تقييم القيود الرصدية على الطاقة المظلمة Assessing observational constraints on dark energy

المجلة: Physics Letters B، المجلد: 855
DOI: https://doi.org/10.1016/j.physletb.2024.138826
تاريخ النشر: 2024-06-26

تقييم القيود الرصدية على الطاقة المظلمة

ديفيد شليفكو , بول ج. شتاينهاردت قسم الفيزياء، جامعة برينستون، برينستون، نيو جيرسي 08544، الولايات المتحدة الأمريكية مختبر جيفرسون الفيزيائي، جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس 02138، الولايات المتحدة الأمريكية

الملخص

تُعرض القيود الرصدية على الطاقة المظلمة المتغيرة مع الزمن (مثل الكوانتس) عادةً على رسم بياني يفترض أن معادلة حالة الطاقة المظلمة تلبي بدقة كدالة من الانزياح الأحمر . تفضل الملاحظات الأخيرة قطاعًا من المستوى الذي و ، مما يشير إلى أن معادلة الحالة مرت بانتقال من انتهاك شرط الطاقة الصفري (NEC) عند الانزياح الأحمر الكبير إلى الالتزام به عند الانزياح الأحمر الصغير . في هذه الورقة، نوضح أن هذه الانطباعات مضللة من خلال إظهار أن نماذج الكوانتس البسيطة التي تلبي NEC لجميع تتنبأ بتفضيل رصدي لنفس القطاع. نجد أيضًا أن نماذج الكوانتس التي تناسب البيانات الرصدية بشكل أفضل يمكن أن تتنبأ بقيمة لمعادلة حالة الطاقة المظلمة في الوقت الحاضر تختلف بشكل كبير عن القيمة الأفضل تناسبًا لـ التي تم الحصول عليها بافتراض المعلمة أعلاه. بالإضافة إلى ذلك، يكشف التحليل عن تقارب تقريبي لـ المعلمة التي تفسر غريب الأطوار والتوجه لحدود الاحتمالية المقدمة في الدراسات الرصدية الأخيرة.

الكلمات المفتاحية: الطاقة المظلمة، الكوانتس، الأراضي المستنقعية، الكوزمولوجيا الدورية، القيود الرصدية

1. المقدمة

يمكن تقييد نماذج الطاقة المظلمة المتغيرة مع الزمن (مثل الكوانتس) [1-6 من خلال دمج الملاحظات عند انزياحات حمراء مختلفة، مثل الخلفية الكونية الميكروية (CMB)، والتذبذبات الصوتية الباريونية (BAO)، والسوبرنوفا من النوع IA (SNe Ia) [7-11]. من الشائع عرض القيود الرصدية على رسم بياني يفترض أن تغير معادلة حالة الطاقة المظلمة موصوف بشكل جيد بواسطة دالة ذات معاملين من عامل المقياس التي تأخذ الشكل [12، 13]
تبدو الملاحظات الأخيرة [8-11] مفضلة لقطاع من المستوى مع و ، وفي هذه الحالة تتنبأ المعادلة (1) بأن شرط الطاقة الصفري (NEC) وشرط الطاقة الضعيفة (WEC) يتم انتهاكهما عند الانزياح الأحمر الكبير (أي، ) ولكن يتم الالتزام به عند الانزياح الأحمر الصغير ( ).
يجب أن نكون حذرين عند تصوير النتائج الرصدية بهذه الطريقة، لأن الملاحظات الكوزمولوجية تعتمد مباشرة على معامل هابل وتكاملاته ولكن فقط بشكل غير مباشر على معادلة حالة الطاقة المظلمة . على وجه الخصوص، يمكن أن يختلف الشكل الوظيفي لـ بشكل كبير عن المعادلة (1) في نماذج الكوانتس المختلفة، بينما لا تزال تتنبأ بملاحظات كوزمولوجية مشابهة جدًا 12، 13. لمقارنة تنبؤات نماذج الكوانتس المختلفة مع بعضها البعض ومع الملاحظات باستخدام رسم بياني، يمكن للمرء أن يعين لكل نموذج الزوج المرتب ( ) الذي يتنبأ بـ الأكثر تشابهًا مع نموذج الكوانتس. هذا مشابه للطريقة التي اقترحها دي بوتير وليندر [13، الذين أظهروا أنه حتى من خلال تعيين بهذه الطريقة، من الممكن مطابقة مع أو أفضل لبعض نماذج الكوانتس.
في هذه الورقة، نستخدم هذه التقنية لتوقع أين يجب أن تقع التفضيلات الرصدية على المستوى لمجموعة من نماذج الكوانتس المدفوعة بحقل قياسي مع كثافة طاقة حركية معيارية وإمكانات . النماذج التي نعتبرها، والتي تُعرف أحيانًا بـ “الطاقة المظلمة الذائبة” [14]، لها خاصية أن في الأوقات المبكرة (كبيرة ) لأن احتكاك هابل خلال عصور الهيمنة المادية والإشعاعية كبير بما يكفي لتجميد الحقل القياسي. في الأوقات المتأخرة (صغيرة )، يصبح احتكاك هابل غير ذي أهمية، ويتسارع الحقل القياسي نحو الإمكانات، و يزداد مع انخفاض . نوضح أنه عند مطابقة ، يتم رسم هذه النماذج على نفس القطاع من الرسم البياني كما تفضل الملاحظات حاليًا، على الرغم من أنها لا تنتهك NEC. ونتيجة لذلك، فإن الملاحظات التي تفضل منطقة بها لا تعني أن الطاقة المظلمة يجب أن تنتهك NEC عند أي انزياح أحمر.
نوضح بروتوكول رسم الخرائط الخاص بنا في القسم 2 ونناقش عدم اليقين في هذه العملية (بسبب تقارب تقريبي في المستوى) في القسم 3. يتم تقديم نماذج الكوانتس التي سنختبرها في القسم 4 وتُعطى نتائج رسمها على المستوى في القسم 5. أخيرًا، في القسم 6، نلخص نتائجنا ونناقش الآثار المترتبة على تفسير حدود الاحتمالية الرصدية على المستوى. على وجه الخصوص، نشير إلى كيف تؤثر الملاحظات على قضايا مثل انتهاك NEC، التوافق مع السوبرغرافيتي ونظرية الأوتار، وما إذا كانت التوسع المتسارع يستمر إلى الأبد أو ينتهي وينتقل إلى الانكماش.

