112550, 14 pages, 2021.
[3] Y. Chiyo and T. Yokota. Boundedness and finite-time blow-up in a quasilinear parabolic-elliptic-elliptic attraction-repulsion chemotaxis system. Z. Angew. Math. Phys., 73(2):Paper No. 61, 27, 2022.
[4] T. Cieślak and M. Winkler. Finite-time blow-up in a quasilinear system of chemotaxis. Nonlinearity, 21(5):1057, 2008.
[5] A. Columbu, S. Frassu, and G. Viglialoro. Properties of given and detected unbounded solutions to a class of chemotaxis models. Stud. Appl. Math., 151(4):1349-1379, 2023.
[6] A. Columbu, S. Frassu, and G. Viglialoro. Refined criteria toward boundedness in an attraction-repulsion chemotaxis system with nonlinear productions. Appl. Anal., https://doi.org/10.1080/00036811.2023.2187789, 2023.
[7] S. Frassu and G. Viglialoro. Boundedness for a fully parabolic Keller-Segel model with sublinear segregation and superlinear aggregation. Acta Appl. Math., 171(1):1-20, 2021.
[8] M. Fuest. Approaching optimality in blow-up results for Keller-Segel systems with logistic-type dampening. NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 28(2):Paper No. 16, 17, 2021.
[9] Q. Guo, Z. Jiang, and S. Zheng. Critical mass for an attraction-repulsion chemotaxis system. Appl. Anal., 97(13):2349-2354, 2018.
[10] M. A. Herrero and J. J. L. Velázquez. A blow-up mechanism for a chemotaxis model. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (4), 24(4):633-683, 1997.
[11] L. Hong, M. Tian, and S. Zheng. An attraction-repulsion chemotaxis system with nonlinear productions. J. Math. Anal. Appl., 484(1):Paper No. 123703, 8 pages, 2020.
[12] D. Horstmann and M. Winkler. Boundedness vs. blow-up in a chemotaxis system. J. Differential Equations, 215(1):52-107, 2005.
[13] S. Ishida, J. Lankeit, and G. Viglialoro. A Keller-Segel type taxis model with ecological interpretation and boundedness due to gradient nonlinearities. arXiv: 2306. 12137, 2023.
[14] W. Jäger and S. Luckhaus. On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis. Trans. Amer. Math. Soc., 329(2):819-824, 1992.
[15] Z. Jiao, I. Jadlovská, and T. Li. Finite-time blow-up and boundedness in a quasilinear attraction-repulsion chemotaxis system with nonlinear signal productions. Nonlinear Anal. Real World Appl., 2023 (to appear).
[16] J. Lankeit. Finite-time blow-up in the three-dimensional fully parabolic attraction-dominated attraction-repulsion chemotaxis system. J. Math. Anal. Appl., 504(2):Paper No. 125409, 16, 2021.
[17] Y. Li and Y. Li. Blow-up of nonradial solutions to attraction-repulsion chemotaxis system in two dimensions. Nonlinear Anal. Real World Appl., 30:170-183, 2016.
[18] D. Liu and Y. Tao. Boundedness in a chemotaxis system with nonlinear signal production. Appl. Math. J. Chinese Univ. Ser. B, 31(4):379-388, 2016.
[19] M. Liu and Y. Li. Finite-time blowup in attraction-repulsion systems with nonlinear signal production. Nonlinear Anal. Real World Appl., 61:Paper No. 103305, 21, 2021.
[20] M. Luca, A. Chavez-Ross, L. Edelstein-Keshet, and A. Mogilner. Chemotactic signaling, microglia, and Alzheimer’s disease senile plaques: is there a connection? Bull. Math. Biol., 65(4):693-730, 2003.
[21] M. S. Mock. An initial value problem from semiconductor device theory. SIAM J. Math. Anal., 5(4):597-612, 1974.
[22] M. S. Mock. Asymptotic behavior of solutions of transport equations for semiconductor devices. J. Math. Anal. Appl., 49(1):215-225, 1975.
[23] T. Nagai. Blow-up of radially symmetric solutions to a chemotaxis system. Adv. Math. Sci. Appl., 5:581-601, 1995.
[24] T. Nagai. Blowup of nonradial solutions to parabolic-elliptic systems modeling chemotaxis in two-dimensional domains. J. Inequal. Appl., 6(1):37-55, 2001.
[25] K. Osaki and A. Yagi. Finite dimensional attractor for one-dimensional Keller-Segel equations. Funkcial. Ekvac., 44(3):441-469, 2001.
[26] G. Ren and B. Liu. Global boundedness and asymptotic behavior in a quasilinear attraction-repulsion chemotaxis model with nonlinear signal production and logistic-type source. Math. Models Methods Appl. Sci., 30(13):2619-2689, 2020.
[27] G. Ren and B. Liu. Boundedness and stabilization in the 3D minimal attraction-repulsion chemotaxis model with logistic source. Z. Angew. Math. Phys., 73(2):Paper No. 58, 25 pages, 2022.
[28] Y. Tao and Z. A. Wang. Competing effects of attraction vs. repulsion in chemotaxis. Math. Models Methods Appl. Sci., 23(1):1-36, 2013.
[29] Y. Tao and M. Winkler. Boundedness in a quasilinear parabolic-parabolic Keller-Segel system with subcritical sensitivity. J. Differential Equations, 252(1):692-715, 2012.
[30] J. I. Tello and M. Winkler. A chemotaxis system with logistic source. Comm. Partial Differential Equations, 32(6):849-877, 2007.
[31] P. Verhulst. Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement. Corresp. Math. Phys., 10:113-121, 1838.
[32] G. Viglialoro. Explicit lower bound of blow-up time for an attraction-repulsion chemotaxis system. J. Math. Anal. Appl., 479(1):1069-1077, 2019.
[33] G. Viglialoro. Influence of nonlinear production on the global solvability of an attraction-repulsion chemotaxis system. Math. Nachr., 294(12):2441-2454, 2021.
[34] C. J. Wang, L. X. Zhao, and X. C. Zhu. A blow-up result for attraction-repulsion system with nonlinear signal production and generalized logistic source. J. Math. Anal. Appl., 518(1):126679, 2023.
[35] Y. Wang. A quasilinear attraction-repulsion chemotaxis system of parabolic-elliptic type with logistic source. J. Math. Anal. Appl., 441(1):259292, 2016.
[36] M. Winkler. Aggregation vs. global diffusive behavior in the higher-dimensional Keller-Segel model. J. Differential Equations, 248(12):28892905, 2010.
[37] M. Winkler. Boundedness in the higher-dimensional parabolic-parabolic chemotaxis system with logistic source. Comm. Partial Differential Equations, 35(8):1516-1537, 2010.
[38] M. Winkler. Blow-up in a higher-dimensional chemotaxis system despite logistic growth restriction. J. Math. Anal. Appl., 384(2):261-272, 2011.
[39] M. Winkler. How far can chemotactic cross-diffusion enforce exceeding carrying capacities? J. Nonlinear. Sci., 24(5):809-855, 2014.
[40] M. Winkler. A critical blow-up exponent in a chemotaxis system with nonlinear signal production. Nonlinearity, 31(5):2031-2056, 2018.
[41] M. Winkler. Finite-time blow-up in low-dimensional Keller-Segel systems with logistic-type superlinear degradation. Z. Angew. Math. Phys., 69(2):Paper No. 40, 25 pages, 2018.
[42] M. Winkler and K. C. Djie. Boundedness and finite-time collapse in a chemotaxis system with volume-filling effect. Nonlinear Anal., 72(2):10441064, 2010.
[43] H. Yu, Q. Guo, and S. Zheng. Finite time blow-up of nonradial solutions in an attraction-repulsion chemotaxis system. Nonlinear Anal. Real World Appl., 34:335-342, 2017.
[44] X. Zhou, Z. Li, and J. Zhao. Asymptotic behavior in an attraction-repulsion chemotaxis system with nonlinear productions. J. Math. Anal. Appl., 507(1):Paper No. 125763, 24 pages, 2022.
  1. 2020 Mathematics Subject Classification. Primary: 35K55, 35Q92. Secondary: 92C17.
    Key words and phrases. Chemotaxis, Attraction-repulsion, Nonlinear production, Boundedness.
    *Corresponding author: silvia.frassu@unica.it.

