المجلة: Fixed Point Theory and Algorithms for Sciences and Engineering، المجلد: 2024، العدد: 1
DOI: https://doi.org/10.1186/s13663-024-00760-7
تاريخ النشر: 2024-01-22
DOI: https://doi.org/10.1186/s13663-024-00760-7
تاريخ النشر: 2024-01-22
تحليل مقارن لنماذج كلاسيكية وكابوتو لانتشار COVID-19: تقييم التطعيم والاستقرار
الملخص
تستخدم عدة نماذج وبائية مشغل التفاضل من الدرجة الكسرية كابوتو دون تحديد أهميته. تتحقق هذه الدراسة من نموذج وبائي من نوع SAIVR يعتمد على مشغل كابوتو. COVID-19 يقتل. العدوى تضعف الجهاز المناعي. يصف مشغل كابوتو الكسرية تطعيم COVID-19. يتم تحديد الخصائص الأساسية للنظام باستخدام حساب التفاضل الكسرية. شمل تحليلنا استقرار النظام الكسرية وفقًا لمبدأ هايرز-أولام-راسياس والحالات المستقرة. يتم استكشاف تفرد ووجود حلول نظام كابوتو الكسرية. تحدد طريقة المربعات الصغرى معلمات النظام. مشغل كابوتو من الدرجة الكسرية
الكلمات المفتاحية: مشغل كابوتو الكسري؛ تحليل استقرار هايرز-أولام-راسياس؛ المعادلات التفاضلية الكسريّة؛ الحلول التقريبية
1 المقدمة
أعلنت منظمة الصحة العالمية (WHO) أن COVID-19 جائحة بعد أن انتشر إلى العديد من البلدان في جميع القارات في الربع الأول من عام 2020. تم ملاحظة طفرات مختلفة من الفيروس التاجي الجديد في مناطق مختلفة، مما أدى إلى مجموعة واسعة من الأعراض. الحمى، والسعال الجاف، والتعب هي العلامات الأكثر شيوعًا للمرض، ولكن هناك علامات أخرى، مثل التهاب الحلق، والإسهال، وفقدان حاسة التذوق أو الشم، أو الطفح الجلدي، أقل انتشارًا. يمكن أن ينتشر COVID-19 من خلال الاتصال المباشر، والاتصال غير المباشر، ورذاذ القطرات (مثل عندما يعطس شخص ما)، والانتقال على المدى القصير، والانتقال عبر الهواء (من خلال الهباء الجوي)، والانتقال على المدى الطويل.
تم استكشاف المعادلات التفاضلية من الرتبة الصحيحة بشكل واسع لتطبيقها في النماذج الوبائية للأمراض المعدية. تشير الأدلة من النمذجة الرياضية للأوبئة في الأدبيات إلى أن المعادلات الديناميكية غير الخطية يمكن أن تلقي الضوء على ديناميات انتقال الأمراض. إن بناء نماذج رياضية غير خطية واقعية…
لقد حظيت النماذج الرياضية المدفوعة بالبيانات التي تفسر بشكل أفضل ديناميات انتقال الأوبئة باهتمام كبير في أعقاب تفشي فيروس كورونا العالمي الأخير [1-8]، بما في ذلك العديد من الدراسات البحثية المهمة الأخرى حول النمذجة الرياضية باستخدام مشغلات كابوتو وغيرها من مشغلات الذاكرة، كما تم مناقشته في [9-12].
يقترح موسى وآخرون [13] نموذجًا حتميًا جديدًا مكونًا من ثمانية أقسام لوباء COVID-19 في نيجيريا، والذي يأخذ في الاعتبار مبادرات حملات التوعية وتكتيكات السيطرة على الاستشفاء للحالات الشديدة والمتوسطة من العدوى. تم استخدام الحالات التراكمية المصابة في نيجيريا لتناسب النموذج الديناميكي غير الخطي المقترح من 29 مارس 2020 إلى 12 يونيو 2020. تظهر أبحاثهم أن زيادة في العدوى قد تحدث في السكان إذا لم يتم تنفيذ برامج رفع الوعي بشكل جيد. قام بعض المؤلفين في [14] بتطوير واختبار نموذج وبائي SEQIJR الذي ينظر في مدى فعالية الحجر الصحي والعزل في وقف تفشي COVID-19 في باكستان.
تُستخدم مشغلات التفاضل الكسرية من نوع كابوتو في علم الأوبئة الرياضي لنمذجة ديناميات الأمراض المعدية في السكان حيث تلعب تأثيرات الذاكرة دورًا مهمًا. على عكس المعادلات التفاضلية الكلاسيكية التي تفترض الاستجابة الفورية للاضطرابات، يأخذ حساب التفاضل الكسر في الاعتبار إمكانية تأثيرات الذاكرة، مما يعني أن استجابة النظام لاضطراب ما تعتمد على التاريخ الكامل للنظام. في علم الأوبئة، تم استخدام مشغلات التفاضل الكسرية من نوع كابوتو لنمذجة انتشار الأمراض المعدية التي لها تأثير طويل الأمد على الأفراد، مثل الحصبة أو الحصبة الألمانية. يمكن تفسير المشتق الكسرى لدالة ما على أنه المشتق من رتبة كسرية لذاكرة الدالة، والتي يمكن استخدامها لالتقاط التأثيرات طويلة الأمد للعدوى على جهاز المناعة لدى الفرد. كما تم استخدام مشغلات التفاضل الكسرية من نوع كابوتو لنمذجة تأثير حملات التطعيم، حيث يكون لدى الأفراد الذين تم تطعيمهم احتمال أقل للإصابة في المستقبل. باستخدام حساب التفاضل الكسر، من الممكن نمذجة التأثيرات طويلة الأمد للتطعيم على ديناميات المرض، مما يمكن أن يساعد في إبلاغ قرارات السياسات الصحية العامة. بشكل عام، يسمح استخدام مشغلات التفاضل الكسرية من نوع كابوتو في علم الأوبئة الرياضي بتمثيل أكثر دقة لديناميات الأمراض المعدية، مع الأخذ في الاعتبار التفاعل المعقد بين تأثيرات الذاكرة، وانتقال المرض، وتدابير السيطرة. عند نمذجة العمليات البيولوجية والهندسية رياضيًا، تعتبر المعادلات التفاضلية من الرتبة الكسرية أدوات قيمة وقوية للغاية. ويرجع ذلك إلى أن المشغلات التفاضلية في مثل هذه المعادلات أو النماذج مرتبطة بأنظمة ذات ديناميات ذاكرة، وهي خاصية تشترك فيها الغالبية العظمى من الأنظمة البيولوجية والتقنية. لحل مشكلة النماذج ذات الرتبة الكسرية مع وظائف تحكم تتغير مع مرور الوقت، طور المؤلفون في [17] طريقة عددية جديدة وفعالة تعتمد على دوال تشيليشكوف الهجينة.
تم استخدام مشغل المشتق من حساب التفاضل الكسري Caputo-Fabrizio من قبل Rezapour والمؤلفين المشاركين في [18] لتوسيع نموذج مرض الجمرة الخبيثة غير الخطي من الدرجة الصحيحة الذي أنشأه وقيمه Githire وآخرون [19]. تم تقديم معيار وجود الحلول للنموذج المقترح لوباء مرض الجمرة الخبيثة من الدرجة الكسري باستخدام تقنية بيكارد-لينديلوف. تم دراسة وتحليل العديد من ديناميات انتقال الأمراض المعدية، بما في ذلك فيروس نقص المناعة البشرية/الإيدز [20]، والسل [21]، والملاريا [22]، وحمى الضنك [23]، وزيكا [24]، وإيبولا [25]، والتهاب الكبد B [26]، باستخدام معادلات تفاضلية تتميز بالمشتق من الدرجة الكسري Caputo.
في [27]، يتم دراسة ديناميات الانقسام العكسي في نموذج بسيط ولكنه واقعي لجائحة لقاح. لدعم النتائج النظرية، يقدم المؤلف نوعاً من…
تمت محاكاة عددية وتجريبية للنموذج الرياضي الذي تم صياغته. تم توسيع النموذج الرياضي لتفشي الكوليرا الذي طوره المؤلف في [28] والتحقيق فيه من قبل جافيدي وآخرين [29] لالتقاط المشتق من الدرجة الكسرية كابوتو. في [30]، قام المؤلف بفحص الاستقرار غير المتجانس لبعض النماذج الوبائية البسيطة (SIS، SIR، SIRS)، بالإضافة إلى الأمراض المعروفة التي تنقلها النواقل روس في سياق كابوتو باستخدام دوال ليابونوف من نوع فولتيرا.
تمت محاكاة عددية وتجريبية للنموذج الرياضي الذي تم صياغته. تم توسيع النموذج الرياضي لتفشي الكوليرا الذي طوره المؤلف في [28] والتحقيق فيه من قبل جافيدي وآخرين [29] لالتقاط المشتق من الدرجة الكسرية كابوتو. في [30]، قام المؤلف بفحص الاستقرار غير المتجانس لبعض النماذج الوبائية البسيطة (SIS، SIR، SIRS)، بالإضافة إلى الأمراض المعروفة التي تنقلها النواقل روس في سياق كابوتو باستخدام دوال ليابونوف من نوع فولتيرا.
في [31]، تم استخدام المشتق الكابوتو الكسري لتحليل النموذج الرياضي الأساسي لـ SEIR، الذي يعتمد على الديناميات السكانية العشوائية. قدم المؤلفون تحقيقًا نوعيًا عميقًا لاستقرار نموذجهم الجديد والمعقول. استخدم المؤلفون في [32] نظامًا غير خطي من المعادلات التفاضلية بمعنى مشغل المشتق الكسري من نوع كابوتو لتشكيل نموذج وبائي لعدوى فيروس زيكا، مقسمين إجمالي السكان من البشر والبعوض إلى فئتين مقسمتين (الأشخاص القابلون للإصابة والأشخاص المصابين؛ البعوض القابل للإصابة والبعوض المصاب). قدم مؤلفو [33] نموذجًا وبائيًا من نوع SEIR قائمًا على مشغلات تفاضلية كلاسيكية وكسريّة من نوع كابوتو لدراسة كيفية تغير وباء الحصبة الألمانية في باكستان مع مرور الوقت. في [34]، يقوم نظام كسري بنمذجة تطور موجات سطح السائل. يحل المشتق الكسري من نوع ريمان-ليوفيلي النظام الكسري تحليليًا.
لقد حاولت الأبحاث الحديثة نمذجة هذه الجائحة المدمرة COVID-19 رياضيًا باستخدام بعض هذه المشغلين القابلين للاشتقاق القيم، والتي تُشتق بدورها من معادلات تفاضلية من رتبة كسرية [35]. تم تقديم تقدير المعلمات والمحاكاة العددية لنموذج وبائي غير خطي لـ COVID-19 تم بناؤه باستخدام مشغلات المشتق الكسرية من نوع كابوتو وأتانغانا-بالينو من قبل نايك وآخرون [36]، جنبًا إلى جنب مع تحليل نوعي شامل. استخدمت دراسة أخرى [37] نموذج معادلة تفاضلية غير خطية من نوع أتانا-بالينو لتحليل جائحة COVID-19 في نيجيريا. استكشفت الأبحاث الأخيرة التي أجراها بالينو وآخرون [38] نسخة من المشتق كابوتو-فابريزيو من نموذج الوباء من الرتبة الصحيحة الذي قدمه ودرسه تشين وآخرون [39]. تم إثبات تفرد الحل لنموذج COVID-19 غير الخطي من نوع كابوتو-فابريزيو باستخدام نظرية النقاط الثابتة. استخدموا طريقة التحويل لتحليل الهوموتوبيا وطوروا تقريبًا لسلسلة متقاربة لمشكلة النموذج. في [40]، تم بناء وتحليل نموذج وبائي حتمي من الرتبة الكسرية كابوتو لعدوى COVID-19. لإثبات وجود حل فريد للنموذج الرياضي، لجأوا إلى مفهوم خريطة الانكماش المعروفة لباناش. لإضافة أهمية النظرية الكسرية، قام المؤلفون في [41] بحل
من الصعب التنبؤ بكيفية تأثير الجائحة الحالية على اختيارات الناس للتسجيل في تجربة سريرية للقاح COVID-19 أو للحصول على التطعيم ضد لقاح COVID-19. فرنسا، التي لديها أعلى عدد من الأشخاص الذين يرفضون الحصول على اللقاح، تشعر بالقلق بشكل خاص حيال ذلك. تصنف مراكز السيطرة على الأمراض والوقاية منها (CDC) أربعة من أعلى خمس مقاطعات في الولايات المتحدة من حيث النسبة المئوية للأشخاص الذين تم تطعيمهم بالكامل.