2. الطرق

كما هو مذكور أعلاه، تعتمد إجراءاتنا على تحديد أي تركيبة ( ) هي “أفضل ملاءمة” لنموذج كوانتس معين للطاقة المظلمة. بدلاً من اختيار الملاءمة التي تحاكي بشكل أفضل معادلة حالة حقل الكوانتس ، نختار الملاءمة التي تتطابق بشكل أفضل مع تطور معامل هابل في نموذج الكوانتس. هذا يسمح للملاءمة بأن تكون الأكثر تقريبًا
إعادة إنتاج الملاحظات الكوزمولوجية الرئيسية في الأوقات المتأخرة، مثل مسافة هابل
مسافة القطر الزاوي
ومسافة اللمعان
من الجدير بالذكر أنه عند تحسين المطابقة مع ، يتم العثور على الكميات المتكاملة و لتتطابق بدقة مماثلة، كما سنظهر لنموذج عينة في القسم 5.
كمياً، نعرف تركيبة “أفضل ملاءمة” ( ) على أنها تلك التي تقلل الخطأ
هنا، هو تطور معامل هابل لنموذج كوانتس معين، بينما هو التطور لنموذج الاصطناعي. يتم إجراء التعظيم في المعادلة (5) على الفاصل الزمني المحدود لمطابقة تقريبية مع الانزياحات الحمراء التي تم استكشافها بواسطة قياسات BAO وSNe Ia. هذه هي أيضًا الانزياحات الحمراء التي تكون فيها تغير الطاقة المظلمة أكثر صلة؛ عند الانزياحات الحمراء الأعلى، يكون الكون مهيمنًا بشدة على المادة، ويمكن حساب مباشرة من كثافة المادة الحالية ، بغض النظر عن طبيعة أو سلوك الطاقة المظلمة. لاحظ أن هناك بعض المرونة في تعريف الخطأ أعلاه؛ على سبيل المثال، تتطابق الطريقة في المرجع [13] مع على جميع بدلاً من على . في القسم 3، سنناقش كيف تترجم هذه المرونة إلى عدم يقين في نتائج أفضل ملاءمة لدينا.
بالنسبة لبعض نماذج الكوانتس، يمكن حساب بسهولة من تعبيرات معلمة تحليليًا لـ (انظر، على سبيل المثال، المراجع [14، 15]). ومع ذلك، فإن هذه التعبيرات تقريبية وصالحة فقط في النطاق الذي ، مما يحد من مجموعة النماذج التي يمكن دراستها. في هذا العمل، من أجل العثور على لنموذج كوانتس مدفوع بحقل قياسي مع إمكانات ، نقوم بتبديل المتغيرات من إلى ونحل المعادلات الكاملة للحركة عدديًا
هنا، هي معادلة حالة الحقل القياسي، هي نسبة كثافة الطاقة الكلية المنسوبة إلى الحقل القياسي، والرموز تشير إلى المشتقات بالنسبة لـ . لاحظ أن هذه المعادلات تفترض كونًا مسطحًا. نحدد شروطنا الأولية في عمق الماضي المهيمن على المادة، مع . ستعتمد قيمة الحقل الأولية على النموذج المحدد، ولكن يمكن تعيين سرعة الحقل في البداية إلى الصفر دون فقدان العمومية، حيث ستتطور نحو مسار جذب بينما . ننهي المحاكاة عند الوصول إلى قيمة معيارية محددة مسبقًا لـ ، والتي نأخذها كمدخل إلى إجراء رسم الخرائط. لاحظ أنه طوال هذا العمل، سنقيس بوحدات من ، وفي الأمثلة التي نقدمها، سنفترض أن .
بعد ذلك، يمكننا توليد ملاءمة مرشحة من خلال حل النظام
هنا، لا نفترض أن كثافة الطاقة المظلمة المئوية الملائمة تساوي ، ولا نفترض أن تساوي . بدلاً من ذلك، نتعامل مع هذين القيمتين الأوليتين كمعلمات حرة، بالإضافة إلى التركيبة ( ) التي تحدد معادلة الحالة . نتحقق، مع ذلك، من أن قيم أفضل ملاءمة لـ ، والتركيبة تقع ضمن من قيمها في نموذج الكوانتس. هذا يضمن أن الملاءمة متوافقة مع قيود CMB بالإضافة إلى قياسات الكون المنخفض الانزياح الأحمر.
الخطوة النهائية في إجراءاتنا هي المسح عبر المعلمات الأربع الحرة وتحديد أفضل تركيبة ملاءمة لـ مع أقل خطأ كما هو محدد في المعادلة (5). نلاحظ أن ملاءمة جميع المعلمات الأربع، بدلاً من مجرد كما هو الحال في نهج دي بوتير وليندر، فإنه ضروري من أجل تحديد أفضل الملاءمات لمجموعة أوسع من نماذج الجوهر مقارنة بتلك التي تم النظر فيها في المرجع 13. بعد إسقاط أفضل قيم الملاءمة لـ و نحن نترك مع نقطة واحدة فقط على الطائرة التي تمثل أفضل نموذج للجوهر الذي بدأنا به. بشكل عام، يمكن استخدام هذا البروتوكول لرسم عائلة من نماذج الجوهر ذات المعامل الواحد على منحنى أفضل ملاءمة على طائرة، أو عائلة متعددة المعلمات من النماذج إلى منطقة أفضل ملاءمة.

3. الانحلال وعدم اليقين

في عملية التوافق لدينا، من المفيد تحديد منطقة من التركيبات “المقبولة” لـ ( بالإضافة إلى التركيبة المركزية أو “الأفضل تناسبًا”. هناك تقارب تقريبي بين و عند مطابقة الملاحظات الكونية، مما يتسبب في أن تكون هذه المنطقة المقبولة ذات شكل غير منتظم للغاية. على وجه الخصوص، بالنسبة لأي مجموعة من القيم المثلى ( ) الذي يتطابق مع نموذج الجوهر الخالص بدقة معقولة، سيكون هناك مجموعة كبيرة من التركيبات التي تلبي التي تتطابق مع النموذج بدقة مماثلة.
الشكل 1: تدهور طفيف بين ( يتم توضيح النماذج من خلال حساب الخطأ من كل ( تناسب عند المطابقة من علامة مرجعية ( نموذج مع . يتم الإشارة إلى اتجاه التدهور بواسطة الخط المنقط ذو الميل .
يمكن أن يختلف ميل هذه الانحطاط بواسطة اعتمادًا على النموذج الذي يتم تركيبه، لكن مظهره النوعي واضح ومتميز.
لإظهار أن هذا التأثير أساسي لـ ( ) التماثل وليس معتمدًا على أي اختيار معين لنموذج الكوانتس، توضح الشكل 1 التماثل عند التوفيق ( ) تركيبات لنموذج مرجعي يلتزم بدقة بمعادلة الحالة المعلمة في المعادلة (1) مع ( ); هذه هي القيم المركزية لقيود DESI + CMB + PantheonPlus [8]. المناطق الأكثر ظلمة في الشكل تتوافق مع ( التوليفات التي تتطابق بدقة مع نموذج الفيدوشيال ، والخط المتقطع ذو الميل تشير إلى محور الانحطاط. يمكن للمرء أن يرى أن العديد من التركيبات المتراصة على طول هذا المحور تتناسب بدقة مع النموذج المركزي ضمن .
هذه الانحرافية ليست ذات صلة فقط بتناسباتنا النظرية لنماذج الكوانتس، بل إنها أيضًا تقدم توقعًا حول اتجاه خطوط القيود في الطائرة التي تم إنتاجها من خلال التحليلات الرصدية. بشكل خاص، إذا كانت القيم المرصودة لـ على نطاق واسع من الانزياحات الحمراء تتناسب بشكل جيد مع تركيبة واحدة من ، ثم نتوقع أنه سيكون مناسبًا بشكل معقول من خلال تركيبات أخرى على محور الانحلال. إن الانحراف الناتج وتوجه خطوط القيود واضحان بالفعل في، على سبيل المثال، المراجع [8-11، مع الميل الذي يتطابق بشكل وثيق مع توقعاتنا في المجموعة يحدث نتيجة لـ DESI [8].
الشكل 2: الشكوك المرتبطة ببروتوكول التوافق. خط أفضل ملاءمة ( تظهر التركيبات لنموذج كوانتس واحد المعلمة الافتراضي باللون الأسود الصلب. كل نقطة على الخط لها منطقة “ملائمة مقبولة” مرتبطة بها بحجم متغير، موضحة هنا بشكل نوعي كخطوط إهليلجية زرقاء تلبي لبعض الحدود تكون عادة الأكبر بالقرب من حدود CDM، ويمتزجان معًا لتشكيل شريط مقبول الشكل متدرج (مظلل باللون الوردي) حول خط الملاءمة الأفضل. يتم توضيح نوع ثانٍ من عدم اليقين، الذي يمثل المرونة في تعريف الخطأ عند تحديد خط الملاءمة الأفضل نفسه، بشكل نوعي مع خطين بديلين للملاءمة الأفضل (متقطع) يتقاربون في حد CDM.
على عكس اتجاه الانحلال، فإن حجم المنطقة المنحلة في النظرية يتوقف ملاءمة النموذج على النموذج المستخدم. في المثال الموضح في الشكل 1، فإن خطأ الملاءمة الأفضل هو بناءً على ذلك، هناك منطقة كبيرة من التوافقات المقبولة، اعتمادًا على الدقة. الذي يمكن قياسه. بشكل عام، خطأ أكبر لأفضل ملاءمة ( تتوافق ) المجموعة مع منطقة أصغر من الملاءمة المقبولة.
عند رسم منحنى أفضل ملاءمة على ( ) الطائرة المقابلة لعائلة من نماذج الكوانتس، تتداخل مناطق الملاءمة المقبولة لكل نقطة لتشكل شريط ملاءمة مقبول، كما هو موضح في الشكل 2 كمنطقة مظللة باللون الوردي. يكون الشريط في أوسع حالاته عند حد ( ) من أي نموذج جوهري، بشرط أن يوجد مثل هذا الحد، ولكن معدل تلاشي الشريط يعتمد على النموذج.
أخيرًا، نوع ثانٍ ومستقل تمامًا من عدم اليقين يعكس ثقتنا (أو عدمها) في موقع منحنى الملاءمة الأفضل نفسه على طائرة. تنبع هذه الشكوك الثانية من غموض أساسي في
مفهوم “الأفضل ملاءمة”، أي في تعريف الخطأ (المعادلة 5). لقد لاحظنا أن اختيار تعريف مختلف للخطأ – على سبيل المثال، خطأ متوسط المربعات بدلاً من الحد الأقصى، أو المطابقة ‘s بدلاً من يمكن أن تؤثر على ميل خطوط أفضل ملاءمة بواسطة ، اعتمادًا على الطراز. تدور الخطوط حول حد CDM (بافتراض وجود مثل هذا الحد في النماذج التي يتم تركيبها)، حيث تتفق جميع تعريفات الخطأ على أن الملاحظات الكونية تتناسب بشكل أفضل مع تُظهر الخطوط المتقطعة في الشكل 2 هذه الشكوك في الميل.