Journal: Nonlinear Analysis Real World Applications, Volume: 79
DOI: https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2024.104135
Publication Date: 2024-05-15

UNIFORM-IN-TIME BOUNDEDNESS IN A CLASS OF LOCAL AND NONLOCAL NONLINEAR ATTRACTION-REPULSION CHEMOTAXIS MODELS WITH LOGISTICS

ALESSANDRO COLUMBU, RAFAEL DIAZ FUENTES, SILVIA FRASSU*Dipartimento di Matematica e InformaticaUniversità di CagliariVia Ospedale 72, 09124. Cagliari (Italy)

Abstract. The following fully nonlinear attraction-repulsion and zero-flux chemotaxis model is studied:
Herein, is a bounded and smooth domain of , for proper positive numbers, , and and regular functions that generalise the prototypes and , for some and all . Moreover, , and is the maximal interval of existence of solutions to the model. Once suitable initial data are fixed, we are interested in deriving sufficient conditions implying globality (i.e., ) and boundedness (i.e., for all ) of solutions to problem ( ). This is achieved in these scenarios:
For proportional to and to , whenever and provided one of the following conditions
(I) , (II) , (III)
is accomplished or in conjunction with one of these restrictions
(i) ,
(ii) ,
(iii) and ,
(iv) and ;
For and , whenever if moreover one among (I), (II), (III) is fulfilled.
Our research improves and extends some results derived in [15, 26, 3, 6].

