تحليل الوجود، والتميز، والثبات للمعادلات التكاملية التفاضلية المحايدة من نوع فولتيرا-فريدولم ذات الكسرية Analyzing existence, uniqueness, and stability of neutral fractional Volterra-Fredholm integro-differential equations

المجلة: Journal of Mathematics and Computer Science، المجلد: 33، العدد: 4
DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.033.04.06
تاريخ النشر: 2024-01-28

الصفحة الرئيسية للمجلة: www.isr-publications.com/jmcs

تحليل الوجود، والتميز، والثبات للمعادلات التكاملية التفاضلية المحايدة من نوع فولتيرا-فريدولم ذات الكسرية

ثارمالينغام غوناسيكار , براباكران راغافندران , شيام سوندار سانترا , محمد ساجد قسم الرياضيات، معهد فيل تيك رانجاراجان د. ساغونثالا للبحث والتطوير في العلوم والتكنولوجيا، تشيناي – 600062، تاميل نادو، الهند. كلية الذكاء الاصطناعي وعلوم البيانات، المعهد الهندي للتكنولوجيا (IIT)، جودبور 342030، الهند. قسم الرياضيات، كلية جيس للهندسة، كالياني، البنغال الغربية 741235، الهند. قسم الهندسة الميكانيكية، كلية الهندسة، جامعة القصيم، بريدة 51452، المملكة العربية السعودية.

الملخص

تستكشف هذه الورقة البحثية التحقيق في معادلة فولتيرا-فريدولم التكاملية-التفاضلية التي تتضمن مشتقات كابوتو الكسرية وتلتزم بشروط ترتيب محددة. تؤسس الدراسة بشكل صارم كل من الوجود والتفرد للحلول التحليلية من خلال تطبيق مبدأ باناش. بالإضافة إلى ذلك، تقدم نتيجة فريدة تتعلق بوجود حل واحد على الأقل، مدعومة بشروط دقيقة مستمدة من نظرية نقطة الثابت لكراسنوسيلسكي. علاوة على ذلك، تشمل الورقة معادلات فولتيرا-فريدولم التكاملية-التفاضلية المحايدة، مما يوسع من قابلية تطبيق النتائج. بالإضافة إلى ذلك، تستكشف الورقة مفهوم ثبات أولام للحلول التي تم الحصول عليها، مما يوفر رؤى قيمة حول سلوكها على المدى الطويل. لتأكيد الأهمية العملية وموثوقية النتائج، تم تضمين مثال توضيحي، مما يوضح بشكل فعال قابلية تطبيق الاكتشافات النظرية.

الكلمات المفتاحية: معادلة فولتيرا-فريدولم التكاملية-التفاضلية، مشتقات كابوتو الكسرية، مبدأ انكماش باناش، نظرية نقطة الثابت لكراسنوسيلسكي، نظرية أرتزيلا-أسكولي، ثبات أولام.
2020 MSC: 26A33، 34A12، 26D10، 26E50، 45G10، 45J05.
©2024 جميع الحقوق محفوظة.

1. المقدمة

ظهر حساب التفاضل والتكامل الكسرى كأداة قوية لنمذجة وتحليل الظواهر المعقدة في مختلف التخصصات العلمية والهندسية. يوسع هذا الإطار الرياضي حساب التفاضل والتكامل التقليدي من خلال السماح بمشتقات وتكاملات من رتبة كسرية، مما يمكّن من تمثيل الأنظمة ذات الذاكرة والتفاعلات غير المحلية. في السنوات الأخيرة، اكتسبت دراسة معادلات فولتيرا-فريدولم التكاملية-التفاضلية (IDEs) مع مشتقات كابوتو الكسرية شهرة بسبب قابليتها للتطبيق في مجالات متنوعة. تستكشف هذه البحث الجوانب النظرية والعملية لمثل هذه المعادلات، مع تركيز خاص على وجودها، تفردها، وثباتها. تم تعزيز الأسس النظرية لـ
تم تطوير حساب التفاضل والتكامل الكسرى وIDEs بشكل كبير من خلال سلسلة من الأعمال المحورية. ساهم أحمد وسيفاسوندرا [2] ووو وليو [45] في نتائج الوجود والتفرد للحلول لمعادلات IDEs الكسرية، بينما قدم كيلباس وآخرون [21] وزو وآخرون [47] نظريات أساسية تتعلق بالمعادلات التفاضلية الكسرية. تم تقديم تطورات إضافية في هذا المجال من قبل حمود وغدلي [18] وندياي ومانسال [31]، الذين استكشفوا تفرد الحلول لمعادلات فولتيرا-فريدولم IDEs الكسرية ووسعوا النطاق ليشمل مشتقات كابوتو الكسرية. علاوة على ذلك، قدم دهماني [11] وفككان وآخرون [13] نتائج جديدة للوجود والتفرد لأنظمة التفاضل الكسرية عالية الأبعاد. بالإضافة إلى ذلك، ساهمت أعمال وانغ وآخرون [44]، أحمد وآخرون [1]، وسمارت [39] في فهم المعادلات التفاضلية الكسرية ذات الخصائص المتنوعة. قدمت الأبحاث الحديثة من قبل حامراشيد وآخرون [15، 16] خوارزميات عددية جديدة لتقريب حلول المعادلات التكاملية-التفاضلية غير الخطية الحدودية ونتائج عددية لوجود معادلات فولتيرا-فريدولم التكاملية من نوع الحدود غير الخطية. علاوة على ذلك، استقصى سريفاستافا وساكسينا [40] المعادلات التكاملية-التفاضلية الكسرية مع دوال هايبرجيومترية متعددة المتغيرات كأنويتها. كما اكتسب مفهوم ثبات أولام في سياق حساب التفاضل والتكامل الكسرى أهمية. استكشف أحمد وآخرون [3] ثبات هايرز-أولام لنظام مرتبط من المعادلات التفاضلية الكسرية من نوع هيلفر-هادامارد. بالإضافة إلى ذلك، اقترح راغافندران وآخرون [32] تحويل أبوذ لحل المعادلات التكاملية-التفاضلية الكسرية، مما يقدم نهجًا جديدًا للحلول العددية. تم دراسة السلوك الديناميكي للمعادلات التكاملية-التفاضلية الكسرية العشوائية من قبل بيغوم وآخرون [7]، دونغ وآخرون [12]، ووانغ وآخرون [42]، مما يعزز فهمنا لهذه الأنظمة المعقدة. درس كولومبو وآخرون [10] خصائص الحلول غير المحدودة في فئة من نماذج الكيمياء. يركز عملهم على فهم سلوك وخصائص الحلول ضمن هذه الفئة المحددة من النماذج، مما يسلط الضوء على عدم الاستقرار المحتمل في أنظمة الكيمياء. استكشف لي وآخرون [22] التأثيرات المشتركة التي تضمن الحدود في نموذج كيمياء الجذب-النفور الذي يتضمن الإنتاج والاستهلاك. من المحتمل أن تتناول هذه الدراسة جوانب الاستقرار الحاسمة التي تحكم سلوك هذه الأنظمة تحت ظروف مختلفة. استكشف لي وآخرون [23] خصائص الحلول لمشاكل الوسائط المسامية مع مصادر وظروف حدودية متنوعة. من المحتمل أن تسهم هذه الاستكشافات في رؤى حول جوانب الاستقرار في الأنظمة الموصوفة بمشاكل الوسائط المسامية، مما قد يسلط الضوء على العوامل التي تؤثر على سلوك النظام. غاص لي وفيغليالورو [27] في اعتبارات الحدود لنموذج كيمياء رد فعل غير محلي، حتى في السيناريوهات التي تهيمن عليها الجاذبية. قد تقدم هذه الدراسة وجهات نظر قيمة حول جوانب الاستقرار ضمن مثل هذه النماذج، خاصة في الأنظمة التي تهيمن فيها ديناميات الجذب. [4، 5، 28، 29، 33، 3537، 41] قدمت ملاحظات حول تذبذب المعادلات التفاضلية المحايدة من الدرجة الثانية. على الرغم من عدم ارتباطها مباشرة بالمعادلات التفاضلية الجزئية، إلا أن رؤاهم حول السلوك التذبذبي قد تفيد المناقشات حول ديناميات النظام واستقراره في بعض نماذج المعادلات التفاضلية. درس بوهينر ولي [8] تذبذب المعادلات الديناميكية من الدرجة الثانية p-لابلاس مع معاملات محايدة غير إيجابية. قد تسهم نتائجهم حول السلوك التذبذبي في فهم خصائص الاستقرار لبعض المعادلات الديناميكية. قدمت أعمال لي وروغوفشينكو [24-26] معايير تذبذب لمختلف أنواع المعادلات التفاضلية المحايدة من الدرجة الثانية والثالثة. على الرغم من عدم ارتباطها مباشرة بالمعادلات التفاضلية الجزئية، إلا أن هذه المعايير قد تقدم رؤى قيمة حول شروط الاستقرار التي تحكم نماذج المعادلات التفاضلية. استكشف معاذ وآخرون [30] معايير التذبذب للمعادلات التفاضلية المحايدة من الدرجة الزوجية مع حجج متغيرة موزعة. على الرغم من تركيزها على المعادلات التفاضلية، قد تقدم نتائجهم أوجه تشابه أو رؤى قابلة للتطبيق على تحليل الاستقرار في بعض أنظمة المعادلات التفاضلية الجزئية. في هذا السياق، تهدف أبحاثنا إلى المساهمة في التقدم المستمر في هذا المجال من خلال مزيد من التحقيق في معادلات فولتيرا-فريدولم التكاملية-التفاضلية مع مشتقات كابوتو الكسرية. نركز على وجود، تفرد، وثبات الحلول، بهدف تعزيز كل من الأسس النظرية والأدوات العملية لنمذجة وتحليل الأنظمة المعقدة. تجمع هذه المقالة بين الرؤى النظرية والتطبيقات العملية، بناءً على المساهمات الكبيرة للأبحاث السابقة في مجال حساب التفاضل والتكامل الكسرى والمعادلات التكاملية-التفاضلية.
في هذه الورقة، نقدم نهجًا جديدًا لدراسة معادلات فولتيرا-فريدولم IDEs التي تتضمن مشتقات كابوتو الكسرية، مما يميز عملنا عن الأدبيات الحالية بطرق عدة. تقدم هذه الورقة منظورًا فريدًا من خلال التركيز على التفاعل بين مشتقات كابوتو الكسرية و
تعمل أنظمة المعادلات التفاضلية المتكاملة (IDEs) على توسيع قابلية تطبيق أبحاثنا على الظواهر الواقعية ذات السلوكيات من الرتبة الكسرية. بالإضافة إلى ذلك، نستفيد من كل من نظرية النقطة الثابتة لباناش ونظرية النقطة الثابتة لكراسنوسيلسكي لتأسيس وجود وحيدة الحلول بشكل صارم، مما يضمن متانة نتائجنا. علاوة على ذلك، نتعمق في مجال الاستقرار وفقًا لأولام في حساب التفاضل الكسرى، مسلطين الضوء على السلوك طويل الأمد للأنظمة ذات الرتبة الكسرية. تمتد أبحاثنا أيضًا إلى أنظمة المعادلات التفاضلية المتكاملة المحايدة من نوع فولتيرا-فريدولم، مما يجعل نتائجنا ذات صلة بمجموعة أوسع من الأنظمة والظواهر. لتأكيد الأهمية العملية لعملنا، نقدم مثالًا توضيحيًا مقنعًا، يبرز قابلية تطبيق اكتشافاتنا النظرية في السيناريوهات الواقعية. بشكل جماعي، تجعل هذه العناصر الفريدة هذه الورقة مساهمة قيمة وجديدة في مجال حساب التفاضل الكسرى والمعادلات التفاضلية المتكاملة.