4. النماذج

في هذا العمل، نوضح الطرق الموضحة في القسم السابق باستخدام ثلاث فئات من نماذج الكوانتس الذائبة كمثال: الإمكانيات الأسية، والقمم، والهضاب. كل من هذه النماذج مدفوعة بحقل عددي. مع كثافة الطاقة الحركية الكانونية تتدحرج على طول إمكان يتم الاحتفاظ بالحقل القياسي ثابتًا في البداية خلال عصور الإشعاع والمادة بواسطة احتكاك هابل، بحيث عند الانزياح الأحمر الكبير. ثم، مع اقتراب كثافة الطاقة المظلمة من كثافة المادة، يقل احتكاك هابل، ويتسارع المجال نحو الأسفل في الجهد، وبدوره يزداد كـ ينقص (أو “يذوب” بعيدًا عن -1 ). يتوافق هذا السلوك مع قيمة سلبية من في ( ) التماثل، كما يبدو أنه مفضل من قبل القيود الرصدية الحديثة .
نقوم بتمثيل الجهد الأسي على النحو التالي
أين هو بوحدات الكتلة المخفضة لبلانك وتم تعيين قيمة الحقل الأولية إلى صفر، بحيث الدافع النظري لدراسة هذه الفئة من النماذج هو أن الحقول القياسية ذات الإمكانيات الأسية شائعة في السوبرغرافيتي، والجاذبية المعدلة، ونظريات السوبرستينغ؛ انظر على سبيل المثال [16-18]. بالإضافة إلى ذلك، فإن الإمكانية الأسية تستكشف حدين مثيرين للاهتمام من نماذج الكوانتس: أحدهما حيث ثابت وأصغر بكثير من (“التجمد البطيء” للجوهر الخميسي [14، 19])، وواحد حيث ثابت ولكنه ليس صغيرًا (أي، عندما ).
إمكانات التلال مع سلبية كبيرة توفير استقصاء تكميلي حول النظام حيث صغير مقارنة بـ لكنها ليست ثابتة. تعتبر إمكانيات من هذا النوع تقريبات جيدة لنماذج الأكسون (أو بوزونات نامبو غولدستون الزائفة بشكل عام) بشرط أن يكون الحقل القياسي مجمدًا في البداية بفعل احتكاك هابل بالقرب من قمة إمكانيته. نحن نتخذ تقريبًا تربيعيًا ونكتب الإمكانية القمة كـ
أين مرة أخرى هو بوحدات و . في هذا العمل، نقوم بتحليل قمة تل مسطحة نسبيًا مع وتلة أكثر تجويفًا مع 100. لكل حالة، سنستخدم مجموعة متنوعة من قيم الحقل الأولية لرسم مجموعة من أفضل القيم المناسبة الممكنة ( ) التركيبات المحتملة المعطاة.
الجهد الهضبي الذي نعتبره هو نوع من الهجين بين المثالين السابقين، حيث يجمع بين منطقة من الانخفاض الأسي السلس مع انخفاض حاد يشبه المنحدر:
هذا مثال على حالة حيث لا يمكن افتراض أن تكون صغيرة أو ثابتة. نحن نختار جرفًا أسيًا (بدلاً من قانون القوة) لمطابقة النموذج في المرجع [20، حيث تم إظهار أن الإمكانية (15) يمكن أن تؤدي إلى انتقال من التوسع المتسارع إلى نظام من الانكماش البطيء عندما يصبح سالبًا، كما يمكن أن يحدث في كوزمولوجيا دورية. بالنسبة لهذا النموذج، نحن أحرار في تعيين قيمة الحقل الأولية إلى دون فقدان العمومية. كما كان من قبل، هو بوحدات ، و هو ثابت. يحتوي هذا النموذج على ثلاثة معلمات حرة، ، و ، مما يؤدي إلى منطقة التوافق الأفضل على الـ سطح مستوٍ بدلاً من منحنى. لاحظ أنه في أي حد يصبح فيه الحد الثاني في الجهد غير ذي أهمية، نستعيد النموذج الأسي مع .