1. Introduction and motivations

1.1. Some indications on attraction-repulsion chemotaxis models. The general formulation of an attraction-repulsion chemotaxis model, incorporating logistic sources and linear or nonlinear productions, can be expressed as follows:
where is a bounded and smooth domain in , and and are functions with specific regularity properties. Furthermore, and additional regular initial data and are provided. The subscript in denotes the outward normal derivative on and represents the maximal temporal instant up to which solutions to the system do exist.
This model holds practical significance since it is applicable to studying inflammation in Alzheimer’s disease. In this frame, microglia secrete both attractive and repulsive chemicals, and the system above describes the overall mechanisms of the involved quantities. In the specific linear diffusion, sensitivities and productions case (i.e., , , and ), and in the absence of dampening external terms (i.e., ), for and in [20] the authors provide insights connected to gathering mechanisms for (1) and develop numerical analyses within bounded intervals, particularly when .
1.2. The attractive and the repulsive models. Model (1) results from a combination of these perturbed signal-production mechanisms with aggregative effect
and repulsive one
To properly understand model (1), it is essential to connect it with the biological mechanisms described in problems (2) and (3). The related partial differential equations are primarily employed to depict phenomena involving the spatial-temporal distribution of unicellular organisms (denoted as ) within a confined and impenetrable environment ( , with on ). The movement of these organisms is influenced not only by natural diffusion (i.e., , but also by the gradient of a chemical signal , referred to as a chemoattractant, which is produced at a rate and leads to the aggregation of cells through the cross-diffusion . Additionally, a chemorepellent , secreted at a rate , contributes to the cell repulsion by means of the counterpart ; moreover an external source with both increasing and decreasing effects on the cell distribution takes part in the phenomena. Naturally, in order to have well-posed systems, some initial configurations for cell density and chemical signals must be given; these are denoted by , and .
Regarding model (2), for the specific choice and (for which essentially the chemical signal increases with ), the natural homogenizing effect of the diffusion might be insufficient to make that the cell density equally disperses in the environment; indeed the drift term may force the system to experience a gathering process, resulting in the formation of highly concentrated spikes at some instants. This phenomenon, called chemotactic collapse or blow-up at finite time, is intimately related to the value (being the initial mass of the particle distribution) and the dimension . Mathematically, is finite and the solution ( ) becomes unbounded at . Notably, when , blow-up phenomena are excluded and in this case and the solution ( ) is bounded. However, for , chemotactic collapse occurs when surpasses a critical value, herein denoted by . If is lower than , no instability appears in the cells’ motion. These findings are part of broader analyses, which explore existence and properties (globality, uniform boundedness, or blow-up) of solutions to the boundary-value problem associated to (2), especially in the parabolic-elliptic version ( ). Further details can be found in references such as [ ] and others.
If in problem (2) we fix , and , by replacing the linear segregation with a nonlinear one of the type , with (for ), implies (see [18]) that all solutions remain bounded. On the contrary, when and , it is known that in spatially radial contexts (see [40]), plays the role of critical value; indeed, solutions are bounded for any and , while blow-up phenomena may occur when . (As it will be specified below, the term influences on the production of in a nonlocal way: see Remark 1.)
On the other hand, in the case of linear production rate, combining (2) with terms representing population growth or decay, such as logistic sources (see [31]), seems quite natural. The equation for the particle density becomes
with generally taking the form , where and . The mathematical intuition suggests that the presence of a superlinear dampening effect may lead to boundedness and smoothness. This has been established for large (especially when , as shown in [30], [37] for respectively and ). However, for certain values of , blow-up has been demonstrated in the parabolic-elliptic formulation, first with for dimension 5 or higher [38] (see also [8] for a recent improvement), and later even in three-dimensional domains, with and for the choice (see [41]).
Finally, moving our attention to the situation where the produced signal has repulsive consequences on the cells’ motility, and this corresponds to model (3), to the best of our knowledge no results regarding blow-up scenarios are available. This is likely due to the repulsive nature of the mechanism, and the existing literature on this topic is relatively limited, as seen in references like [21] and [22] which analyse similar contexts.
1.3. An overview on the state of the art for the linear version of model (1). What we have discussed for the purely attractive mechanism (2) can be also observed for attractive-repulsive models with linear diffusion and drift terms. To be more precise, when in system (1) we set , results dealing with blow-up and boundedness of solutions have been derived for specific expressions of the equations for and . We mention two situations, known in the literature as local and nonlocal models.
The local model: .
  • The nonlogistic case ( )
    The case : In the case of linear growth for both the chemoattractant and the chemorepellent, i.e., , , and , the difference between the parameters describing the impacts of the attraction and the repulsion, plays a crucial role. Specifically, when (indicating a regime where the repulsion dominates the attraction), all solutions to the model are globally bounded in any dimension. Conversely, when (emphasizing now, that the attraction is the dominating effect) and , unbounded solutions can be detected (for further details, see [9, 17, 28, 32, 43]). On the other hand, for more general
    expressions of the production laws and , and more exactly those generalising the prototypes , , and , the following recent results valid for apply ([33]): For any , and (or ), there exists (or ) such that if (or ), any sufficiently regular initial datum (or small in some Lebesgue space) leads to a unique classical solution which remains uniformly bounded in time. Moreover, the same conclusion holds for any , and any sufficiently regular if the conditions and are satisfied (see also [6] for further improvements in some situations).
    The case : The research in [28] establishes that in two-dimensional domains, when and , sufficiently smooth initial data lead to solutions that are globally bounded in time. This holds true if the condition is met (where ) and either
Additionally, in three-dimensional ball-shaped domains, [16] highlights the occurrence of blow-up at a finite time under the condition .
  • The logistic case ( )
    The case : For linear rates of the chemoattractant and the chemorepellent, , and , finite time blow-up is proved in [2] under the assumption in -dimensional balls ( ), for some close to 1 (additionally, also estimates of the blow-up time are given). Otherwise, for nonlinear behaviour of and , in [11] the authors show, inter alia, that if all solutions are globally bounded; the related long-time behaviour of these solutions is studied in [44].
    The case : For and in the three-dimensional setting whenever is sufficiently large, boundedness and rate of convergence to constant equilibria are discussed in [27].
The nonlocal model: . In [19] it is proved, together with other results, that for and with and , unbounded solutions can be detected, in absence of logistics. By contrast, also in the case , in [6] the authors show the boundedness of solutions provided that or and , or and .
So far, we only restricted our discussion to linear diffusion and sensitivities in model (1). Conversely, this project aims at providing results for alike models (both including local and nonlocal effects) involving nonlinear diffusion and drift terms, whose prototypes are , where .