2. المقدمات

في هذا القسم، نركز على التعريفات السائدة المستخدمة في حساب التفاضل الكسري، بما في ذلك المشتق الكسري ريمان-ليوفيل (RL) والمشتق الكسري كابوتو (CF)، كما تم مناقشته سابقًا في الأدبيات الأكاديمية. دعنا نعتبر فضاء باناش مزود بمعيار اللانهاية المحدد على أنه ، حيث يعود إلى .
التعريف 2.1 ([21]). التكامل الكسري لدالة مع تعريف RL للترتيب يتم إعطاؤه بواسطة
أين تشير إلى مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة، و .
التعريف 2.2 ([47]). مشتق RL من الرتبة ، حيث مقتصر على الفترة وتم تحديد الحد الأدنى على أنه صفر، يتم تعريفه لدالة كما يلي:
التعريف 2.3 ([47]). مشتق CF من الرتبة ، حيث يقع ضمن النطاق من 0 إلى 1، وينطبق على دالة يمكن تمثيله على النحو التالي:
التعريف 2.4 ([21]). المشتق CF للدالة يتم تعريفه على النحو التالي. بالنسبة لـ قيم بين و (حصري)، يتم تقديمه بواسطة:
لـ يساوي ، إنه ببساطة مشتق من :
المعلمة في هذا التعريف يمكن أن يكون عددًا حقيقيًا أو حتى عددًا مركبًا، يمثل ترتيب المشتق.
التعريف 2.5 ([21]). المشتق الكسرى من رتبة RL يتم التعبير عنه عادةً كـ:
التعريف 2.6 ([16، 47]). في سياق الفضاء المتري ( وظيفة يتم تعريفه كخريطة انكماش إذا عدد حقيقي غير سالب بحيث أن لكل و في ، فإن المتباينة التالية صحيحة:
النظرية 2.7 (نظرية نقطة الثبات لباناش، انظر [16، 47]). دع كن مجموعة مغلقة غير فارغة من فضاء باناش . ثم، لأي خريطة انكماش من إلى نفسها، نقطة ثابتة فريدة.
النظرية 2.8 (نظرية أرسلا-أسكولي، انظر [47]). تسلسل من الدوال يكون محدودًا ومتساوي الاستمرارية ضمن الفترة المغلقة والمحدودة يمتلك سلسلة فرعية تتقارب بشكل موحد.
نظرية 2.9 (نظرية نقطة الثبات لكراسنوسيلسكي، انظر [47]). في فضاء باناخ دع كن مجموعة مغلقة ومحدبة غير فارغة. ضمن ، توجد دالتان و بالخصائص التالية:
  1. هو خريطة انكماش؛
  2. مضغوط ومستمر؛
  3. لجميع ، و في بحيث أن يبقى ضمن .
تحت هذه الظروف، في الذي من أجله .

3. معادلة فولتيرا-فريدولم التكاملية-التفاضلية

في هذا القسم، سنحقق في وجود وحيدة الحلول ونتائج استقرار أولام لها بالنسبة لمعادلات فولتر-فريدولم التفاضلية المتكاملة، مما يوفر رؤى قيمة للأسس النظرية. من خلال أمثلة محلولة، سنوضح أهمية نتائجنا في فهم السلوك الموثوق للأنظمة ذات الترتيب الكسري.