5. النتائج

تُظهر المنحنيات والمناطق المناسبة لأفضل ملاءمة للثلاث فئات من النماذج المقدمة في القسم 4 في الشكل 3. كما ذُكر في القسم 2، تفترض هذه التحليل قيمة معيارية لـ .
المنحنى البرتقالي يتوافق مع النموذج الأسي. الحد يتطابق مع معلمات و كل ملاءمة على هذه المنحنى تحتوي على خطأ وهو أعلى مستوى من الدقة بين النماذج التي اختبرناها.
المنطقة بين المنحنى الأسي (البرتقالي) وحدود الهضبة (الأحمر) تتوافق مع عائلة نماذج الهضبة ذات الثلاثة معلمات. الحدود العليا (المنحنى الأسي) تتوافق مع الحد حيث يكون الجرف صغيرًا بشكل ضئيل. الحدود السفلية تتوافق مع الكبيرة وهاوية كبيرة تسبب زيادة مفاجئة في معادلة الحالة كما يقل. هذه الزيادة المفاجئة في تسبب في تحويل النماذج إلى قيم أكثر سلبية من يمكن أن تكون الأخطاء بالقرب من هذه الحدود أكبر قليلاً ولكنها لا تزال تلبي بالنسبة للحالات التي اختبرناها. نلاحظ أن الحد الأدنى من هذه المنطقة تقريبي، وقد لا تحاكي أنواع أخرى من نماذج الهضبة سلوك الجهد المحدد الذي تم فحصه في هذا العمل.
المنحنيان المتبقيان يت correspondان لنماذج قمم التلال مع (أخضر) و (الأزرق). الأخطاء المعنية تلبي و داخل المنطقة الموضحة في الرسم. كلما كانت قيمة المجال الأولية أقرب إلى قمة التل، كانت أفضل ملاءمة أقرب. نموذج هو وأقل خطأ في التوافق هو الأفضل.
تُضاف هذه النتائج إلى القيود الملاحظة التي حصلت عليها تعاون DESI (الأزرق والبني) الخطوط الخارجية) عند دمج قياسات ، و SNe Ia [8]. هذا يسمح باستخدام الرسم البياني لـ
الشكل 3: أ رسم بياني يوضح التوقعات لثلاثة أنواع من إمكانيات الكوانتس الكانونية (الأسية، الهضبة، قمة التل) التي تلبي شرط NEC. بالنسبة لنماذج الهضبة، تتطابق التوقعات مع المنطقة بين المنحنى الأسّي ومنحنى حدود الهضبة المشار إليه. كما يظهر الرسم البياني أفضل حدود ملائمة من DESI BAO. بانثيون بلس أو يونيون 3) التي تفضل القطاع (أسفل الخط المنقط الداكن)، مشيرًا بسذاجة إلى انتهاك NEC بشكل كبير .
مقارنة نماذج الكوانتسنس مع بعضها البعض ومع الملاحظات في نفس الوقت. على سبيل المثال، تبدو حدود الاحتمالية في الشكل 3 وكأنها تفضل إمكانيات الكوانتسنس ذات الانخفاضات الحادة، مثل نماذج الهضبة ذات المنحدرات الأكثر حدة أو نماذج قمة التل مع . ومع ذلك، نحن نطرح هذه النقطة بشكل رئيسي لغرض توضيح فائدة المخططات بشكل عام، ولن نقترح استخلاص أي استنتاجات قوية بناءً على البيانات المتاحة حالياً.
من الجدير بالذكر أن جميع نماذج الجوهر التي اختبرناها تلتزم بقاعدة NEC ولديها للجميع ، ومع ذلك، فإنها تتناسب بشكل أفضل مع المنحنيات أو المناطق على طائرة تلبي . يتم تحديد هذه الحدود بواسطة الخط المنقط في الشكل 3. لذلك نستنتج أن هناك تفضيلًا لهذا القطاع من المستوى، مما قد يعني بشكل ساذج انتهاك NEC عند القيم الكبيرة وفقًا للمعادلة (1)، فإنها تتوافق فعليًا مع نماذج الكوانتس التي تلبي شروط NEC. هذه النتيجة هي تجسيد لحقيقة أنه حتى الفروق الكبيرة في على نطاق واسع من (حيث تكون صغيرة بشكل ضئيل) لها تأثير ضئيل على الملاحظات الكونية مثل .
الشكل 4: [اللوحة العلوية] الفرق النسبي في و بين نموذج جوهري على قمة تل مع وأفضل ملاءمة ( ) نموذج. لاحظ أن بالنسبة لهذا النموذج، كما هو الحال مع جميع النماذج التي تم النظر فيها في هذا العمل، فإن معامل هابل والكميات المدمجة و تتطابق مع أخطاء أقل من واحد بالمئة في جميع الحالات .
[اللوحة السفلية] تطور لنموذج قمة التل نفسه (المنحنى الصلب)، مقارنة بتطور لأفضل ملاءمة ( ) التركيبة (المنحنى المتقطع) بناءً على المطابقة ‘s.
عند الانزياحات الحمراء الأصغر، أكثر حساسية للاختلافات في ، ولكن فقط من خلال تكامل. ونتيجة لذلك، يمكن أن يكون لدى نموذجين تشابه كبير حتى لو كانت لديهم تختلف بشكل ملحوظ على مدى ضيق من الانزياحات الحمراء بالقرب من . وهذا يعني بدوره أن القيم الأكثر ملاءمة لـ تم الحصول عليه عند المطابقة لا يجب أن تكون مساوية – أو حتى قريبة من – القيمة الفعلية لنموذج الجوهر الذي يتم النظر فيه. هذه هي الحالة بشكل خاص لنماذج القمة والهضبة، حيث يزداد بسرعة كما . نحن نوضح مثالاً على هذا السلوك لنموذج قمة التل مع في الشكل 4، المقارنة بين
يتناسب مع و ، التي تحتوي على أخطاء بمستوى أقل من النسبة المئوية، مع مقارنة لـ بين النموذج والملاءمة، التي تختلف بـ في الواقع، تشمل المنحنيات المناسبة المرسومة في الشكل 3 حالات حيث ، وفي هذه الحالة لم يعد الكون اليوم يتسارع، بينما أفضل ملاءمة ( ) التركيبة لا تزال لديها .
كما تم مناقشته في القسم 3، هناك بعض عدم اليقين في نتائج التوافق الأفضل لدينا بسبب المرونة في كيفية تعريف الخطأ. . هذه الشكوك ضئيلة بالنسبة للمنحنى الأسي، ولكن يجب تفسير حدود الهضبة ومنحنيات القمة على أنها تحتوي على شريط الخطأ على قيمة في أي وقت معين . بالإضافة إلى ذلك، فإن تمديد منحنيات الهضبة وقمة التل إلى ما وراء المنطقة المعروضة سيؤدي إلى إنتاج أخطاء ملائمة أفضل متزايدة الحجم. ، في النهاية تصل إلى نقطة حيث لا يوجد توافق جيد مع نموذج الجوهر ضمن ( ) فضاء المعاملات. في حالات مثل هذه – بما في ذلك نماذج أكثر عمومية للطاقة المظلمة أو الجاذبية المعدلة التي لا تتناسب بشكل جيد مع أي ( النهج الأكثر أمانًا سيكون إجراء تحليل منفصل محدد للنموذج المعني، بدلاً من محاولة ربطه، ثم تقييده، بـ فضاء المعلمات.
أخيرًا، نلاحظ أن الرسوم البيانية مثل الشكل 3 لا تحمل أي معلومات عن ضبط المعلمات أو الشروط الأولية لنموذج معين. على سبيل المثال، في نموذج قمة التل، فإن نطاقًا صغيرًا فقط من قيم الحقل الأولية يكون قريبًا بما فيه الكفاية من قمة التل لإنتاج فترة ملحوظة من التوسع المتسارع وبعيدًا بما فيه الكفاية عن قمة التل ليكون متميزًا عن يجب تقييم هذا الضبط الدقيق ووزنه بشكل منفصل.

6. المناقشة

في هذا العمل، قمنا بتعديل وتوضيح بروتوكول رسم الخرائط الذي يخصص قيمة الأنسب لـ ( ) إلى أي نموذج معين من الكوانتس بناءً على مطابقة تطور معامل هابل في كون مسطح مكانيًا. بالنسبة للحالات التي اختبرناها، والتي تظهر خرائطها في الشكل 3، أكدنا أن ( كانت المعايرة قادرة على مطابقة نموذج الجوهر. أقل من خطأ على الإطلاق نلاحظ أنه بالنسبة لكل نموذج تم النظر فيه في هذا العمل، فإن تخمينات سوانبلاند [18، 21، 22 (التي يُعتقد أنها مطلوبة لنظرية متسقة للجاذبية الكمومية) مُرضاة لنطاق كبير من المعلمات. كما أن إمكانيات الهضبة وقمة التل، التي تتناقص بشكل حاد ويمكن أن تصبح سلبية، لها أيضًا مكان طبيعي في الكوزمولوجيا المتكررة المتذبذبة 23، 24.
على الرغم من أنها أقل دقة من مقارنات النماذج البايزية باستخدام محاكاة مونت كارلو لسلسلة ماركوف، فإن هذا البروتوكول يوفر وسيلة سريعة ومفيدة لمقارنة النماذج المختلفة للجوهر مع بعضها البعض ومع البيانات الملاحظة في فضاء معلمات ثنائي الأبعاد مشترك. على سبيل المثال، إذا أخذنا القيود التي أبلغت عنها DESI على محمل الجد، نرى أن نماذج الهضبة والنماذج القمة تؤدي بشكل أفضل من النماذج الأسية، حيث أن النماذج القمة ذات الانحناء العالي هي الأكثر توافقًا مع البيانات. ومع ذلك، نكرر أن هذا الاختبار المقارن لا يأخذ في الاعتبار أي ضبط دقيق للمعلمات أو البداية.
ظروف النماذج التي تقع ضمن حدود القيود الرصدية، وهي خاضعة للاختلافات التي تم مناقشتها في القسم 3.
هذا البروتوكول للتخطيط لا يتيح لنا فقط تقييم نماذج الجوهر ضد البيانات الرصدية، ولكنه أيضًا يسلط الضوء على كيفية تفسير حدود الاحتمالية الرصدية نفسها. أولاً، لقد أظهرنا أن الغرابة والتوجه للحدود الناتجة عن القياسات عبر نطاق واسع من الانزياحات الحمراء هي سمة عامة لـ ( ) التماثل. ثانياً، وجدنا أنه بالنسبة لبعض نماذج الكوانتس المتجمدة، فإن أفضل قيمة ملائمة لـ استنادًا إلى المطابقة يمكن أن تختلف بشكل كبير عن القيمة الحقيقية لـ تنبأ به النموذج. أخيرًا، أشرنا إلى أن نماذج الكوانتس المتجمدة التي تم تحليلها في هذا العمل، جميعها تلتزم بـ NEC (أي، لديها )، يتم تعيينها على ( ) التركيبات التي تلبي و . لذلك، فإن التفضيل الملاحظ لهذا القطاع لا يتطلب الأنواع من النظريات الميدانية الغريبة اللازمة لتمكين الانتقال من انتهاك NEC على نطاق واسع إلى الامتثال لـ NEC على نطاق صغير (انظر، على سبيل المثال، المرجع [25]).
تتمتع هذه النتيجة الأخيرة بتبعية مهمة: على عكس الاقتراح في المرجع [26]، لقد أظهرنا أنه ليس فقط معقولاً ولكن من المهم بشكل حاسم أن تتضمن التحليلات الملاحظة مجموعات من ( ) التي تلبي -1 في أولوياتها بموثوقية عالية. خلاف ذلك، ستستبعد هذه التحليلات عن غير قصد عائلات من نماذج بسيطة ومبررة جيدًا من الاعتبار.

