تصميم نموذج رياضي جديد من الرتبة الكسرية لفيروس كورونا (COVID-19) يتضمن تدابير الإغلاق Designing a novel fractional order mathematical model for COVID-19 incorporating lockdown measures

المجلة: Scientific Reports، المجلد: 14، العدد: 1
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-50889-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38316837
تاريخ النشر: 2024-02-05

تصميم نموذج رياضي جديد من الرتبة الكسرية لفيروس كورونا (COVID-19) يتضمن تدابير الإغلاق

وليد عادل , هاتيرا غونرهان , كوتاكران سوبّي نيسار , برافين أغاروال & أ. المسادي

تركز هذه الدراسة على تصميم نموذج كسرية جديد لمحاكاة انتشار فيروس كورونا (COVID-19) المستمر. يتكون النموذج من عدة فئات تُسمى القابلين للإصابة , المصابين , المعالجين , والمتعافين مع تقسيم فئة القابلين للإصابة إلى فئتين فرعيتين و . في ضوء الحاجة إلى تدابير تقييدية مثل ارتداء الكمامات والتباعد الاجتماعي للسيطرة على الفيروس، فإن دراسة ديناميات وانتشار الفيروس هي موضوع مهم. بالإضافة إلى ذلك، نحقق في إيجابية الحل وحدوده لضمان نتائج إيجابية. علاوة على ذلك، يتم تحديد نقاط التوازن للنظام، ويتم إجراء تحليل الاستقرار. بالإضافة إلى ذلك، تستخدم هذه الدراسة التقنية التحليلية لطريقة تحليل لابلاس أدوماين (LADM) لمحاكاة الأقسام المختلفة للنموذج، مع الأخذ في الاعتبار سيناريوهات مختلفة. يتم استخدام تحويل لابلاس لتحويل المعادلات غير الخطية الناتجة إلى شكل خطي مكافئ، وتستخدم كثيرات أدوماين لمعالجة الحدود غير الخطية. يؤدي حل هذه المجموعة من المعادلات إلى الحصول على الحل للمتغيرات الحالة. لتقييم ديناميات النموذج بشكل أكبر، يتم إجراء محاكاة عددية ومقارنتها بالنتائج من LADM. بالإضافة إلى ذلك، يتم عرض مقارنة مع بيانات حقيقية من إيطاليا، والتي تظهر توافقًا تامًا بين البيانات التي تم الحصول عليها باستخدام التقنيات العددية وتقنيات لابلاس أدوماين. يتم استخدام المحاكاة الرسومية للتحقيق في تأثير الحدود الكسرية، ويتم إجراء تحليل للمعلمات لملاحظة مدى سرعة تحقيق الاستقرار مع أو بدون قواعد الإغلاق. تم إثبات أنه إذا لم يتم تطبيق قواعد الإغلاق، فسوف يستغرق الأمر وقتًا أطول لتحقيق الاستقرار بعد أن يتأثر المزيد من الأشخاص؛ ومع ذلك، إذا تم تنفيذ تدابير صارمة ومعدل اتصال منخفض، يمكن الوصول إلى الاستقرار بشكل أسرع.
لقد كانت العديد من الأمراض لها عواقب مدمرة على حياة البشر على مدى سنوات وعقود عديدة. على سبيل المثال، الإيبولا هو أحد تلك الأمراض القاتلة التي يمكن أن تنتقل من الحيوانات المصابة، مثل الخفافيش، إلى البشر غير المصابين. على سبيل المثال، التهاب الكبد B هو أحد الفيروسات التي لها تأثير قاتل على الأفراد المصابين. له شكل أصلي تم نقله على مر السنين من الشمبانزي إلى البشر. لم يتم ملاحظة ذلك مع الأعراض خلال القرن التاسع عشر من خلال انتقاله. أبلغت خمس دول عن انتشار هذا المرض، وأصيب أكثر من 300,000 إنسان به. دور النمذجة الرياضية حاسم في محاكاة مثل هذا المرض لفهم ديناميات هذا المرض بشكل أفضل، مما يعيق انتشار مثل هذا الفيروس. بمساعدة النمذجة الرياضية، يمكن للباحثين اقتراح وتقييم عدة تقنيات تدخل قد تساعد في إبطاء الفيروس. بالإضافة إلى ذلك، تلعب دورًا مهمًا في تقدير المعلمات الوبائية الرئيسية مثل رقم التكاثر الأساسي , الذي يمثل متوسط عدد الإصابات الجديدة التي تسببها فرد مصاب واحد. فهم يساعد في التنبؤ بإمكانية انتشار المرض وتصميم استراتيجيات فعالة للسيطرة. بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدام النمذجة الرياضية لتحليل
تأثير برامج التطعيم، والعلاج المضاد للفيروسات، وتدخلات تغيير السلوك على انتشار التهاب الكبد B. لقد استخدم الباحثون هذه النماذج للحصول على رؤى أفضل حول الاستراتيجيات المثلى للوقاية، والفحص، والعلاج، مما يوجه سياسات الصحة العامة وتخصيص الموارد. على سبيل المثال، اقترح دين وآخرون. نموذجًا كسرًا استنادًا إلى تعريف مشتقات كابوتو وأتانغانا-بالينو كابوتو (ABC) على التوالي، لتسليط الضوء على تأثير التطعيم والتلقيح على السكان، مما يبطئ انتشار التهاب الكبد B. بالإضافة إلى ذلك، اقترح عمل آخر من ليو وآخرون. نموذجًا كسرًا آخر لمحاكاة نموذج فيروس التهاب الكبد B مع نوى غير مفردة وغير محلية. علاوة على ذلك، بحث سبار وآخرون. في حل التفاضل الكسرية الفراكتالية والقفزات الرباعية المستقلة على ديناميات نموذج وبائي عام. تشمل أمثلة أخرى على الأمراض القاتلة التي تم محاكاتها باستخدام نماذج رياضية حمى لاسي , فيروس الإنفلونزا , فيروس جدري القرود , فيروس زيكا , فيروس الليبتوسبيروز ومرض لاسي . جميع هذه الفيروسات لها تأثير مهدد للحياة على حياة البشر. لذلك، فإن الحاجة إلى إنشاء عدة عمليات طبية وتدابير لوقف انتشار هذه الأمراض وغيرها مثلها، جنبًا إلى جنب مع علاج فعال، أمر ضروري.
بنهاية عام 2019، ظهر متلازمة الجهاز التنفسي في الشرق الأوسط (COVID-19) في الصين، تحديدًا من أسواق المأكولات البحرية في ووهان، ومنذ ذلك الحين انتشر إلى جميع أنحاء العالم. كانت الدول النامية وغير النامية تبلغ عن حالات جديدة يوميًا، مما أدى إلى زيادة مقلقة في الإصابات. العدد الإجمالي للحالات المؤكدة حتى الآن هو أكثر من 676 مليون فرد، مع معدل وفيات إجمالي يزيد عن 6 ملايين، وفقًا لـ . يتم التعرف على الفيروس على أنه ينتشر من خلال أجزاء صغيرة من الهواء يتم قذفها من الشخص المصاب أثناء العطس أو السعال إلى شخص غير مصاب آخر، مما يسبب عدوى تنفسية، ويعتبر شديد العدوى عندما يسعل الشخص المصاب أو يعطس . تعتبر القطرات ثقيلة وقد تهبط على الأسطح القريبة من الشخص المصاب بعد السعال، مما يسبب العدوى في بعض السكان غير المصابين عند لمس السطح الملوث بعينهم أو فمهم أو أنفهم، مما قد يتسبب في إصابتهم بالفيروس. يمكن أن تتراوح أعراض الفيروس من خفيفة إلى تزداد سوءًا تدريجيًا، حيث يعاني تقريبًا كل فرد مصاب منها. قد يحتاج واحد من كل ستة مرضى إلى دخول المستشفى بسبب صعوبات تنفسية، ويتأثر كبار السن الذين يعانون من أمراض طبية أساسية بشكل خاص. لإبطاء انتشار COVID-19، تعتبر عمليات الإغلاق، وفرض ارتداء الكمامات في الأماكن العامة، وتعزيز التباعد الاجتماعي بعض الطرق الفعالة التي اتخذتها الدول لضمان معدل بطء في العدوى. لقد ساعدت هذه التدابير إلى حد ما في احتواء انتشار الفيروس.
قد تختلف علامات العدوى COVID-19 من شخص لآخر، ولكن الأكثر شيوعًا هي الحمى من أو أعلى، سعال جاف، وألم في العضلات. قد تشمل الأعراض الأخرى الأقل شيوعًا التهاب الحلق، من بين أمور أخرى. عادةً ما تبدأ هذه الأعراض بشكل خفيف وتصبح أكثر حدة مع مرور الوقت. يعاني معظم الأفراد المصابين من أعراض يمكن علاجها دون أدوية خاصة؛ ومع ذلك، قد تُستخدم بعض الأدوية لتقليل شدة الأعراض. في حالات نادرة، يصبح حوالي واحد من كل ستة أشخاص مريضًا بشدة ويحتاج إلى دخول المستشفى بسبب صعوبة في التنفس. لفهم تعقيد الفيروس وتأثيره على صحة الإنسان بشكل أفضل، يجب أخذ عدة عوامل في الاعتبار. يجب ملاحظة أن السبب الحقيقي للمرض لا يزال غير معروف، على الرغم من وجود ارتباط محتمل بالحيوانات البرية، مثل الخفافيش. تتراوح فترة حضانة الفيروس من 2 إلى 14 يومًا، اعتمادًا على الحالة الصحية للفرد المصاب والعلاج الذي يمكن أن يتلقاه. الهدف الأساسي من أي علاج هو تعزيز جهاز المناعة لدى المريض لمكافحة العدوى بشكل أفضل. حتى يتمكن الجسم من محاربة العدوى، تم استخدام أنواع مختلفة من الأدوية لعلاج أعراض العدوى. كانت هذه هي الحل الوحيد حتى تم توزيع لقاح جديد في عام 2022. تم تطوير عدة لقاحات، بما في ذلك موديرنا، فايزر، وجونسون آند جونسون. ساعدت هذه اللقاحات في إبطاء انتشار الفيروس، مما جعل من الأسهل على البشرية العودة إلى حياتهم الطبيعية. حتى اليوم، تم إعطاء أكثر من 13 مليار جرعة من اللقاحات للسكان في جميع أنحاء العالم، مما ساعد جزءًا كبيرًا من العالم على العودة إلى حياة طبيعية. ومع ذلك، لا يزال من الممكن التنبؤ بتهديد ظهور متغيرات جديدة من COVID-19 باستخدام المحاكاة الرياضية، وخاصة نماذج النظام من الدرجة الكسرية.
لقد كانت المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs) تلعب دورًا رئيسيًا في فهم ديناميات الظواهر الحياتية الحقيقية. ليس فقط في فهم الديناميات المعقدة للأنظمة البيولوجية، ولكن تم استخدامها أيضًا في مجالات أخرى مثل الديناميكا الحرارية. لقد زاد استخدام المعادلات التفاضلية الكسرية على مدار السنوات القليلة الماضية، مما جعلها واحدة من أهم الأدوات المستخدمة في المحاكاة. كانت هناك عدة تعريفات للمشغلين الكسرين، كل منها له مزايا وعيوب. واحدة من أهم وأصلي التعريفات هي المشتق الكسرى كابوتو. . تم تقديم هذا من قبل ميشيل كابوتو في الستينيات كوسيلة لتعميم المشتق الكلاسيكي وتوفير إطار لنمذجة وتحليل الظواهر التي تظهر ديناميات من رتبة كسرية. يمتلك المشتق الكسرى لكابوتو عدة مزايا على التعريفات الأخرى. واحدة من المزايا الرئيسية هي قدرته على التعامل مع الشروط الابتدائية لأي مشكلة تتضمن مشتقًا كسرًا. بالإضافة إلى ذلك، على عكس التعريفات الأخرى، يسمح المشتق الكسرى لكابوتو بإدراج الشروط الابتدائية التي تتضمن مشتقات من رتبة صحيحة. وهذا يجعله مفيدًا في نمذجة العمليات الواقعية التي تتضمن ديناميات من رتبة كسرية ولها شروط ابتدائية بمشتقات من رتبة صحيحة. علاوة على ذلك، يسمح بصياغة معادلات تفاضلية كسرية تلتقط خصائص الذاكرة والوراثة للأنظمة، مما يمكّن من تمثيل دينامياتها بدقة أكبر. هذه القيمة خاصة في نمذجة الأنظمة ذات تأثيرات الذاكرة طويلة الأمد أو الأنظمة التي تظهر انتشارًا شاذًا وسلوكًا من نوع القوة. لقد استخدم العديد من الباحثين هذا التعريف لفهم السلوك المعقد وديناميات انتشار جائحة COVID-19. على سبيل المثال، خان وأتانغانا في المرجع. قاموا أولاً بنمذجة نموذج كسري ووصف ديناميكياته. الكهتاني وآخرون. اقترح نهجًا عدديًا لحل نموذج من الرتبة الكسرية بمساعدة متعددات لاغرانج. تم التحقيق في انتشار الفيروس في إندونيسيا، وتم فحص تحليل الاستقرار للنموذج. علاوة على ذلك، قام صابر وآخرون. طبقوا تقنية حسابية تجريبية لمحاكاة سلوك نموذج SITR COVID-19 بمساعدة شبكة الأعصاب المورليت الموجية. أوكونغهاي وآخرون. استخدم نموذجًا رياضيًا لفهم سلوك انتشار COVID-19 باستخدام بيانات حقيقية من نيجيريا. للمساعدة في السيطرة على الفيروس، قام دجاوي وآخرون. اقترح نموذجًا يأخذ في الاعتبار نقل وتخفيف استراتيجيات التحكم باستخدام بيانات من الكاميرون. أخرى
يمكن العثور على النماذج في المرجع. والمراجع المذكورة هناك. شاركت هذه النماذج، من بين أمور أخرى، في السيطرة على انتشار الفيروس، الذي وصل إلى العالم في بيئة أكثر أمانًا.
في هذا البحث، نستكشف أيضًا إمكانية استخدام طريقة تحليل لابلاس أدوماين (LADM) لحل نموذج COVID-19 الكسري. هذه الطريقة هي نهج قوي ولكنه بسيط لمعالجة نماذج الأوبئة وقد تم تطبيقها بنجاح في البيولوجيا والهندسة والرياضيات التطبيقية. تجمع بين تحويل لابلاس وطريقة تحليل أدوماين، مما يوفر العديد من المزايا لحل المشكلات المعقدة. واحدة من مزايا هذه الطريقة هي دقتها، حيث من خلال استخدام تحويل لابلاس، يتم تحويل المعادلات التفاضلية إلى معادلات جبرية، والتي غالبًا ما تكون أسهل في الحل. هذه التحويلة تقلل من تعقيد المشكلة وتمكن من استخدام تقنيات جبرية قوية للحصول على حلول دقيقة. بالإضافة إلى ذلك، توفر طريقة تحليل أدوماين نهجًا منهجيًا وقويًا للتعامل مع الحدود غير الخطية، مما يسمح بتقريب دقيق للحل حتى في وجود عدم الخطية. هذه الطريقة لا تتطلب أي اضطراب أو خطية، ولا تحتاج إلى حجم محدد للخطوة مثل تقنية رونغ-كوتا من الدرجة الرابعة. بالإضافة إلى ذلك، فهي مستقلة عن أي معلمات، على عكس طريقة الاضطراب الهوموتوبية (HPM) التي تعتمد على معلمات معينة. وقد أدى ذلك إلى استخدامها في حل نماذج متنوعة، مثل مشكلة خلايا CD4 +T لفيروس نقص المناعة البشرية. معادلات فولتيرا التكاملية التفاضلية نموذج التدخين من الرتبة الكسرية نموذج مرض الطفولة الوبائي نموذج الأمراض المنقولة بواسطة الناقلات معادلة تفاضلية جزئية كسرية معادلة رادهاكريشن كوندولكشمان وغيرها من النماذج المماثلة والمرتبطة.
نحن مهتمون بهذه الورقة لالتقاط ديناميات نموذج كوفيد-19 الكسري، مع الأخذ في الاعتبار تأثير الإغلاق الذي اتخذته عدة دول للسيطرة على انتشار الفيروس. إلى أفضل معرفتنا، هذه هي المرة الأولى التي يتم فيها حل هذا النموذج باستخدام تعريف كابوتو. تكمن حداثة الورقة في النقاط التالية:
  1. تم اقتراح نموذج كابوتو الكسري لفيروس COVID-19 لالتقاط ديناميات النموذج، مع تضمين تدابير الإغلاق.
  2. تم فحص وجود وخصوصية وإيجابية النموذج الكسري المقترح الجديد بالتفصيل، مما يثبت أن النموذج المقدم له حل فريد.
  3. يتم تقديم تحليل استقرار مفصل للنموذج لتسليط الضوء على منطقة الاستقرار والشروط الخاصة بالنموذج.
  4. تم الحصول على نتائج محاكاة الأقسام المختلفة للنموذج لقيم مختلفة من الترتيب الكسري، وتُعرض بيانات حقيقية من إيطاليا.
  5. تثبت النتائج أن تدابير السيطرة المتمثلة في هذه الحالة بالإغلاق لها تأثير على إبطاء انتشار الفيروس وإنهاء الجائحة.
تنظيم بقية الورقة كما يلي: يتم تفصيل صياغة النموذج في القسم “صياغة النموذج” مع تفاعل الأقسام المختلفة. يوفر القسم “التعريفات الأساسية” بعض التعريفات الأساسية والأسس. يتم مناقشة الإيجابية، والحدود، والوجود، والتفرد بالتفصيل في القسم “الإيجابية، والحدود، والوجود، والتفرد”. يتم توضيح تحليل الاستقرار ونقاط التوازن في القسم “نقاط التوازن وتحليل الاستقرار”. يتم تسليط الضوء على التقنية المقترحة لحل النموذج الرئيسي في القسم “التقنية المقترحة”، جنبًا إلى جنب مع التحقق من البيانات الحقيقية. يقدم القسم “المحاكاة العددية” النتائج العددية للعمل باستخدام تقنيات مختلفة، ويتم تقديم الاستنتاج للعمل في القسم “الاستنتاج”.