3.1. نتائج الوجود والتفرد

في هذا القسم الفرعي، نستكشف معادلة فولتيرا-فريدولم التكاملي، المعطاة بـ:
ترافق هذه المعادلة الشرط الابتدائي:
في التعبيرات أعلاه، يدل على مشتق مع ، و ، حيث يمثل الدالة المستمرة قيد النظر. بالإضافة إلى ذلك، و ، حيث هي دوال مستمرة. قبل البدء في نتائجنا الرئيسية وإثباتاتها، نقدم اللمحة التالية مع بعض الفرضيات الأساسية.
(A1) اعتبر الدوال المستمرة و مُعرَّف على المجموعة . إنهم يستوفون الشروط التالية:
(A2) الوظيفة مستمرة، وتفي بالشرط
(A3) الوظيفة مستمرة، والثوابت و كلها إيجابية.
اللمّا 3.1. إذا ، ثم تشكل حلاً للمشكلة (3.1)-(3.2) إذا وفقط إذا كانت تتوافق مع الشروط التالية:
لـ .
برهان. يمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال استخدام المشغل التكامل (2.1) على كلا جانبي المعادلة (3.1)، مما يؤدي إلى المعادلة التكاملية (3.3).
لتأسيس قاعدة تحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول تفرد الحلول في سياق معادلات فولتيرا-فريدولم IDE، كما هو موضح في المعادلات (3.1)-(3.2).
النظرية 3.2. بافتراض أن الشروط (A1)-(A3) مستوفاة، ومعطى عددان حقيقيان موجبان و مع إذا كانوا يلبون المعادلات التالية:
ثم، تمتلك المشكلة الأولية (3.1)-(3.2) حلاً مستمراً فريداً على الفترة ، حيث : ، و .
برهان. عرّف المشغل كما يلي:
علاوة على ذلك، دعنا نحدد كمجموعة من الدوال بحيث لبعض 0. هدفنا هو إثبات وجود نقطة ثابتة للمشغل داخل المجموعة الفرعية النقطة الثابتة هي في الأساس الحل الوحيد لمشكلة القيمة الابتدائية الموصوفة في المعادلات (3.1)-(3.2). لإثبات ذلك، سنقسم العملية إلى خطوتين منفصلتين.
الخطوة 1. هدفنا هو إثبات أن المشغل تحافظ على الوظائف داخل المجموعة استنادًا إلى الفرضيات المذكورة سابقًا، لأي دالة ينتمي إلى المجموعة وللجميع في الفاصل يمكننا أن نثبت ما يلي:
لذا، يمكننا أن نستنتج أن مما يعني أن ، مما يثبت أن هو مجموعة فرعية من .
الخطوة 2. هدفنا هو إثبات أن هو خريطة انكماش. اعتبر و كلاهما ينتميان إلى ،
أين نحن نحصل على . هذا يثبت أن T يحقق كخريطة انكماش. وبالتالي، وفقًا لنظرية 2.7، نقطة ثابتة تُشير إليها بـ بحيث . هذه النقطة الثابتة تمثل الحل الوحيد لمشكلة القيمة الابتدائية الموضحة في المعادلات (3.1) إلى (3.2). هذا ينهي إثبات النظرية.
لوضع الأساس لتحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول وجود الحلول في سياق معادلات فولتيرا-فريدولم IDE، كما هو موضح في المعادلات (3.1)-(3.2).
النظرية 3.3. افترض أن
(A4) ، و ، حيث ، و .
هذا يعني أن هناك على الأقل حلاً واحداً للمشكلة الموصوفة في (3.1)-(3.2) على الفترة .
برهان. اختر ثابتًا وحدد المجموعة . في هذا السياق، نقدم المشغلين و على كما يلي:
عند النظر في و من المجموعة نلاحظ أن:
لذا، من الجدير بالذكر أن الافتراض (A4) يضمن أن يعمل كخريطة انكماش. استمرارية الدوال ، و المحدد في (3.1)-(3.2) يعني استمرارية المشغل . علاوة على ذلك، من المهم أن نبرز أن يبقى محدودًا بشكل موحد على كما يلي:
الآن، نوضح انضغاط المشغل . بالنظر إلى أن ، و محدودة على المجموعات المدمجة و يمكننا تعريف و ، حيث . ل ، و نلاحظ أن:
هذه الكمية مستقلة عن الاختيار لـ . لذلك، يعرض تماسكًا نسبيًا على وبالتالي، وفقًا لنظرية أرتزيلا-أسكولي، هو مشغل مضغوط على جميع الشروط الموضحة في النظرية 2.9 مستوفاة. لذلك، فإن استنتاج النظرية 2.9 ينطبق، مما يشير إلى أن المشكلة (3.1)-(3.2) لديها على الأقل حل واحد. هذا ينهي إثبات النظرية.

3.2. نتائج استقرار أولام

في هذا القسم الفرعي، سنحقق في استقرار أولام للمشكلة (3.1)-(3.2). دعونا نفحص المتباينة التالية:
التعريف 3.4. يتم إثبات استقرار المعادلة (3.1)-(3.2) بمعنى أولام-هايرز عندما ثابت إيجابي بحيث أنه لكل ولكل حل إلى عدم المساواة (3.4)، حل إلى المعادلة (3.1)-(3.2) بحيث ينطبق على الجميع .
لتأسيس قاعدة تحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول نتائج استقرار أولام في سياق معادلات فولتيرا-فريدولم IDE (3.1)-(3.2).
النظرية 3.5. بالنظر إلى أن (A1) و (A2) صحيحتان، فإن المشكلة (3.1)-(3.2) تظهر استقرار أولا-هايرز عندما .
برهان. اعتبر ودع تفي بالمعادلة (3.4). أيضًا، دع كن الحل الفريد للمشكلة التالية. في هذا السياق، نتذكر أن،
من خلال دمج عدم المساواة (3.4) ودمج الشرط الابتدائي لمشكلة (3.2)، نحصل على:
بالإضافة إلى ذلك، دعنا نفحص
ومن ثم، يمكننا أن نستنتج أن المشكلة (3.1)-(3.2) تظهر استقرار أولام-هايرز. هذا ينهي إثبات النظرية.
مثال 3.6. نحن نحقق في معادلة فرودولم-فولتر (3.1)-(3.2) تحت المعلمات التالية: ، و وبالتالي،
إذا قمنا بتعيين ثم قيمة يمكن حسابه على أنه
الآن، عندما نضرب بواسطة نحن نحصل على نظرًا لأن جميع شروط النظرية 3.2 مستوفاة، حل فريد ومستقر للمعادلة المقدمة.

4. معادلة فولتر-فريدولم المتكاملة التفاضلية المحايدة

في هذا القسم، نتناول التحقيق في وجود وحيدة الحلول، بالإضافة إلى نتائج استقرار أولام لمعادلات إيدلر-فولتر-فريدولم المحايدة. تقدم هذه الاستكشافات رؤى قيمة للأسس النظرية، وسنظهر أهمية نتائجنا من خلال أمثلة محلولة.

4.1. نتائج الوجود والتفرد

في هذا القسم الفرعي، نستكشف معادلة فولتر-فريدولم غير المحايدة CF، المعطاة بـ:
ترافق هذه المعادلة الشرط الابتدائي:
في التعبيرات أعلاه، يدل على مشتق CF مع ، و ، حيث يمثل الدالة المستمرة قيد النظر. بالإضافة إلى ذلك، و ، حيث هي دوال مستمرة. قبل البدء في نتائجنا الرئيسية وإثباتاتها، نقدم اللمحة التالية مع بعض الفرضيات الأساسية.
(ب1) اعتبر الدوال المستمرة و مُعرَّف على المجموعة . إنهم يستوفون الشروط التالية:
(B2) الوظائف و تكون مستمرة، وتفي بالشروط
(B3) الوظيفة مستمرة، والثوابت ، و كلها إيجابية.
اللمّا 4.1. إذا ، ثم تشكل حلاً للمشكلة (4.1)-(4.2) إذا وفقط إذا كانت تتوافق مع الشروط التالية:
لـ .
برهان. يمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال استخدام المشغل التكامل (2.1) على كلا جانبي المعادلة (4.1)، مما يؤدي إلى المعادلة التكاملية (4.3).
لتأسيس قاعدة تحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول تفرد الحلول في سياق معادلات فولتيرا-فريدولم IDE، كما هو موضح في المعادلات (4.1)-(4.2).
النظرية 4.2. بافتراض أن الشروط (B1)-(B3) مستوفاة، ومعطى عددان حقيقيان موجبان و مع إذا كانوا يلبون المعادلات التالية:
ثم، تمتلك مشكلة القيمة الأولية (4.1)-(4.2) حلاً مستمراً فريداً على الفترة ، حيث : ، و د}.
برهان. عرّف المشغل كما يلي:
علاوة على ذلك، دعنا نحدد كمجموعة من الدوال بحيث لبعض 0. هدفنا هو إثبات وجود نقطة ثابتة للمشغل داخل المجموعة الفرعية النقطة الثابتة هي في الأساس الحل الوحيد لمشكلة القيمة الابتدائية الموصوفة في المعادلات (4.1)-(4.2). لإثبات ذلك، سنقسم العملية إلى خطوتين منفصلتين.
الخطوة 1. هدفنا هو إثبات أن المشغل تحافظ على الوظائف داخل المجموعة استنادًا إلى الفرضيات المذكورة سابقًا، لأي دالة ينتمي إلى المجموعة وللجميع في الفاصل يمكننا أن نثبت ما يلي:
لذا، يمكننا أن نستنتج أن مما يعني أن ، مما يثبت أن هو مجموعة فرعية من .
الخطوة 2. هدفنا هو إثبات أن T هو دالة انكماش. اعتبر و كلاهما ينتميان إلى .
كـ نحن نحصل على . هذا يثبت أن T مؤهل كخريطة انكماش. وبالتالي، وفقًا لنظرية 2.7، نقطة ثابتة تُشير إليها بحيث . هذه النقطة الثابتة تمثل الحل الوحيد لمشكلة القيمة الأولية الموضحة في المعادلات (4.1) إلى (4.2). هذا ينهي إثبات النظرية.
لوضع الأساس لتحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول وجود الحلول في سياق معادلات فولتيرا-فريدولم IDE، كما هو موضح في المعادلات (4.1)-(4.2).
النظرية 4.3. افترض أن
(ب4) و ، حيث , ، و .
دع
هذا يعني أنه يوجد على الأقل حل واحد للمشكلة الموصوفة في (4.1)-(4.2) على الفترة .
برهان. اختر ثابتًا وحدد المجموعة . في هذا السياق، نقدم المشغلين و على كما يلي:
عند النظر في و من المجموعة نلاحظ أن:
بعد ذلك، نثبت أن تظهر خصائص الانقباض.
لذلك، هو اختصار. استمرارية يشير إلى أن المشغل هو أيضًا مستمر. علاوة على ذلك، محدود بشكل موحد على كما
من أجل إثبات انضغاطية المشغل من الضروري توضيح خاصية الاستمرارية المتساوية. للقيام بذلك، دعنا نعرف كحد أعلى لـ . الآن، لأي زوج من النقاط و داخل الفاصل الزمني ، حيث ، وأي دالة ينتمي إلى الفئة يمكننا ملاحظة ما يلي:
لذا، هو مستمر متساوي. بموجب نظرية أرتزيلا-أسكولي، مضغوط. جميع الشروط الموضحة في النظرية 2.9 مستوفاة. لذلك، تنطبق نتيجة النظرية 2.9، مما يشير إلى أن المشكلة (4.1)-(4.2) لديها على الأقل حل واحد. هذا ينهي إثبات النظرية.