شكر وتقدير.

يدعم هذا العمل جزئيًا من قبل منحة وزارة الطاقة رقم DEFG02-91ER40671 ومنحة مؤسسة سيمونز رقم 654561. نشكر م. إيشاك بوشاكي، س. بيرلموتر و ل. بيج على التعليقات المفيدة حول المخطوطة. يشكر PJS كومرون فافا ومجموعة الفيزياء عالية الطاقة في قسم الفيزياء بجامعة هارفارد على استضافتهم الكريمة له خلال إجازته البحثية.

References

[1] B. Ratra, P. J. E. Peebles, Cosmological Consequences of a Rolling Homogeneous Scalar Field, Phys. Rev. D 37 (1988) 3406. doi:10.1103/PhysRevD. 37.3406
[2] P. J. E. Peebles, B. Ratra, Cosmology with a Time Variable Cosmological Constant, Astrophys. J. Lett. 325 (1988) L17. doi:10.1086/185100.
[3] C. Wetterich, Cosmology and the Fate of Dilatation Symmetry, Nucl. Phys. B 302 (1988) 668-696. arXiv:1711.03844, doi:10.1016/0550-3213(88) 90193-9.
[4] K. Coble, S. Dodelson, J. A. Frieman, Dynamical Lambda models of structure formation, Phys. Rev. D 55 (1997) 1851-1859. arXiv:astro-ph/ 9608122, doi:10.1103/PhysRevD.55.1851.
[5] M. S. Turner, M. J. White, CDM models with a smooth component, Phys. Rev. D 56 (8) (1997) R4439. arXiv:astro-ph/9701138, doi:10.1103/ PhysRevD. 56.R4439.
[6] R. R. Caldwell, R. Dave, P. J. Steinhardt, Cosmological imprint of an energy component with general equation of state, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 1582-1585. arXiv:astro-ph/9708069, doi:10.1103/PhysRevLett.80. 1582.
[7] N. Aghanim, et al., Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters, Astron. Astrophys. 641 (2020) A6, [Erratum: Astron.Astrophys. 652, C4 (2021)]. arXiv:1807.06209, doi:10.1051/0004-6361/201833910.
[8] A. G. Adame, et al., DESI 2024 VI: Cosmological Constraints from the Measurements of Baryon Acoustic Oscillations (4 2024). arXiv:2404. 03002
[9] D. Brout, et al., The Pantheon+ Analysis: Cosmological Constraints, Astrophys. J. 938 (2) (2022) 110. arXiv:2202.04077, doi:10.3847/ 1538-4357/ac8e04.
[10] D. Rubin, et al., Union Through UNITY: Cosmology with 2,000 SNe Using a Unified Bayesian Framework (11 2023). arXiv:2311.12098.
[11] T. M. C. Abbott, et al., The Dark Energy Survey: Cosmology Results With ~1500 New High-redshift Type Ia Supernovae Using The Full 5-year Dataset (1 2024). arXiv:2401.02929
[12] E. V. Linder, Exploring the expansion history of the universe, Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 091301. arXiv:astro-ph/0208512, doi:10.1103/ PhysRevLett.90.091301.
[13] R. de Putter, E. V. Linder, Calibrating Dark Energy, JCAP 10 (2008) 042. arXiv:0808.0189, doi:10.1088/1475-7516/2008/10/042.
[14] R. J. Scherrer, A. A. Sen, Thawing quintessence with a nearly flat potential, Phys. Rev. D 77 (2008) 083515. arXiv:0712.3450 doi:10.1103/ PhysRevD.77.083515
[15] S. Dutta, R. J. Scherrer, Hilltop Quintessence, Phys. Rev. D 78 (2008) 123525. arXiv:0809.4441, doi:10.1103/PhysRevD.78.123525.
[16] C. Wetterich, The Cosmon model for an asymptotically vanishing time dependent cosmological ‘constant’, Astron. Astrophys. 301 (1995) 321-328. arXiv:hep-th/9408025.
[17] P. Binetruy, Models of dynamical supersymmetry breaking and quintessence, Phys. Rev. D 60 (1999) 063502. arXiv:hep-ph/9810553, doi:10.1103/PhysRevD.60.063502
[18] A. Bedroya, C. Vafa, Trans-Planckian Censorship and the Swampland, JHEP 09 (2020) 123. arXiv:1909.11063, doi:10.1007/JHEP09(2020) 123.
[19] T. Chiba, Slow-Roll Thawing Quintessence, Phys. Rev. D 79 (2009) 083517, [Erratum: Phys.Rev.D 80, 109902 (2009)]. arXiv:0902.4037, doi:10. 1103/PhysRevD. 80.109902.
[20] C. Andrei, A. Ijjas, P. J. Steinhardt, Rapidly descending dark energy and the end of cosmic expansion, Proc. Nat. Acad. Sci. 119 (15) (2022) e2200539119. arXiv:2201.07704 doi:10.1073/pnas.2200539119.
[21] H. Ooguri, C. Vafa, On the Geometry of the String Landscape and the Swampland, Nucl. Phys. B 766 (2007) 21-33. arXiv:hep-th/0605264 doi:10.1016/j.nuclphysb.2006.10.033.
[22] P. Agrawal, G. Obied, P. J. Steinhardt, C. Vafa, On the Cosmological Implications of the String Swampland, Phys. Lett. B784 (2018) 271-276. arXiv:1806.09718, doi:10.1016/j.physletb.2018.07.040.
[23] A. Ijjas, P. J. Steinhardt, A new kind of cyclic universe, Phys. Lett. B795 (2019) 666-672. arXiv:1904.08022, doi:10.1016/j.physletb.2019.06. 056.
[24] A. Ijjas, P. J. Steinhardt, Entropy, black holes, and the new cyclic universe, Phys. Lett. B 824 (2022) 136823. arXiv:2108.07101, doi:10.1016/j. physletb. 2021.136823.
[25] X.-F. Zhang, H. Li, Y.-S. Piao, X.-M. Zhang, Two-field models of dark energy with equation of state across -1, Mod. Phys. Lett. A 21 (2006) 231242. arXiv:astro-ph/0501652, doi:10.1142/S0217732306018469
[26] M. Cortês, A. R. Liddle, Interpreting DESI’s evidence for evolving dark energy, arXiv:2404.08056 [astro-ph, physics:gr-qc] (Apr. 2024). doi:10. 48550/arXiv.2404.08056.
URL http://arxiv.org/abs/2404.08056
  1. *Corresponding author
    Email addresses: dshlivko@princeton.edu (David Shlivko), steinh@princeton.edu (Paul J. Steinhardt)

Journal: Physics Letters B, Volume: 855
DOI: https://doi.org/10.1016/j.physletb.2024.138826
Publication Date: 2024-06-26

Assessing observational constraints on dark energy

David Shlivko , Paul J. Steinhardt Department of Physics, Princeton University, Princeton, NJ 08544, USA Jefferson Physical Laboratory, Harvard University, Cambridge MA 02138, USA

Abstract

Observational constraints on time-varying dark energy (e.g., quintessence) are commonly presented on a plot that assumes the equation of state of dark energy strictly satisfies as a function of the redshift . Recent observations favor a sector of the plane in which and , suggesting that the equation of state underwent a transition from violating the null energy condition (NEC) at large to obeying it at small . In this paper, we demonstrate that this impression is misleading by showing that simple quintessence models satisfying the NEC for all predict an observational preference for the same sector. We also find that quintessence models that best fit observational data can predict a value for the dark energy equation of state at present that is significantly different from the best-fit value of obtained assuming the parameterization above. In addition, the analysis reveals an approximate degeneracy of the parameterization that explains the eccentricity and orientation of the likelihood contours presented in recent observational studies.