فيما يتعلق بأسباب انخفاض COVID-19، فإن الغالبية العظمى من الأبحاث
استخدام الأدبيات الحالية لمشغلات من الرتبة الكسرية أعطى الدافع لتطوير نموذج وبائي لعدوى COVID-19، والذي يتضمن فئة للسكان الملقحين. تقترح هذه الورقة نموذج SAIVR بديل للنموذج الذي تم اقتراحه أصلاً في [42] تحت حساب التفاضل الكلاسيكي، حيث يحدث انتشار COVID-19 مباشرة بين فئة من الأفراد المعرضين للإصابة والمرضى المصابين الذين يتم تلقيحهم ضد ذلك. يستخدم النموذج مشتق كابوتو من الرتبة الكسرية ويعتمد على اقتران المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية مع الخصائص الواقعية.
يتكون المخطط التالي من هيكل الورقة: يتم تنفيذ البناء الرياضي لنظام ديناميكي غير خطي SAIVR في القسم 2 مع بعض الشروحات لاستخدام مشغل المشتق الكسرى كابوتو في القسم 3. في القسم 4، يتم تقدير المعلمات البيولوجية للنموذج. يتم مناقشة التحليل النوعي للنموذج غير الخطي بالتفصيل في القسم 5، والذي يتضمن فحص الوجود، والتفرد، والحالات الثابتة لنموذج كابوتو. تشمل المحاكاة للنموذج في القسم 6. يقدم القسم 7 الاستنتاج واتجاهات البحث المستقبلية.
2 الصياغة الرياضية
مؤخراً، في [42]، تم تطوير نموذج وبائي قياسي لشرح انتقال COVID-19 باستخدام المشتقات الزمنية من الدرجة الأولى من حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي. نموذج SAIVR الديناميكي غير الخطي الملقح هو نوع حتمي من النظام يعتمد على خمسة أقسام، حيث يوجد مخطط تدفقه في الشكل 1، حيث يمكن فهم ديناميات حركة الأفراد بسهولة. يتم تقديم النموذج كما يلي:
يتم استخدام مشغل كابوتو، وهو مشغل من نوع الكسر، لتحليل النموذج الحتمي من الدرجة الصحيحة. يتم تقييم نموذج SAIVR الوبائي لفيروس COVID-19 بشكل كسري باستخدام مشغل من نوع كابوتو على فرضية وجود حلول وأن المشغل المستخدم في المعادلات التفاضلية غير الخطية من هذا النوع. نتيجة لاستخدامه الواسع في نمذجة الأوبئة، فإن مشغل كابوتو الكسرية لديه
الشكل 1 مخطط انسيابي لديناميات نموذج SAIVR المذكور في (1)
اكتسبت شعبية. تم تقسيم نموذج SAIVR في نظام حتمي إلى خمس فئات: الأفراد المعرضين، غير الأعراض/غير المكتشفين، المصابين، الملقحين، والمتعافين في أي لحظة من الزمن.
في هذه الدراسة، نبحث في كيفية استخدام حساب التفاضل الكسري في علم الأوبئة الرياضية لإنشاء نموذج لفيروس كورونا، من بين مجالات أخرى. في الواقع، يتطلب النمذجة الدقيقة لتلك الأنظمة المتعلقة بالأمراض المعدية استخدام صيغ المشتقات الكسرية. على أي حال، توفر أنظمة المعادلات التفاضلية من الرتبة الكسرية تقنية نمذجة مثيرة للاهتمام في سياق علم الأوبئة، كما يمكن توقعه، نظرًا لأنها تسمح بدرجات أعلى من الحرية وتدمج تأثيرات الذاكرة في النموذج. في الواقع، تعتبر المشتقة من الرتبة الكسرية أداة جيدة للتعبير عن ميزات الذاكرة والوراثة للعديد من المواد والعمليات، مما يجعل المعادلات التفاضلية الكسرية أكثر كفاءة في…
تسجيل الظواهر المتعلقة باللاتمحورية أكثر من المشتقات ذات الرتبة الصحيحة. لذلك، تم استخدام المشتقات الكسرية المستندة إلى الأوبئة أيضًا لمعالجة بعض الاتجاهات الوبائية. بشكل عام، لا ينتج هذا النموذج الأساسي/الكلاسيكي نتائج كافية أو مرضية، كما يتضح من فشل المعادلات التفاضلية الكلاسيكية من الرتبة الأولى في إعادة إنتاج البيانات الإحصائية التي تم جمعها خلال وباء حقيقي للمرض بدقة. في عملنا، استكشفنا مجموعة أكثر دقة وتعقيدًا من المعادلات التفاضلية الكسرية في محاولة لتحقيق نتائج أفضل تتماشى أكثر مع الواقع.
تسجيل الظواهر المتعلقة باللاتمحورية أكثر من المشتقات ذات الرتبة الصحيحة. لذلك، تم استخدام المشتقات الكسرية المستندة إلى الأوبئة أيضًا لمعالجة بعض الاتجاهات الوبائية. بشكل عام، لا ينتج هذا النموذج الأساسي/الكلاسيكي نتائج كافية أو مرضية، كما يتضح من فشل المعادلات التفاضلية الكلاسيكية من الرتبة الأولى في إعادة إنتاج البيانات الإحصائية التي تم جمعها خلال وباء حقيقي للمرض بدقة. في عملنا، استكشفنا مجموعة أكثر دقة وتعقيدًا من المعادلات التفاضلية الكسرية في محاولة لتحقيق نتائج أفضل تتماشى أكثر مع الواقع.
3 لماذا نموذج COVID-19 مع مشغل كابوتو؟
تستخدم النماذج التقليدية مشغلات تفاضلية وتكاملية محلية، والتي تتجاهل تفاصيل الوباء المدروس. لذلك، يتم تجاهل ميزات الذاكرة للنظام الأساسي من قبل حساب التفاضل والتكامل التقليدي. أظهرت بعض الدراسات الحديثة أن المشغلات غير المحلية تتفوق على الكلاسيكية، مما يجعلها الخيار الوحيد لدمج تأثيرات الذاكرة في النموذج الحتمي للوباء. شهدت الأدبيات العلمية الحديثة اقتراح نماذج وبائية متعددة لانتشار فيروس COVID-19. تم إنشاء العديد منها بمساعدة مشغلات تفاضلية من رتبة كسرية، وأشهرها يسمى كابوتو. ومع ذلك، نادراً ما تشرح معظم المقالات البحثية عملياً سبب استخدام مشغل كابوتو. في هذه الورقة، حاولنا وصف بعض الأسباب الأكثر بروزًا التي تجعل مشغل كابوتو يجب أن يؤخذ في الاعتبار عند نمذجة مرض معدٍ باستخدام معادلات تفاضلية غير خطية. فيما يلي بعض التفسيرات:
- لأنه من المعروف أن الأمراض المعدية تحتوي على مكونات وراثية، فإن البدائل الأكثر ملاءمة لنمذجة الأمراض المعدية هي المشغلين من الرتبة الكسرية الذين يمكن أن يحافظوا على ذاكرة الأنظمة المعنية [44]. بهذه الطريقة، يعتبر مشغل كابوتو الخيار الأفضل لاستبدال المشتق الزمني من الرتبة الصحيحة في نموذج COVID-19 الذي يتم الحديث عنه حاليًا.
- استبدال
بـ في صيغة كوشي للتكامل المتكرر ينتج عنه صيغة التكامل المعروفة ريمان-ليوفيلي، التي كانت أساسًا لتطوير العديد من الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العادية والجزئية الكسرية. - استخدمت الأعمال الحديثة بنجاح مراجعة كابوتو للنماذج الوبائية التقليدية، التي تم اقترانها بتفاصيل تتعلق بوجود حل واحد ودراسة استقرار النظام [45]. في ذلك الجزء، تم استخدام المحاكاة لإظهار لماذا يعتبر متغير كابوتو أفضل من النموذج القياسي (الكلاسيكي: المشتقات من الرتبة الصحيحة).
- تظهر الأبحاث الوبائية المنشورة مؤخرًا [46] أن النماذج القديمة فشلت في حساب الديناميات المعقدة وغير القابلة للتنبؤ لانتشار العدوى. بدلاً من ذلك، استخدمنا بيانات فعلية تتعلق بالوباء، إلى حد كبير من مصادر موثوقة مثل منظمة الصحة العالمية والمقالات المنشورة علميًا، لتأكيد وت corroborate حسابات كابوتو. لتوضيح الرقم التناسلي الأساسي، الذي يصف العدد النموذجي للحالات الثانوية المصابة الناتجة عندما يدخل فرد معدٍ إلى فئة قابلة تمامًا للإصابة، يمكننا استخدام مشغل كابوتو التفاضلي لتحليل سلوك المرض تحت قيم مختلفة للمعلمات البيولوجية.
- أخيرًا، باستخدام مشغل من الرتبة الكسرية لأي نموذج فيزيائي أو بيولوجي، يمكن للمرء التحقق من عدم وجود معنى فيزيائي أو هندسي للمعامل الكسرية
مع الأخذ في الاعتبار أنه لا يوجد معنى فيزيائي أو هندسي حتى للمشتقات من الرتبة الصحيحة، مثل المعادلة التفاضلية من الرتبة الرابعة لانحراف شعاع [47] حيث لا يحمل المشتق الرابع نفسه أي معنى.
4 أفضل ملاءمة للمعلمات البيولوجية
يمكن تفسير ديناميات الوباء من خلال نظام من المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية، ولكن هناك تحديات مرتبطة بالتحقق من صحة المعادلات التفاضلية المقترحة وتحقيق قيم مناسبة للمعلمات (أو البيولوجية) العاملة للمعادلات المقترحة. نظرًا لأن معظم المعلمات غير محددة تمامًا من المعلومات المتاحة حول النظام غير الخطي قيد الدراسة، فإن النماذج التي تحتاج إلى تحسين وتناسب المعلمات منتشرة عبر عدة مجالات. عادةً ما يتم تمثيل الأمراض المعدية في الوبائيات الرياضية باستخدام مجموعة من المعادلات التفاضلية غير الخطية مع عدد من المعلمات المستمرة التي تعتبر قيمها الملائمة حاسمة للحصول عليها باستخدام طرق مختلفة متاحة حاليًا في الأدبيات. ومع ذلك، بمساعدة الديموغرافيا وتاريخ المرض المدروس، يمكن حساب العديد من المعلمات البيولوجية المرتبطة بالوباء المقترح بسهولة. من الممارسات الشائعة استخدام المعلمات البيولوجية من خلال استخدام القيم المكتشفة من خلال الدراسة أو إجراء افتراضات مستنيرة حولها. ومع ذلك، يمكن أن تجعل هذه الطريقة أحيانًا المرض يتصرف بطرق يصعب التنبؤ بها، مما يعني أن النموذج المقترح لا يمكن اختباره.