4.2. نتائج استقرار أولام

في هذا القسم الفرعي، سنحقق في استقرار أولام للمشكلة (4.1)-(4.2). دعونا نفحص المتباينة التالية:
لتأسيس قاعدة تحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول نتائج استقرار أولام في سياق معادلات فولتيرا-فريدولم IDE (4.1)-(4.2).
النظرية 4.4. نظرًا لأن (B1) و (B2) صحيحتان، فإن المشكلة (4.1)-(4.2) تظهر استقرار أولا-هايرز عندما .
برهان. اعتبر ودع تلبية عدم المساواة (4.4). أيضًا، دع كن الحل الفريد للمشكلة التالية. في هذا السياق، نتذكر أن
من خلال دمج عدم المساواة (4.4) ودمج الشرط الابتدائي لمشكلة (4.2)، نحصل على:
بالإضافة إلى ذلك، دعنا نفحص هذا
ومن ثم، يمكننا أن نستنتج أن المشكلة (4.1)-(4.2) تظهر استقرار أولا-هايرز. وهذا ينهي إثبات النظرية.
مثال 4.5. نحن نحقق في معادلة دالة فولتر-فريدولم (4.1)-(4.2) تحت المعلمات التالية: ، و وبالتالي
نظرًا لأن جميع شروط النظرية 4.2 مستوفاة، حل فريد ومستقر للمعادلة المقدمة.

5. الخاتمة

في هذه الورقة، تم تقديم تحقيق شامل في معادلات إيديرولتر-فريدولم مع مشتقات من النوع CF، مع التركيز على أهميتها في نمذجة الظواهر الواقعية ذات السلوكيات من الرتبة الكسرية. من خلال استخدام مبادئ نظريات النقاط الثابتة لباناخ وكراسنوفسكي، تم تأكيد وجود وحيدة الحلول بشكل قاطع، مما يعزز قوة النتائج. لقد أضاءت دراسة استقرار أولام في سياق حساب التفاضل الكسرية السلوك طويل الأمد للأنظمة ذات الرتبة الكسرية، وهو اعتبار محوري لفهم ديناميات الظواهر المعقدة. بالإضافة إلى ذلك، فإن التوسع إلى معادلات إيديرولتر-فريدولم المحايدة قد وسع من أهمية البحث ليشمل مجموعة واسعة من الأنظمة والتحديات العملية، كما يتضح من مثال توضيحي عملي. تقدم هذه العمل مساهمة قيمة في هذا المجال، مما يعزز كل من الأسس النظرية والأدوات العملية لنمذجة وتحليل الأنظمة المعقدة في مجال حساب التفاضل الكسرية والمعادلات التكاملية-التفاضلية. من المتوقع أن تجد هذه الرؤى فائدة بين الباحثين والممارسين، مما يحفز المزيد من الاستكشاف في هذا المجال المتطور.

شكر وتقدير

يود الباحثون أن يشكروا عمادة البحث العلمي بجامعة القصيم على تمويل نشر هذا المشروع.