2. The nonlinear local and nonlocal models, known results and main claims

From the pure mathematical point of view, our attention is direct to these two systems, one of local type (indicated with and the other of nonlocal nature, ( ):
and
Remark 1. In problem ( ), the equation describes the local interaction between the involved quantities at each spatial point ; contrarily, in ( ) the nonlocal term appears, and it takes into account the entire distribution of all over the domain . (Naturally, the same observation can be done for the equations related to .)
Additionally, let us clarify that in the nonlocal model, and stand for the deviations of the chemoattractant and the chemorepellent (and not for the chemicals themselves). Since by definition the deviation is the difference between the signal concentration and its mean value, it follows that the means of and vanish, exactly as specified in the last positions of problem . As a consequence, and change sign.
Consistently with the above problems, this paper is contextualized in the frame of a series of results dealing with local and nonlocal, and linear and nonlinear, attraction-repulsion chemotaxis systems; in particular this research improves and extends already known analyses in the literature (we will give more details in the sequel).
In the specific, as far as we know, for such discussed fully nonlinear versions, the literature is rather poor; nevertheless, issues dealing with boundedness and blow-up of solutions have been addressed. More precisely, for problem ( ) we mention the works [26] and [3], where in the first the authors ensure the boundedness of solutions, for both and , under suitable assumptions on the data; in the second boundedness and blow-up analyses, in this case for the simplified parabolic-elliptic-elliptic version, are discussed. For the nonlocal problem ( ), and in the context of nonlinear productions, in [34] blow-up scenarios have been detected for and ; in turn, in the recent paper [5] this result has been extended to the case and . As to the boundedness counterpart, at this point we simply make reference to [15]. (Since in this research we will improve some results derived in [15, 26, 3, 6], we will spend more words on these papers in the below Remark 2 and Remark 3.)
2.1. Presentation of the main theorems. In order to present our claims, some positions have to be previously fixed. In particular, here we assume that , sources and the initial data and are such that
moreover, we suppose, for and ,
Additionally, we will frequently invoke these
Assumptions 2.1. For and let us set:
The above preparations allow us to give the following two theorems.
Theorem 2.2. For , let , , comply with hypotheses in (4), (5), and . Additionally, let one among ( ), ( ), ( ) in Assumptions 2.1 hold true. Then problems ( ) and ( ) admit a unique solution
such that is nonnegative and are bounded on . In particular, are as well nonnegative on for problem .
Theorem 2.3. For , let the remaining hypotheses of Theorem 2.2 be satisfied. Additionally, let one among ( ) and ( ) jointly with one between ( ) and ( ) in Assumptions 2.1 hold true. Then problem ( ) admits a unique solution
such that are nonnegative and bounded on .
As anticipated in the introductory part, let us specify in which sense our results improve what known so far in the literature.
Remark 2. (Comparisons with nonlocal problem ( )) Let us make these observations.
  • Nonlinear diffusion and sensitivities : in [15, Theorem 1.1] boundedness for problem ( ) is achieved for each of the following cases:
    i) and ; ii) ; iii) . It is seen that assumption ( ) in Theorem 2.2 is sharper with respect to , and ( ) with respect to iii) and, finally, with respect to ).
  • Linear diffusion and sensitivities ( ): in [6, Theorem 2.3] boundedness for problem ( ) is established, among other situations, whenever:
    (a) ;
    (b) and .
Evidently, if from the one hand (a) is recovered from ( ), on the other hand, also in this case some milder conclusions can be observed: in the specific ( ) improves ( ) and provides a further situation where and .
Remark 3. (Comparisons with local problem ) Even for the local problem, the present analysis gives some more precise insight in the context of attraction-repulsion chemotaxis mechanisms.
  • Nonlinear diffusion and sensitivities ( ):
  • : In [3, Theorem 3.1 and Theorem 3.5], where the authors consider the problem with linear productions ( ), globality of solutions is carried out for the case , so leaving room to the case ; in particular, for either or and (naturally, for we have ), boundedness is, respectively, achieved. Indeed, assumptions ( ) and ( ) of Theorem 2.2 cover the case .
    Furthermore, Theorem 2.2 extends [26, Theorem 1.3], where only the case and is addressed; particularly assumption ( ) is less restricted than [26, Theorem 1.3, (i)].
    : In [26, Theorem 1.1] boundedness of solutions is established, inter alia, if
are fulfilled. In this way, ( ) and ( ) of Theorem 2.3 coincide with (6), but ( ) and provide a further scenario towards boundedness.
  • Linear diffusion and sensitivities ( ): For if we compare Theorem 2.2 with [6, Theorem 2.1], not only the same conclusion given in the second item of Remark 2 still applies but even [6, Thorem 2.1, (2)] is turned into a weaker condition. For the fully parabolic case, assumption ( ) and ( ) of Theorem 2.3 imply , so improving [6, Theorem 2.2].