تعتبر المعلمات غير المعروفة واحدة من أكثر الجوانب تحديًا في دراسة الرياضيات المتعلقة بالأمراض المعدية. في الوبائيات، قد تستخدم النماذج الحتمية عدة طرق لتناسب القيم للمعلمات غير المعروفة، بما في ذلك فرز المكونات الرئيسية المتكررة وتناسب المنحنيات غير الخطية. في نموذج COVID-19 SAIVR، يحتاج العلماء إلى معرفة أحد عشر معلمة وبائية: معدل تدفق الأفراد القابلين للإصابة، غير المصابين/غير المكتشفين، معدل التطعيم، ومعدل الشفاء. تم استخدام بيانات من الموقع الرسمي لمنظمة الصحة العالمية للتنبؤ بانتشار COVID-19 في تركيا (مارس-أبريل 2022). يحتوي المشتق كابوتو على شفاء أولي من
يظهر مشغل المشتق الكسرية كابوتو بوضوح تفوقه على النهج القياسي كما يتضح من الأخطاء المتوسطة المطلقة:
الجدول 1 المعلمات البيولوجية المستخدمة في النموذج
| المعلمة | الشرح | (كابوتو) | (كلاسيكي) | المصدر |
|
|
معدل تعرض الأفراد للأعراض |
|
|
ملائم |
|
|
من الرتبة الكسرية |
|
1 | ملائم |
|
|
معدل العدوى غير المصابة | 0.002 | 0.02 | ثابت |
|
|
معدل العدوى للأفراد غير المصابين | 0.005 | 0.01 | ثابت |
|
|
معدل العدوى المصابة | 0.005 | 0.005 | ثابت |
|
|
معدل الإزالة | 1/9 | 1/12 | ثابت |
|
|
معدل الأفراد الملقحين (غير المناعيين) | 0.02 | 0.5 | ثابت |
|
|
معدل الانتقال الذي يتواصل فيه الأفراد غير المصابين ويعدون الأفراد الملقحين (لكنهم لا يزالون غير المناعيين) | 0.05 | 0.05 | ثابت |
|
|
معدل التطعيم للجرعة الأولى | 0.01 | 0.01 | ثابت |
|
|
فعالية اللقاح | 0.05 | 0.002 | ثابت |
|
|
المناعة والانتقال إلى قسم الإزالة | 0.02 | 0.02 | ثابت |
الشكل 2 سلوك نموذج كابوتو مقارنة بالحالات الإحصائية مع مخطط المتبقي
الشكل 3 سلوك النموذج الكلاسيكي مقارنة بالحالات الإحصائية مع مخطط المتبقي
الشكل 4 المقارنة بين البيانات الطبية الحقيقية، والمحاكاة من النموذج الكلاسيكي (1)، والمحاكاة من نموذج كابوتو المعطاة في (2) عبر مخطط Box-Whisker
5 تحليل ملخص
في هذا القسم، تم إجراء تحليل نوعي مفصل لنموذج كابوتو من الرتبة الكسرية (2) حيث يتم التركيز بشكل رئيسي على وجود وحصرية الحلول للنظام، بما في ذلك تحليل استقراره عبر معيار استقرار هايرز-أولام-راسياس.
5.1 نتائج الوجود والحصرية
في سياق هذه الدراسة، يدعم مبدأ انكماش باناش حصرية الحل من خلال توفير أساس رياضي لإثبات أن نموذج كابوتو SAIVR المقترح يتقارب إلى حل واحد فريد، مما يدل على موثوقية واستقرار النموذج في التنبؤ بديناميات جائحة COVID-19. ستناقش هذه القسم شرط ليبشيتز، الوجود، الحصرية، واستقرار النموذج (2). نتيجة لذلك، نفترض أولاً القيم الخمسة للنواة التالية من أجل البساطة والوضوح:
تطبيق مشغل كابوتو من الرتبة الكسرية على النوى الخمسة المذكورة أعلاه المعطاة في (3)،
حيث
نظرية 1 النوى الخمسة المذكورة أعلاه
الدليل أولاً، يتم تبرير شرط ليبشيتز لـ
تبسيط وتطبيق خاصية المعيار، نحصل على
أخذ
5.2 وجود الحل
في هذه الفقرة، سنثبت أن نموذج كابوتو (2) قيد النظر لديه على الأقل حل واحد. وبالتالي، تصبح الصيغة التكرارية لـ (4) كما هو موضح أدناه:
تكون الشروط الأولية الإيجابية هي القيم التكرارية الأولى. الفرق بين حدين متتاليين هو كما يلي
من الجدير بالذكر أن
أخذ المعادلة الأولى من النظام (8)، نقيم ما يلي
تطبيق عدم المساواة المثلثية يقلل المعادلة أعلاه إلى
النواة
استنادًا إلى الدليل (9)، يمكننا تقليل عدم المساواة أعلاه بالطريقة التالية
وبالمثل، يمكننا الحصول على النتائج التالية:
النظرية 2 الحل التحليلي موجود لنموذج كابوتو من الرتبة الكسرية (2) تحت الشرط المعطى في
إثبات منذ أن الدوال
نتيجة لذلك، ستستمر الحلول المذكورة أعلاه في الوجود. من ناحية أخرى، لإظهار أن الدوال المذكورة تمثل حل النموذج المقترح، نأخذ في الاعتبار
لذلك، لدينا
باستخدام شرط ليبشيتز,
هذا يعطي,
ثم، في
كـ
وبالمثل، يمكننا اشتقاق
هذا يبرر وجود الحل.
5.3 تفرد الحل
الآن، يجب أن نوضح ما إذا كانت الإجابة فريدة أم لا. لذا، لنفترض أن هناك حلاً آخر للنموذج المقترح موجوداً وهو
المعادلة (22) مع النورم,
النظرية 3 الحل التحليلي فريد من نوعه لنموذج كابوتو الكسري تحت الشرط التالي وهو
الدليل خذ في الاعتبار أن (24) صحيح بحيث من (23)
لذا، يمكننا أن نقول أن
لذا، يوضح هذا الإثبات أن النسخة المقترحة من النموذج (2) بمعنى مشغل كابوتو لها حل فريد.
5.4 استقرار هايرز-أولام-راسياس
استقرار هايرز-أولام-راسياس هو مفهوم في التحليل الدالي، وخاصة في نظرية المعادلات الدالية. يشير إلى استقرار معادلة دالية تحت اضطرابات صغيرة في متغيراتها. بعبارة أخرى، يقيس مدى قرب حل معادلة دالية من أن يكون حلاً لإصدار مضطرب من تلك المعادلة. إن استقرار المعادلة الدالية هو خاصية مفيدة لإثبات وجود وحيدة الحلول، وله تطبيقات مهمة في مجموعة واسعة من المجالات، بما في ذلك الرياضيات، والفيزياء، والهندسة، والاقتصاد. تتناول هذه الفقرة تحليل الاستقرار للنموذج الكسري (2) تحت مفاهيم تحليل استقرار هايرز-أولام-راسياس. دعونا نعيد كتابة النموذج (3) كما يلي:
حيث، المتجه
التعريف 1 افترض أن الترتيب الكسري
التعريف 2 افترض أن الترتيب الكسري
الآن، لإثبات أن النموذج (27) مستقر وفقًا لمبدأ هايرز-أولام-راسياس، نفترض أن:
-
هو خريطة مستمرة. -
بحيث لكل حل ،
-
دع كن دالة متزايدة، ولتكن بحيث
النظرية 4 افتراض أن
إثبات دع
استنادًا إلى الدليل في (30)، يمكننا أن نقول أن
إذن،
الآن،
تؤدي متباينة غروينوال
في الإعداد
أكدت عدم المساواة (35) أن النموذج (27) مستقر بشكل عام وفقًا لمبدأ هايرز-أولام-راسياس بالنسبة لـ
6 النتائج العددية من المحاكاة
تحلل هذه القسم الديناميات العددية لوباء COVID-19 كما تم نمذجته باستخدام مشغل كابوتو الكسري. عند القيام بذلك، من المهم أن نأخذ في الاعتبار أن معامل الترتيب الكسري المستخدم في المحاكاة هو الذي تم تحسينه في القسم 4، بينما يتم أخذ بقية المعلمات من العمود الثالث من الجدول 1. يتم استخدام طريقة عددية صريحة من نوع المنبئ-المصحح تم تطويرها [48] خصيصًا للاستخدام في محاكاة المعادلات التفاضلية العادية من نوع كابوتو الكسري في هذه الحالة الخاصة. يمكن العثور على الطريقة نفسها بالإضافة إلى دراسة شاملة لها تستند إلى التحليل التقاربي وتحليل الخطأ في [49]. لقد نالت الطريقة العددية التي تم تطويرها خصيصًا لهذا الهدف الكثير من الثناء في أحدث الأبحاث بسبب سهولة استخدامها وقابليتها للتكيف. علاوة على ذلك، ناقش مؤلف [50] النهج العددي في تنفيذ MATLAB بشكل شامل، بما في ذلك قدرات المنبئ-المصحح. تم تبسيط المحاكاة لعمل البحث الحالي لنموذج كابوتو COVID-19 (2) بشكل كبير من خلال استخدام مثل هذه الروتينات المتاحة بسهولة على MathWorks. يجب ملاحظة أننا نشغل برنامج MATLAB على نظام Windows مع معالج Intel(R) Core(TM) i7-1065G7 الذي يعمل على
بالنسبة لنموذج COVID-19 الذي تم اختياره ليتم تشغيله بواسطة مشغل كابوتو، هناك العديد من المعلمات الحاسمة التي تحتاج قيمها إلى اهتمام دقيق لتحديد ما إذا كانت
بالنسبة لنموذج COVID-19 الذي تم اختياره ليتم تشغيله بواسطة مشغل كابوتو، هناك العديد من المعلمات الحاسمة التي تحتاج قيمها إلى اهتمام دقيق لتحديد ما إذا كانت
الشكل 5 السلوك الديناميكي للأفراد القابلين للإصابة، غير الظاهرين للأعراض، الملقحين، والمزالين المدرجين في النموذج (2) على مدى فترة [0، 100]
تزداد أو تتقلص. في هذا الصدد، اخترنا بعض العوامل، مثل معدل تعرض الأفراد
تم إنتاج عدة ملاحظات نتيجة لتشغيل المحاكاة باستخدام نسخة كابوتو من نموذج COVID-19. تُظهر الشكل 5 أن السلوك الديناميكي للفئات الأربع (المعرضة، المتلازمة، الملقحة، والمتعافية) يعكس التحليل النظري الذي يتم ملاحظته في المجتمع بعد أن تم محاكاته باستخدام المتغيرات الأربعة (المعرضة، المتلازمة، الملقحة، والمتعافية). تم إجراء المحاكاة باستخدام المعلمات التي تتناسب بشكل أفضل مع نموذج كابوتو. إذا تم استخدام المعلمات الموضحة في الجدول، فإن عدد الأفراد المعرضين للمرض والذين تعافوا منه سيزداد مع مرور الوقت، بينما سيبدأ عدد الأفراد في المجموعات المتلازمة والملقحة في الانخفاض. بالإضافة إلى ذلك، يمكن رؤية من الشكل 6 أنه إذا قمنا بزيادة معدل التعرض قليلاً، فإن العدوى سترتفع بشكل كبير، مما يوضح حساسية هذه المعلمة الأساسية. وهذا ما يتضح أنه صحيح. وهذا يوضح أنه إذا كان بإمكان المرء إدارة عدد الأشخاص المعرضين للعدوى، فيمكنه أيضًا السيطرة على العدوى. السلوك-
الشكل 6 السلوك الديناميكي للأفراد المصابين المدرجين في النموذج (2) على مدى فترة [0،100] تحت تأثير زيادة معدل التعرض
الشكل 7 السلوك الديناميكي للأفراد المصابين المدرجين في النموذج (2) على مدى فترة [0,100] تحت تأثير زيادة معدل العدوى التقاربي
الشكل 8 السلوك الديناميكي للأفراد المصابين المدرجين في النموذج (2) على مدى فترة [0، 100] تحت تأثيرات الانخفاض في الترتيب الكسري
يظهر نوع مماثل من السلوك فيما يتعلق بمعدل العدوى، كما هو موضح في الشكل 7.