صياغة النموذج

في هذا القسم، سنقدم نموذج COVID-19 الجديد، الذي يتكون من أربعة مكونات رئيسية: القابلون للإصابة ، المصابون ، المعالجون ، والمتعافون . بالإضافة إلى ذلك، يتم تقسيم فئة القابلين للإصابة إلى فئتين فرعيتين أخريين: أولئك الذين يشملون الأفراد غير المصابين و أولئك الذين يشيرون إلى الذين لم يصابوا ولكن لديهم حالات صحية موجودة مسبقًا أو هم من كبار السن. يُعتبر المعامل هو الشخص المصاب بالفيروس في الوقت و هو جزء من علاج الفيروس حيث لا يوجد علاج أو تطعيمات حتى الآن، ولكن يمكن اتخاذ بعض التدابير للتصرف ضده. مع هذه التدابير الاحترازية، يمكن للشخص المصاب الذي تعافى من هذا المرض أن يأخذ المعامل في وقت .
يمكن أن يأخذ الشكل العام لنموذج SITR الكسري الشكل التالي ،
مع الشروط التالية،
الرتبة تعرف الرتبة الكسرية في النموذج الرئيسي، والتي يمكن أن تأخذ عدة قيم. يمثل النموذج أعلاه نموذجًا كسريًا لنموذج SITR مع معلمات كسريّة، ويتم تلخيص معلمات المتغيرات الحالة في الجدول 1. بالإضافة إلى ذلك، توضح الشكل 1 التفاعل بين الأقسام المختلفة للنموذج.
في القسم التالي، سنقدم بعض التعريفات الأساسية التي ستكون مطلوبة لاحقًا.
المعلمات الوصف
عدد الأفراد القابلين للإصابة الذين لم يكونوا تحت الإغلاق بعد
السكان القابلون للإصابة الذين تحت الإغلاق
عدد السكان المصابين الذين ليسوا تحت الإغلاق
السكان المصابين الذين تحت الإغلاق
عدد السكان المتعافين بعد الإصابة
معدل التوظيف
معدل الاتصال بالعدوى
معدل الشفاء للأفراد المصابين
معدل الشفاء للأفراد المعالجين
فرض تدابير الإغلاق على الأفراد القابلين للإصابة
فرض تدابير الإغلاق على الأفراد المصابين
معدل الوفيات للأفراد المصابين
معدل الوفيات للأفراد المعالجين
معدل الوفيات بسبب الظروف الطبيعية
معدل الانتقال من الأفراد القابلين للإصابة من الإغلاق إلى الفئة الطبيعية
معدل الانتقال من الأفراد المصابين من الإغلاق إلى الفئة الطبيعية
معدل تطبيق الإغلاق
معدل استنفاد الإغلاق
الجدول 1. تعريفات المتغيرات الحالة لنموذج SITR.
الشكل 1. الرسم التخطيطي لتفاعل الأقسام المختلفة.

التعريفات الأساسية

في هذا القسم، سيتم تقديم بعض التعريفات الأساسية.
التعريف 3.1 مرجع دالة حقيقية تنتمي إلى فضاء إذا كان هناك عدد تحت الشرط أن حيث و إذا كان .
التعريف 3.2 مرجع دالة تنتمي إلى الفضاء إذا كان .
التعريف 3.3 مرجع مشغل التكامل الكسري لريمان-ليوفيلي مع الرتبة لـ يمكن تعريفه كما يلي،
بالإضافة إلى ذلك، فإن الخصائص التالية تنطبق، لـ ، و لدينا،
يمتلك تعريف الرتبة الكسرية من حيث ريمان-لوفيلي مزايا معينة عند محاكاة النماذج الواقعية. لهذا الغرض، اقترح كابوتو نسخة أفضل من في عمله حول اللزوجة المرنة ، والتي تم تلخيصها أدناه.
التعريف 3.4 مرجع المشتق الكسري لكابوتو للدالة هو في الشكل،
لـ .
اللمّة 3.1 إذا كان و ، فإن،
التعريف 3.5 مرجع افترض أن هو تحويل لابلاس لـ . ثم، يتم تعريف تحويل لابلاس للمشتق الكسري لكابوتو كما يلي،
التعريف 3.6 لـ ، يتم تعريف دالة ميتاج-ليفيلر العامة بواسطة ، وتحقق الخاصية التالية :
ثم، يتم تعريف تحويل لابلاس لـ بواسطة،
في القسم التالي، سنقدم تفاصيل حول إيجابية الحل المكتسب جنبًا إلى جنب مع حدوده للنموذج (1).