3. Adjusting parameters and recalling necessary results

Let us now dedicate to summarise some tools which will be used in our reasoning. These are connected to algebraic inequality and regularity results for Partial Differential Equations.
Lemma 3.1. Let and be such that . Then for all there exists such that
Proof. The proof can be found in [7, Lemma 4.3].
Lemma 3.2. Let satisfy condition in (4), and .
Elliptic regularity: Let . If , then the solution of
is such that
Moreover for any , there is such that
Parabolic regularity: Let . Then, for and with on , there exists such that every solution of
satisfies
Additionally, if then
Proof. Relation (7) is an obvious consequence of [1, Theorem IX.33]. For estimate (8), we indicate [39, Lemma 2.2] (and also [33, Lemma 3.1]) and we precise that the power may be replaced by any other one larger than 1 . (Since will be chosen arbitrarily large we preferred to synthesize the nomenclature.) On the other hand, for (9) we refer to [13, Lemma 3.6], whereas for (10) we can invoke [12, Lemma 4.1] and the embedding , valid for . (The reason why we need is understandable seeing [13, Lemma 3.6].)
The following lemma defines crucial parameters; its proof is based on some of the relations fixed in Assumptions 2.1.
Lemma 3.3. Let be as in Assumptions 2.1 and let relations ( ) and ( ) be valid. Then, there exists such that, for all and
these relations hold
(11a) ,
(11b) ,
(11c) ,
(11d) ,
(11e) ,
(11f) ,
,
(11h) ,
(11i) ,
where (11e) and (11f) are valid only for .
Proof. First let us consider the function . Since , we have that is definitively positive; on the other hand, increases for sufficiently large so that 1 is an upper bound. Therefore, (11a) is proved. Relations (11c), (11i), (11b) and (11d) follow by means of analogous arguments, once for (11b) and (11d) conditions ( ) and ( ) are respectively taken into account. Let us consider now the functions and . Relations (11e) and (11f) are consequence of
In the same way, relations ( 11 g ) and ( 11 h ) are given for every .
From all of the above, it is possible to find such that the previous relations are complied for every .

4. Local existence and extensibility criterion

A first necessary step on which our computations have to rely is the local-in-time existence of classical solutions to systems and . The succeeding requirement is, indeed, providing a criterion capable to turn such solutions into global ones. The following lemma focuses on these two aspects.
Lemma 4.1. For , let and comply with hypotheses in (4). Moreover, let , , and . Then there exist and a unique solution ( ) to problems ( ) and ( ), defined in and such that if
whereas if
and .
The components of solutions to problem are nonnegative, whereas for only is nonnegative.
In addition,
Finally, let for all ; then and .
Proof. Existence and uniqueness of solutions can be established using well known techniques based on fixed point arguments and elliptic and parabolic regularity results: we refer to [4, 23, 35, 42].
Let us spend some words on the last implication. Naturally , with , also classically solves problem (A.1) in [29, Appendix A] for
Specifically, by making use of the Neumann boundary conditions, we can see that (A.2)-(A.5) are complied. On the other hand, for any and , it holds that has a positive maximum at , so that from in the second inclusion (A.6) is obtained for any . Since, by hypotheses, for every , we have that is uniformly bounded on ( ) for arbitrary large (without relabelling it) and henceforth conditions (A.7)-(A.10) are fulfilled. As to the first inclusion of [29, (A.6)], if in problem ( ) (or model ( )), from the gained inclusion we have , and in turn relation (7) provides , and similarly . For we directly invoke (10); in both cases we have that, for any . As a consequence of what explained, we have the claim by virtue of [29, Lemma A.1] and the extensibilty criterion (12).