أخيرًا، من المهم أخذ معامل الترتيب الكسري في الاعتبار أثناء فهم نمط انتقال المرض. كما هو موضح في الشكل 8، لا يُنصح باستخدام قيم لهذا المعامل أقل من القيم المعروضة، وتحديد القيمة المثلى للمعامل له أهمية قصوى. في البحث الحالي، تم تنفيذ هذه العملية بشكل خاص. يجب أيضًا الإشارة إلى أنه تم إجراء العديد من الدراسات التي قامت بهذا النوع من التحليل، والذي يجد القيمة المثلى لمعامل الترتيب الكسري بمعنى كابوتو. هذا شيء يستحق الاعتبار.
6.1 أثر الذاكرة والسمات الوراثية
استخدام التفاضل من الرتبة الكسرية لتمثيل آثار الذاكرة في النظام، نموذج كابوتو الوبائي من الرتبة الكسرية هو نموذج رياضي يستخدم للتنبؤ بانتقال الأمراض المعدية [51]. يُستخدم مصطلح “أثر الذاكرة” هنا لوصف كيف أثرت العدوى السابقة على الوباء الحالي. لأخذ العوامل الوراثية التي قد تؤثر على ديناميات انتقال المرض في الاعتبار، يمكن توسيع النموذج ليشمل الخصائص الوراثية. تُستخدم المعادلات التفاضلية من الرتبة الكسرية (FODE)، حيث لا يكون ترتيب المشتق عددًا صحيحًا بل قيمة كسرية، في النماذج الوبائية لإضافة آثار الذاكرة. يساعد ذلك النموذج على عكس مسار الوباء بدقة أكبر. تلتقط المشتقات الكسرية تأثير العدوى السابقة في سياق نموذج كابوتو الوبائي من الرتبة الكسرية، حيث تصف المعادلات التفاضلية من الرتبة الكسرية ديناميات الوباء. لذلك، فإن الحالة الحالية للمرض تعتمد ليس فقط على السكان المتأثرين حاليًا ولكن أيضًا على مستوياتهم السابقة. يمكن استخدام أثر الذاكرة في هذا النموذج لالتقاط ظواهر مثل التطور البطيء ولكن الثابت للمناعة في السكان، ومتانة المرض، وآثار العلاجات المستمرة.
تُقال الصفات التي يمكن أن تنتقل من جيل إلى جيل بأنها وراثية. هذه الخصائص ذات صلة بعلم الأوبئة لأنها يمكن أن تؤثر على قابلية الفرد للإصابة، ومعدل الانتقال، والتشخيص. يشير تضمين العناصر الوراثية في المعادلات التفاضلية التي تنظم ديناميات الوباء إلى تضمين الخصائص الوراثية في نموذج كابوتو الوبائي من الرتبة الكسرية. يمكن أن تتأثر معدلات الانتقال، ومعدلات الشفاء، ومعدلات الاتصال ببعض معلمات النموذج بواسطة العوامل الوراثية. قد تتغير ديناميات المرض بشكل جذري بسبب الخصائص الموروثة. قد يعتمد ما إذا كان الفرد يصاب بمرض، أو قادرًا على نقله للآخرين، أو يستفيد من برنامج التطعيم على تركيبه الجيني. يعد دمج البيانات الوراثية ومبادئ علم الوراثة السكانية في نموذج وبائي لأخذ الخصائص القابلة للإرث في الاعتبار مهمة صعبة. في الختام، يعد نموذج كابوتو الوبائي من الرتبة الكسرية أداة فعالة لنمذجة دور الذاكرة في انتشار المرض. يأخذ في الاعتبار تأثير العدوى السابقة على الوباء الحالي من خلال استخدام المشتقات من الرتبة الكسرية. يمكن أيضًا أخذ العوامل الوراثية التي تؤثر على انتقال المرض وقابلية الإصابة في الاعتبار من خلال تضمين الخصائص الوراثية في النموذج. يمكن استخدام هاتين الميزتين لتطوير نماذج أكثر دقة وشمولية لديناميات الأمراض المعدية في المجتمعات.
للتعمق في سلوك النموذج (2)، نستخدم مشغل كابوتو المحدد في [52] لتحليلنا. بالنسبة لـ
باستخدام واحدة من أكثر الطرق العددية استخدامًا، وهي مخطط L1 [52]، فإن التقريب العددي للمشتق من الرتبة الكسرية (FOD) لـ
حيث
لذلك، يمكن اعتبار الفرق بين مصطلح ماركوف وأثر الذاكرة [53، 54] كحل FODE. إليك كيف يؤثر دالة غاما على مصطلح ماركوف:
أثر الذاكرة (MT) (
الذاكرة قادرة على دمج جميع الأفعال السابقة، وهذا يشمل التطور التاريخي الهائل للنظام. عندما
باستخدام (41) وأول حجرة من نظام كابوتو الكسرية (2)، يتم إعطاء الحل العددي للأفراد القابلين للإصابة
حيث
الشكل 9 تأثيرات أثر الذاكرة على كل مجموعة سكانية من النموذج (2)
وأثر الذاكرة (MT) يُعطى بواسطة:
من خلال اتباع نفس الخطوات، يمكن تحقيق التقريبات العددية للمشتق من الرتبة الكسرية لـ
7 الخاتمة
لقد قمنا بتجزئة نموذج SAIVR الوبائي من الرتبة
الشكر والتقدير
يود المؤلف (AT) أن يشكر جامعة مجمعه على توفير بيئة البحث والدعم.
التمويل
لم يتم تلقي أي تمويل خارجي محدد لهذه المقالة.
الإعلانات
موافقة الأخلاقيات والموافقة على المشاركة
غير قابل للتطبيق.
الموافقة على النشر
قرأ جميع المؤلفين ووافقوا على النسخة المقدمة من المخطوطة.
المصالح المتنافسة
يعلن المؤلفون عدم وجود مصالح متنافسة.
مساهمات المؤلفين
يؤكد المؤلفون مساهمتهم في الورقة على النحو التالي: أدرك كل من AT و SQ الفكرة، وقاموا بإجراء تحليل رسمي، وكتبوا المسودة الأصلية. كتب AS المسودة الأصلية، وأجرى التحقيق، والمنهجية، والبرمجيات؛ وقام O.A. A و M. S بالتحقق، والتصور، والإشراف، والتدقيق النهائي. راجع جميع المؤلفين النتائج ووافقوا على النسخة النهائية من المخطوطة.
تفاصيل المؤلف
تم الاستلام: 22 أغسطس 2023 تم القبول: 3 يناير 2024 تم النشر عبر الإنترنت: 22 يناير 2024
References
- Al-Shomrani, M.M., Musa, S.S., Yusuf, A.: Unfolding the transmission dynamics of monkeypox virus: an epidemiological modelling analysis. Mathematics 11(5), 1121 (2023)
- Jamil, S., Farman, M., Akgül, A., Saleem, M.U., Hincal, E., El Din, S.M.: Fractional order age dependent Covid-19 model: an equilibria and quantitative analysis with modeling. Results Phys. 53, 106928 (2023)
- Yao, S.W., Farman, M., Akgül, A., Nisar, K.S., Amin, M., Saleem, M.U., Inc, M.: Simulations and analysis of COVID-19 as a fractional model with different kernels. Fractals 31, 2340051 (2023)
- Zarin, R., Khan, M., Khan, A., Yusuf, A.: Deterministic and fractional analysis of a newly developed dengue epidemic model. Waves Random Complex Media, 1-34 (2023). https://doi.org/10.1080/17455030.2023.2226765
- Partohaghighi, M., Yusuf, A., Alshomrani, A.S., Sulaiman, T.A., Baleanu, D.: Fractional hyper-chaotic system with complex dynamics and high sensitivity: applications in engineering. Int. J. Mod. Phys. B, 2450012 (2023). https://doi.org/10.1142/S0217979224500127
- Liu, P., Rahman, M.U., Din, A.: Fractal fractional based transmission dynamics of COVID-19 epidemic model. Comput. Methods Biomech. Biomed. Eng. 25(16), 1852-1869 (2022)
- Liu, P., Huang, X., Zarin, R., Cui, T., Din, A.: Modeling and numerical analysis of a fractional order model for dual variants of SARS-CoV-2. Alex. Eng. J. 65, 427-442 (2023)
- Atede, A.O., Omame, A., Inyama, S.C.: A fractional order vaccination model for COVID-19 incorporating environmental transmission: a case study using Nigerian data. Bull. Biomath. 1(1), 78-110 (2023)
- Din, A., Li, Y., Khan, F.M., Khan, Z.U., Liu, P.: On analysis of fractional order mathematical model of hepatitis B using Atangana-Baleanu Caputo (ABC) derivative. Fractals 30(01), 2240017 (2022)
- Din, A., Li, Y., Yusuf, A., Ali, A.I.: Caputo type fractional operator applied to hepatitis B system. Fractals 30(01), 2240023 (2022)
- Liu, P., Din, A., Zarin, R.: Numerical dynamics and fractional modeling of hepatitis B virus model with non-singular and non-local kernels. Results Phys. 39, 105757 (2022)
- Arif, M., Di Persio, L., Kumam, P., Watthayu, W., Akgül, A.: Heat transfer analysis of fractional model of couple stress Casson tri-hybrid nanofluid using dissimilar shape nanoparticles in blood with biomedical applications. Sci. Rep. 13(1), 4596 (2023)
- Xu, C., Liu, Z., Pang, Y., Akgül, A.: Stochastic analysis of a COVID-19 model with effects of vaccination and different transition rates: real data approach. Chaos Solitons Fractals 170, 113395 (2023)
- Memon, Z., Qureshi, S., Memon, B.R.: Assessing the role of quarantine and isolation as control strategies for COVID-19 outbreak: a case study. Chaos Solitons Fractals 144, 110655 (2021)
- Du, M., Wang, Z., Hu, H.: Measuring memory with the order of fractional derivative. Sci. Rep. 3(1), 3431 (2013)
- Petráš, I., Terpák, J.: Fractional calculus as a simple tool for modeling and analysis of long memory process in industry. Mathematics 7(6), 511 (2019)
- Mohammadi, F., Moradi, L., Baleanu, D., Jajarmi, A.: A hybrid functions numerical scheme for fractional optimal control problems: application to nonanalytic dynamic systems. J. Vib. Control 24(21), 5030-5043 (2018)
- Rezapour, S., Etemad, S., Mohammadi, H.: A mathematical analysis of a system of Caputo-Fabrizio fractional differential equations for the anthrax disease model in animals. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 481 (2020)
- Githire, G.T.O., Kimathi, G., Wainaina, M.: Analysis of transmission dynamics of anthrax in animals: a modeling approach. J. Sci. Res. Rep. 23(1), 1-9 (2019)
- Naik, P.A., Owolabi, K.M., Yavuz, M., Zu, J.: Chaotic dynamics of a fractional order HIV-1 model involving AIDS-related cancer cells. Chaos Solitons Fractals 140, 110272 (2020)
- Ullah, I., Ahmad, S., ur Rahman, M., Arfan, M.: Investigation of fractional order tuberculosis (TB) model via Caputo derivative. Chaos Solitons Fractals 142, 110479 (2021)
- Atangana, A., Qureshi, S.: Mathematical modeling of an autonomous nonlinear dynamical system for malaria transmission using Caputo derivative. In: Fractional Order Analysis: Theory, Methods and Applications, pp. 225-252 (2020)
- Diethelm, K.: A fractional calculus based model for the simulation of an outbreak of dengue fever. Nonlinear Dyn. 71(4), 613-619 (2013)
- Khan, M.A., Ullah, S., Farhan, M.: The dynamics of Zika virus with Caputo fractional derivative. AIMS Math. 4(1), 134-146 (2019)
- Tulu, T.W., Tian, B., Wu, Z.: Modeling the effect of quarantine and vaccination on Ebola disease. Adv. Differ. Equ. 2017(1), 178 (2017)
- Danane, J., Allali, K., Hammouch, Z.: Mathematical analysis of a fractional differential model of HBV infection with antibody immune response. Chaos Solitons Fractals 136, 109787 (2020)