References

[1] B. Ahmad, S. K. Ntouyas, J. Tariboon, A study of mixed Hadamard and Riemann-Liouville fractional integro-differential inclusions via endpoint theory, Appl. Math. Lett., 52 (2016), 9-14. 1
[2] B. Ahmad, S. Sivasundaram, Some existence results for fractional integro-differential equations with nonlinear conditions, Commun. Appl. Anal., 12 (2008), 107-112. 1
[3] M. Ahmad, A. Zada, J. Alzabut, Hyers-Ulam stability of a coupled system of fractional differential equations of HilferHadamard type, Demonstr. Math., 52 (2019), 283-295. 1
[4] R. P. Agarwal, C. Zhang, T. Li, Some remarks on oscillation of second order neutral differential equations, Appl. Math. Comput., 274 (2016), 178-181. 1
[5] J. Alzabut, S. R. Grace, J. M. Jonnalagadda, S. S. Santra, B. Abdalla, Higher-order Nabla Difference Equations of Arbitrary Order with Forcing, Positive and Negative Terms: Non-oscillatory Solutions, Axioms, 12 (2023), 1-14. 1
[6] A. Atangana, D. Baleanu, New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: theory and application to heat transfer model, Mathematics, 20 (2016), 1-8.
[7] S. Begum, A. Zada, S. Saifullah, I.-L. Popa, Dynamical behavior of random fractional integro-differential equation via hilfer fractional derivative, Politehn. Univ. Bucharest Sci. Bull. Ser. A Appl. Math. Phys., 84 (2022), 137-148. 1
[8] M. Bohner, T. Li, Oscillation of second-order p-Laplace dynamic equations with a nonpositive neutral coefficient, Appl. Math. Lett., 37 (2014), 72-76. 1
[9] M. Caputo, M. Fabrizio, A new definition of fractional derivative without singular kernel, Progr. Fract. Differ. Appl., 1 (2015), 73-85.
[10] A. Columbu, S. Frassu, G. Viglialoro, Properties of given and detected unbounded solutions to a class of chemotaxis models, Stud. Appl. Math., 151 (2023), 1349-1379. 1
[11] Z. Dahmani, A. Taeb, New existence and uniqueness results for high dimensional fractional differential systems, Facta Univ. Ser. Math. Inform., 30 (2015), 281-293. 1
[12] L. S. Dong, N. V. Hoa, H. Vu, Existence and Ulam stability for random fractional integro-differential equation, Afr. Mat., 31 (2020), 1283-1294. 1
[13] M. Fečkan, J. Wang, M. Pospíšil, Fractional-order equations and inclusions, De Gruyter, Berlin, (2017). 1
[14] A. Ganesh, S. Deepa, D. Baleanu, S. S. Santra, O. Moaaz, V. Govindan, R. Ali, Hyers-Ulam-Mittag-Leffler stability of fractional differential equations with two Caputo derivative using fractional Fourier transform, AIMS Math., 7 (2022), 1791-1810. 2
[15] H. HamaRashid, H. M. Srivastava, M. Hama, P. O. Mohammed, M. Y. Almusawa, D. Baleanu, Novel algorithms to approximate the solution of nonlinear integro-differential equations of Volterra-Fredholm integro type, AIMS Math., 8 (2023), 14572-14591. 1
[16] H. HamaRashid, H. M. Srivastava, M. Hama, P. O. Mohammed, E. Al-Sarairah, M. Y. Almusawa, New Numerical Results on Existence of Volterra-Fredholm Integral Equation of Nonlinear Boundary Integro-Differential Type, Symmetry, 15 (2023), 1-20. 1, 2, 2.6, 2.7
[17] A. Hamoud, Existence and uniqueness of solutions for fractional neutral volterra-fredholm integro differential equations, Adv. Theory Nonlinear Anal. Appl., 4 (2020), 321-331.
[18] A. A. Hamoud, K. P. Ghadle, Some new uniqueness results of solutions for fractional Volterra-Fredholm integrodifferential equations, Iran. J. Math. Sci. Inform., 17 (2022), 135-144. 1, 2
[19] A. Hamoud, N. Mohammed, K. Ghadle, Existence and uniqueness results for Volterra-Fredholm integro differential equations, Adv. Theory Nonlinear Anal. Appl., 4 (2020), 361-372.
[20] K. Hattaf, A new generalized definition of fractional derivative with non-singular kernel, Computation, 8 (2020), 1-9.
[21] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and applications of fractional differential equations, Elsevier Science B.V., Amsterdam, (2006). 1, 2, 2.1, 2.4, 2.5
[22] T. Li, S. Frassu, G. Viglialoro, Combining effects ensuring boundedness in an attraction a repulsion chemotaxis model with production and consumption, Z. Angew. Math. Phys., 74 (2023), 21 pages. 1
[23] T. Li, N. Pintus, G. Viglialoro, Properties of solutions to porous medium problems with different sources and boundary conditions, Z. Angew. Math. Phys., 70 (2019), 18 pages. 1
[24] T. Li, Y. V. Rogovchenko, Oscillation of second-order neutral differential equations, Math. Nachr., 288 (2015), 1150-1162. 1
[25] T. Li, Y. V. Rogovchenko, Oscillation criteria for second-order superlinear Emden-Fowler neutral differential equations, Monatsh. Math., 184 (2017), 489-500.
[26] T. Li, Y. V. Rogovchenko, On the asymptotic behavior of solutions to a class of third-order nonlinear neutral differential equations, Appl. Math. Lett., 105 (2020), 7 pages. 1
[27] T. Li, G. Viglialoro, Boundedness for a nonlocal reaction chemotaxis model even in the attraction-dominated regime, Differential Integral Equations, 34 (2021), 315-336. 1
[28] F. Masood, O. Moaaz, S. S. Santra, U. Fernandez-Gamiz, H. El-Metwally, On the monotonic properties and oscillatory behavior of solutions of neutral differential equations, Demonstr. Math., 56 (2023), dema-2023-0123. 1
[29] F. Masood, O. Moaaz, S. S. Santra, U. Fernandez-Gamiz, H. A. El-Metwally, Oscillation theorems for fourth-order quasi-linear delay differential equations, AIMS Math., 8 (2023), 16291-16307. 1
[30] O. Moaaz, E. M. Elabbasy, A. Muhib, Oscillation criteria for even-order neutral differential equations with distributed deviating arguments, Adv. Difference Equ., 2019 (2019), 10 pages. 1
[31] A. Ndiaye, F. Mansal, Existence and uniqueness results of Volterra-Fredholm integro-differential equations via Caputo fractional derivative, J. Math., 2021 (2021), 8 pages. 1, 2
[32] P. Raghavendran, T. Gunasekar, H. Balasundaram, S. S. Santra, D. Majumder, D. Baleanu, Solving fractional integrodifferential equations by Aboodh transform, J. Math. Comput. Sci., 32 (2024), 229-240. 1
[33] S. Sangeetha, S. K. Thamilvanan, S. S. Santra, S. Noeiaghdam, M. Abdollahzadeh, Property of third-order noncanonical functional differential equations with positive and negative terms, AIMS Math., 8 (2023), 14167-14179. 1
[34] S. S. Santra, Oscillation Criteria for Nonlinear Neutral Differential Equations of First Order with Several Delays, Mathematica, 57 (2015), 75-89.
[35] S. S. Santra, Necessary and sufficient conditions for oscillation of second-order differential equation with several delays, Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 68 (2023), 319-330. 1
[36] S. S. Santra, P. Mondal, M. E. Samei, H. Alotaibi, M. Altanji, T. Botmart, Study on the oscillation of solution to second-order impulsive systems, AIMS Math., 8 (2023), 22237-22255.
[37] S. S. Santra, S. Priyadharshini, V. Sadhasivam, J. Kavitha, U. Fernandez-Gamiz, S. Noeiaghdam, K. M. Khedher, On the oscillation of certain class of conformable Emden-Fowler type elliptic partial differential equations, AIMS Math., 8 (2023), 12622-12636. 1
[38] N. Sene, A. Ndiaye, On class of fractional-order chaotic or hyperchaotic systems in the context of the Caputo fractional-order derivative, J. Math., 2020 (2020), 15 pages.
[39] D. R. Smart, Fixed point theorems, Cambridge University Press, London-New York, (1974). 1, 2
[40] H. M. Srivastava, R. K. Saxena Some Volterra-type fractional integro-differential equations with a multivariable confluent hypergeometric function as their kernel, J. Integral Equations Appl., 17 (2005), 199-217. 1
[41] A. K. Tripathy, S. S. Santra, Necessary and Sufficient Conditions for oscillations to a Second-order Neutral Differential Equations with Impulses, Kragujevac J. Math., 47 (2023), 81-93. 1
[42] J. Wang, L. Lv, Y. Zhou, Ulam stability and data dependence for fractional differential equations with Caputo derivative, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 2011 (2011), 10 pages. 1
[43] X. Wang, L. Wang, Q. Zeng, Fractional differential equations with integral boundary conditions, J. Nonlinear Sci. Appl., 8 (2015), 309-314.
[44] J. Wang, Y. Zhou, M. Medved,Existence and stability of fractional differential equations with Hadamard derivative, Topol. Methods Nonlinear Anal., 41 (2013), 113-133. 1
[45] J. Wu, Y. Liu, Existence and uniqueness of solutions for the fractional integro-differential equations in Banach spaces, Electron. J. Differential Equations, 2009 (2009), 8 pages. 1
[46] Y. Zhou, Basic theory of fractional differential equations, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, (2023).
[47] Y. Zhou, J. Wang, L. Zhang, Basic theory of fractional differential equations, World scientific, (2016). 1, 2, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9
  1. *Corresponding author
    Email addresses: tguna84@gmail.com or m23air514@iitj.ac.in (Tharmalingam Gunasekar), rockypraba55@gmail.com (Prabakaran Raghavendran), shyam01.math@gmail.com or shyamsundar.santra@jiscollege.ac.in (Shyam Sundar Santra), msajd@qu.edu.sa (Mohammad Sajid)
    doi: 10.22436/jmcs.033.04.06

Journal: Journal of Mathematics and Computer Science, Volume: 33, Issue: 4
DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.033.04.06
Publication Date: 2024-01-28

Analyzing existence, uniqueness, and stability of neutral fractional Volterra-Fredholm integro-differential equations

Tharmalingam Gunasekar , Prabakaran Raghavendran , Shyam Sundar Santra , Mohammad Sajid Department of Mathematics, Vel Tech Rangarajan Dr. Sagunthala R&D Institute of Science and Technology, Chennai – 600062, Tamil Nadu, India. School of Artifiial Intelligence and Data Science, Indian Institute of Technology (IIT), Jodhpur 342030, India. Department of Mathematics, JIS College of Engineering, Kalyani, West Bengal 741235, India. Department of Mechanical Engineering, College of Engineering, Qassim University, Buraydah 51452, Saudi Arabia.

Abstract

This paper explores the investigation of a Volterra-Fredholm integro-differential equation that incorporates Caputo fractional derivatives and adheres to specific order conditions. The study rigorously establishes both the existence and uniqueness of analytical solutions by applying the Banach principle. Additionally, it presents a unique outcome regarding the existence of at least one solution, supported by exacting conditions derived from the Krasnoselskii fixed point theorem. Furthermore, the paper encompasses neutral Volterra-Fredholm integro-differential equations, thus extending the applicability of the findings. Additionally, the paper explores the concept of Ulam stability for the obtained solutions, providing valuable insights into their long-term behavior. To emphasis the practical significance and reliability of the results, an illustrative example is included, effectively demonstrating the applicability of the theoretical discoveries.

Keywords: Volterra-Fredholm integro-differential equation, Caputo fractional derivatives, Banach contraction principle, Krasnoselskii fixed point theorem, Arzela-Ascoli theorem, Ulam stability.
2020 MSC: 26A33, 34A12, 26D10, 26E50, 45G10, 45J05.
©2024 All rights reserved.