5. Some a priori estimates

In this section we will dedicate to derive some uniform-in-time estimates of the previously gained local solution the investigated problems. In this frame, from now on we will tacitly assume that
all the constants appearing below are positive,
the triplet ( ) indicates the local solution to models ( ) or ( ) (naturally recognizable from the context), obtained in Lemma 4.1.
The forthcoming lemmas hold for models ( ) and ( ).
Lemma 5.1. The component is such that the associated mass is uniformly bounded over ( ); more specifically,
Proof. This property can be proved by integrating over the first equation of the models and then by applying the Hölder inequality and ODI comparison principles.
Lemma 5.2. Let hypotheses of Lemma 3.3 be valid and the value therein found. Then for every and for every , there exist some constants such that
Proof. Let us show (13a). Under assumption ( ), by taking into account (11a), (11b) and the boundedness of the mass (Lemma 5.1), we can derive through the Gagliardo-Nirenberg and Young’s inequalities this bound
(We precise that we have made use of
and we might employ this algebraic relation without mentioning it if not necessary.)
Similarly to what we have done before, by supposing ( ), estimate (13b) is obtained by applying in this case (11c) and (11d), so entailing
In order to prove (13c) we distinguish the cases and . If the boundedness of the mass, given by Lemma 5.1, and Young’s inequality yield
On the other hand, if we first have to introduce . Subsequently, by applying twice the Hölder inequality, we get by relying on Lemma 3.1
Now we focus on the second integral of the right-hand side of (15). By exploiting (11g), (11h) and Lemma 5.1, a combination of the Gagliardo-Nirenberg and Young’s inequalities gives
which plugged in the previous one concludes the proof.
As to (13d), again by means of the Young inequality and relation (8), recalling the definition of in (5) we can write
For , due to Lemma 5.1 the last integral of the right-hand side of (16) is bounded, and we have
Instead, for , by virtue of (11e), Lemma 5.1 and (11f), the Gagliardo-Nirenberg and Young’s inequalities imply
and we conclude by inserting this gained bound into (16).
Finally, let us prove (13e). By taking into account (11i) and Lemma 5.1, a further application of the Gagliardo-Nirenberg inequality leads to
obtaining the claim after basic manipulations in the previous estimate.
Lemma 5.3. For the value of found in Lemma 3.3, let for define the functional by
and for , let
Then for all and some and
Proof. Let us differentiate the energy functional; we have
Due to the divergence theorem, the three first integrals on the right hand side make that the above identity becomes
By recalling (17), we rewrite the previous expression as
and again the divergence theorem provides
The inequality
justified by inequality (14), leads to the further bound
Finally, a double application of Young’s inequality (recalling ) gives
which, in conjunction with inequality (19), leads to (18).
From now on we will distinguish the analyses for the local problem and the nonlocal one.
5.1. Study of the local problem ( ). Let us separate the elliptic and parabolic cases, i.e., and respectively.

5.1.1. The parabolic-elliptic case: .

Lemma 5.4. For the value of found in Lemma 3.3, let conditions (5), ( ), ( ) and ( ) be satisfied. Then for all .
Proof. The second and third equations in ( ) allow the substitution of and in (18), obtaining once nonpositive terms are dropped
With some calculations, by using the definition in (17), we find that
By considering (5), (20), and (21), we have
where we have rearranged the term proportional to through (14). Let us deal with the two terms and . For every , we have thanks to the Young inequality that for all
(for the boundedness of the mass (see again Lemma 5.1) would provide a sharper estimate), whereas through (13d) applied with , from (22) we derive for all
Now we use assumption ( ) to write by Young’s inequality
which, introduced into (24), provides after neglecting the term from the logistic source
The same estimate, up to constants, is obtained with assumption ( ) by controlling with , invoking the Young inequality, or relying on assumption ( ) by exploiting (13a).
Finally, inequality (13e) yields the initial problem
and ODI comparisons arguments ensure for all .

5.1.2. The parabolic-parabolic case: .

Lemma 5.5. For the value of found in Lemma 3.3, let conditions (5), ( ), ( ), ( ) and ( ) be valid. Then for all .
Proof. We start dealing with bounds for the terms and . Relations in (21) and Young’s inequality provide for all
and analogously
For (and using (5)) and , inequality (9) allows us to write
and, reasoning similarly for the third equation in model ,
By substituting (25) and (26) into (18), we obtain
Now we add to both sides of (29) the term , and successively we multiply by . Since , an integration over ( ) provides for all
Relations (27) and (28), in conjunction with Young’s inequality (recall ) entail on ( ) once inserted into (30)
At this stage, analogously to what we have done in the previous lemma, if restriction ( ) is supported with one between ( ) and ( ), Young’s inequality and (13b) make that bound (31) is turned into
The same procedure applies if we take into account ( ), implying (13a), with either ( ) (by means of Young’s inequality) or ( ), ensuring (13b).
Henceforth, also in this case inequality (32) is derived and as a consequence, in each of the above situations, we conclude that

5.2. Study of the nonlocal problem ( ).

Lemma 5.6 Let the hypotheses of Lemma 5.4 be valid. Then for all .
Proof. Starting from relation (18), the second and the third equations in model ( ) lead to
where we have taken in mind the properties of and and fixed in (5) and (21), and dropped nonpositive terms. In turn, thanks again to (14), we have
With the aid of estimate (23), by exploiting (13c) with , we obtain on ( )
Since up to constants the previous estimate coincides with (24), we can follow the same arguments of Lemma 5.4 to conclude.