- El-Saka, H.A.A.: Backward bifurcations in fractional-order vaccination models. J. Egypt. Math. Soc. 23(1), 49-55 (2015)
- Codeço, C.T.: Endemic and epidemic dynamics of cholera: the role of the aquatic reservoir. BMC Infect. Dis. 1(1), 1-14 (2001)
- Javidi, M., Ahmad, B.: A study of a fractional-order cholera model. Appl. Math. Inf. Sci. 8(5), 2195 (2014)
- Vargas-De-León, C.: Volterra-type Lyapunov functions for fractional-order epidemic systems. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 24(1-3), 75-85 (2015)
- Özalp, N., Demirci, E.: A fractional order SEIR model with vertical transmission. Math. Comput. Model. 54(1-2), 1-6 (2011)
- Rezapour, S., Mohammadi, H., Jajarmi, A.: A new mathematical model for Zika virus transmission. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 589 (2020)
- Qureshi, S.: Periodic dynamics of rubella epidemic under standard and fractional Caputo operator with real data from Pakistan. Math. Comput. Simul. 178, 151-165 (2020)
- Al-Deiakeh, R., Al-Smadi, M., Yusuf, A., Al-Omari, S., Momani, S.: Explicit solutions for fractional Chaffee-Infante reaction-diffusion coupled hierarchy system with conservation laws. Math. Methods Appl. Sci. 46, 12777-12793 (2023)
- Pinto, C.M., Carvalho, A.R.: The role of synaptic transmission in a HIV model with memory. Appl. Math. Comput. 292, 76-95 (2017)
- Naik, P.A., Yavuz, M., Qureshi, S., Zu, J., Townley, S.: Modeling and analysis of COVID-19 epidemics with treatment in fractional derivatives using real data from Pakistan. Eur. Phys. J. Plus 135(10), 1-42 (2020)
- Peter, O.J., Shaikh, A.S., Ibrahim, M.O., Nisar, K.S., Baleanu, D., Khan, I., Abioye, A.I.: Analysis and dynamics of fractional order mathematical model of COVID-19 in Nigeria using Atangana-Baleanu operator. Comput. Mater. Continua 66(2), 1823-1848 (2021)
- Baleanu, D., Mohammadi, H., Rezapour, S.: A fractional differential equation model for the COVID-19 transmission by using the Caputo-Fabrizio derivative. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 299 (2020)
- Chen, T.M., Rui, J., Wang, Q.P., Zhao, Z.Y., Cui, J.A., Yin, L.: A mathematical model for simulating the phase-based transmissibility of a novel coronavirus. Infect. Dis. Poverty 9(1), 1-8 (2020)
- Baba, I.A., Nasidi, B.A.: Fractional order epidemic model for the dynamics of novel COVID-19. Alex. Eng. J. 60(1), 537-548 (2021)
- Faridi, W.A., Asjad, M.I., Jhangeer, A., Yusuf, A., Sulaiman, T.A.: The weakly non-linear waves propagation for Kelvin-Helmholtz instability in the magnetohydrodynamics flow impelled by fractional theory. Opt. Quantum Electron. 55(2), 172 (2023)
- Angeli, M., Neofotistos, G., Mattheakis, M., Kaxiras, E.: Modeling the effect of the vaccination campaign on the COVID-19 pandemic. Chaos Solitons Fractals 154, 111621 (2022)
- Coronel-Escamilla, A., Gomez-Aguilar, J.F., Stamova, I., Santamaria, F.: Fractional order controllers increase the robustness of closed-loop deep brain stimulation systems. Chaos Solitons Fractals 140, 110149 (2020)
- Pinto, C.M., Carvalho, A.R.: Diabetes mellitus and TB co-existence: clinical implications from a fractional order modelling. Appl. Math. Model. 68, 219-243 (2019)
- Zeb, A., Atangana, A., Khan, Z.A., Djillali, S.: A robust study of a piecewise fractional order COVID-19 mathematical model. Alex. Eng. J. 61(7), 5649-5665 (2022)
- Baba, I.A., Rihan, F.A.: A fractional-order model with different strains of COVID-19. Phys. A, Stat. Mech. Appl. 603, 127813 (2022)
- Bonanno, G., Di Bella, B., O’Regan, D.: Non-trivial solutions for nonlinear fourth-order elastic beam equations. Comput. Math. Appl. 62(4), 1862-1869 (2011)
- Diethelm, K., Ford, N.J., Freed, A.D.: A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations. Nonlinear Dyn. 29(1), 3-22 (2002)
- Diethelm, K., Ford, N.J., Freed, A.D.: Detailed error analysis for a fractional Adams method. Numer. Algorithms 36(1), 31-52 (2004)
- Garrappa, R.: Numerical solution of fractional differential equations: a survey and a software tutorial. Mathematics 6(2), 16 (2018)
- Ahmed, I., Akgül, A., Jarad, F., Kumam, P., Nonlaopon, K.: A Caputo-Fabrizio fractional-order cholera model and its sensitivity analysis. Math. Model. Numer. Simul. Appl. 3(2), 170-187 (2023)
- Liu, F., Zhuang, P., Liu, Q.: Numerical methods of fractional partial differential equations and applications (2015)
- Özköse, F.: Long-term side effects: a mathematical modeling of COVID-19 and stroke with real data. Fractal Fract. 7(10), 719 (2023)
- Yavuz, M., Özköse, F., Susam, M., Kalidass, M.: A new modeling of fractional-order and sensitivity analysis for hepatitis-B disease with real data. Fractal Fract. 7(2), 165 (2023)
ملاحظة الناشر
تظل Springer Nature محايدة فيما يتعلق بالمطالبات القضائية في الخرائط المنشورة والانتماءات المؤسسية.
- *المراسلة:
a.tassaddiq@mu.edu.sa¹قسم العلوم الأساسية والإنسانية، كلية علوم الحاسوب والمعلومات، جامعة المجمعة، المجمعة، 11952، المملكة العربية السعودية
القائمة الكاملة لمعلومات المؤلف متاحة في نهاية المقالة - © المؤلفون 2024. الوصول المفتوح، هذه المقالة مرخصة بموجب رخصة المشاع الإبداعي للاستخدام والمشاركة والتكيف والتوزيع وإعادة الإنتاج في أي وسيلة أو صيغة، طالما أنك تعطي الائتمان المناسب للمؤلفين الأصليين والمصدر، وتوفر رابطًا لرخصة المشاع الإبداعي، وتوضح ما إذا كانت هناك تغييرات قد تم إجراؤها. الصور أو المواد الأخرى من طرف ثالث في هذه المقالة مشمولة في رخصة المشاع الإبداعي للمقالة، ما لم يُشار إلى خلاف ذلك في سطر الائتمان للمادة. إذا لم تكن المادة مشمولة في رخصة المشاع الإبداعي للمقالة واستخدامك المقصود غير مسموح به بموجب اللوائح القانونية أو يتجاوز الاستخدام المسموح به، ستحتاج إلى الحصول على إذن مباشرة من صاحب حقوق الطبع والنشر. لعرض نسخة من هذه الرخصة، قم بزيارة http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
Journal: Fixed Point Theory and Algorithms for Sciences and Engineering, Volume: 2024, Issue: 1
DOI: https://doi.org/10.1186/s13663-024-00760-7
Publication Date: 2024-01-22
DOI: https://doi.org/10.1186/s13663-024-00760-7
Publication Date: 2024-01-22
Comparative analysis of classical and Caputo models for COVID-19 spread: vaccination and stability assessment
Abstract
Several epidemiological models use the Caputo fractional-order differential operator without establishing its significance. This study verifies a Caputo operator-based fractional-order epidemiological model of the SAIVR type. COVID-19 kills. Infection weakens the immune system. The fractional Caputo operator describes COVID-19 immunization. Fundamental system characteristics are determined using fractional calculus. Our analysis included the fractional system’s Hyers-Ulam-Rassias stability and stable states. The uniqueness and existence of fractional Caputo system solutions are explored. The least-squares approach determines system parameters. The Caputo fractional-order
Keywords: Fractional Caputo operator; Hyers-Ulam-Rassias stability analysis; Fractional differential equations; Approximate solutions
1 Introduction
The World Health Organization (WHO) called COVID-19 a pandemic after it spread to many countries on all continents in the first quarter of 2020. Different mutations of the new coronavirus have been observed in different regions, resulting in a wide range of symptoms. Fever, dry cough, and fatigue are the most common signs of illness, but other signs, such as a sore throat, diarrhea, loss of taste or smell, or a rash, are less prevalent. COVID-19 can spread through direct contact, indirect contact, droplet spray (like when someone sneezes), short-range transmission, airborne transmission (through aerosol), and long-range transmission.
Integer-order differential equations have been extensively explored for their application in epidemiological models of infectious diseases. Evidence from mathematical modeling of epidemics in the literature suggests that nonlinear dynamical equations can shed light on disease transmission dynamics. Constructing realistic nonlinear compartmental math-
ematical models that are data-driven to better explain the transmission dynamics of epidemics has garnered much attention in the wake of the recent global COVID-19 outbreaks [1-8], including several other important research studies on mathematical modeling with the Caputo and other memory operators, as discussed in [9-12].
Musa et al. [13] propose a novel eight-compartmental deterministic model for the COVID-19 epidemic in Nigeria, which accounts for awareness campaign initiatives and hospitalization control tactics for severe and moderate instances of infections. Infected cumulative instances in Nigeria were used to fit the suggested nonlinear dynamical model from 29 March 2020 to 12 June 2020. Their research shows that an increase in infections could happen in the population if programs to raise awareness are not done well. Some authors in [14] developed and tested a SEQIJR epidemic model that looks at how well quarantine and isolation work to stop COVID-19 outbreaks in Pakistan.