1. Introduction

Fractional calculus has emerged as a powerful tool for modeling and analyzing complex phenomena in various scientific and engineering disciplines. This mathematical framework extends the conventional calculus by allowing for fractional-order derivatives and integrals, enabling the representation of systems with memory and non-local interactions. In recent years, the study of Volterra-Fredholm integro-differential equations (IDEs) with Caputo fractional derivatives has gained prominence due to its applicability in diverse fields. This research explores the theoretical and practical aspects of such equations, with a particular focus on their existence, uniqueness, and stability. The theoretical foundations of
fractional calculus and IDEs have been substantially advanced through a series of pivotal works. Ahmad and Sivasundaram [2] and Wu and Liu [45] have contributed to the existence and uniqueness results of solutions for fractional IDEs, while Kilbas et al. [21] and Zhou et al. [47] have provided essential theories regarding fractional differential equations. Further developments in this area are presented by Hamoud and Ghadle [18] and Ndiaye and Mansal [31], who have explored the uniqueness of solutions for fractional Volterra-Fredholm IDEs and extended the scope to include Caputo fractional derivatives. Moreover, Dahmani [11] and Feckan et al. [13] have presented new existence and uniqueness results for high-dimensional fractional differential systems. Additionally, the works of Wang et al. [44], Ahmad et al. [1], and Smart [39] have contributed to the understanding of fractional differential equations with diverse characteristics. Recent research by Hamarashid et al. [15, 16] has introduced novel numerical algorithms for approximating solutions of nonlinear boundary integro-differential equations and presented numerical results for the existence of Volterra-Fredholm integral equations of nonlinear boundary integrodifferential type. Moreover, Srivastava and Saxena [40] have investigated fractional integro-differential equations with multivariable confluent hypergeometric functions as their kernels. The concept of Ulam stability in the context of fractional calculus has also gained significance. Ahmad et al. [3] have explored the Hyers-Ulam stability of a coupled system of fractional differential equations of Hilfer-Hadamard type. Additionally, Raghavendran et al. [32] have proposed the Aboodh transform for solving fractional integro-differential equations, offering a novel approach to numerical solutions. The dynamical behavior of random fractional integro-differential equations has been studied by Begum et al. [7], Dong et al. [12], and Wang et al. [42], enhancing our understanding of these complex systems. Columbu et al. [10] studied properties of unbounded solutions in a class of chemotaxis models. Their work focuses on understanding the behavior and properties of solutions within this specific class of models, shedding light on potential instability in chemotaxis systems. Li et al. [22] explored the combined effects ensuring boundedness in an attraction-repulsion chemotaxis model involving production and consumption. This investigation likely touches upon crucial stability aspects that govern the behavior of these systems under different conditions. Li et al. [23] investigated properties of solutions to porous medium problems with various sources and boundary conditions. This exploration likely contributes insights into stability aspects in systems described by porous medium problems, possibly shedding light on factors influencing system behavior. Li and Viglialoro [27] delved into boundedness considerations for a nonlocal reaction chemotaxis model, even in attraction-dominated scenarios. This study might offer valuable perspectives on stability aspects within such models, especially in regimes where attraction dynamics dominate. [4, 5, 28, 29, 33, 3537, 41] provided remarks on oscillation of second-order neutral differential equations. While not directly related to PDEs, their insights into oscillatory behavior could inform discussions on system dynamics and stability in certain differential equation models. Bohner and Li [8] studied the oscillation of secondorder p-Laplace dynamic equations with nonpositive neutral coefficients. Their findings on oscillatory behavior could potentially contribute to understanding the stability properties of certain dynamic equations. Li and Rogovchenko’s works [24-26] provided oscillation criteria for various types of second and third-order neutral differential equations. Although not directly related to PDEs, these criteria may offer valuable insights into stability conditions governing differential equation models. Moaaz et al. [30] explored oscillation criteria for even-order neutral differential equations with distributed deviating arguments. While focused on differential equations, their findings might offer parallels or insights applicable to stability analysis in certain PDE systems. In this context, our research aims to contribute to the ongoing advancements in the field by further investigating Volterra-Fredholm integro-differential equations with Caputo fractional derivatives. We focus on the existence, uniqueness, and stability of solutions, aiming to enhance both the theoretical foundations and practical tools for modeling and analyzing complex systems. This article combines theoretical insights and practical applications, building upon the significant contributions of past research to the field of fractional calculus and integro-differential equations.
In this paper, we present a novel approach to the study of Volterra-Fredholm IDEs that incorporates Caputo fractional derivatives, setting our work apart from existing literature in several ways. This paper offers a unique perspective by focusing on the interplay between Caputo fractional derivatives and
IDEs, thereby extending the applicability of our research to real-world phenomena with fractional-order behaviors. Additionally, we leverage both the Banach fixed-point theorem and the Krasnoselskii fixedpoint theorem to rigorously establish the existence and uniqueness of solutions, ensuring the robustness of our findings. Furthermore, we delve into the relatively unexplored realm of Ulam stability in fractional calculus, shedding light on the long-term behavior of fractional-order systems. Our research also extends to Volterra-Fredholm neutral IDEs, making our findings relevant to a broader range of systems and phenomena. To emphasize the practical significance of our work, we provide a compelling illustrative example, showcasing the applicability of our theoretical discoveries in real-world scenarios. Collectively, these unique elements make this paper a valuable and novel contribution to the field of fractional calculus and integro-differential equations.

2. Preliminaries

In this section, we concentrate on the prevalent definitions used in fractional calculus, including the Riemann-Liouville (RL) fractional derivative and the Caputo fractional (CF) derivative, as previously discussed in academic literature . Let us consider the Banach space equipped with the infinity norm defined as , where belongs to .
Definition 2.1 ([21]). The fractional integral of a function with the RL definition of order is given by
where denotes the set of positive real numbers, and .
Definition 2.2 ([47]). The RL derivative of order , where is confined to the interval and the lower limit is set to zero, is defined for a function as follows:
Definition 2.3 ([47]). The CF derivative of order , where falls within the range of 0 to 1 , is applicable to a function . It can be represented as:
Definition 2.4 ([21]). The CF derivative of the function is defined as follows. For values between and (exclusive), it is given by:
For equal to , it is simply the derivative of :
The parameter in this definition can be a real or even complex number, representing the order of the derivative.
Definition 2.5 ([21]). The RL fractional derivative of order is typically expressed as:
Definition 2.6 ([16, 47]). In the context of a metric space ( ), a function is defined as a contraction mapping if a non-negative real number such that for all and in , the following inequality holds:
Theorem 2.7 (Banach’s fixed point theorem, see [16, 47]). Let be a nonempty closed subset of a Banach space . Then, for any contraction mapping from to itself, a unique fixed point.
Theorem 2.8 (Arzela-Ascoli theorem, see [47]). A sequence of functions that is both bounded and equicontinuous within the closed and bounded interval possesses a subsequence that converges uniformly.
Theorem 2.9 (Krasnoselskii fixed point theorem, see [47]). In a Banach space , let be a nonempty closed and convex subset. Within , there exist two functions and with the following properties:
  1. is a contraction mapping;
  2. is compact and continuous;
  3. for all , and in , such that remains within .
Under these conditions, in for which .

3. Volterra-Fredholm integro-differential equation

In this section, we will investigate both the existence and uniqueness of solutions and their Ulam stability results for Volterra-Fredholm IDE, offering valuable insights for theoretical foundations. Through solved examples, we’ll illustrate the significance of our findings in understanding the dependable behavior of fractional-order systems.

3.1. Existence and uniqueness results

In this subsection, we explore into the CF Volterra-Fredholm IDE, given by:
This equation is accompanied by the initial condition:
In the above expressions, denotes derivative with , and , where , represents the continuous function under consideration. Additionally, and , where , are continuous functions. Before commencing our main results and their proofs, we present the following lemma along with some essential hypotheses.
(A1) Consider continuous functions and defined on the set . They satisfy the following conditions:
(A2) The function is continuous, and it satisfies the condition
(A3) The function is continuous, and the constants and are all positive.
Lemma 3.1. If , then constitutes a solution to problem (3.1)-(3.2) if and only if it complies with the following conditions:
for .
Proof. This can be readily demonstrated by utilizing the integral operator (2.1) on both sides of equation (3.1), resulting in the integral equation (3.3).
To establish the foundation of our investigation, we now present the following theorem that addresses the uniqueness of solutions in the context of Volterra-Fredholm IDE, as described in equations (3.1)-(3.2).
Theorem 3.2. Assuming that conditions (A1)-(A3) are fulfilled, and given two positive real numbers and with , if they satisfy the following equations:
then, the IVP (3.1)-(3.2) possesses a unique continuous solution over the interval , where : , and .
Proof. Define the operator as follows:
Furthermore, let’s define as the set of functions such that for some 0 . Our objective is to demonstrate the existence of a fixed point for the operator within the subset . The fixed point is essentially the one and only solution to the IVP described in equations (3.1)-(3.2). To prove this, we’ll divide the process into two separate steps.
Step 1. Our aim is to demonstrate that the operator preserves functions within the set . Based on the previously stated hypotheses, for any function belonging to the set and for all in the interval , we can establish the following:
Hence, we can conclude that , which implies that , thereby establishing that is a subset of .
Step 2. Our objective is to demonstrate that is a contraction mapping. Consider and both belonging to ,
where , we get . This establishes that T satisfies as a contraction mapping. Consequently, in accordance with Theorem 2.7, a fixed point denoted as such that . This fixed point represents the only solution to the IVP outlined in equations (3.1) through (3.2). This concludes the proof of the theorem.
To set the groundwork for our investigation, we now present the following theorem that addresses the existence of solutions in the context of Volterra-Fredholm IDE, as described in equations (3.1)-(3.2).
Theorem 3.3. Assume that
(A4) , and , where , and .
This implies that there is at least one solution to the problem described in (3.1)-(3.2) over the interval .
Proof. Choose a fixed and define the set . Within this context, we introduce the operators and on as follows:
When considering and from the set , we observe that:
Hence, . Notably, the assumption (A4) ensures that acts as a contraction mapping. The continuity of functions , and specified in (3.1)-(3.2) implies the continuity of the operator . Moreover, it’s important to highlight that stays uniformly bounded on as follows:
Now, we demonstrate the compactness of the operator . Given that , and are bounded on the compact sets and , we can define and , where . For , and , we observe that:
This quantity is independent of the choice of . Therefore, exhibits relative compactness on . Consequently, in accordance with the Arzela-Ascoli theorem, is a compact operator on . All the conditions outlined in Theorem 2.9 are satisfied. Therefore, the conclusion of Theorem 2.9 applies, indicating that the problem (3.1)-(3.2) has at least one solution. This concludes the proof of the theorem.