Keywords: dark energy, quintessence, swampland, cyclic cosmology, observational constraints

1. Introduction

Models of time-varying dark energy (e.g., quintessence) [1-6 can be constrained by combining observations at different redshifts, such as the cosmic microwave background (CMB), baryon acoustic oscillations (BAO), and Type IA supernovae (SNe Ia) [7-11]. A common convention is to display the observational constraints on a plot assuming the variation of the dark energy equation of state is well-described by a two-parameter function of the scale factor that takes the form [12, 13]
Recent observations [8-11] appear to favor a sector of the plane with and , in which case Eq. (1) predicts that the null energy condition (NEC) and weak energy condition (WEC) are violated at large redshift (i.e., ) but satisfied at small redshift ( ).
One must be careful when portraying observational results in this way, because cosmological observables depend directly on the Hubble parameter and its integrals but only indirectly on the dark energy equation of state . In particular, the functional form of can differ significantly from Eq. (1) in different models of quintessence, while still predicting very similar cosmological observables 12, 13. In order to compare the predictions of different quintessence models to one another and to observations using a plot, one can assign to each model the ordered pair ( ) that predicts an most similar to that of the quintessence model. This is similar to the approach suggested by de Putter and Linder [13, who showed that even just by assigning in this way, it is possible to match to or better for some models of quintessence.
In this paper, we use this mapping technique to predict where observational preferences should fall on the plane for a range of quintessence models driven by a scalar field with canonical kinetic energy density and potential . The models we consider, sometimes referred to as “thawing dark energy” [14], have the property that at early times (large ) because Hubble friction during the matter- and radiation-dominated eras is large enough to freeze the scalar field. At late times (small ), the Hubble friction becomes negligible, the scalar field accelerates down the potential, and increases as decreases. We show that, when matching ‘s, these models are mapped onto the same sector of the plot as observations currently prefer, even though they do not violate the NEC. As a result, observations favoring a region with do not imply that dark energy must be NEC-violating at any redshift.
We detail our mapping protocol in Sec. 2 and discuss the uncertainties in this procedure (due partially to an approximate degeneracy in the plane) in Sec. 3. The quintessence models we will test are presented in Sec. 4 and the results of their mapping onto the plane are given in Sec. 5. Finally, in Sec. 6, we summarize our findings and discuss the implications for interpreting observational likelihood contours on a plane. In particular, we point out how the observations bear on issues such as NEC violation, consistency with supergravity and string theory, and on whether accelerated expansion continues forever or terminates and transitions to contraction.

2. Methods

As noted above, our procedure relies on determining which combination ( ) is the “best fit” to a given quintessence model of dark energy. Rather than choosing the fit that best mimics the quintessence field’s equation of state , we choose the fit that best matches the evolution of the Hubble parameter in the quintessence model. This allows the fit to most nearly
reproduce key late-time cosmological observables, such as the Hubble distance
the angular diameter distance
and the luminosity distance
Notably, when optimizing to match , the integrated quantities and are found to match with similar accuracy, as we will show for a sample model in Sec. 5.
Quantitatively, we define the “best fit” combination ( ) as one that minimizes the error
Here, is the evolution of the Hubble parameter for a given quintessence model, while is the evolution for an artificial model. The maximization in Eq. (5) is performed over the finite interval to roughly match the redshifts probed by BAO and SNe Ia measurements. These are also the redshifts during which the time-variation of dark energy is most relevant; at higher redshifts, the universe is strongly matter-dominated, and can be computed directly from the present-day matter density , independently of the nature or behavior of dark energy. Note that there is some flexibility to the above definition of error; for example, the approach in Ref. [13] matches over all rather than over . In Sec. 3, we will discuss how this flexibility translates to an uncertainty in our best-fit results.
For some models of quintessence, can be easily calculated from analytically parameterized expressions for (see, e.g., Refs. [14, 15]). However, these expressions are approximate and only valid in the regime where , which limits the range of models that can be studied. In this work, in order to find for a quintessence model driven by a canonical scalar field with potential , we switch variables from to and numerically solve the full equations of motion
Here, is the equation of state of the scalar field, is the fraction of total energy density attributable to the scalar field, and primes denote derivatives with respect to . Note that these equations assume a spatially flat universe. We set our initial conditions deep in the matter-dominated past, with . The initial field value will depend on the particular model, but the field velocity can be initially set to zero without loss of generality, as it will evolve toward an attractor trajectory while . We end the simulation upon reaching a pre-selected fiducial value of , which we take to be an input to the mapping procedure. Note that throughout this work, we will measure in units of , and in the examples we provide, we will assume that .
Next, we can generate a candidate fit by solving the system
Here, we do not assume that the fitted fractional dark energy density equals , nor do we assume that equals . Instead, we treat these two initial values as free parameters, in addition to the combination ( ) specifying the equation of state . We do check, however, that the best-fit values for , and the combination are within of their values in the quintessence model. This ensures that the fit is compatible with CMB constraints in addition to measurements of the low-redshift universe.
The final step in our procedure is to scan over the four free parameters and identify the best-fit combination of with the smallest error as defined in Eq. (5). We note that fitting all four parameters, rather than just as in the approach of de Putter and Linder, is necessary in order to properly identify the best fits for a wider range of quintessence models than those considered in Ref. 13. After projecting out the best-fit values of and , we are left with a single point on the plane that best represents the quintessence model we started with. More generally, this protocol can be used to map a one-parameter family of quintessence models onto a best-fit curve on the plane, or a multi-parameter family of models onto a best-fit region.

3. Degeneracy and uncertainty

In our fitting process, it is instructive to identify a region of “acceptable” combinations of ( ) in addition to the central or “best-fit” combination. There is an approximate degeneracy between and when matching cosmological observables, causing this acceptable region to be highly eccentric. In particular, for any best-fit combination ( ) that matches a quintessence model’s with reasonable accuracy, there will be a large set of combinations satisfying that match the model with similar accuracy.
Figure 1: A mild degeneracy among ( ) models is illustrated by computing the error of each ( ) fit when matching the of a fiducial ( ) model with . The orientation of the degeneracy is indicated by the dashed line with slope .
The slope of this degeneracy can vary by depending on the model being fitted, but its qualitative appearance is clear and distinct.
To demonstrate that this effect is fundamental to the ( ) parameterization and not dependent on any particular choice of quintessence model, Fig. 1 illustrates the degeneracy when fitting ( ) combinations to a fiducial model strictly obeying the parameterized equation of state in Eq. (1) with ( ); these are the central values of the DESI + CMB + PantheonPlus constraints [8]. The darkest regions in the figure correspond to the ( ) combinations that most accurately match the fiducial model’s , and the dashed line with slope indicates the axis of degeneracy. One can see that many combinations aligned along this axis are accurate fits to the central model within .
This degeneracy is not only relevant for our theoretical fits to quintessence models, but it also makes a prediction about the orientation of constraint contours in the plane produced by observational analyses. In particular, if the observed values of over a broad range of redshifts are well fit by one combination of , then we expect that it will also be reasonably fit by other combinations along the axis of degeneracy. The resulting eccentricity and orientation of the constraint contours are indeed apparent in, e.g., Refs. [8-11, with the slope most closely matching our prediction in the combined Ia results from DESI [8].
Figure 2: Uncertainties associated with the fitting protocol. A line of best-fit ( ) combinations for a hypothetical one-parameter quintessence model is shown in solid black. Each point on the line has an associated “acceptable-fit” region of variable size, depicted here qualitatively as blue elliptical contours satisfying for some . The contours are generically largest near the CDM limit, and they blend together to form a tapered acceptable-fit ribbon (shaded pink) around the best-fit line. A second type of uncertainty, representing the flexibility in the definition of error when determining the best-fit line itself, is illustrated qualitatively with two alternative best-fit lines (dashed) converging in the CDM limit.
Unlike the orientation of the degeneracy, the size of the degenerate region in theoretical ( ) fits is model-dependent. In the example shown in Fig. 1 the best-fit error is by construction, and there is a correspondingly large region of acceptable fits, depending on the precision with which can be measured. In general, a larger error for the best-fit ( ) combination corresponds to a smaller region of acceptable fit.
When plotting a best-fit curve on the ( ) plane corresponding to a one-parameter family of quintessence models, the acceptable-fit regions of each point merge together to form an acceptable-fit ribbon, shown in Fig. 2 as the pink shaded region. The ribbon is widest at the limit ( ) of any quintessence model, provided such a limit exists, but the rate at which the ribbon tapers off is model-dependent.
Finally, a second and entirely independent type of uncertainty reflects our confidence (or lack thereof) in the location of the best-fit curve itself on the plane. This second uncertainty stems from a fundamental ambiguity in
the notion of “best-fit,” i.e., in the definition of error (Eq. 5). We have observed that choosing a different definition of error-say, a mean-square error instead of a maximum, or matching ‘s instead of ‘s-can affect the slope of best-fit lines by , depending on the model. The lines pivot about the CDM limit (assuming such a limit exists in the models being fitted), where all definitions of error agree that the cosmological observables are best fit by . This uncertainty in the slope is depicted by the dashed lines in Fig. 2.