Caputo fractional differential operators are used in mathematical epidemiology to model the dynamics of infectious diseases in populations where memory effects play an important role. Unlike classical differential equations that assume the instantaneous response to perturbations, fractional calculus considers the possibility of memory effects, meaning that the system’s response to a perturbation depends on the entire history of the system. In epidemiology, Caputo fractional differential operators have been used to model the spread of infectious diseases that have a long-lasting impact on individuals, such as measles or rubella. The Caputo fractional derivative of a function can be interpreted as the fractional order derivative of the function’s memory, which can be used to capture the long-term effects of infection on an individual’s immune system. Caputo fractional differential operators have also been used to model the effect of vaccination campaigns, where individuals who have been vaccinated have a lower probability of becoming infected in the future. Using fractional calculus, it is possible to model the long-term effects of vaccination on the dynamics of the disease, which can help inform public health policy decisions. Overall, the use of Caputo fractional differential operators in mathematical epidemiology allows for a more accurate representation of the dynamics of infectious diseases, taking into account the complex interplay between memory effects, disease transmission, and control measures. When modeling biological and engineering processes mathematically, fractional order differential equations are extremely valuable and powerful tools. This is due to the fact that the differential operators in such equations or models are associated with systems with memory dynamics, a property shared by the vast majority of biological and technical systems [15, 16]. To solve the problem of fractional-order models with control functions that change over time, authors in [17] develop a new and effective numerical method based on hybrid Chelyshkov functions.
The fractional calculus Caputo-Fabrizio derivative operator was used by Rezapour and coauthors in [18] to expand the nonlinear integer-order anthrax illness model established and assessed by Githire et al. [19]. The existence criterion of solutions was presented for the suggested fractional-order anthrax disease epidemic model using the PicardLindelof technique. Several infectious disease transmission dynamics, including those of HIV/AIDS [20], tuberculosis [21], malaria [22], dengue fever [23], Zika [24], Ebola [25], and hepatitis B [26], have been studied and analyzed using differential equations characterized by the Caputo fractional-order derivative.
In [27], the dynamics of reverse bifurcation are investigated in a simple but realistic model of a vaccine pandemic. To back up the theoretical results, the author provides qual-
itative and numerical simulations of the formulated mathematical model. The mathematical model of the cholera outbreak that the author developed in [28] was extended and investigated by Javidi et al. [29] to capture the Caputo fractional-order derivative. In [30], the author examined the uniform asymptotic stability of a few simple epidemic models (SIS, SIR, SIRS), as well as the well-known Ross vector-borne diseases in the Caputo sense using Lyapunov functions of the Volterra type.
itative and numerical simulations of the formulated mathematical model. The mathematical model of the cholera outbreak that the author developed in [28] was extended and investigated by Javidi et al. [29] to capture the Caputo fractional-order derivative. In [30], the author examined the uniform asymptotic stability of a few simple epidemic models (SIS, SIR, SIRS), as well as the well-known Ross vector-borne diseases in the Caputo sense using Lyapunov functions of the Volterra type.
In [31], the Caputo fractional derivative is used to analyze the fundamental mathematical model of SEIR, predicated on stochastic population dynamics. The authors provided an in-depth qualitative stability investigation of their novel and plausible deterministic model. The authors in [32] used a nonlinear system of differential equations in the sense of the Caputo fractional order derivative operator to form an epidemiological model for Zika virus infection, dividing the total human and mosquito populations into two compartmental classes (susceptible people and infected people; susceptible mosquitoes and infected mosquitoes). The authors of [33] came up with and studied an SEIR-type epidemic model based on classical and Caputo fractional-order differential operators to describe how the Rubella epidemic in Pakistan changed over time. In [34], a fractional system models liquid surface-stripe wave evolution. The Riemann-Liouville fractional derivative solves the fractional system analytically.
Recent research has attempted to mathematically model this devastating COVID-19 pandemic using some of these valuable differentiable operators, which are, in turn, derived from fractional-order differential equations [35]. Parameter estimation and numerical simulations for a nonlinear COVID-19 epidemiological model built with Caputo and Atangana-Baleanu fractional derivative operators were supplied by Naik et al. [36], along with a comprehensive qualitative analysis. Another study [37] used a nonlinear AtanganaBaleanu fractional-order differential equation model to analyze the COVID-19 pandemic in Nigeria. The latest research by Baleanu et al. [38] explored a Caputo-Fabrizio derivative version of the integer-order epidemic model introduced and studied by Chen et al. [39]. The uniqueness of the solution to the nonlinear Caputo-Fabrizio fractional order COVID19 model was demonstrated using fixed point theory. They used the transform method of homotopy analysis and developed a convergent series approximation to the model problem. In [40], a Caputo fractional order deterministic epidemic model for COVID-19 infection was constructed and analyzed. To prove that there is a unique solution to the mathematical model, they turned to the well-known Banach contraction mapping concept. To add the importance of fractional theory, authors in [41] solve the
It is difficult to predict how the present pandemic may influence people’s choices to enroll in a COVID-19 vaccine clinical trial or to get immunized against the COVID-19 vaccine. France, which has the highest number of people who refuse to get vaccinated, is particularly concerned about this. The Centers for Disease Control and Prevention (CDC) classifies four of the top five counties in the United States with the highest percentage of totally vaccinated people (
In terms of the reasons for the lower COVID-19, the majority of research (
The present literature’s use of fractional-order operators provided the impetus for developing an epidemiological model of the COVID-19 infection, which includes a class for the vaccinated population. This paper proposes an alternate SAIVR model to the model originally proposed in [42] under classical calculus, in which the spread of COVID-19 occurs directly between one class of vulnerable individuals and the infected patients being vaccinated against. The model uses the Caputo fractional-order derivative and is based on the coupling of nonlinear ordinary differential equations with real-world properties.
The following outline constitutes the paper’s structure: The mathematical construction of a SAIVR nonlinear dynamical system is carried out in Sect. 2 with some explanations for the usage of the Caputo fractional derivative operator in Sect. 3. In Sect. 4, the biological parameters of the model are estimated. The qualitative analysis of the nonlinear model is discussed in detail in Sect. 5, which includes an examination of the existence, uniqueness, and steady states of the Caputo model. The simulations of the model are included in Sect. 6. Section 7 gives the conclusion and future research directions.
2 Mathematical formulation
Recently, in [42], a standard epidemic model for explaining COVID-19 transmission has been developed using the first-order time derivatives from classical calculus. The vaccinated SAIVR nonlinear dynamical model is a deterministic type of system based on five compartments whose flow chart is in Fig. 1, wherein the dynamics for the movement of individuals can easily be comprehended. The model is presented as follows:
The Caputo operator, a typical fractional-order operator, is used to analyze the integerorder deterministic model. The COVID-19 epidemic SAIVR model is fractionally evaluated using the Caputo-type operator under the premise that solutions exist and that the operator utilized for nonlinear differential equations is of this kind. As a result of its widespread application in epidemiological modeling, the Caputo fractional operator has
Figure 1 A flow chart for the dynamics of the SAIVR model given in (1)
gained popularity. The SAIVR model in a deterministic system has been separated into five categories: susceptible, asymptomatic/undetected, infected, vaccinated, and recovered individuals at any point in time
In this study, we examine how fractional calculus in mathematical epidemiology can be used to create a model of COVID-19, among other areas. In fact, accurate modeling of those infectious disease systems makes use of fractional derivative formulations. In any case, fractional order differential equation systems provide an interesting modeling technique in the context of epidemiology, as one could expect, given that they permit higher degrees of freedom and incorporate memory effects in the model. In fact, the fractionalorder derivative is a good tool for expressing the memory and heredity features of many materials and processes, making fractional differential equations more sufficient for de-
scribing phenomena related to non-locality than integer-order derivatives. Therefore, epidemic-based fractional derivatives have also been employed to address some epidemic tendencies. In general, this basic/classical model does not yield adequate or satisfactory results, as demonstrated by the failure of the classical first-order differential equations to accurately reproduce the statistical data collected during an actual epidemic of the disease. In our work, we have explored a more precise and intricate set of fractional differential equations in an effort to achieve better findings that are more in line with reality.
scribing phenomena related to non-locality than integer-order derivatives. Therefore, epidemic-based fractional derivatives have also been employed to address some epidemic tendencies. In general, this basic/classical model does not yield adequate or satisfactory results, as demonstrated by the failure of the classical first-order differential equations to accurately reproduce the statistical data collected during an actual epidemic of the disease. In our work, we have explored a more precise and intricate set of fractional differential equations in an effort to achieve better findings that are more in line with reality.
3 Why COVID-19 model with the Caputo operator?
Traditional models employ local differential and integral operators, which ignore the details of the epidemic being studied. Therefore, the memory features of the underlying system are ignored by conventional calculus. Some recent studies have shown that nonlocal operators are superior to classical ones, making them the only choice for incorporating memory effects into the deterministic model of the epidemic [43]. Recent scientific literature has seen the proposal of multiple epidemic models for the spread of the COVID-19 virus. Several have been created with the help of fractional-order differential operators, the most popular of which is called Caputo. However, most research articles practically never explain why the Caputo operator was used. In this paper, we have attempted to describe some of the more salient reasons why the Caputo operator should be considered when modeling an infectious disease with nonlinear differential equations. The following are some of the explanations:
- Because it is common knowledge that infectious diseases contain hereditary components, the most appropriate alternatives for modeling infectious diseases are fractional-order operators that can potentially preserve the memory of the systems being considered [44]. In this way, the Caputo operator is the best choice to replace the integer-order time derivative in the COVID-19 model that is currently being talked about.
- Substituting
for in the Cauchy formula for repeated integration yields the well-known Riemann-Liouville integral formula, which has served as the basis for developing numerous numerical methods for solving fractional ordinary and partial differential equations. - Recent works have successfully used Caputo’s revision of traditional epidemiological models, which are paired with particulars regarding the existence of a single solution and a study of the system’s stability [45]. In that part, simulations were used to show why the Caputo variant is better than the standard (classical: integer-order derivatives) one.
- Epidemiological research published recently [46] demonstrates that older models failed to account for the complex and unpredictable dynamics of an infection’s spread. Instead, we used actual data regarding the outbreak, largely from reputable sources like the World Health Organization and scientifically published articles, to confirm and corroborate the Caputo accounts. To further clarify the basic reproductive number, which describes the typical number of secondary infected cases produced when an infectious individual enters a completely susceptible class, we can use Caputo’s differential operator to analyze the disease’s behavior under different values for biological parameters.
- Finally, using a fractional-order operator for any physical or biological model, one can verify that there is no physical or geometrical meaning of the fractional parameter
while keeping in mind that there is no physical or geometrical meaning of even integer-order derivatives, such as the fourth-order ODE for the deflection of a beam [47] wherein the fourth derivative itself does not have any meaning.
4 Best fitting of biological parameters
An epidemic’s dynamics can be explained by a system of nonlinear ordinary differential equations, but there are challenges associated with validating the suggested differential equations and achieving appropriate values for the working (or biological) parameters of the proposed equations. Since most parameters are fully indeterminate from the available information about the nonlinear system under study, the models with parameters that need to be optimized and fitted are spread out across several domains. Infectious diseases in mathematical epidemiology are typically represented using a set of nonlinear differential equations with a number of continuous parameters whose fitted values are crucial to get using various methods currently accessible in the literature. However, with the aid of demography and the studied disease’s past history, several of the biological parameters connected with the suggested epidemic can be simply computed. It is typical practice to utilize the biological parameters by employing the values discovered through study or making educated assumptions about them. However, this method can sometimes make the disease act in ways that are hard to predict, which means that the proposed model cannot be tested.