3.2. Ulam stability results

In this subsection, we will investigate the Ulam stability of the problem (3.1)-(3.2). Let’s examine the following inequality:
Definition 3.4. The stability of equation (3.1)-(3.2) in the sense of Ulam-Hyers is established when a positive constant such that for every and for each solution to inequality (3.4), a solution to equation (3.1)-(3.2) such that holds for all .
To establish the foundation of our investigation, we now present the following theorem that addresses the Ulam stability results in the context of the Volterra-Fredholm IDE (3.1)-(3.2).
Theorem 3.5. Given that (A1) and (A2) hold true, problem (3.1)-(3.2) exhibits Ulam-Hyers stability when .
Proof. Consider , and let satisfies inequality (3.4). Also, let be the unique solution to the following problem. In this context, we recall that,
By integrating inequality (3.4) and incorporating the initial condition of problem (3.2), we obtain:
Additionally, let’s examine
Hence, we can conclude that the problem (3.1)-(3.2) exhibits Ulam-Hyers stability. This concludes the proof of the theorem.
Example 3.6. We investigate the CF Volterra-Fredholm IDE (3.1)-(3.2) under the following parameters: , and . It now follows that,
If we set , then the value of can be computed as
Now, when we multiply by , we get . Since all the conditions of Theorem 3.2 are satisfied, a unique and stable solution to the provided equation.

4. Neutral Volterra-Fredholm integro-differential equation

In this section, we delve into the investigation of both the existence and uniqueness of solutions, as well as the Ulam stability results for neutral Volterra-Fredholm IDE. This exploration offers valuable insights for theoretical foundations, and we will demonstrate the significance of our findings through solved examples.

4.1. Existence and uniqueness results

In this subsection, we explore into the CF neutral Volterra-Fredholm IDE, given by:
This equation is accompanied by the initial condition:
In the above expressions, denotes CF derivative with , and , where , represents the continuous function under consideration. Additionally, and , where , are continuous functions. Before commencing our main results and their proofs, we present the following lemma along with some essential hypotheses.
(B1) Consider continuous functions and defined on the set . They satisfy the following conditions:
(B2) The functions and are continuous, and they satisfy the conditions
(B3) The function is continuous, and the constants , and are all positive.
Lemma 4.1. If , then constitutes a solution to problem (4.1)-(4.2) if and only if it complies with the following conditions:
for .
Proof. This can be readily demonstrated by utilizing the integral operator (2.1) on both sides of equation (4.1), resulting in the integral equation (4.3).
To establish the foundation of our investigation, we now present the following theorem that addresses the uniqueness of solutions in the context of Volterra-Fredholm IDE, as described in equations (4.1)-(4.2).
Theorem 4.2. Assuming that conditions (B1)-(B3) are fulfilled, and given two positive real numbers and with , if they satisfy the following equations:
then, the IVP (4.1)-(4.2) possesses a unique continuous solution over the interval , where : , and D}.
Proof. Define the operator as follows:
Furthermore, let’s define as the set of functions such that for some 0 . Our objective is to demonstrate the existence of a fixed point for the operator within the subset . The fixed point is essentially the one and only solution to the IVP described in equations (4.1)-(4.2). To prove this, we’ll divide the process into two separate steps.
Step 1. Our aim is to demonstrate that the operator preserves functions within the set . Based on the previously stated hypotheses, for any function belonging to the set and for all in the interval , we can establish the following:
Hence, we can conclude that , which implies that , thereby establishing that is a subset of .
Step 2. Our objective is to demonstrate that T is a contraction mapping. Consider and both belonging to .
As , we get . This establishes that T qualifies as a contraction mapping. Consequently, in accordance with Theorem 2.7, a fixed point denoted as such that . This fixed point represents the only solution to the IVP outlined in equations (4.1) through (4.2). This concludes the proof of the theorem.
To set the groundwork for our investigation, we now present the following theorem that addresses the existence of solutions in the context of Volterra-Fredholm IDE, as described in equations (4.1)-(4.2).
Theorem 4.3. Assume that
(B4) and , where , , and .
Let
This implies that there is at least one solution to the problem described in (4.1)-(4.2) over the interval .
Proof. Choose a fixed and define the set . Within this context, we introduce the operators and on as follows:
When considering and from the set , we observe that:
Next, we establish that exhibits contraction properties.
Therefore, is a contraction. The continuity of implies that the operator is also continuous. Furthermore, is uniformly bounded on as
In order to establish the compactness of the operator , it is imperative to illustrate its property of equicontinuity. To do so, let’s define as the supremum of . Now, for any pair of points and within the interval , where , and for any function belonging to the class , we can observe the following:
Thus, is equicontinuous. By Arzela-Ascoli Theorem, is compact. All the conditions outlined in Theorem 2.9 are satisfied. Therefore, the conclusion of Theorem 2.9 applies, indicating that the problem (4.1)-(4.2) has at least one solution. This concludes the proof of the theorem.

4.2. Ulam stability results

In this subsection, we will investigate the Ulam stability of the problem (4.1)-(4.2). Let’s examine the following inequality:
To establish the foundation of our investigation, we now present the following theorem that addresses the Ulam stability results in the context of the Volterra-Fredholm IDE (4.1)-(4.2).
Theorem 4.4. Given that (B1) and (B2) hold true, problem (4.1)-(4.2) exhibits Ulam-Hyers stability when .
Proof. Consider , and let satisfy inequality (4.4). Also, let be the unique solution to the following problem. In this context, we recall that
By integrating inequality (4.4) and incorporating the initial condition of problem (4.2), we obtain:
Additionally, let’s examine this
Hence, we can conclude that the problem (4.1)-(4.2) exhibits Ulam-Hyers stability. This concludes the proof of the theorem.
Example 4.5. We investigate the CF Volterra-Fredholm IDE (4.1)-(4.2) under the following parameters: , and . It follows that
Since all the conditions of Theorem 4.2 are satisfied, a unique and stable solution to the provided equation.

5. Conclusion

In this paper, a comprehensive investigation into Volterra-Fredholm IDEs with CF derivatives has been presented, emphasizing their significance in modeling real-world phenomena with fractional-order behaviors. Employing the principles of the Banach and Krasnoselskii fixed-point theorems, the existence and uniqueness of solutions have been firmly established, enhancing the robustness of the findings. The exploration of Ulam stability within the context of fractional calculus has illuminated the long-term behavior of fractional-order systems, a pivotal consideration for understanding the dynamics of complex phenomena. Additionally, the extension to Volterra-Fredholm neutral IDEs has broadened the relevance of the research to a wide range of systems and practical challenges, further demonstrated by a practical illustrative example. This work offers a valuable contribution to the field, advancing both the theoretical foundations and practical tools for modeling and analyzing complex systems in the domain of fractional calculus and integro-differential equations. It is anticipated that these insights will find utility among researchers and practitioners, further stimulating exploration in this evolving field.

Acknowledgement

Researchers would like to thank the Deanship of Scientific Research, Qassim University for funding publication of this project.