4. Models

In this work, we illustrate the methods outlined in the previous section using three classes of thawing quintessence models as examples: exponential potentials, hilltops, and plateaus. Each of these models is driven by a scalar field with canonical kinetic energy density rolling down a potential . The scalar field is initially held constant during the radiation- and matter-dominated epochs by Hubble friction, such that at large redshift. Then, as the dark energy density becomes comparable to the matter density, the Hubble friction decreases, the field accelerates down the potential, and in turn increases as decreases (or “thaws” away from -1 ). This behavior corresponds to a negative value of in the ( ) parameterization, as appears to be preferred by recent observational constraints .
We parameterize the exponential potential as
where is in units of the reduced Planck mass and the initial field value is set to zero, such that . A theoretical motivation for studying this class of models is that scalar fields with exponential potentials are ubiquitous in supergravity, modified gravity, and superstring theories; see for example [16-18]. Additionally, the exponential potential probes two interesting limits of quintessence models: one where is constant and much smaller than (“slow-roll” thawing quintessence [14, 19]), and one where is constant but not small (i.e., when ).
Hilltop potentials with large, negative provide a complementary probe into the regime where is small compared to but not constant. Potentials of this type are good approximations to axion models (or pseudo-Nambu Goldstone bosons generally) provided the scalar field is initially frozen by Hubble friction near the top of its potential 15. We take a quadratic approximation and write the hilltop potential as
where again is in units of and . In this work, we analyze a relatively flat hilltop with and a more concave hilltop with 100. For each case, we will use a variety of initial field values to map out the set of possible best-fit ( ) combinations to the given potential.
The plateau potential we consider is something of a hybrid between the previous two examples, pairing a region of smooth exponential decay with a sharp, cliff-like drop:
This is an example of a case where cannot be assumed to be either small or constant. We choose an exponential cliff (rather than a power-law) to match the model of Ref. [20, where it was shown that the potential (15) can lead to a transition from accelerated expansion to a regime of slow contraction when becomes negative, as can occur in a cyclic cosmology. For this model, we are free to set the initial field value to without loss of generality. As before, is in units of , and is a constant. This model has three free parameters, , and , which leads to a best-fit region on the plane rather than a curve. Note that in any limit where the second term in the potential becomes negligible, we recover the exponential model with .

5. Results

The best-fit curves and regions for the three classes of models introduced in Sec. 4 are depicted in Fig. 3. As mentioned in Sec. 2 , this analysis assumes a fiducial value of .
The orange curve corresponds to the exponential model. The limit maps onto the parameters and . Each fit along this curve has error , which is the greatest level of accuracy among the models we tested.
The region between the exponential curve (orange) and the plateau boundary (red) corresponds to the three-parameter family of plateau models. The upper boundary (the exponential curve) corresponds to the limit in which the cliff is negligibly small. The lower boundary corresponds to large and a substantial cliff that causes a sudden increase in the equation of state as decreases. This sudden increases in causes the models to be mapped onto more negative values of . The errors near this boundary can be somewhat greater but still satisfy for the cases we tested. We note that the lower boundary of this region is approximate, and other types of plateau models may not mimic the behavior of the specific potential examined in this work.
The two remaining curves correspond to hilltop models with (green) and (blue). The respective errors satisfy and within the region shown in the plot. The closer the initial field value is to the hilltop, the closer the best-fit ( ) model is to , and the smaller is the best-fit error.
These results are overlaid with the observational constraints obtained by the DESI collaboration (blue and brown contours) when combining measurements of , and SNe Ia [8]. This allows the plot to be used for
Figure 3: A plot showing the predictions for three types of canonical quintessence potentials (exponential, plateau, hilltop) that are NEC-satisfying. For plateau models, the predictions map onto the region between the exponential curve and the plateau boundary curve indicated. The plot also shows the best-fit contours from DESI BAO PantheonPlus or Union3) that prefer the sector (below the dark dashed line), naively suggesting NEC violation at large .
comparing quintessence models to each other and to the observations at the same time. For example, the likelihood contours in Fig. 3 appear to favor quintessence potentials with sharp drops, like plateau models with the steepest cliffs or hilltop models with . However, we make this point mainly for the purpose of illustrating the utility of plots in general, and we would not suggest drawing any strong conclusions based on currently available data.
Notably, all the quintessence models we tested obey the NEC and have for all , yet they are best fit by curves or regions on the plane that satisfy . This boundary is marked by the dashed line in Fig. 3. We therefore conclude that a preference for this sector of the plane, which would naively imply NEC violation at large according to equation (1), is actually compatible with NEC-satisfying models of quintessence. This result is a manifestation of the fact that even large differences in over a wide range of (where is negligibly small) have a negligible impact on cosmological observables such as .
Figure 4: [Top panel] Fractional difference in and between a hilltop quintessence model with and the best-fit ( ) model. Note that . For this model, as for all models considered in this work, the Hubble parameter and the integrated quantities and are matched with sub-percent errors at all .
[Bottom panel] The evolution of for the same hilltop model (solid curve), compared with the evolution of for the best-fit ( ) combination (dashed curve) based on matching ‘s.
At smaller redshifts, is more sensitive to differences in , but only through an integral. As a result, two models can have very similar ‘s even if their ‘s differ noticeably over a narrow range of redshifts near . In turn, this means that the best-fit values of obtained when matching ‘s need not be equal to-or even close to-the actual value for the quintessence model being considered. This is specifically the case for the hilltop and plateau models, in which is increasing rapidly as . We illustrate an example of this behavior for a hilltop model with in Fig. 4 , juxtaposing the
fits to and , which have sub-percent level errors, with a comparison of ‘s between the model and the fit, which differ by . In fact, the best-fit curves drawn in Fig. 3 include cases where , in which case the universe today is no longer accelerating, while the best-fit ( ) combination still has .
As discussed in Sec. 3, there is some uncertainty in our best-fit results due to the flexibility in how we define the error . This uncertainty is negligible for the exponential curve, but the plateau boundary and hilltop curves should be interpreted as having a error bar on the value of at any given . Additionally, extending the plateau and hilltop curves beyond the region shown would produce increasingly large best-fit errors , ultimately reaching a point where there exists no good fit to the quintessence model within the ( ) parameter space. In cases like this-including more general models of dark energy or modified gravity that are not well fit by any ( ) combinationthe safer approach would be to perform a separate analysis specific to the model in question, rather than trying to map it onto, and then constrain, the parameter space.
Finally, we note that plots like Fig. 3 carry no information about finetuning of either parameters or initial conditions for a given model. For example, in a hilltop model, only a small range of initial field values is simultaneously sufficiently close to the peak of the hilltop to produce a noticeable period of accelerated expansion and sufficiently far from the hilltop to be distinguishable from . This fine-tuning must be judged and weighed separately.