Unknown parameters are one of the most challenging aspects of infectious disease mathematics study. In epidemiology, deterministic models may employ several approaches to fit values for unknown parameters, including principle component iterated sorting and nonlinear least-squares curve fitting. In the COVID-19 SAIVR model, scientists need to know eleven epidemiological parameters: the inflow susceptible rate, asymptomatic/undetected, vaccinated rate, and recovery rate. Data from the WHO’s official website was used to predict the outbreak of COVID-19 in Turkey (March-April 2022). The Caputo derivative has an initial recovery of
The Caputo fractional derivative operator clearly outperforms the standard approach as shown by the absolute mean errors:
Table 1 The biological parameters used in the model
| Parameter | Explanation | (Caputo) | (Classical) | Source |
|
|
the rate at which individuals are exposed to symptomatic |
|
|
fitted |
|
|
fractional-order |
|
1 | fitted |
|
|
asymptomatic infection rate | 0.002 | 0.02 | fixed |
|
|
the rate at which individuals are infected to asymptomatic | 0.005 | 0.01 | fixed |
|
|
symptomatic infection rate | 0.005 | 0.005 | fixed |
|
|
the removal rate | 1/9 | 1/12 | fixed |
|
|
the rate at which a vaccinated (not immune) | 0.02 | 0.5 | fixed |
|
|
the transmission rate at which asymptomatic individual comes into contact and infects vaccinated (but still not immune) individuals | 0.05 | 0.05 | fixed |
|
|
the first shot vaccination rate | 0.01 | 0.01 | fixed |
|
|
the vaccine efficacy | 0.05 | 0.002 | fixed |
|
|
immunity and moving to the removed compartment | 0.02 | 0.02 | fixed |
Figure 2 The behavior of the Caputo model in comparison with the statistical cases with the residual plot
Figure 3 The behavior of the classical model in comparison with the statistical cases with the residual plot
Figure 4 The comparison among real medical data, simulations from classical model (1), and the simulations from the Caputo model given in (2) via Box-Whisker chart
5 Abstract analysis
In this section, a detailed qualitative analysis of the fractional-order Caputo model (2) has been carried out wherein major focus is placed upon the existence and uniqueness of solutions of the system, including its stability analysis via Hyers-Ulam-Rassias stability criterion.
5.1 Existence and uniqueness results
In the context of this study, the Banach contraction principle supports the uniqueness of the solution by providing a mathematical foundation to prove that the proposed Caputo SAIVR model converges to a single, unique solution, indicating the reliability and stability of the model in predicting the dynamics of the COVID-19 pandemic. This section will discuss the Lipchitz condition, existence, uniqueness, and stability of the model (2). As a result, we first assume the following five kernel values for simplicity and clarity:
Applying the fractional-order Caputo operator on the above five kernels given in (3),
where
Theorem 1 The above five kernels
Proof First, the Lipchitz condition is justified for
Simplifying and applying the norm property, we get
taking
5.2 Existence of the solution
In this subsection, we will prove that the Caputo model (2) under consideration has at least one solution. Thus, the recursive formula for (4) becomes the one shown below:
The positive initial conditions are first iterative values. The difference between two consecutive terms is as follows
It is worth noticing that
Taking first equation of system (8), we assess the following
Applying the triangular inequality reduces the above equation to
The kernel
On the evidence of (9), we can reduce the above inequality in the following manner
Similarly, we can get the following results:
Theorem 2 The analytical solution exists for the fractional-order Caputo model (2) under the given condition at
Proof Since the functions
As a result, the solutions above will continue to exist. On the other hand, to show that the aforementioned functions represent the suggested model’s solution, we take into account
Therefore, we have
Using the Lipchitz condition,
This gives,
Then, at
As
Similarly, we can derive
This justifies the existence of the solution.
5.3 Uniqueness of the solution
Now, we must demonstrate whether or not the answer is unique. So, suppose that another solution to the suggested model exists and it is
Equation (22) with norm,
Theorem 3 The analytical solution is unique for the Caputo fractional model under the following condition that is
Proof Take into account that (24) holds so that from (23)
Hence, we can say that
Thus, this proof shows that the proposed version of model (2) in the sense of the Caputo operator has a unique solution.
5.4 Hyers-Ulam-Rassias stability
The Hyers-Ulam-Rassias stability is a concept in functional analysis, particularly in the theory of functional equations. It refers to the stability of a functional equation under small perturbations of its arguments. In other words, it measures how close a solution of a functional equation is to be a solution of a perturbed version of that equation. The stability of a functional equation is a useful property for proving the existence and uniqueness of solutions, and it has important applications in a wide range of fields, including mathematics, physics, engineering, and economics. This subsection deals with stability analysis of fractional model (2) under the concepts of Hyers-Ulam-Rassias stability analysis. Let us rewrite model (3) as follows:
where, the vector
Definition 1 Assume that the fractional-order
Definition 2 Assume that the fractional order
Now, to prove that model (27) is the Hyers-Ulam-Rassias stable, we assume that:
-
is a continuous mapping. -
such that for each solution ,
-
Let be an increasing mapping, and let , such that
Theorem 4 Assuming that
Proof Let
On the evidence of (30), we can say that
So,
Now,
The Gronwall’s inequality yields
On setting
Inequality (35) authenticated that model (27) is generalized Hyers-Ulam-Rassias stable with respect to
6 Numerical results from simulations
This section analyzes the numerical dynamics of the COVID-19 epidemic as modeled with the Caputo fractional operator. When doing so, it is important to keep in mind that the fractional order parameter that is used for simulations is the one that was optimized in the Sect. 4, while the rest of the parameters are taken from the third column of the Table 1. An explicit numerical method of the predictor-corrector type that was developed [48] specifically for use in simulations of fractional Caputo types of ordinary differential equations is used in this particular instance. One may find the method itself as well as a comprehensive study of it based upon convergence and error analysis in [49]. The numerical method developed specifically for this objective has garnered much praise in the most recent body of research because of its ease of use and adaptability. Furthermore, the author of [50] has thoroughly discussed the numerical approach in MATLAB implementation, including predictor-corrector capabilities. The simulations for the present research work for the Caputo COVID-19 model (2) were significantly simplified by utilizing such readily available routines on MathWorks. It should be noted that we run the MATLAB software on Windows with an Intel(R) Core(TM) i7-1065G7 CPU running at
For the COVID-19 model selected to be operated on by the Caputo operator, there are many crucial parameters whose values need careful attention to determine whether they
For the COVID-19 model selected to be operated on by the Caputo operator, there are many crucial parameters whose values need careful attention to determine whether they
Figure 5 The dynamical behavior of the susceptible, asymptomatic, vaccinated, and removed individuals included in model (2) over a period [0, 100]
are growing or shrinking. In this regard, we have selected a few factors, such as the individuals’ exposure rate
Several observations have been produced as a consequence of running simulations using the Caputo version of the COVID-19 model. Figure 5 shows that the dynamical behavior of the four classes (susceptible, asymptotic, vaccinated, and recovered) reflects the theoretical analysis that is being observed in the community after it was simulated using the four state variables (susceptible, asymptotic, vaccinated, and recovered). The simulations have been carried out with the parameters that best match the Caputo model. If the parameters shown in the table are used, the number of individuals who are susceptible to the disease and those who have recovered from it will both increase with the passage of time, while the number of individuals in the asymptotic and vaccinated groups will begin to decrease. In addition, it can be seen from Fig. 6 that if we slightly increase the exposure rate, then the infection substantially rises, demonstrating the sensitivity of this fundamental parameter. This is shown to be the case. This demonstrates that if one can manage the number of people exposed to the infection, one can also control the infection. The behav-
Figure 6 The dynamical behavior of the infectious individuals included in model (2) over a period [ 0,100 ] under the effects of increasing exposure rate
Figure 7 The dynamical behavior of the infectious individuals included in the model (2) over a period [0,100] under the effects of increasing asymptotic infection rate
Figure 8 The dynamical behavior of the infectious individuals included in model (2) over a period [0, 100] under the effects of decreasing fractional order
ior of a comparable nature is seen to occur with regard to the infection rate, as shown in Fig. 7.
Last, the fractional-order parameter is important to consider while comprehending the disease transmission pattern. As can be seen in Fig. 8, it is not advised to use values of this parameter that are lower than those shown, and determining the parameter’s optimal value is of the utmost significance. In the current research investigation, this particular procedure was carried out. It should also be mentioned that quite a few studies have been conducted that have carried out this kind of analysis, which finds the optimal value of the fractional-order parameter in the Caputo sense. This is something to consider.
6.1 Memory trace and hereditary traits
Using fractional-order differentiation to represent memory effects in the system, the Caputo fractional-order epidemic model is a mathematical model used to predict the transmission of infectious illnesses [51]. The term “memory trace” is used here to describe how previous infections have affected the current pandemic. To account for genetic factors that may influence the dynamics of illness transmission, the model can be expanded to include hereditary features. Fractional-order differential equations (FODE), in which the derivative order is not an integer but a fractional value, are used in epidemic models to add memory effects. This helps the model more accurately reflect the course of the pandemic. Fractional derivatives capture the effect of prior infections in the setting of the Caputo fractional-order epidemic model, where fractional-order differential equations characterize the dynamics of the epidemic. Therefore, the current status of the disease is dependent not only on the current affected population but also on its past levels. This model’s memory trace can be used to capture phenomena like the population’s slow but steady development of immunity, the disease’s tenacity, and the lasting effects of therapies.
Traits that can be passed down from one generation to the next are said to be hereditary. These characteristics are relevant to epidemiology because they can influence an individual’s vulnerability to infection, transmission rate, and prognosis. Incorporating genetic elements into the differential equations that regulate the dynamics of the epidemic is what is meant by including hereditary qualities in the Caputo fractional-order epidemic model. Transmission rates, recovery rates, and contact rates are just some of the model parameters that might be affected by genetic factors. Disease dynamics may be drastically altered by inherited characteristics. Whether an individual contracts a disease, is able to transfer it to others, or benefits from a vaccination program may all depend on their genetic makeup. Integrating genetic data and population genetics principles into an epidemiological model to account for heritable features is a hard endeavor. In conclusion, the Caputo fractionalorder epidemic model is an effective tool for modeling the role of memory in the spread of disease. It takes into account the impact of previous infections on the current epidemic by employing fractional-order derivatives. Genetic factors influencing illness transmission and susceptibility can also be accounted for by including hereditary features in the model. These two features can be used to develop more precise and all-encompassing models of infectious illness dynamics in communities.
To delve into the behavior of model (2), we utilize the Caputo operator defined in [52] for our analysis. For
Using one of the most widely used numerical methods, namely, the L1 scheme [52], the numerical approximation of the fractional-order derivative (FOD) of
where
Therefore, the difference between the Markov term and the memory trace [53, 54] can be thought of as the FODE solution. Here is how the Gamma function affects the Markov term:
The memory trace (MT) (
The memory is adept at combining all prior acts, and this includes the system’s tremendous historical evolution. When
Using (41) and the first compartment of the Caputo fractional system (2), the numerical solution of Susceptible individuals
where
Figure 9 The effects of memory trace on each population of model (2)
and the memory trace (MT) is given by:
By following the same steps, the numerical approximations of the fractional-order derivative of
7 Conclusion
We have fractionalized the SAIVR epidemic model of order
Acknowledgements
The author (AT) would like to thank DSR Majmaah University for providing the research environment and support.
Funding
No specific external funding was received for this article.
Declarations
Ethics approval and consent to participate
Not applicable.
Consent for publication
All authors have read and agreed to the submitted version of the manuscript.
Competing interests
The authors declare no competing interests.
Author contributions
The authors confirm their contribution to the paper as follows: AT and SQ perceived the Concept, did a Formal Analysis, and wrote the original draft. AS Wrote the original draft, did Investigation, Methodology, and Software; O.A. A and M. S did Validation, and Visualization, Supervision & Final proofreading. All authors reviewed the results and approved the final version of the manuscript.