الإيجابية، الحدود، الوجود، والتفرد الإيجابية والحدود

في هذا القسم، سنقدم دراسة مفصلة عن الإيجابية والحدود للنموذج الرئيسي (1). نتبع أولاً نظرية القيم المتوسطة العامة في المرجع. ، ونثبت أن الحل للنموذج (1) غير سالب ومحدود لجميع الأوقات ، حيث جميع المعلمات والظروف الأولية لها قيم إيجابية. نحتاج إلى اللمّة التالية.
اللمّة 4.1.1 افترض أن و ينتميان إلى . لذلك، نحصل على،
النتيجة 4.1.1 افترض أن ينتميان إلى ، و . من اللمّة 4.1.1 إذا،
(ط) إذن غير متزايد .
(2) إذن غير متناقص .
يمكننا الآن إثبات النظريات التالية.
النظرية 4.1.1 المنطقة هي ثابتة إيجابية للنموذج (1).
الدليل الخطوة الأولى هي إثبات أن النموذج (1) له حل فريد على الفترة ( )، انظر المراجع. . من النموذج (1)، لدينا،
لذا فإن المنطقة هي ثابتة إيجابية بناءً على النتيجة 4.1.1، وسيبقى حل النموذج (1) داخل .
نحتاج بعد ذلك إلى النظرية التالية.
النظرية 4.1.2 إجمالي السكان للنموذج (1) يتحقق .
الدليل إن جمع المعادلات الأربع الأولى من النموذج الرئيسي يؤدي إلى ما يلي.
الذي يمكن إعادة كتابته كما يلي:
أخذ تحويل لابلاس للشكل المحدد Eq. (12) لكلا جانبي Eq. (15) نحصل على،
لذا،
من (11) و (12) وإذا كان ، إذن،
لذا، نستنتج أن
من عدم المساواة (16) والنظرية 4.1.1، نستنتج أن

الوجود والتفرد

هذا القسم مخصص لإثبات وجود وحدود الحل للنموذج (1). نبدأ بالنظرية التالية.
النظرية 4.2.1 يوجد حل فريد للنموذج (1) لكل حالة أولية غير سالبة.
الدليل لنعرّف المنطقة بالشكل،
أيضًا، دع يكون خريطة حيث،
بعد ذلك، لأي ، يتبع من (17) أن،
ثم لدينا،
لذا، يتم التحقق من شرط ليبشيتز لـ . وبالتالي، يمتلك النموذج (1) حلاً فريدًا ومحدودًا.
سيكون القسم التالي مخصصًا لتحديد نقاط التوازن للنظام وسلوك استقراره.

نقاط التوازن وتحليل الاستقرار

في هذا القسم، نحصل على نقاط التوازن للنموذج (1) جنبًا إلى جنب مع الظروف الأولية في (2). يتم العثور على هذه النقاط من خلال معادلة النظام (1) بالصفر. سيؤدي ذلك إلى أنواع مختلفة من نقاط التوازن. يتم تعريف الأولى كنقطة التوازن الخالية من المرض (DFE) التي يمكن أن تأخذ شكلًا من . بالنسبة لـ DFE، يمكننا العثور على رقم التكاثر الأساسي بناءً على تقنية مصفوفة الجيل التالي التي يمكن أن تأخذ الشكل التالي
حيث هو نصف القطر الطيفي لـ و يتم تعريفهما على أنهما
ومن ثم
أخيرًا، يمكن تمثيل بواسطة
كما يتضح من المعادلة (19)، يعتمد رقم التكاثر لـ DFE على عدة معلمات. يتم توضيح سلوك أثناء تغيير قيم هذه المعلمات في الشكل 2، حيث يوضح رسم السطح السلوك مع قيم مختلفة من و .
النقطة الثانية هي النقطة الوبائية EEP. في هذه الحالة، لدينا نقاط وبائية متعددة حيث غياب الإغلاق والتدابير المشار إليها بـ ومع وجود الإغلاق المشار إليه بـ ، حيث يتم تعريف كل من الأقسام على أنها،
و يمكن العثور عليهما من خلال حل المعادلة التالية.
الشكل 2. سلوك رقم التكاثر مع متغيرات مختلفة.
يمكن الحصول على مصفوفة جاكوب للنموذج (1) بالشكل التالي،
بالنسبة لـ DFE، يتم إعطاء مصفوفة جاكوب عند كما يلي
هذا بعد الحصول على القيم الذاتية لـ ، لها الشكل،
يظهر أن هذه النقطة التوازنية مستقرة إذا كان الذي يتوافق مع .
أما بالنسبة لـ EEP، يمكن العثور على مصفوفة جاكوب عند بالشكل،
القيم الذاتية هي،
تكون هذه النقطة التوازنية مستقرة إذا كان . هذا يعني أن . وبالمثل، يمكن التحقق من تحليل الاستقرار الوبائي أثناء الإغلاق.
بعد ذلك، سنقوم بمحاكاة نتائج كل من أقسام النموذج (1) من خلال LADM.

التقنية المقترحة

هنا، سنقدم الخطوات الرئيسية لتطبيق LADM للتحقيق في ديناميات النموذج (1). نحتاج أولاً إلى التعريفات التالية.
التعريف 6.1 مرجع يمكن تعريف الدالة على أنها محدودة أسياً من الدرجة إذا كانت تلبي الشرط الذي لثابت حقيقي معين .
التعريف 6.2 المراجع يمكن تعريف المشتق الكسرى لكابوتو بالشكل التالي،
أين ، و هو الجزء الصحيح من الترتيب . ثم نحصل على ما يلي
ستُستخدم هذه التعريفات لمناقشة الإجراء العام للتقنية المقترحة لمحاكاة النموذج (1). الخطوة الأولى هي تطبيق تحويل لابلاس على المعادلة (1) مما سيؤدي إلى
ثم، الخطوة التالية هي تطبيق المعادلة (22) على (24)، نستنتج،
الخطوة التالية هي تطبيق الشروط الأولية المحددة في المعادلة (2)، ثم نحصل على،
يمكن ملاحظة من المعادلة (26) أن الحل الناتج هو في شكل سلسلة لانهائية. بعد ذلك، دع القيم لـ ، و لتطبيق تقنية ADM. نفترض الشكل التالي للحل.
بعد ذلك، نتعامل مع الجزء غير الخطي من النموذج الرئيسي على أنه،
لذا، ، و يمكن العثور عليه بمساعدة إجراء الالتفاف كما هو,
استبدال المعادلة (27) والمعادلة (28) في المعادلة (26) ومساواة الجانبين يعطي ما يلي:
ثم، بتطبيق المعادلة (30) تحويل لابلاس العكسي نصل إلى،
وبالمثل، في الخطوة النهائية، نحصل على بقية الحدود كسلاسل لانهائية كما هو:
المعادلة (32) تحل النموذج الرئيسي لـ SITR في المعادلة (1) التي سيتم توضيحها في القسم التالي.

المحاكاة العددية

في هذا القسم، سنقوم بعرض المحاكاة للنموذج (1) باستخدام أساليب متعددة. أولاً، في الفقرة الفرعية “تقنية تحليل لابلاس أدوبيان”، سنوضح النتائج التي تم الحصول عليها من خلال تكييف تقنية تحليل لابلاس أدوبيان (LADM) لقيم مختلفة من الترتيب الكسري. . بالإضافة إلى ذلك، في القسم “التقنية العددية”، يتم تقديم تحقق عددي من النتائج التي تم الحصول عليها بواسطة LAMD من خلال الطريقة المعروفة أدماس-باشفورث-مولتون (ABM). لتأكيد النتائج التي تم الحصول عليها من كلا التقنيتين، نقارن هذه النتائج مع بيانات حقيقية من إيطاليا خلال فترة الإغلاق في بداية عام 2020 حيث لوحظ أن النتائج التي تم الحصول عليها تتوافق بشكل جيد مع البيانات الحقيقية. وهذا يثبت فعالية النموذج المقترح في محاكاة ديناميات الفيروس.

تقنية تحليل أداميان لابلاس

في هذا القسم، نختبر فعالية التقنية المقترحة من خلال فحص النتائج المكتسبة للنموذج (1) لمختلف تم تلخيص قيم المعلمات التي تم استخدامها لمحاكاة النموذج (1) في الجدول . تتطابق النتائج التي حصلت عليها ALDM مع الحلول الدقيقة عندما يوفر الشكل 3 مقارنة بين النتائج التي تم الحصول عليها بواسطة LADM وكود MATLAB ODE45 لفئات النماذج المختلفة. من الواضح من هذا الشكل أن التقنية المقترحة فعالة ودقيقة، حيث تتوافق تمامًا مع نتائج كود MATLAB. يمكن رؤية نتائج إضافة الحد الكسري في الشكل 4، حيث يتم رسم المقصورات لقيم متغيرة من من الواضح أن تأثير النظام الكسري مرئي كـ و تتناقص الأقسام تدريجياً بينما تزداد الفئات الأخرى بنفس المعدل. علاوة على ذلك، يمكن ملاحظة أن جميع الفئات تصبح أكثر استقراراً لقيم أقل من عند تغيير قيمته، مما يدل على نجاح المشكلة المقترحة في نمذجة جائحة COVID-19. تشير الرسوم البيانية إلى أن طريقة LADM هي أداة فعالة لمحاكاة وفهم نماذج الأوبئة بشكل أفضل مع مشاكل من الدرجة الكسرية؛ وهذا ملحوظ بشكل خاص عند النظر إلى كيفية تصرفها في وما بعدها.

تقنية عددية

في هذا القسم، سنحدد النتائج العددية للنموذج (1) من خلال استخدام تقنية عددية فعالة. نحن نستخدم طريقة آدامز-باشفورث-مولتون، المعروفة أيضًا باسم طريقة ABM، لإجراء محاكاة عددية والحصول على حلول للنموذج غير الخطي المقترح من الدرجة الكسرية. تقدم طريقة ABM العديد من المزايا الملحوظة. أولاً وقبل كل شيء، تعزز معدل التقارب للمحاكاة. إحدى المزايا الرئيسية لطريقة ABM هي قدرتها على تجاوز الحاجة إلى الخطية، والتفريق، وفرض افتراضات غير واقعية جسديًا. من خلال تجنب هذه القيود، توفر الطريقة تمثيلًا أكثر دقة للنظام المقترح. تعتبر طريقة ABM مستقرة عمومًا لفئة واسعة من المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs). الاستقرار هو خاصية حاسمة في الطرق العددية لأنه يضمن بقاء الحلول محدودة وعدم ظهور سلوك غير فيزيائي أو تباعد. لقد تم إثبات فعاليتها في حل مجموعة واسعة من المعادلات التفاضلية الكسرية غير الخطية، مما يبرز المزيد من ملاءمة المعادلات التفاضلية من الدرجة الكسرية لنمذجة ديناميات النموذج المقترح بشكل واقعي. أولاً، نستعرض أساسيات الطريقة العددية المقترحة التي تم استخدامها لمحاكاة عددية لمشكلات القيمة الأولية الكسرية باستخدام مشتقات كابوتو. تقدم الصيغ التالية عرضًا كاملاً لنهج ABM الكسرية. يمكن اكتشاف جميع الحالات الإضافية).
افترض أن نطاق الحل هو و ، حيث . إذا افترضنا أن ثم,
أين
المعلمات القيم
٩٠٠
٣٠٠
٣٠٠
497
٢٠٠
٤٠٠
0.000017
0.16979
0.16979
0.0002
0.002
0.03275
0.03275
0.0096
0.2
0.02
0.0005
0.06
الجدول 2. قيم المعلمات الرئيسية في المعادلة (1).
الشكل 3. حل الأقسام (أ) ، (ب) “، (ج) ، (د) ، و (هـ) تم الحصول عليه بواسطة ODE 45 (الأحمر)، LADM (الأخضر) لـ ، و .
و .
المؤلفون في المراجع. قدم تفاصيل وتحليلًا كاملاً للتقنية المقترحة. ترتيب التقارب لطريقة آدامز-باشفورث-مولتون الكسرية المستخدمة هو ، ومن ثم فإن الخطأ هو انظر المراجع. لمزيد من التفاصيل. نقدم النتائج التي تم الحصول عليها بواسطة طريقة التنبؤ والتصحيح (PECE) لطريقة ABM للنموذج المقترح. توضح الشكل 5 النتائج لمحاكاة نموذج SITR عند . النتائج مشابهة للنتائج التي تم الحصول عليها بواسطة LADM. الأرقام ، و 9 تصور مراحل مختلفة لنموذج SITR في . بالإضافة إلى ذلك، تعرض الشكل 10 مخططات الفضاء لمجموعات سكانية مختلفة من قيم مختلفة للترتيب الكسري يمكن ملاحظة من هذه الأرقام أن النتائج التي تم الحصول عليها هي نفسها التي وجدتها طريقة LADM، مما يثبت فعالية كلا الطريقتين في محاكاة مثل هذا النموذج.