6. Proof of Theorems 2.2 and 2.3

For , we use respectively Lemma 5.4 and Lemma 5.6, supported by the extension criterion in Lemma 4.1; in this way Theorem 2.2 is established. Theorem 2.3 is evidently obtained by invoking Lemma 5.5.
Acknowledgements. All the authors are partially supported by the research project Analysis of PDEs in connection with real phenomena, CUP F73C22001130007, funded by Fondazione di Sardegna, annuity 2021. AC and SF are members of the Gruppo Nazionale per l’Analisi Matematica, la Probabilità e le loro Applicazioni (GNAMPA) of the Istituto Nazionale di Alta Matematica (INdAM). RDF is member of the Gruppo Nazionale per il Calcolo Scientifico (GNCS) of INdAM and acknowledges financial support by PNRR e.INS Ecosystem of Innovation for Next Generation Sardinia (CUP F53C22000430001, codice MUR ECS0000038). SF is also partially supported by: Research project of MIUR (Italian Ministry of Education, University and Research) Prin 2022 Nonlinear differential problems with applications to real phenomena (Grant Number: 2022ZXZTN2).

References

[1] H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, volume Universitext. Springer-Verlag, New York, 2011.
[2] Y. Chiyo, M. Marras, Y. Tanaka, and T. Yokota. Blow-up phenomena in a parabolic-elliptic-elliptic attraction-repulsion chemotaxis system with superlinear logistic degradation. Nonlinear Anal., 212:Paper No. 112550, 14 pages, 2021.
[3] Y. Chiyo and T. Yokota. Boundedness and finite-time blow-up in a quasilinear parabolic-elliptic-elliptic attraction-repulsion chemotaxis system. Z. Angew. Math. Phys., 73(2):Paper No. 61, 27, 2022.
[4] T. Cieślak and M. Winkler. Finite-time blow-up in a quasilinear system of chemotaxis. Nonlinearity, 21(5):1057, 2008.
[5] A. Columbu, S. Frassu, and G. Viglialoro. Properties of given and detected unbounded solutions to a class of chemotaxis models. Stud. Appl. Math., 151(4):1349-1379, 2023.
[6] A. Columbu, S. Frassu, and G. Viglialoro. Refined criteria toward boundedness in an attraction-repulsion chemotaxis system with nonlinear productions. Appl. Anal., https://doi.org/10.1080/00036811.2023.2187789, 2023.
[7] S. Frassu and G. Viglialoro. Boundedness for a fully parabolic Keller-Segel model with sublinear segregation and superlinear aggregation. Acta Appl. Math., 171(1):1-20, 2021.
[8] M. Fuest. Approaching optimality in blow-up results for Keller-Segel systems with logistic-type dampening. NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 28(2):Paper No. 16, 17, 2021.
[9] Q. Guo, Z. Jiang, and S. Zheng. Critical mass for an attraction-repulsion chemotaxis system. Appl. Anal., 97(13):2349-2354, 2018.
[10] M. A. Herrero and J. J. L. Velázquez. A blow-up mechanism for a chemotaxis model. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (4), 24(4):633-683, 1997.
[11] L. Hong, M. Tian, and S. Zheng. An attraction-repulsion chemotaxis system with nonlinear productions. J. Math. Anal. Appl., 484(1):Paper No. 123703, 8 pages, 2020.
[12] D. Horstmann and M. Winkler. Boundedness vs. blow-up in a chemotaxis system. J. Differential Equations, 215(1):52-107, 2005.
[13] S. Ishida, J. Lankeit, and G. Viglialoro. A Keller-Segel type taxis model with ecological interpretation and boundedness due to gradient nonlinearities. arXiv: 2306. 12137, 2023.
[14] W. Jäger and S. Luckhaus. On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis. Trans. Amer. Math. Soc., 329(2):819-824, 1992.
[15] Z. Jiao, I. Jadlovská, and T. Li. Finite-time blow-up and boundedness in a quasilinear attraction-repulsion chemotaxis system with nonlinear signal productions. Nonlinear Anal. Real World Appl., 2023 (to appear).
[16] J. Lankeit. Finite-time blow-up in the three-dimensional fully parabolic attraction-dominated attraction-repulsion chemotaxis system. J. Math. Anal. Appl., 504(2):Paper No. 125409, 16, 2021.
[17] Y. Li and Y. Li. Blow-up of nonradial solutions to attraction-repulsion chemotaxis system in two dimensions. Nonlinear Anal. Real World Appl., 30:170-183, 2016.
[18] D. Liu and Y. Tao. Boundedness in a chemotaxis system with nonlinear signal production. Appl. Math. J. Chinese Univ. Ser. B, 31(4):379-388, 2016.
[19] M. Liu and Y. Li. Finite-time blowup in attraction-repulsion systems with nonlinear signal production. Nonlinear Anal. Real World Appl., 61:Paper No. 103305, 21, 2021.