Author details
Received: 22 August 2023 Accepted: 3 January 2024 Published online: 22 January 2024
References
- Al-Shomrani, M.M., Musa, S.S., Yusuf, A.: Unfolding the transmission dynamics of monkeypox virus: an epidemiological modelling analysis. Mathematics 11(5), 1121 (2023)
- Jamil, S., Farman, M., Akgül, A., Saleem, M.U., Hincal, E., El Din, S.M.: Fractional order age dependent Covid-19 model: an equilibria and quantitative analysis with modeling. Results Phys. 53, 106928 (2023)
- Yao, S.W., Farman, M., Akgül, A., Nisar, K.S., Amin, M., Saleem, M.U., Inc, M.: Simulations and analysis of COVID-19 as a fractional model with different kernels. Fractals 31, 2340051 (2023)
- Zarin, R., Khan, M., Khan, A., Yusuf, A.: Deterministic and fractional analysis of a newly developed dengue epidemic model. Waves Random Complex Media, 1-34 (2023). https://doi.org/10.1080/17455030.2023.2226765
- Partohaghighi, M., Yusuf, A., Alshomrani, A.S., Sulaiman, T.A., Baleanu, D.: Fractional hyper-chaotic system with complex dynamics and high sensitivity: applications in engineering. Int. J. Mod. Phys. B, 2450012 (2023). https://doi.org/10.1142/S0217979224500127
- Liu, P., Rahman, M.U., Din, A.: Fractal fractional based transmission dynamics of COVID-19 epidemic model. Comput. Methods Biomech. Biomed. Eng. 25(16), 1852-1869 (2022)
- Liu, P., Huang, X., Zarin, R., Cui, T., Din, A.: Modeling and numerical analysis of a fractional order model for dual variants of SARS-CoV-2. Alex. Eng. J. 65, 427-442 (2023)
- Atede, A.O., Omame, A., Inyama, S.C.: A fractional order vaccination model for COVID-19 incorporating environmental transmission: a case study using Nigerian data. Bull. Biomath. 1(1), 78-110 (2023)
- Din, A., Li, Y., Khan, F.M., Khan, Z.U., Liu, P.: On analysis of fractional order mathematical model of hepatitis B using Atangana-Baleanu Caputo (ABC) derivative. Fractals 30(01), 2240017 (2022)
- Din, A., Li, Y., Yusuf, A., Ali, A.I.: Caputo type fractional operator applied to hepatitis B system. Fractals 30(01), 2240023 (2022)
- Liu, P., Din, A., Zarin, R.: Numerical dynamics and fractional modeling of hepatitis B virus model with non-singular and non-local kernels. Results Phys. 39, 105757 (2022)
- Arif, M., Di Persio, L., Kumam, P., Watthayu, W., Akgül, A.: Heat transfer analysis of fractional model of couple stress Casson tri-hybrid nanofluid using dissimilar shape nanoparticles in blood with biomedical applications. Sci. Rep. 13(1), 4596 (2023)
- Xu, C., Liu, Z., Pang, Y., Akgül, A.: Stochastic analysis of a COVID-19 model with effects of vaccination and different transition rates: real data approach. Chaos Solitons Fractals 170, 113395 (2023)
- Memon, Z., Qureshi, S., Memon, B.R.: Assessing the role of quarantine and isolation as control strategies for COVID-19 outbreak: a case study. Chaos Solitons Fractals 144, 110655 (2021)
- Du, M., Wang, Z., Hu, H.: Measuring memory with the order of fractional derivative. Sci. Rep. 3(1), 3431 (2013)
- Petráš, I., Terpák, J.: Fractional calculus as a simple tool for modeling and analysis of long memory process in industry. Mathematics 7(6), 511 (2019)
- Mohammadi, F., Moradi, L., Baleanu, D., Jajarmi, A.: A hybrid functions numerical scheme for fractional optimal control problems: application to nonanalytic dynamic systems. J. Vib. Control 24(21), 5030-5043 (2018)
- Rezapour, S., Etemad, S., Mohammadi, H.: A mathematical analysis of a system of Caputo-Fabrizio fractional differential equations for the anthrax disease model in animals. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 481 (2020)
- Githire, G.T.O., Kimathi, G., Wainaina, M.: Analysis of transmission dynamics of anthrax in animals: a modeling approach. J. Sci. Res. Rep. 23(1), 1-9 (2019)
- Naik, P.A., Owolabi, K.M., Yavuz, M., Zu, J.: Chaotic dynamics of a fractional order HIV-1 model involving AIDS-related cancer cells. Chaos Solitons Fractals 140, 110272 (2020)
- Ullah, I., Ahmad, S., ur Rahman, M., Arfan, M.: Investigation of fractional order tuberculosis (TB) model via Caputo derivative. Chaos Solitons Fractals 142, 110479 (2021)
- Atangana, A., Qureshi, S.: Mathematical modeling of an autonomous nonlinear dynamical system for malaria transmission using Caputo derivative. In: Fractional Order Analysis: Theory, Methods and Applications, pp. 225-252 (2020)
- Diethelm, K.: A fractional calculus based model for the simulation of an outbreak of dengue fever. Nonlinear Dyn. 71(4), 613-619 (2013)
- Khan, M.A., Ullah, S., Farhan, M.: The dynamics of Zika virus with Caputo fractional derivative. AIMS Math. 4(1), 134-146 (2019)
- Tulu, T.W., Tian, B., Wu, Z.: Modeling the effect of quarantine and vaccination on Ebola disease. Adv. Differ. Equ. 2017(1), 178 (2017)
- Danane, J., Allali, K., Hammouch, Z.: Mathematical analysis of a fractional differential model of HBV infection with antibody immune response. Chaos Solitons Fractals 136, 109787 (2020)
- El-Saka, H.A.A.: Backward bifurcations in fractional-order vaccination models. J. Egypt. Math. Soc. 23(1), 49-55 (2015)
- Codeço, C.T.: Endemic and epidemic dynamics of cholera: the role of the aquatic reservoir. BMC Infect. Dis. 1(1), 1-14 (2001)
- Javidi, M., Ahmad, B.: A study of a fractional-order cholera model. Appl. Math. Inf. Sci. 8(5), 2195 (2014)
- Vargas-De-León, C.: Volterra-type Lyapunov functions for fractional-order epidemic systems. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 24(1-3), 75-85 (2015)
- Özalp, N., Demirci, E.: A fractional order SEIR model with vertical transmission. Math. Comput. Model. 54(1-2), 1-6 (2011)
- Rezapour, S., Mohammadi, H., Jajarmi, A.: A new mathematical model for Zika virus transmission. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 589 (2020)
- Qureshi, S.: Periodic dynamics of rubella epidemic under standard and fractional Caputo operator with real data from Pakistan. Math. Comput. Simul. 178, 151-165 (2020)
- Al-Deiakeh, R., Al-Smadi, M., Yusuf, A., Al-Omari, S., Momani, S.: Explicit solutions for fractional Chaffee-Infante reaction-diffusion coupled hierarchy system with conservation laws. Math. Methods Appl. Sci. 46, 12777-12793 (2023)
- Pinto, C.M., Carvalho, A.R.: The role of synaptic transmission in a HIV model with memory. Appl. Math. Comput. 292, 76-95 (2017)
- Naik, P.A., Yavuz, M., Qureshi, S., Zu, J., Townley, S.: Modeling and analysis of COVID-19 epidemics with treatment in fractional derivatives using real data from Pakistan. Eur. Phys. J. Plus 135(10), 1-42 (2020)
- Peter, O.J., Shaikh, A.S., Ibrahim, M.O., Nisar, K.S., Baleanu, D., Khan, I., Abioye, A.I.: Analysis and dynamics of fractional order mathematical model of COVID-19 in Nigeria using Atangana-Baleanu operator. Comput. Mater. Continua 66(2), 1823-1848 (2021)
- Baleanu, D., Mohammadi, H., Rezapour, S.: A fractional differential equation model for the COVID-19 transmission by using the Caputo-Fabrizio derivative. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 299 (2020)
- Chen, T.M., Rui, J., Wang, Q.P., Zhao, Z.Y., Cui, J.A., Yin, L.: A mathematical model for simulating the phase-based transmissibility of a novel coronavirus. Infect. Dis. Poverty 9(1), 1-8 (2020)
- Baba, I.A., Nasidi, B.A.: Fractional order epidemic model for the dynamics of novel COVID-19. Alex. Eng. J. 60(1), 537-548 (2021)
- Faridi, W.A., Asjad, M.I., Jhangeer, A., Yusuf, A., Sulaiman, T.A.: The weakly non-linear waves propagation for Kelvin-Helmholtz instability in the magnetohydrodynamics flow impelled by fractional theory. Opt. Quantum Electron. 55(2), 172 (2023)
- Angeli, M., Neofotistos, G., Mattheakis, M., Kaxiras, E.: Modeling the effect of the vaccination campaign on the COVID-19 pandemic. Chaos Solitons Fractals 154, 111621 (2022)
- Coronel-Escamilla, A., Gomez-Aguilar, J.F., Stamova, I., Santamaria, F.: Fractional order controllers increase the robustness of closed-loop deep brain stimulation systems. Chaos Solitons Fractals 140, 110149 (2020)
- Pinto, C.M., Carvalho, A.R.: Diabetes mellitus and TB co-existence: clinical implications from a fractional order modelling. Appl. Math. Model. 68, 219-243 (2019)
- Zeb, A., Atangana, A., Khan, Z.A., Djillali, S.: A robust study of a piecewise fractional order COVID-19 mathematical model. Alex. Eng. J. 61(7), 5649-5665 (2022)
- Baba, I.A., Rihan, F.A.: A fractional-order model with different strains of COVID-19. Phys. A, Stat. Mech. Appl. 603, 127813 (2022)
- Bonanno, G., Di Bella, B., O’Regan, D.: Non-trivial solutions for nonlinear fourth-order elastic beam equations. Comput. Math. Appl. 62(4), 1862-1869 (2011)
- Diethelm, K., Ford, N.J., Freed, A.D.: A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations. Nonlinear Dyn. 29(1), 3-22 (2002)
- Diethelm, K., Ford, N.J., Freed, A.D.: Detailed error analysis for a fractional Adams method. Numer. Algorithms 36(1), 31-52 (2004)
- Garrappa, R.: Numerical solution of fractional differential equations: a survey and a software tutorial. Mathematics 6(2), 16 (2018)
- Ahmed, I., Akgül, A., Jarad, F., Kumam, P., Nonlaopon, K.: A Caputo-Fabrizio fractional-order cholera model and its sensitivity analysis. Math. Model. Numer. Simul. Appl. 3(2), 170-187 (2023)
- Liu, F., Zhuang, P., Liu, Q.: Numerical methods of fractional partial differential equations and applications (2015)
- Özköse, F.: Long-term side effects: a mathematical modeling of COVID-19 and stroke with real data. Fractal Fract. 7(10), 719 (2023)
- Yavuz, M., Özköse, F., Susam, M., Kalidass, M.: A new modeling of fractional-order and sensitivity analysis for hepatitis-B disease with real data. Fractal Fract. 7(2), 165 (2023)
Publisher’s Note
Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.
- *Correspondence:
a.tassaddiq@mu.edu.sa¹Department of Basic Sciences and Humanities, College of Computer and Information Sciences, Majmaah University, Al-Majmaah, 11952, Saudi Arabia
Full list of author information is available at the end of the article - © The Author(s) 2024. Open Access This article is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License, which permits use, sharing, adaptation, distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons licence, and indicate if changes were made. The images or other third party material in this article are included in the article’s Creative Commons licence, unless indicated otherwise in a credit line to the material. If material is not included in the article’s Creative Commons licence and your intended use is not permitted by statutory regulation or exceeds the permitted use, you will need to obtain permission directly from the copyright holder. To view a copy of this licence, visit http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.