التحقق باستخدام بيانات حقيقية

في هذا القسم الفرعي، سنقوم بالتحقق من النتائج التي تم الحصول عليها من LADM والتقنيات العددية من خلال مقارنتها بالبيانات الحقيقية. سنقوم بالتحقق من النتائج التي تم الحصول عليها مع النتائج التي تم الحصول عليها من إيطاليا. خلال بداية عام 2020، وخاصة من مارس حتى مايو 2020، أعلنت إيطاليا عن الإغلاق الأول للعديد من المنشآت في البلاد كاستجابة مناسبة لإبطاء انتشار COVID-19. عدد المصابين (المؤكدين)
الشكل 4. حل الأقسام (أ) “، (ب) ، (ج) ، و (هـ) تم الحصول عليها بواسطة LADM لقيم مختلفة من .
تظهر الحالات لكل مليون، وعدد الحالات التي تم علاجها في المستشفيات، وعدد الوفيات في الشكل 11. تم جمع النتائج المبلغ عنها في الشكل 11 من موقع World in Data. . بالإضافة إلى ذلك، قمنا بتشغيل المحاكاة باستخدام طريقة AMB الموضحة في القسم الفرعي “التقنية العددية” على فترة أقصر لـ استنادًا إلى نتائج هذه الأرقام، يمكن ملاحظة أنه خلال الإغلاق الأول في إيطاليا، بعد مارس 2020، انخفض عدد حالات الإصابة، والمرضى في المستشفيات، وحالات الوفاة بشكل ملحوظ، حيث وصل إلى سلوك مستقر حتى أغسطس 2020. وذلك لأن الحكومات اتخذت إجراءات استباقية مثل الإغلاق، وإلزام ارتداء الكمامات، وتطبيق التباعد الاجتماعي، مما يساعد على تقليل انتشار الفيروس. وفقًا للشكل 11، يمكننا أن نلاحظ أن
الشكل 5. ملفات الحلول للأقسام المختلفة لـ باستخدام طريقة PECE في إدارة الأعمال.
الشكل 6. العلاقة بين القابلية للإصابة و شقق مختلفة لـ ، و .
تمت ملاحظة توافق جيد بين النتائج التي تم الحصول عليها من المحاكاة والبيانات الحقيقية من إيطاليا. على سبيل المثال، توضح الشكل 11a عدد حالات الإصابة في إيطاليا حتى أغسطس 2020، حيث يبدو أن عدد حالات الإصابة قد زاد ثم بدأ في الانخفاض اعتبارًا من مارس 2020، ويمكن رؤية ذلك أيضًا من الشكل 11b. يتم ملاحظة تكيف مصطلح الدرجة الكسرية في الشكل 11b حيث يتم تغيير قيمة من 1 إلى 0.9 له تأثير كبير على استقرار عدد الحالات المصابة، مما يمنح المحاكاة فهمًا أفضل للديناميات المتعلقة بانتشار الفيروس. بالإضافة إلى ذلك، تم رسم العدد الفعلي للحالات التي تم إدخالها إلى المستشفى في إيطاليا في الشكل 11c ومقارنته مع البيانات المحاكاة في (d). النتائج التي تم الحصول عليها تتناسب بشكل جيد مع البيانات الحقيقية وقللت من عدد الحالات التي تم إدخالها إلى المستشفى خلال فترة الإغلاق. أخيرًا، يتم تقديم عدد الوفيات في هذه الفترة في الشكل 11e حيث ينخفض العدد بشكل كبير خلال مرحلة الإغلاق. جميع هذه الأشكال تثبت أن النتائج من النموذج المقترح تتناسب مع البيانات الحقيقية التي تم الحصول عليها لإيطاليا.

الخاتمة

تقدم هذه الدراسة نموذج SITR الكسرية من نوع كابوتو لتسليط الضوء على بعض الديناميكيات الجديدة لفيروس كورونا COVID-19. يتكون النموذج من أربع فئات: القابلون للإصابة مصاب علاج ، واستعاد في الوقت . بالإضافة إلى ذلك، يتم تقسيم السكان المعرضين للخطر إلى و مما يشير إلى الفئات السكانية المعرضة التي ليست تحت تدابير الإغلاق أو الإغلاق، على التوالي. لضمان اتساق النموذج المقدم والحصول على نقاط التوازن في النظام، نقوم بالتحقيق في حدودية وإيجابية الحل. علاوة على ذلك، يتم إجراء تحليل الاستقرار لقياس تأثير القيم المختلفة للمعلمات. لحل نموذج COVID-19، نستخدم نهجًا تحليليًا فعالًا يعرف بطريقة تحليل لابلاس أدوبيان (LADM)، والتي تعطي نتائج دقيقة لهذه المشكلة. للتحقق من النتائج النظرية، يتم استخدام تقنية LADM فعالة لعدة من الرتبة الكسرية. قواعد الحجر ضرورية لإدارة هذه الجائحة بسرعة. يمكننا أن نرى أن هذا هو وقت الاتصال بين السكان البشريين، حيث تصبح جميع أنواع الأقسام أكثر استقرارًا بشكل أسرع. لذلك، من الواضح أن ارتداء الكمامات الإلزامية والالتزام بالتباعد الاجتماعي أمران أساسيان للحد من انتشار هذه الجائحة.
الشكل 7. العلاقة بين القابلية للإصابة وأنواع مختلفة من الشقق لـ ، و .
الشكل 8. العلاقة بين الحالة المصابة وأقسام مختلفة أخرى لـ ، و .
الشكل 9. العلاقة بين و لـ ، و .
والتحكم فيه. للتحقق من النتائج التي تم الحصول عليها، تم عرض مقارنة مع بيانات حقيقية من إيطاليا خلال فترة الإغلاق. وهذا يظهر توافقًا تامًا بين النتائج الحقيقية والنتائج التي تم الحصول عليها حول تأثير تدابير السيطرة والإغلاق في إبطاء انتشار الفيروس. وبالتالي، نحن مهتمون بمزيد من استكشاف هذا النموذج بشكل أكثر شمولاً مع أخذ المزيد من الفئات في الاعتبار باستخدام طريقة تحليلية فعالة مماثلة ومقارنتها مع بيانات حقيقية من دول أخرى.
الشكل 10. الرسوم البيانية ثلاثية الأبعاد لعدد سكان الحجرة مقابل الزمن والترتيب الكسري مع الرسوم البيانية المتطابقة.
الشكل 10. (مستمر)
الشكل 11. عدد الحالات المصابة من (أ) بيانات حقيقية من إيطاليا ، (ب) محاكاة الشكل، حالات المستشفى من (ج) بيانات حقيقية من إيطاليا ، (د) تشكيل المحاكاة و (هـ) حالات الوفاة خلال الإغلاق .
الشكل 11. (مستمر)

توفر البيانات

جميع البيانات التي تم توليدها أو تحليلها خلال هذه الدراسة مشمولة.
تاريخ الاستلام: 8 مايو 2023؛ تاريخ القبول: 27 ديسمبر 2023
نُشر على الإنترنت: 05 فبراير 2024