6. Discussion

In this work, we modified and illustrated a mapping protocol that assigns a best-fit value of ( ) to any given model of quintessence based on matching the evolution of the Hubble parameter in a spatially flat universe. For the cases we tested, whose maps are shown in Fig. 3, we confirmed that the ( ) parameterization was able to match the quintessence model’s with less than error at all . We note that for each model considered in this work, the Swampland conjectures [18, 21, 22 (thought to be required for a consistent theory of quantum gravity) are satisfied for a substantial range of parameters. The plateau and hilltop potentials, which are sharply decreasing and can become negative, also have a natural place in cyclic bouncing cosmology 23, 24 .
Though less precise than Bayesian model comparisons using Markov-Chain Monte Carlo simulations, this protocol provides a quick and useful way to visually compare different models of quintessence to each other and to observational data in a common two-dimensional parameter space. For example, if we take the constraints reported by DESI at face value, we see that plateau and hilltop models fare better than exponential models, with highly concave hilltop models being most compatible with the data. We reiterate, however, that this comparison test does not take into account any fine-tuning of the parameters or initial
conditions of models that land within the observational constraint contours, and it is subject to the uncertainties discussed in Sec. 3.
This mapping protocol not only allows us to assess models of quintessence against observational data, but it also sheds new light on how to interpret the observational likelihood contours themselves. First, we have shown that the eccentricity and orientation of contours generated from measurements across a broad range of redshifts is a generic feature of the ( ) parameterization. Second, we have found that for some models of thawing quintessence, the best-fit value of based on matching ‘s can differ significantly from the true value of predicted by the model. Finally, we have pointed out that the thawing quintessence models analyzed in this work, all of which obey the NEC (i.e., have ), are mapped onto ( ) combinations that satisfy and . An observational preference for this sector, therefore, does not require the kinds of exotic field theories needed to enable a transition from NEC violation at large to NEC compliance at small (see, e.g., Ref. [25]).
This last finding has an important corollary: contrary to the suggestion in Ref. [26, we have shown that it is not just reasonable but crucially important for observational analyses to include combinations of ( ) satisfying -1 in their priors with high credence. Otherwise, these analyses would be inadvertently excluding families of simple, well-motivated models of thawing quintessence from consideration.

Acknowledgements.

This work is supported in part by the DOE grant number DEFG02-91ER40671 and by the Simons Foundation grant number 654561. We thank M. IshakBoushaki, S. Perlmutter and L. Page for useful comments on the manuscript. PJS thanks Cumrun Vafa and the High Energy Physics group in the Department of Physics at Harvard University for graciously hosting him during his sabbatical leave.

References

[1] B. Ratra, P. J. E. Peebles, Cosmological Consequences of a Rolling Homogeneous Scalar Field, Phys. Rev. D 37 (1988) 3406. doi:10.1103/PhysRevD. 37.3406
[2] P. J. E. Peebles, B. Ratra, Cosmology with a Time Variable Cosmological Constant, Astrophys. J. Lett. 325 (1988) L17. doi:10.1086/185100.
[3] C. Wetterich, Cosmology and the Fate of Dilatation Symmetry, Nucl. Phys. B 302 (1988) 668-696. arXiv:1711.03844, doi:10.1016/0550-3213(88) 90193-9.
[4] K. Coble, S. Dodelson, J. A. Frieman, Dynamical Lambda models of structure formation, Phys. Rev. D 55 (1997) 1851-1859. arXiv:astro-ph/ 9608122, doi:10.1103/PhysRevD.55.1851.
[5] M. S. Turner, M. J. White, CDM models with a smooth component, Phys. Rev. D 56 (8) (1997) R4439. arXiv:astro-ph/9701138, doi:10.1103/ PhysRevD. 56.R4439.
[6] R. R. Caldwell, R. Dave, P. J. Steinhardt, Cosmological imprint of an energy component with general equation of state, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 1582-1585. arXiv:astro-ph/9708069, doi:10.1103/PhysRevLett.80. 1582.
[7] N. Aghanim, et al., Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters, Astron. Astrophys. 641 (2020) A6, [Erratum: Astron.Astrophys. 652, C4 (2021)]. arXiv:1807.06209, doi:10.1051/0004-6361/201833910.
[8] A. G. Adame, et al., DESI 2024 VI: Cosmological Constraints from the Measurements of Baryon Acoustic Oscillations (4 2024). arXiv:2404. 03002
[9] D. Brout, et al., The Pantheon+ Analysis: Cosmological Constraints, Astrophys. J. 938 (2) (2022) 110. arXiv:2202.04077, doi:10.3847/ 1538-4357/ac8e04.
[10] D. Rubin, et al., Union Through UNITY: Cosmology with 2,000 SNe Using a Unified Bayesian Framework (11 2023). arXiv:2311.12098.
[11] T. M. C. Abbott, et al., The Dark Energy Survey: Cosmology Results With ~1500 New High-redshift Type Ia Supernovae Using The Full 5-year Dataset (1 2024). arXiv:2401.02929
[12] E. V. Linder, Exploring the expansion history of the universe, Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 091301. arXiv:astro-ph/0208512, doi:10.1103/ PhysRevLett.90.091301.
[13] R. de Putter, E. V. Linder, Calibrating Dark Energy, JCAP 10 (2008) 042. arXiv:0808.0189, doi:10.1088/1475-7516/2008/10/042.
[14] R. J. Scherrer, A. A. Sen, Thawing quintessence with a nearly flat potential, Phys. Rev. D 77 (2008) 083515. arXiv:0712.3450 doi:10.1103/ PhysRevD.77.083515
[15] S. Dutta, R. J. Scherrer, Hilltop Quintessence, Phys. Rev. D 78 (2008) 123525. arXiv:0809.4441, doi:10.1103/PhysRevD.78.123525.
[16] C. Wetterich, The Cosmon model for an asymptotically vanishing time dependent cosmological ‘constant’, Astron. Astrophys. 301 (1995) 321-328. arXiv:hep-th/9408025.
[17] P. Binetruy, Models of dynamical supersymmetry breaking and quintessence, Phys. Rev. D 60 (1999) 063502. arXiv:hep-ph/9810553, doi:10.1103/PhysRevD.60.063502
[18] A. Bedroya, C. Vafa, Trans-Planckian Censorship and the Swampland, JHEP 09 (2020) 123. arXiv:1909.11063, doi:10.1007/JHEP09(2020) 123.
[19] T. Chiba, Slow-Roll Thawing Quintessence, Phys. Rev. D 79 (2009) 083517, [Erratum: Phys.Rev.D 80, 109902 (2009)]. arXiv:0902.4037, doi:10. 1103/PhysRevD. 80.109902.
[20] C. Andrei, A. Ijjas, P. J. Steinhardt, Rapidly descending dark energy and the end of cosmic expansion, Proc. Nat. Acad. Sci. 119 (15) (2022) e2200539119. arXiv:2201.07704 doi:10.1073/pnas.2200539119.
[21] H. Ooguri, C. Vafa, On the Geometry of the String Landscape and the Swampland, Nucl. Phys. B 766 (2007) 21-33. arXiv:hep-th/0605264 doi:10.1016/j.nuclphysb.2006.10.033.
[22] P. Agrawal, G. Obied, P. J. Steinhardt, C. Vafa, On the Cosmological Implications of the String Swampland, Phys. Lett. B784 (2018) 271-276. arXiv:1806.09718, doi:10.1016/j.physletb.2018.07.040.
[23] A. Ijjas, P. J. Steinhardt, A new kind of cyclic universe, Phys. Lett. B795 (2019) 666-672. arXiv:1904.08022, doi:10.1016/j.physletb.2019.06. 056.
[24] A. Ijjas, P. J. Steinhardt, Entropy, black holes, and the new cyclic universe, Phys. Lett. B 824 (2022) 136823. arXiv:2108.07101, doi:10.1016/j. physletb. 2021.136823.
[25] X.-F. Zhang, H. Li, Y.-S. Piao, X.-M. Zhang, Two-field models of dark energy with equation of state across -1, Mod. Phys. Lett. A 21 (2006) 231242. arXiv:astro-ph/0501652, doi:10.1142/S0217732306018469
[26] M. Cortês, A. R. Liddle, Interpreting DESI’s evidence for evolving dark energy, arXiv:2404.08056 [astro-ph, physics:gr-qc] (Apr. 2024). doi:10. 48550/arXiv.2404.08056.
URL http://arxiv.org/abs/2404.08056
  1. *Corresponding author
    Email addresses: dshlivko@princeton.edu (David Shlivko), steinh@princeton.edu (Paul J. Steinhardt)