References

[1] B. Ahmad, S. K. Ntouyas, J. Tariboon, A study of mixed Hadamard and Riemann-Liouville fractional integro-differential inclusions via endpoint theory, Appl. Math. Lett., 52 (2016), 9-14. 1
[2] B. Ahmad, S. Sivasundaram, Some existence results for fractional integro-differential equations with nonlinear conditions, Commun. Appl. Anal., 12 (2008), 107-112. 1
[3] M. Ahmad, A. Zada, J. Alzabut, Hyers-Ulam stability of a coupled system of fractional differential equations of HilferHadamard type, Demonstr. Math., 52 (2019), 283-295. 1
[4] R. P. Agarwal, C. Zhang, T. Li, Some remarks on oscillation of second order neutral differential equations, Appl. Math. Comput., 274 (2016), 178-181. 1
[5] J. Alzabut, S. R. Grace, J. M. Jonnalagadda, S. S. Santra, B. Abdalla, Higher-order Nabla Difference Equations of Arbitrary Order with Forcing, Positive and Negative Terms: Non-oscillatory Solutions, Axioms, 12 (2023), 1-14. 1
[6] A. Atangana, D. Baleanu, New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: theory and application to heat transfer model, Mathematics, 20 (2016), 1-8.
[7] S. Begum, A. Zada, S. Saifullah, I.-L. Popa, Dynamical behavior of random fractional integro-differential equation via hilfer fractional derivative, Politehn. Univ. Bucharest Sci. Bull. Ser. A Appl. Math. Phys., 84 (2022), 137-148. 1
[8] M. Bohner, T. Li, Oscillation of second-order p-Laplace dynamic equations with a nonpositive neutral coefficient, Appl. Math. Lett., 37 (2014), 72-76. 1
[9] M. Caputo, M. Fabrizio, A new definition of fractional derivative without singular kernel, Progr. Fract. Differ. Appl., 1 (2015), 73-85.
[10] A. Columbu, S. Frassu, G. Viglialoro, Properties of given and detected unbounded solutions to a class of chemotaxis models, Stud. Appl. Math., 151 (2023), 1349-1379. 1
[11] Z. Dahmani, A. Taeb, New existence and uniqueness results for high dimensional fractional differential systems, Facta Univ. Ser. Math. Inform., 30 (2015), 281-293. 1
[12] L. S. Dong, N. V. Hoa, H. Vu, Existence and Ulam stability for random fractional integro-differential equation, Afr. Mat., 31 (2020), 1283-1294. 1
[13] M. Fečkan, J. Wang, M. Pospíšil, Fractional-order equations and inclusions, De Gruyter, Berlin, (2017). 1
[14] A. Ganesh, S. Deepa, D. Baleanu, S. S. Santra, O. Moaaz, V. Govindan, R. Ali, Hyers-Ulam-Mittag-Leffler stability of fractional differential equations with two Caputo derivative using fractional Fourier transform, AIMS Math., 7 (2022), 1791-1810. 2
[15] H. HamaRashid, H. M. Srivastava, M. Hama, P. O. Mohammed, M. Y. Almusawa, D. Baleanu, Novel algorithms to approximate the solution of nonlinear integro-differential equations of Volterra-Fredholm integro type, AIMS Math., 8 (2023), 14572-14591. 1
[16] H. HamaRashid, H. M. Srivastava, M. Hama, P. O. Mohammed, E. Al-Sarairah, M. Y. Almusawa, New Numerical Results on Existence of Volterra-Fredholm Integral Equation of Nonlinear Boundary Integro-Differential Type, Symmetry, 15 (2023), 1-20. 1, 2, 2.6, 2.7
[17] A. Hamoud, Existence and uniqueness of solutions for fractional neutral volterra-fredholm integro differential equations, Adv. Theory Nonlinear Anal. Appl., 4 (2020), 321-331.
[18] A. A. Hamoud, K. P. Ghadle, Some new uniqueness results of solutions for fractional Volterra-Fredholm integrodifferential equations, Iran. J. Math. Sci. Inform., 17 (2022), 135-144. 1, 2
[19] A. Hamoud, N. Mohammed, K. Ghadle, Existence and uniqueness results for Volterra-Fredholm integro differential equations, Adv. Theory Nonlinear Anal. Appl., 4 (2020), 361-372.
[20] K. Hattaf, A new generalized definition of fractional derivative with non-singular kernel, Computation, 8 (2020), 1-9.
[21] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and applications of fractional differential equations, Elsevier Science B.V., Amsterdam, (2006). 1, 2, 2.1, 2.4, 2.5
[22] T. Li, S. Frassu, G. Viglialoro, Combining effects ensuring boundedness in an attraction a repulsion chemotaxis model with production and consumption, Z. Angew. Math. Phys., 74 (2023), 21 pages. 1
[23] T. Li, N. Pintus, G. Viglialoro, Properties of solutions to porous medium problems with different sources and boundary conditions, Z. Angew. Math. Phys., 70 (2019), 18 pages. 1
[24] T. Li, Y. V. Rogovchenko, Oscillation of second-order neutral differential equations, Math. Nachr., 288 (2015), 1150-1162. 1
[25] T. Li, Y. V. Rogovchenko, Oscillation criteria for second-order superlinear Emden-Fowler neutral differential equations, Monatsh. Math., 184 (2017), 489-500.
[26] T. Li, Y. V. Rogovchenko, On the asymptotic behavior of solutions to a class of third-order nonlinear neutral differential equations, Appl. Math. Lett., 105 (2020), 7 pages. 1
[27] T. Li, G. Viglialoro, Boundedness for a nonlocal reaction chemotaxis model even in the attraction-dominated regime, Differential Integral Equations, 34 (2021), 315-336. 1
[28] F. Masood, O. Moaaz, S. S. Santra, U. Fernandez-Gamiz, H. El-Metwally, On the monotonic properties and oscillatory behavior of solutions of neutral differential equations, Demonstr. Math., 56 (2023), dema-2023-0123. 1
[29] F. Masood, O. Moaaz, S. S. Santra, U. Fernandez-Gamiz, H. A. El-Metwally, Oscillation theorems for fourth-order quasi-linear delay differential equations, AIMS Math., 8 (2023), 16291-16307. 1
[30] O. Moaaz, E. M. Elabbasy, A. Muhib, Oscillation criteria for even-order neutral differential equations with distributed deviating arguments, Adv. Difference Equ., 2019 (2019), 10 pages. 1
[31] A. Ndiaye, F. Mansal, Existence and uniqueness results of Volterra-Fredholm integro-differential equations via Caputo fractional derivative, J. Math., 2021 (2021), 8 pages. 1, 2
[32] P. Raghavendran, T. Gunasekar, H. Balasundaram, S. S. Santra, D. Majumder, D. Baleanu, Solving fractional integrodifferential equations by Aboodh transform, J. Math. Comput. Sci., 32 (2024), 229-240. 1
[33] S. Sangeetha, S. K. Thamilvanan, S. S. Santra, S. Noeiaghdam, M. Abdollahzadeh, Property of third-order noncanonical functional differential equations with positive and negative terms, AIMS Math., 8 (2023), 14167-14179. 1
[34] S. S. Santra, Oscillation Criteria for Nonlinear Neutral Differential Equations of First Order with Several Delays, Mathematica, 57 (2015), 75-89.
[35] S. S. Santra, Necessary and sufficient conditions for oscillation of second-order differential equation with several delays, Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 68 (2023), 319-330. 1
[36] S. S. Santra, P. Mondal, M. E. Samei, H. Alotaibi, M. Altanji, T. Botmart, Study on the oscillation of solution to second-order impulsive systems, AIMS Math., 8 (2023), 22237-22255.
[37] S. S. Santra, S. Priyadharshini, V. Sadhasivam, J. Kavitha, U. Fernandez-Gamiz, S. Noeiaghdam, K. M. Khedher, On the oscillation of certain class of conformable Emden-Fowler type elliptic partial differential equations, AIMS Math., 8 (2023), 12622-12636. 1
[38] N. Sene, A. Ndiaye, On class of fractional-order chaotic or hyperchaotic systems in the context of the Caputo fractional-order derivative, J. Math., 2020 (2020), 15 pages.
[39] D. R. Smart, Fixed point theorems, Cambridge University Press, London-New York, (1974). 1, 2
[40] H. M. Srivastava, R. K. Saxena Some Volterra-type fractional integro-differential equations with a multivariable confluent hypergeometric function as their kernel, J. Integral Equations Appl., 17 (2005), 199-217. 1
[41] A. K. Tripathy, S. S. Santra, Necessary and Sufficient Conditions for oscillations to a Second-order Neutral Differential Equations with Impulses, Kragujevac J. Math., 47 (2023), 81-93. 1
[42] J. Wang, L. Lv, Y. Zhou, Ulam stability and data dependence for fractional differential equations with Caputo derivative, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 2011 (2011), 10 pages. 1
[43] X. Wang, L. Wang, Q. Zeng, Fractional differential equations with integral boundary conditions, J. Nonlinear Sci. Appl., 8 (2015), 309-314.
[44] J. Wang, Y. Zhou, M. Medved,Existence and stability of fractional differential equations with Hadamard derivative, Topol. Methods Nonlinear Anal., 41 (2013), 113-133. 1
[45] J. Wu, Y. Liu, Existence and uniqueness of solutions for the fractional integro-differential equations in Banach spaces, Electron. J. Differential Equations, 2009 (2009), 8 pages. 1
[46] Y. Zhou, Basic theory of fractional differential equations, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, (2023).
[47] Y. Zhou, J. Wang, L. Zhang, Basic theory of fractional differential equations, World scientific, (2016). 1, 2, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9
  1. *Corresponding author
    Email addresses: tguna84@gmail.com or m23air514@iitj.ac.in (Tharmalingam Gunasekar), rockypraba55@gmail.com (Prabakaran Raghavendran), shyam01.math@gmail.com or shyamsundar.santra@jiscollege.ac.in (Shyam Sundar Santra), msajd@qu.edu.sa (Mohammad Sajid)
    doi: 10.22436/jmcs.033.04.06