References

  1. Din, A., Li, Y., Khan, F. M., Khan, Z. U. & Liu, P. On Analysis of fractional order mathematical model of Hepatitis B using AtanganaBaleanu Caputo (ABC) derivative. Fractals 30(01), 2240017 (2022).
  2. Din, A., Li, Y., Yusuf, A. & Ali, A. I. Caputo type fractional operator applied to Hepatitis B system. Fractals 30(01), 2240023 (2022).
  3. Liu, P., Din, A. & Zarin, R. Numerical dynamics and fractional modeling of hepatitis B virus model with non-singular and nonlocal kernels. Results Phys. 39, 105757 (2022).
  4. Sabbar, Y., Din, A. & Kiouach, D. Influence of fractal-fractional differentiation and independent quadratic Lévy jumps on the dynamics of a general epidemic model with vaccination strategy. Chaos Solitons Fractals 171, 113434 (2023).
  5. Madueme, P.-G. & Chirove, F. Understanding the transmission pathways of Lassa fever: A mathematical modeling approach. Infect. Dis. Model. 8(1), 27-57 (2023).
  6. Rashid, S., Karim, S., Akgül, A., Bariq, A. & Elagan, S. K. Novel insights for a nonlinear deterministic-stochastic class of fractionalorder Lassa fever model with varying kernels. Sci. Rep. 13(1), 15320 (2023).
  7. Sabir, Z., Said, S. B. & Al-Mdallal, Q. A fractional order numerical study for the influenza disease mathematical model. Alex. Eng. J. 65, 615-626 (2023).
  8. Ebenezer, V., Sachin, R., Hiruthic, S. S., Sam Sergius, S. and Shivnesh, R. SDNS: Artificial Neural network scheme to solve the nonlinear skin disease model. In 2023 Second International Conference on Electronics and Renewable Systems (ICEARS), 931-935 (IEEE, 2023).
  9. El-Mesady, A., Adel, W., Elsadany, A. A. & Elsonbaty, A. Stability analysis and optimal control strategies of a fractional-order monkeypox virus infection model. Phys. Scr. 98(9), 095256 (2023).
  10. Waleed, A., Elsonbaty, A., Aldurayhim, A. & El-Mesady, A. Investigating the dynamics of a novel fractional-order monkeypox epidemic model with optimal control. Alex. Eng. J. 73, 519-542 (2023).
  11. Peter, O. J., Abidemi, A., Ojo, M. M. & Ayoola, T. A. Mathematical model and analysis of monkeypox with control strategies. Eur. Phys. J. Plus 138(3), 242 (2023).
  12. Elsonbaty, A., Adel, W., Aldurayhim, A. & El-Mesady, A. Mathematical modeling and analysis of a novel monkeypox virus spread integrating imperfect vaccination and nonlinear incidence rates. Ain Shams Eng. J. 15, 102451 (2023).
  13. Sabir, Z., Bhat, S. A., Raja, M. A. Z. & Alhazmi, S. E. A swarming neural network computing approach to solve the Zika virus model. Eng. Appl. Artif. Intell. 126, 106924 (2023).
  14. Sabir, Z., Ali, M. R., Raja, M. A. Z. & Sadat, R. An efficient computational procedure to solve the biological nonlinear Leptospirosis model using the genetic algorithms. Soft Comput. https://doi.org/10.1007/s00500-023-08315-5 (2023).
  15. Higazy, M., El-Mesady, A., Mahdy, A. M. S., Ullah, S. & Al-Ghamdi, A. Numerical, approximate solutions, and optimal control on the deathly lassa hemorrhagic fever disease in pregnant women. J. Funct. Spaces 2021, 1-15 (2021).
  16. https://covid19.who.int/.
  17. Alrabaiah, H., Arfan, M., Shah, K., Mahariq, I. & Ullah, A. A comparative study of spreading of novel corona virus disease by ussing fractional order modified SEIR model. Alex. Eng. J. 60(1), 573-585 (2021).
  18. Li, C., Qian, D. & Chen, Y. Q. On Riemann-Liouville and caputo derivatives. Discret. Dyn. Nat. Soc. 2011, 1-15 (2011).
  19. Khan, M. A. & Atangana, A. Modeling the dynamics of novel coronavirus (2019-nCov) with fractional derivative. Alex. Eng. J. 59(4), 2379-2389 (2020).
  20. Alkahtani, B. S. T. & Alzaid, S. S. A novel mathematics model of covid-19 with fractional derivative stability and numerical analysis. Chaos Solitons Fractals 138, 110006 (2020).
  21. Sabir, Z. et al. Numerical computational heuristic through morlet wavelet neural network for solving the dynamics of nonlinear SITR COVID-19. Cmes-Comput. Model. Eng. Sci. 131, 763-785 (2022).
  22. Okuonghae, D. & Omame, A. Analysis of a mathematical model for COVID-19 population dynamics in Lagos, Nigeria. Chaos Solitons Fractals 139, 110032 (2020).
  23. Djaoue, S., Kolaye, G. G., Abboubakar, H., Ari, A. A. A. & Damakoa, I. Mathematical modeling, analysis and numerical simulation of the COVID-19 transmission with mitigation of control strategies used in Cameroon. Chaos Solitons Fractals 139, 110281 (2020).
  24. Annas, S., Pratama, M. I., Rifandi, M., Sanusi, W. & Side, S. Stability analysis and numerical simulation of SEIR model for pandemic COVID-19 spread in Indonesia. Chaos Solitons Fractals 139, 110072 (2020).
  25. Naveed, M. et al. Mathematical analysis of novel coronavirus (2019-ncov) delay pandemic model. Comput. Mater. Continua 64(3), 1401-1414 (2020).
  26. Ghasemi, S. E. & Gouran, S. Evaluation of COVID-19 pandemic spreading using computational analysis on nonlinear SITR model. Math. Methods Appl. Sci. 45(17), 11104-11116 (2022).
  27. Sanchez, Y. G., Sabir, Z. & Guirao, J. L. G. Design of a nonlinear SITR fractal model based on the dynamics of a novel coronavirus (COVID). Fractals https://doi.org/10.1142/S0218348X20400265 (2020).
  28. Yang, C. & Wang, J. A mathematical model for the novel coronavirus epidemic in Wuhan, China. Math. Biosci. Eng. 17(3), 2708-2724 (2020).
  29. Ongun, M. Y. The Laplace adomian decomposition method for solving a model for HIV infection of CD4+ T cells. Math. Comput. Model. 53(5-6), 597-603 (2011).
  30. Wazwaz, A.-M. The combined Laplace transform-Adomian decomposition method for handling nonlinear Volterra integro-differential equations. Appl. Math. Comput. 216(4), 1304-1309 (2010).
  31. Haq, F., Shah, K., Rahman, G. & Shahzad, M. Numerical solution of fractional order smoking model via Laplace Adomian decomposition method. Alex. Eng. J. 57(2), 1061-1069 (2018).
  32. Baleanu, D., Aydogn, S. M., Mohammadi, H. & Rezapour, S. On modelling of epidemic childhood diseases with the Caputo-Fabrizio derivative by using the Laplace Adomian decomposition method. Alex. Eng. J. 59(5), 3029-3039 (2020).
  33. Veeresha, P., Malagi, N. S., Prakasha, D. G. & Baskonus, H. M. An efficient technique to analyze the fractional model of vectorborne diseases. Phys. Scr. 97(5), 054004 (2022).
  34. Shah, R., Khan, H., Arif, M. & Kumam, P. Application of Laplace-Adomian decomposition method for the analytical solution of third-order dispersive fractional partial differential equations. Entropy 21(4), 335 (2019).
  35. Gonzalez-Gaxiola, O. & Biswas, A. Optical solitons with Radhakrishnan-Kundu-Lakshmanan equation by Laplace-Adomian decomposition method. Optik 179, 434-442 (2019).
  36. Baba, I. A., Yusuf, A., Nisar, K. S., Abdel-Aty, A.-H. & Nofal, T. A. Mathematical model to assess the imposition of lockdown during COVID-19 pandemic. Results Phys. 20, 103716 (2021).
  37. Sefidgar, E., Celik, E. & Shiri, B. Numerical solution of fractional differential equation in a model of HIV infection of CD4 (+) T cells. Int. J. Appl. Math. Stat. 56, 23-32 (2017).
  38. Caputo, M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent-II. Geophys. J. Int. 13(5), 529-539 (1967).
  39. Kai, D. The analysis of fractional differential equations: An application-oriented exposition using operators of Caputo type (2004).
  40. Odibat, Z. M. & Shawagfeh, N. T. Generalized Taylor’s formula. Appl. Math. Comput. 186(1), 286-293 (2007).
  41. Lin, W. Global existence theory and chaos control of fractional differential equations. J. Math. Anal. Appl. 332(1), 709-726 (2007).
  42. Antosiewicz, H. A. Studies in Ordinary Differential Equations Vol. 14 (Mathematical Assn of Amer, 1977).
  43. Diethelm, K., Ford, N. J. & Freed, A. D. Detailed error analysis for a fractional Adams method. Numer. Algorithms 36, 31-52 (2004).
  44. https://ourworldindata.org/explorers/coronavirus-data-explorer.

شكر وتقدير

تدعم هذه الدراسة من خلال تمويل من جامعة الأمير سطام بن عبدالعزيز برقم المشروع (PSAU/2023/R/1444). بالإضافة إلى ذلك، يود المؤلفون أن يعبروا عن شكرهم للمحرر والمراجعين على التعليقات والاقتراحات المفيدة التي حسنت العمل.

مساهمات المؤلفين

ساهم جميع المؤلفين بشكل متساوٍ وملحوظ في كتابة هذه الورقة. قرأ جميع المؤلفين ووافقوا على النسخة النهائية.

المصالح المتنافسة

يعلن المؤلفون عدم وجود مصالح متنافسة.

معلومات إضافية

يجب توجيه المراسلات والطلبات للحصول على المواد إلى و.أ.
معلومات إعادة الطباعة والتصاريح متاحة علىwww.nature.com/reprints.
ملاحظة الناشر: تظل شركة سبرينجر ناتشر محايدة فيما يتعلق بالمطالبات القضائية في الخرائط المنشورة والانتماءات المؤسسية.
الوصول المفتوح هذه المقالة مرخصة بموجب رخصة المشاع الإبداعي النسب 4.0 الدولية، التي تسمح بالاستخدام والمشاركة والتكيف والتوزيع وإعادة الإنتاج بأي وسيلة أو صيغة، طالما أنك تعطي الائتمان المناسب للمؤلفين الأصليين والمصدر، وتوفر رابطًا لرخصة المشاع الإبداعي، وتوضح إذا ما تم إجراء تغييرات. الصور أو المواد الأخرى من طرف ثالث في هذه المقالة مشمولة في رخصة المشاع الإبداعي الخاصة بالمقالة، ما لم يُشار إلى خلاف ذلك في سطر الائتمان للمواد. إذا لم تكن المادة مشمولة في رخصة المشاع الإبداعي الخاصة بالمقالة وكان استخدامك المقصود غير مسموح به بموجب اللوائح القانونية أو يتجاوز الاستخدام المسموح به، فسيتعين عليك الحصول على إذن مباشرة من صاحب حقوق الطبع والنشر. لعرض نسخة من هذه الرخصة، قم بزيارةhttp://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
© المؤلف(ون) 2024
  1. قسم الرياضيات وفيزياء الهندسة، كلية الهندسة، جامعة المنصورة، المنصورة 35511، مصر. المختبر بين التخصصات في الجامعة الفرنسية في مصر (UFEID Lab)، الجامعة الفرنسية في مصر، القاهرة 11837، مصر. قسم الرياضيات، كلية التربية، جامعة كافكاس، قارص، تركيا. وحدة البحث MEU، جامعة الشرق الأوسط، عمان، الأردن. قسم الرياضيات، كلية العلوم والآداب في الخرج، جامعة الأمير سطام بن عبدالعزيز، الخرج 11942، المملكة العربية السعودية. مدرسة التكنولوجيا، جامعة ووكسن، حيدر آباد 502345، تيلانجانا، الهند. قسم الرياضيات، كلية أناند الدولية للهندسة، جايبور 303012، الهند. مركز أبحاث الديناميات غير الخطية (NDRC)، جامعة عجمان، عجمان، الإمارات العربية المتحدة. المركز الدولي للعلوم الأساسية والتطبيقية، جايبور 302029، الهند. قسم الفيزياء ورياضيات الهندسة، كلية الهندسة الإلكترونية، جامعة المنوفية، منوف 32952، مصر. البريد الإلكتروني:waleedadel@mans.edu.eg

Journal: Scientific Reports, Volume: 14, Issue: 1
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-50889-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38316837
Publication Date: 2024-02-05

Designing a novel fractional order mathematical model for COVID-19 incorporating lockdown measures

Waleed Adel , Hatıra Günerhan , Kottakkaran Sooppy Nisar , Praveen Agarwal & A. El-Mesady