[20] M. Luca, A. Chavez-Ross, L. Edelstein-Keshet, and A. Mogilner. Chemotactic signaling, microglia, and Alzheimer’s disease senile plaques: is there a connection? Bull. Math. Biol., 65(4):693-730, 2003.
[21] M. S. Mock. An initial value problem from semiconductor device theory. SIAM J. Math. Anal., 5(4):597-612, 1974.
[22] M. S. Mock. Asymptotic behavior of solutions of transport equations for semiconductor devices. J. Math. Anal. Appl., 49(1):215-225, 1975.
[23] T. Nagai. Blow-up of radially symmetric solutions to a chemotaxis system. Adv. Math. Sci. Appl., 5:581-601, 1995.
[24] T. Nagai. Blowup of nonradial solutions to parabolic-elliptic systems modeling chemotaxis in two-dimensional domains. J. Inequal. Appl., 6(1):37-55, 2001.
[25] K. Osaki and A. Yagi. Finite dimensional attractor for one-dimensional Keller-Segel equations. Funkcial. Ekvac., 44(3):441-469, 2001.
[26] G. Ren and B. Liu. Global boundedness and asymptotic behavior in a quasilinear attraction-repulsion chemotaxis model with nonlinear signal production and logistic-type source. Math. Models Methods Appl. Sci., 30(13):2619-2689, 2020.
[27] G. Ren and B. Liu. Boundedness and stabilization in the 3D minimal attraction-repulsion chemotaxis model with logistic source. Z. Angew. Math. Phys., 73(2):Paper No. 58, 25 pages, 2022.
[28] Y. Tao and Z. A. Wang. Competing effects of attraction vs. repulsion in chemotaxis. Math. Models Methods Appl. Sci., 23(1):1-36, 2013.
[29] Y. Tao and M. Winkler. Boundedness in a quasilinear parabolic-parabolic Keller-Segel system with subcritical sensitivity. J. Differential Equations, 252(1):692-715, 2012.
[30] J. I. Tello and M. Winkler. A chemotaxis system with logistic source. Comm. Partial Differential Equations, 32(6):849-877, 2007.
[31] P. Verhulst. Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement. Corresp. Math. Phys., 10:113-121, 1838.
[32] G. Viglialoro. Explicit lower bound of blow-up time for an attraction-repulsion chemotaxis system. J. Math. Anal. Appl., 479(1):1069-1077, 2019.
[33] G. Viglialoro. Influence of nonlinear production on the global solvability of an attraction-repulsion chemotaxis system. Math. Nachr., 294(12):2441-2454, 2021.
[34] C. J. Wang, L. X. Zhao, and X. C. Zhu. A blow-up result for attraction-repulsion system with nonlinear signal production and generalized logistic source. J. Math. Anal. Appl., 518(1):126679, 2023.
[35] Y. Wang. A quasilinear attraction-repulsion chemotaxis system of parabolic-elliptic type with logistic source. J. Math. Anal. Appl., 441(1):259292, 2016.
[36] M. Winkler. Aggregation vs. global diffusive behavior in the higher-dimensional Keller-Segel model. J. Differential Equations, 248(12):28892905, 2010.
[37] M. Winkler. Boundedness in the higher-dimensional parabolic-parabolic chemotaxis system with logistic source. Comm. Partial Differential Equations, 35(8):1516-1537, 2010.
[38] M. Winkler. Blow-up in a higher-dimensional chemotaxis system despite logistic growth restriction. J. Math. Anal. Appl., 384(2):261-272, 2011.
[39] M. Winkler. How far can chemotactic cross-diffusion enforce exceeding carrying capacities? J. Nonlinear. Sci., 24(5):809-855, 2014.
[40] M. Winkler. A critical blow-up exponent in a chemotaxis system with nonlinear signal production. Nonlinearity, 31(5):2031-2056, 2018.
[41] M. Winkler. Finite-time blow-up in low-dimensional Keller-Segel systems with logistic-type superlinear degradation. Z. Angew. Math. Phys., 69(2):Paper No. 40, 25 pages, 2018.
[42] M. Winkler and K. C. Djie. Boundedness and finite-time collapse in a chemotaxis system with volume-filling effect. Nonlinear Anal., 72(2):10441064, 2010.
[43] H. Yu, Q. Guo, and S. Zheng. Finite time blow-up of nonradial solutions in an attraction-repulsion chemotaxis system. Nonlinear Anal. Real World Appl., 34:335-342, 2017.
[44] X. Zhou, Z. Li, and J. Zhao. Asymptotic behavior in an attraction-repulsion chemotaxis system with nonlinear productions. J. Math. Anal. Appl., 507(1):Paper No. 125763, 24 pages, 2022.
  1. 2020 Mathematics Subject Classification. Primary: 35K55, 35Q92. Secondary: 92C17.
    Key words and phrases. Chemotaxis, Attraction-repulsion, Nonlinear production, Boundedness.
    *Corresponding author: silvia.frassu@unica.it.