This research focuses on the design of a novel fractional model for simulating the ongoing spread of the coronavirus (COVID-19). The model is composed of multiple categories named susceptible , infected , treated , and recovered with the susceptible category further divided into two subcategories and . In light of the need for restrictive measures such as mandatory masks and social distancing to control the virus, the study of the dynamics and spread of the virus is an important topic. In addition, we investigate the positivity of the solution and its boundedness to ensure positive results. Furthermore, equilibrium points for the system are determined, and a stability analysis is conducted. Additionally, this study employs the analytical technique of the Laplace Adomian decomposition method (LADM) to simulate the different compartments of the model, taking into account various scenarios. The Laplace transform is used to convert the nonlinear resulting equations into an equivalent linear form, and the Adomian polynomials are utilized to treat the nonlinear terms. Solving this set of equations yields the solution for the state variables. To further assess the dynamics of the model, numerical simulations are conducted and compared with the results from LADM. Additionally, a comparison with real data from Italy is demonstrated, which shows a perfect agreement between the obtained data using the numerical and Laplace Adomian techniques. The graphical simulation is employed to investigate the effect of fractional-order terms, and an analysis of parameters is done to observe how quickly stabilization can be achieved with or without confinement rules. It is demonstrated that if no confinement rules are applied, it will take longer for stabilization after more people have been affected; however, if strict measures and a low contact rate are implemented, stabilization can be reached sooner.
Many diseases have had devastating consequences for human life over many years and decades. For example, Ebola is one of those deadly diseases that can be transmitted from infected animals, like fruit bats, to uninfected humans. For example, Hepatitis B is one of the viruses that has a deadly effect on infected individuals. It has an original form that has been transmitted over the years from Chimps to humans. This was not noticed with symptoms during the nineteenth century through its transmission. Five countries reported the spread of this disease, and more than 300,000 humans were infected with it. The role of mathematical modeling is crucial in simulating such a disease to better understand the dynamics of this disease, which suppresses the spread of such a virus. With the aid of mathematical modeling, researchers can suggest and assess several intervention techniques that may help slow down the virus. In addition, it plays an important role in estimating key epidemiological parameters such as the basic reproduction number , which represents the average number of new infections caused by a single infected individual. Understanding aids in predicting the potential for disease spread and designing effective control strategies. Additionally, mathematical modeling can be used to analyze
the impact of vaccination programs, antiviral treatment, and behavior change interventions on the prevalence of Hepatitis B. Researchers have been using these models to gain better insight into optimal strategies for prevention, screening, and treatment, guiding public health policies and resource allocation. For example, Din et al. proposed a fractional model based on the definition of Caputo and Atangana-Baleanu Caputo (ABC) derivatives, respectively, to highlight the effect of vaccination and immunization on the population, slowing down the spread of Hepatitis B. In addition, another work by Liu et al. proposed another fractional model for simulating the Hepatitis B virus model with non-singular and non-local kernels. Moreover, Sabbar et al. investigated the solution of fractal-fractional differentiation and independent quadratic Lévy jumps on the dynamics of a general epidemiological model. Other examples of deadly diseases that have been simulated using mathematical models may include Lassa fever , Influenza virus , Monkeypox virus , Zika virus , Leptospirosis virus and Lassa disease . All of these viruses have a life-threatening effect on human lives. Therefore, the need to create several medical operations and measures to stop these diseases and others like them from spreading, along with an effective cure, is a must.
By the end of 2019, the new Middle East respiratory syndrome (COVID-19) emerged in China, specifically from the seafood markets in Wuhan, and since then it has been spreading to all parts of the world. Both undeveloped and developing countries have been reporting new cases daily, leading to an alarming increase in infections. The total number of confirmed cases until now is more than 676 million individuals, with a total death rate of more than 6 million, according to the . The virus is identified spreading through small air sole parts ejaculated from the infected person while sneezing or coughing to another uninfected person, causing respiratory infection, and is considered highly infectious when the infected person coughs or sneezes . The droplets are considered heavy and may land on surfaces near the infected person after coughing, causing the infection in some uninfected populations when touching the contaminated surface with their eye, mouth, or nose, which may cause them to catch the virus. The symptoms of the virus can range from mild to gradually worsening, with nearly every infected individual experiencing them. One out of every six patients may require hospital admission for respiratory difficulties, and elderly adults with underlying medical illnesses are particularly affected. To slow the spread of COVID-19, lockdowns, mandating masks in public places, and promoting social distancing are some of the effective methods that countries have taken to ensure a slow rate of infection. These measures have helped to some degree in containing the spread of the virus.
The signs of the infection COVID-19 may vary from person to person, but the most common are a fever of or higher, a dry cough, and muscle pain. Other less frequent symptoms may include a sore throat, among others. These symptoms usually start mild and become more severe over time. Most of the infected individuals experience symptoms that can be treated without special medications; however, some medications may be used to reduce the severity of the symptoms. In rare cases, approximately one in six people becomes severely ill and requires hospitalization due to difficulty breathing. To better understand the complexity of the virus and its effect on human health, several factors have to be taken into consideration. It should be noted that the true cause of the illness remains unknown, although there is a potential connection to wild animals, such as bats. The incubation period for the virus ranges from 2 to 14 days, depending on the health condition of the infected individual and the treatment he can get. The primary goal of any treatment is to boost the patient’s immune system to better fight off the infection. Until the body can fight off the infection, different types of medications have been used to treat the symptoms of the infection. This was the only solution until a new vaccine was distributed in 2022. Several vaccines have been developed, including Modena, Pfizer, and Johnson & Johnson. These vaccines have been helping to slow the spread of the virus, making it easier for mankind to get back to their normal lives. Until today, more than 13 billion doses of vaccines have been administered to the world population, helping a huge part of the world get back to a normal life. Still, the threat of the emergence of new variants of COVID-19 can be predicted using mathematical simulation, especially the fractional order models.
Fractional differential equations (FDEs) have been playing a major role in understating the dynamics of real-life phenomena. Not only in understanding the complex dynamics of biological systems, but it has also been used in other fields such as thermoelectricity. The use of FDEs has been increasing throughout the last few years, making them one of the most important tools to be used in simulations. There have been several definitions of fractional operators, each of which has advantages and drawbacks. One of the most important and original definitions is the Caputo fractional derivative . This was introduced by Michel Caputo in the 1960s as a way to generalize the classical derivative and provide a framework for modeling and analyzing phenomena that exhibit fractional-order dynamics. The Caputo fractional derivative possesses several advantages over other definitions. One key advantage is its ability to handle the initial conditions of any problem that involves a fractional derivative. In addition, unlike other definitions, the Caputo fractional derivative allows for the inclusion of initial conditions involving integer-order derivatives. This makes it useful in modeling real-world processes that involve fractional-order dynamics and have initial conditions with integer-order derivatives. Moreover, it allows for the formulation of fractional differential equations that capture the memory and hereditary properties of systems, enabling a more accurat e representation of their dynamics. This is especially valuable in modeling systems with long-term memory effects or systems exhibiting anomalous diffusion and power-law behavior. Several researchers have been using this definition to understand the complex behavior and dynamics of the spread of the COVID-19 pandemic. For example, Khan and Atangana in Ref. first modeled a fractional model and described its dynamics. Alkahtani et al. proposed a numerical approach for solving a fractional-order model with the aid of Lagrange polynomials. The spreading of the virus in Indonesia has been investigated, and the stability analysis of the model has been examined. Moreover, Sabir et al. applied a heuristic computational technique for simulating the behavior of the SITR COVID-19 model with the aid of the morlet wavelet neural network. Okuonghae et al. employed a mathematical model for understanding the spreading behavior of COVID-19 with real-life data from Nigeria. To help in controlling the virus, Djaoue et al. proposed a model that takes into account the transmission and mitigation of control strategies with data from Cameroon. Other
models can be found in Ref. and references therein. These models, among others, participated in controlling the spread of the virus, which reached the world in a safer environment.
In this research, we are also exploring the potential of using the Laplace Adomian decomposition method (LADM) to solve the fractional COVID-19 model. This method is a powerful yet straightforward approach to tackling epidemic models and has been successfully applied in biology, engineering, and applied mathematics. It combines the Laplace transform and the Adomian decomposition method, offering several advantages for solving complex problems. One of the advantages of this method is its accuracy, as by employing the Laplace transform, it transforms the differential equations into algebraic equations, which are often easier to solve. This transformation reduces the complexity of the problem and enables the use of powerful algebraic techniques to obtain accurate solutions. Additionally, the Adomian decomposition method provides a systematic and robust approach to handling nonlinear terms, allowing for accurate approximation of the solution even in the presence of nonlinearity. This method does not require any perturbation or linearization, nor does it need a defined size of the step like the Rung-Kutta of order 4 technique. Additionally, it is independent of any parameters, unlike the Homotopy Perturbation Method (HPM), which depends on certain parameters. This has led to its use in solving various models, such as the HIV CD4 +T cell problem , Volterra integrodifferential equations , fractionalorder smoking model , epidemic childhood disease model , vector-borne disease model , fractional partial differential equation , RadhakrishnanKunduLakshmanan equation , and other similar and related models.
We are interested in this paper to capture the dynamics of the fractional COVID-19 model, taking into account the effect of the lockdown that several countries have been taking to control the spread of the virus. To the best of our knowledge, this is the first time this model has been solved using the Caputo definition. The novelty of the paper lies in the following points:
  1. A novel Caputo fractional COVID-19 has been propped to capture the dynamics of the model, incorporating lockdown measures.
  2. The existence, uniqueness, and positivity of the new proposed fractional model are examined in detail, which proves that the presented model has a unique solution.
  3. A detailed stability analysis for the model is presented to highlight the stability region and conditions for the model.
  4. The results for simulating the different compartments of the model are obtained for different values of the fractional order, and real data from Italy is presented.
  5. The results prove that the control measures represented in this case by lockdown have an effect on slowing down the spread of the virus and ending the pandemic.
The organization of the rest of the paper is as follows: The formulation of the model is detailed in Sect. “Model formulation” with the interaction of the different compartments. Section “Basic definitions” provides some basic definitions and fundamentals. Positivity, boundedness, existence, and uniqueness are discussed in detail in Sect. “Positivity, boundedness, existence, and uniqueness”. The stability analysis and the equilibrium points are illustrated in Sect. “Equilibrium points and stability analysis”. The proposed technique for solving the main model is highlighted in Sect. “Proposed technique”, along with a verification with real data. Section “Numerical Simulations” presents the numerical results of the work using different techniques, and the conclusion for the work is provided in Sect. “Conclusion”.

Model formulation

In this section, we will present the novel COVID-19 model, which is composed of four primary components: susceptible , infected , treated , and recovered . In addition, the susceptible category is divided into two more subcategories: those that include uninfected individuals and those that refer to those who are uninfected but have pre-existing health conditions or are elderly. The parameter is considered the infected person with the virus at the time and is part of the treatment of the virus where no treatment or vaccinations are yet, but some measures can be taken to act against it. With these precautionary measures, the infected person who has recovered from this disease can take the parameter at a time .
The general form of the fractional SITR model can take the following form ,
With the following conditions,
The order defines the fractional order in the main model, which can take several values. The above model represents a fractional model of the SITR model with fractal parameters, and the state variable parameters are summarized in Table 1. In addition, Fig. 1 demonstrates the interaction between different compartments of the model.
In the next section, we will provide some basic definitions that will be needed later.
Parameters Description
Population of susceptible individuals that aren’t yet under lockdown
Susceptible populations that are under lockdown
An infected population that isn’t under lockdown
Infective populations that are under lockdown
Recovered population after infection
Recruitment rate
Infection contact rate
The recovery rate for infected individuals
The recovery rate for treated individuals
Imposing lockdown measures for susceptible individuals
Imposing lockdown measures for infected individuals
The death rate for infected individuals
Death rate for treated individuals
Death rate of natural circumstances
Transfer rate from susceptible individuals from lockdown to normal class
Transfer rate from infected individuals from lockdown to normal class
Lockdown application rate
Lockdown depletion rate
Table 1. State variable definitions for the SITR model.
Figure 1. Schematic diagram of the interaction of different compartments.

Basic definitions

In this section, some basic definitions will be presented.
Definition 3.1 Reference A real function belongs to the space of if there is a number under the condition that where and if .
Definition 3.2 Reference A function belongs to the space if .
Definition 3.3 Reference The fractional integral operator of Riemann-Liouville with order for can be defined as follows,
In addition, the following properties hold, for , and we have,
The definition of the fractional order in terms of Riemann-Louville possesses certain advantages when simulating real-world models. To this end, Caputo proposed a better version of in his work on viscoelasticity , which is summarized below.
Definition 3.4 Reference The Caputo fractional derivative of the function is in the form,
for .
Lemma 3.1 If and , then,
Definition 3.5 Reference Suppose is the Laplace transform of . Then, the Laplace transform of the Caputo fractional derivative is defined as,
Definition 3.6 For , the generalized Mittag-Leffler function is defined by , and verifies the following property :
Then, the Laplace transform of is defined by,
In the next section, we shall provide details on the positivity of the acquired solution along with its boundedness for model (1).

Positivity, boundedness, existence, and uniqueness Positivity and boundedness

In this section, we will provide a detailed study of the positivity and boundedness of the main model (1). We first follow the generalized mean values theorem in Ref. , and we prove that the solution to model (1) is nonnegative and bounded for all time , where all the parameters and initial conditions have positive values. We need the following lemma.
Lemma 4.1.1 Suppose and belong to . Therefore, we get,
Corollary 4.1.1 Suppose belong to , and . From Lemma 4.1.1 if,
(i) then is non-decreasing .
(ii) then is non-increasing .
We can now prove the following theorems.
Theorem 4.1.1 The region is a positive invariant for model (1).
Proof The first step is to prove that model (1) has a unique solution on the period ( ), see Refs. . From model (1), we have,
Hence the region is a positive invariant based on Corollary 4.1.1, and the solution of model (1) will remain inside .
We then need the following theorem.
Theorem 4.1.2 The total population for the model (1) verifies .
Proof Summing the first four equations of the main mode leads to the following.
that can be rewritten as follows:
Taking Laplace to transform the defined form Eq. (12) for both sides of Eq. (15) we get,
Hence,
From (11) and (12) and if , then,
Hence, we conclude that
From inequality (16) and Theorem 4.1.1, we deduce that

Existence and uniqueness

This subsection is devoted to proving the existence and boundedness of the solution of model (1). We start with the next theorem.
Theorem 4.2.1 There exists a unique solution for the model (1) for each non-negative initial condition.
Proof Let the region be defined in the form,
Also, let be a mapping where,
Next, for any , it follows from (17) that,
Then we have,
Thus, the Lipschitz condition is verified for . Consequently, model (1) possesses a unique and bounded solution.
The following section will be devoted to determining the system’s equilibrium points and their stability behavior.

Equilibrium points and stability analysis

In this section, we acquire the equilibrium points for model (1) along with the initial conditions in (2). These points are found by equating the system (1) to zero. This shall result in different types of equilibrium points. The first is defined as the disease-free equilibrium point (DFE) which can take the form of . For the DFE, we can find the basic reproduction number based on the next-generation matrix technique which can take the following form
where is the spectral radius for and are defined as
and hence
Finally, can be represented by
As can be seen from Eq. (19), the reproduction number for the DFE depends on several parameters. The behavior of while changing the values of these parameters are illustrated in Fig. 2, where a surface plot illustrates the behavior with different values of and .
The second point is the endemic point of EEP. In this case, we have multiple endemic points where the absence of lockdown and measures indicated by and with the presence of the lockdown indicated by , where each of the compartments is defined as,
and can be found by solving the following equation.
Figure 2. Behaviour of reproduction number with different variables.
The Jacobian matrix for model (1) can be obtained in the following form,
For the DFE, the Jacobian matrix at is given by
This is after acquiring the eigenvalues of , it has the form of,
seen that this equilibrium point is stable if which corresponds to .
As for the EEP, the Jacobian matrix at can be found in the form,
The eigenvalues are,
This equilibrium point is stable if . This means that . Similarly, the endemic stability analysis during lockdown can be verified.
Next, we will simulate the results of each of the compartments model (1) through the LADM.

Proposed technique

Here, we will provide the main steps of applying the LADM for investigating the dynamics of model (1). We first need the following definitions.
Definition 6.1 Reference A function can be defined as an exponentially bounded of order if it satisfies the condition that , for some real constant .
Definition 6.2 References The Caputo fractional derivative can be defined in the form,
where , and is the integer part of the order . Then, we get the following
These definitions will be used to discuss the general procedure of the proposed technique for simulating the model (1). The first step is to apply the Laplace transform to Eq. (1) which will result
Then, the next step is to apply formula (22) to (24), we conclude,
The next step is to apply the initial conditions defined in Eq. (2), then we get,
It can be noticed from Eq. (26) that the resulting solution is in the form of an infinite series. Next, let the values of , and to apply the ADM technique. We assume the following form of solution.
Next, we treat the nonlinear part of the main model as,
Hence, , and can be found with the aid of a convolution procedure as,
Substituting Eq. (27) and Eq. (28) into Eq. (26) and equaling both sides give the following:
Then, applying for Eq. (30) the inverse Laplace we reach,
Similarly, at the final step, we get the rest of the terms as infinite series as,
Equation (32) solves the main SITR model of Eq. (1) which will be illustrated in the next section.

Numerical simulations

In this section, we will demonstrate the simulations for model (1) using multiple approaches. First, in subsection “Laplace Adomian decomposition technique”, we will illustrate the results obtained by adapting the Laplace Adomian decomposition technique (LADM) for different values of the fractional order . In addition, in Sect. “Numerical technique”, a numerical verification of the obtained results by the LAMD is presented by the known Adams-Bashforth-Moulton method (ABM). To further validate the obtained results from both techniques, we compare these results from real data from Italy during the lockdown period at the beginning of 2020 where it is witnessed that the obtained results are in good agreement with real data. This proves the effectiveness of the proposed model for simulating the dynamics of the virus.

Laplace Adomian decomposition technique

In this section, we test the effectiveness of the proposed technique by examining the acquired results for model (1) for different . The values of the parameters that have been used for simulating model (1) are summarized in Table . The results obtained by ALDM match the exact solutions when . Figure 3 provides a comparison of the results acquired by the LADM and the MATLAB code ODE45 for the different model categories. It is evident from this figure that the proposed technique is efficient and accurate, as it perfectly agrees with the MATLAB code results. The results of the addition of the fractional term can be seen in Fig. 4, where compartments are drawn for varying values of . It is evident that the effect of the fractional order is visible as and compartments decrease gradually while other categories increase at that rate. Furthermore, it can be observed that all categories become more stable for fewer values of when changing its value, which demonstrates the success of the proposed problem in modeling the COVID-19 pandemic. The charts indicate that an LADM method is an effective tool to better simulate and understand epidemic models with fractional order problems; this is especially noticeable when looking at how they behave at and beyond.

Numerical technique

In this section, we shall determine the numerical results of model (1) by making use of an effective numerical technique. We employ the Adams-Bashforth-Moulton method, also known as the ABM method, to perform numerical simulations and obtain solutions for the proposed nonlinear fractional order model. The ABM method offers several notable advantages. First and foremost, it enhances the convergence rate of the simulations. One key advantage of the ABM method is its ability to bypass the need for linearization, discretization, and the imposition of physically unrealistic assumptions. By avoiding these limitations, the method provides a more accurate representation of the proposed system. The ABM method is generally stable for a broad class of fractional differential equations (FDEs). Stability is a crucial property in numerical methods since it ensures that the solutions remain bounded and do not exhibit unphysical behavior or divergence. Its efficacy has been demonstrated in solving a wide range of nonlinear FDEs, further emphasizing the suitability of fractional order differential equations for modeling the dynamics of the proposed model realistically. First, we review the fundamentals of the proposed numerical method that has been used to numerically simulate fractional IVPs with Caputo derivatives. The following formulas give a complete presentation of the fractional ABM approach (The same as , all additional states can be discovered).
Suppose that the domain of the solution is and, , where . If we assume that , then,
where
Parameters Values
900
300
300
497
200
400
0.000017
0.16979
0.16979
0.0002
0.002
0.03275
0.03275
0.0096
0.2
0.02
0.0005
0.06
Table 2. Values of the main parameters in Eq. (1).
Figure 3. The solution of the copartments (a) , (b) , (c) , (d) , and (e) obtained by ODE 45 (REd), LADM (Green) for , and .
And .
The authors in Refs. provide details and a complete analysis of the proposed technique. The convergence order of the used fractional Adams-Bashforth-Moulton method is , and hence the error is , see Refs. for more details. We present the obtained results by the predictor-corrector (PECE) of ABM method for the proposed model. Figure 5 shows the results for simulating the SITR model at . The results are similar to the results obtained by the LADM. Figures , and 9 depict different phase portraits for the SITR model at . Additionally, Fig. 10 displays space plots of different populations of various values of the fractional order . It can be seen from these figures that the obtained results are the same found by the LADM method which proves the effectiveness of both methods for simulating such a model.

Validation using real data

In this subsection, we will validate the obtained results from the LADM and numerical techniques by comparing them to real data. We will verify the obtained results with the obtained results from Italy. During the beginning of 2020, especially from March until May 2020, Italy declared the first lockdown for several facilities in the country as a proper reaction to slow done the spread of COVID-19. The number of infected (confirmed)
Figure 4. The solution of the copartments (a) , (b) , (c) , and (e) obtained by LADM for different values of .
cases per million, number of hospitalized (treated) cases, and number of deaths are shown in Fig. 11. The results reported in Fig. 11 have been collected form World in Data website . In addition, we have run the simulations using the AMB method described in subsection “Numerical technique” over a shorter interval for . Based on the results of these figures, it can be noticed that during the first lockdown in Italy, after March 2020, the number of infected, hospitalized, and death cases dropped significantly reaching a stabilized behavior until Augst 2020. This is because governments have taken proactive actions such as lockdown, mandate masking and apply social distancing which helps to reduce the spread of the virus. According to Fig. 11, we can notice that a
Figure 5. Solution profiles of the different compartments for using the PECE method of ABM.
Figure 6. Relation between susceptible and different comaprtements for , and .
good agreement between the obtained results from the simulation and the real data from Italy is witnessed. For example, Fig. 11a demonstrates the number of infected cases in Italy until August 2020, where it seems that the number of infected cases increased and then began declining as of March 2020 and this can be also seen from Fig. 11b. The adaptation of the fractional order term is noticed in Fig. 11b where changing the value of from 1 to 0.9 has a great effect on stabilizing the number of infected cases which gives the simulations a better physical understating of the dynamics of the spread of the virus. In addition, the actual number of hospitalized cases in Italy has been graphed in Fig. 11c and compared with the simulated data in (d). The obtained results have a good fit with the real data and reduced the number of hospitalized cases during the lockdown. Finally, the number of deaths in this period is provided in Fig. 11e where the number drops dramatically during the lockdown phase. All of these figures prove that the results from the proposed model fit the real data obtained for Italy.

Conclusion

This study presents a Caputo fractional SITR model to highlight some new dynamics of the coronavirus COVID19. The model is composed of four categories: susceptible , infected , treatment , and recovered at time . Additionally, the susceptible population is further divided into and which indicates the susceptible populations that are not under lockdown measurements or lockdown, respectively. To ensure the consistency of the presented model and to obtain the system’s equilibrium points, we investigate the boundedness and positivity of the solution. Furthermore, stability analysis is conducted to measure the effect of different values of the parameters. To solve the COVID-19 model, we employ an effective analytical approach known as the Laplace Adomian decomposition method (LADM), which yields accurate results for this problem. To verify the theoretical findings, an efficient LADM technique is employed for multiple of the fractional order . Confinement rules are necessary for managing this pandemic promptly. We can see that is the time of contact between the human populations, all types of compartments become more stable much faster. Therefore, it is clear that wearing mandatory masks and adhering to social distancing are essential for reducing the spread of this pandemic
Figure 7. Relation between susceptible and different comaprtements for , and .
Figure 8. Relation between infected state and other different compartments for , and .
Figure 9. Relation between and for , and .
and gaining control over it. To further verify the obtained results, a comparison with real data from Italy was shown during the lockdown. This shows a perfect agreement between the real results and the obtained results of the effect of control measures and lockdown in slowing down the spread of the virus. Thus, we are interested in further exploring this model more thoroughly with more categories taken into account using a similar effective analytic method and comparing it with real data from other countries.
Figure 10. 3D plots of the compartment’s populations versus time and fractional order with the corresponding contour plots.
Figure 10. (continued)
Figure 11. Number of infectd cases from (a) real data form Italy , (b) form simulation, hospitalized cases from (c) real data from Italy , (d) form simulation and (e) death cases during the lockdown .
Figure 11. (continued)

Data availability

All data generated or analyzed during this study are included.
Received: 8 May 2023; Accepted: 27 December 2023
Published online: 05 February 2024

References

  1. Din, A., Li, Y., Khan, F. M., Khan, Z. U. & Liu, P. On Analysis of fractional order mathematical model of Hepatitis B using AtanganaBaleanu Caputo (ABC) derivative. Fractals 30(01), 2240017 (2022).
  2. Din, A., Li, Y., Yusuf, A. & Ali, A. I. Caputo type fractional operator applied to Hepatitis B system. Fractals 30(01), 2240023 (2022).
  3. Liu, P., Din, A. & Zarin, R. Numerical dynamics and fractional modeling of hepatitis B virus model with non-singular and nonlocal kernels. Results Phys. 39, 105757 (2022).
  4. Sabbar, Y., Din, A. & Kiouach, D. Influence of fractal-fractional differentiation and independent quadratic Lévy jumps on the dynamics of a general epidemic model with vaccination strategy. Chaos Solitons Fractals 171, 113434 (2023).
  5. Madueme, P.-G. & Chirove, F. Understanding the transmission pathways of Lassa fever: A mathematical modeling approach. Infect. Dis. Model. 8(1), 27-57 (2023).
  6. Rashid, S., Karim, S., Akgül, A., Bariq, A. & Elagan, S. K. Novel insights for a nonlinear deterministic-stochastic class of fractionalorder Lassa fever model with varying kernels. Sci. Rep. 13(1), 15320 (2023).
  7. Sabir, Z., Said, S. B. & Al-Mdallal, Q. A fractional order numerical study for the influenza disease mathematical model. Alex. Eng. J. 65, 615-626 (2023).
  8. Ebenezer, V., Sachin, R., Hiruthic, S. S., Sam Sergius, S. and Shivnesh, R. SDNS: Artificial Neural network scheme to solve the nonlinear skin disease model. In 2023 Second International Conference on Electronics and Renewable Systems (ICEARS), 931-935 (IEEE, 2023).
  9. El-Mesady, A., Adel, W., Elsadany, A. A. & Elsonbaty, A. Stability analysis and optimal control strategies of a fractional-order monkeypox virus infection model. Phys. Scr. 98(9), 095256 (2023).
  10. Waleed, A., Elsonbaty, A., Aldurayhim, A. & El-Mesady, A. Investigating the dynamics of a novel fractional-order monkeypox epidemic model with optimal control. Alex. Eng. J. 73, 519-542 (2023).
  11. Peter, O. J., Abidemi, A., Ojo, M. M. & Ayoola, T. A. Mathematical model and analysis of monkeypox with control strategies. Eur. Phys. J. Plus 138(3), 242 (2023).
  12. Elsonbaty, A., Adel, W., Aldurayhim, A. & El-Mesady, A. Mathematical modeling and analysis of a novel monkeypox virus spread integrating imperfect vaccination and nonlinear incidence rates. Ain Shams Eng. J. 15, 102451 (2023).
  13. Sabir, Z., Bhat, S. A., Raja, M. A. Z. & Alhazmi, S. E. A swarming neural network computing approach to solve the Zika virus model. Eng. Appl. Artif. Intell. 126, 106924 (2023).
  14. Sabir, Z., Ali, M. R., Raja, M. A. Z. & Sadat, R. An efficient computational procedure to solve the biological nonlinear Leptospirosis model using the genetic algorithms. Soft Comput. https://doi.org/10.1007/s00500-023-08315-5 (2023).
  15. Higazy, M., El-Mesady, A., Mahdy, A. M. S., Ullah, S. & Al-Ghamdi, A. Numerical, approximate solutions, and optimal control on the deathly lassa hemorrhagic fever disease in pregnant women. J. Funct. Spaces 2021, 1-15 (2021).
  16. https://covid19.who.int/.
  17. Alrabaiah, H., Arfan, M., Shah, K., Mahariq, I. & Ullah, A. A comparative study of spreading of novel corona virus disease by ussing fractional order modified SEIR model. Alex. Eng. J. 60(1), 573-585 (2021).
  18. Li, C., Qian, D. & Chen, Y. Q. On Riemann-Liouville and caputo derivatives. Discret. Dyn. Nat. Soc. 2011, 1-15 (2011).
  19. Khan, M. A. & Atangana, A. Modeling the dynamics of novel coronavirus (2019-nCov) with fractional derivative. Alex. Eng. J. 59(4), 2379-2389 (2020).
  20. Alkahtani, B. S. T. & Alzaid, S. S. A novel mathematics model of covid-19 with fractional derivative stability and numerical analysis. Chaos Solitons Fractals 138, 110006 (2020).
  21. Sabir, Z. et al. Numerical computational heuristic through morlet wavelet neural network for solving the dynamics of nonlinear SITR COVID-19. Cmes-Comput. Model. Eng. Sci. 131, 763-785 (2022).
  22. Okuonghae, D. & Omame, A. Analysis of a mathematical model for COVID-19 population dynamics in Lagos, Nigeria. Chaos Solitons Fractals 139, 110032 (2020).
  23. Djaoue, S., Kolaye, G. G., Abboubakar, H., Ari, A. A. A. & Damakoa, I. Mathematical modeling, analysis and numerical simulation of the COVID-19 transmission with mitigation of control strategies used in Cameroon. Chaos Solitons Fractals 139, 110281 (2020).
  24. Annas, S., Pratama, M. I., Rifandi, M., Sanusi, W. & Side, S. Stability analysis and numerical simulation of SEIR model for pandemic COVID-19 spread in Indonesia. Chaos Solitons Fractals 139, 110072 (2020).
  25. Naveed, M. et al. Mathematical analysis of novel coronavirus (2019-ncov) delay pandemic model. Comput. Mater. Continua 64(3), 1401-1414 (2020).
  26. Ghasemi, S. E. & Gouran, S. Evaluation of COVID-19 pandemic spreading using computational analysis on nonlinear SITR model. Math. Methods Appl. Sci. 45(17), 11104-11116 (2022).
  27. Sanchez, Y. G., Sabir, Z. & Guirao, J. L. G. Design of a nonlinear SITR fractal model based on the dynamics of a novel coronavirus (COVID). Fractals https://doi.org/10.1142/S0218348X20400265 (2020).
  28. Yang, C. & Wang, J. A mathematical model for the novel coronavirus epidemic in Wuhan, China. Math. Biosci. Eng. 17(3), 2708-2724 (2020).
  29. Ongun, M. Y. The Laplace adomian decomposition method for solving a model for HIV infection of CD4+ T cells. Math. Comput. Model. 53(5-6), 597-603 (2011).
  30. Wazwaz, A.-M. The combined Laplace transform-Adomian decomposition method for handling nonlinear Volterra integro-differential equations. Appl. Math. Comput. 216(4), 1304-1309 (2010).
  31. Haq, F., Shah, K., Rahman, G. & Shahzad, M. Numerical solution of fractional order smoking model via Laplace Adomian decomposition method. Alex. Eng. J. 57(2), 1061-1069 (2018).
  32. Baleanu, D., Aydogn, S. M., Mohammadi, H. & Rezapour, S. On modelling of epidemic childhood diseases with the Caputo-Fabrizio derivative by using the Laplace Adomian decomposition method. Alex. Eng. J. 59(5), 3029-3039 (2020).
  33. Veeresha, P., Malagi, N. S., Prakasha, D. G. & Baskonus, H. M. An efficient technique to analyze the fractional model of vectorborne diseases. Phys. Scr. 97(5), 054004 (2022).
  34. Shah, R., Khan, H., Arif, M. & Kumam, P. Application of Laplace-Adomian decomposition method for the analytical solution of third-order dispersive fractional partial differential equations. Entropy 21(4), 335 (2019).
  35. Gonzalez-Gaxiola, O. & Biswas, A. Optical solitons with Radhakrishnan-Kundu-Lakshmanan equation by Laplace-Adomian decomposition method. Optik 179, 434-442 (2019).
  36. Baba, I. A., Yusuf, A., Nisar, K. S., Abdel-Aty, A.-H. & Nofal, T. A. Mathematical model to assess the imposition of lockdown during COVID-19 pandemic. Results Phys. 20, 103716 (2021).
  37. Sefidgar, E., Celik, E. & Shiri, B. Numerical solution of fractional differential equation in a model of HIV infection of CD4 (+) T cells. Int. J. Appl. Math. Stat. 56, 23-32 (2017).
  38. Caputo, M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent-II. Geophys. J. Int. 13(5), 529-539 (1967).
  39. Kai, D. The analysis of fractional differential equations: An application-oriented exposition using operators of Caputo type (2004).
  40. Odibat, Z. M. & Shawagfeh, N. T. Generalized Taylor’s formula. Appl. Math. Comput. 186(1), 286-293 (2007).
  41. Lin, W. Global existence theory and chaos control of fractional differential equations. J. Math. Anal. Appl. 332(1), 709-726 (2007).
  42. Antosiewicz, H. A. Studies in Ordinary Differential Equations Vol. 14 (Mathematical Assn of Amer, 1977).
  43. Diethelm, K., Ford, N. J. & Freed, A. D. Detailed error analysis for a fractional Adams method. Numer. Algorithms 36, 31-52 (2004).
  44. https://ourworldindata.org/explorers/coronavirus-data-explorer.

Acknowledgements

This study is supported via funding from Prince Sattam bin Abdulaziz University project number (PSAU/2023/R/1444). In addition, authors would like to convey their thanks to the Editor and Reviewers for the helpful comments and suggestions which improved the work.

Author contributions

All authors contributed equally and signicantly in writing this paper. All authors read and approved the final manuscript.

Competing interests

The authors declare no competing interests.

Additional information

Correspondence and requests for materials should be addressed to W.A.
Reprints and permissions information is available at www.nature.com/reprints.
Publisher’s note Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.
Open Access This article is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License, which permits use, sharing, adaptation, distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons licence, and indicate if changes were made. The images or other third party material in this article are included in the article’s Creative Commons licence, unless indicated otherwise in a credit line to the material. If material is not included in the article’s Creative Commons licence and your intended use is not permitted by statutory regulation or exceeds the permitted use, you will need to obtain permission directly from the copyright holder. To view a copy of this licence, visit http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
© The Author(s) 2024
  1. Department of Mathematics and Engineering Physics, Faculty of Engineering, Mansoura University, Mansoura 35511, Egypt. Laboratoire Interdisciplinaire de l’Université Française d’Egypte (UFEID Lab), Université Française d’Egypte, Cairo 11837, Egypt. Department of Mathematics, Faculty of Education, Kafkas University, Kars, Turkey. MEU Research Unit, Middle East University, Amman, Jordan. Department of Mathematics, College of Science and Humanities in Alkharj, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Alkharj 11942, Saudi Arabia. School of Technology, Woxsen University, Hyderabad 502345, Telangana, India. Department of Mathematics, Anand International College of Engineering, Jaipur 303012, India. Nonlinear Dynamics Research Center (NDRC), Ajman University, Ajman, United Arab Emirates. International Center for Basic and Applied Sciences, Jaipur 302029, India. Department of Physics and Engineering Mathematics, Faculty of Electronic Engineering, Menoufia University, Menouf 32952, Egypt. email: waleedadel@mans.edu.eg