دراسة حول الاستقرار وخوارزمية محاكاتها لنظام غير خطي متقطع مرتبط من نوع ABC-كسر مع مشغل لابلاسي عبر خريطة F-تقلصية Study on the stability and its simulation algorithm of a nonlinear impulsive ABC-fractional coupled system with a Laplacian operator via F-contractive mapping

المجلة: Advances in Continuous and Discrete Models، المجلد: 2024، العدد: 1
DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-024-03801-y
تاريخ النشر: 2024-01-30

دراسة حول الاستقرار وخوارزمية محاكاتها لنظام غير خطي متقطع مرتبط من نوع ABC-كسر مع مشغل لابلاسي عبر خريطة F-تقلصية

كايهونغ تشاو (ㅇ)

الملخص

في هذه الورقة، ندرس قابلية الحل واستقرار ألام-هايرز (UH) العام لنظام غير خطي من نوع أتانغانا-بالينو-كابوتو (ABC) مع نظام مترافق من العمليات اللابلاسيّة والاندفاعات. أولاً، يصبح هذا النظام نظامًا غير اندفاعي من خلال تطبيق تحويل مناسب. ثانيًا، يتم الحصول على وجود وحيدة الحل من خلال مشغل F-انكماشي ونظرية النقطة الثابتة في الفضاء المتري. في الوقت نفسه، يتم تأسيس استقرار UH العام استنادًا إلى طرق التحليل غير الخطي. ثالثًا، يتم تقديم خوارزمية محاكاة عددية جديدة. أخيرًا، يتم استخدام مثال لتوضيح صحة وتوافر النتائج الرئيسية. دراستنا هي استكشاف مفيد للخصائص الديناميكية لمشاكل الاضطراب اللزج.

تصنيف موضوع الرياضيات: 34A08؛ 34A37؛ 34D20
الكلمات المفتاحية: نظام ABC-كسر مرتبط؛ مشغل لابلاس؛ القابلية للحل والاستقرار؛ خريطة F-انكماش؛ خوارزمية المحاكاة

1 المقدمة

في عام 2016، قدم أتانغانا وباليانو [8] أولاً مشتقاً كسرياً جديداً بمعنى كابوتو. يُشار إليه بمشتق ABC الكسري. بالمقارنة مع كل من المشتقات الكسريّة ريمان-ليوفيلي ومشتقات كابوتو، تستخدم المشتقات الكسريّة ABC دالة ميتاج-ليفيلر خاصة ك kernel تكامل لتجنب التفرد، وهو ما يمكن شرحه من خلال التحليل أدناه. دعونا نعتبر أن رتبة المشتقات هي ثم نواة التكامل مشتقات ABC الكسرية تلبي (غير مفرد)، كـ ومع ذلك، فإن نواة التكامل من كل من مشتقات ريمان-ليوفييل ومشتقات كابوتو الكسرية يتفق مع (مفرد)، كـ . لذلك، أصبح دراسة أنظمة التفاضل الكسرية من نوع ABC واحدة من المواضيع الساخنة في السنوات الأخيرة. على سبيل المثال، درس بعض العلماء مشكلاتهم النظرية مثل طرق البحث [18، 27]، وعدم المساواة المهمة [19]، التحليل النوعي [5]، تحليل الفوضى [9]، والتقريبات العددية [49]. إعادة-
قام الباحثون بتطبيق نظرية حساب التفاضل والتكامل الكسري ABC لاستكشاف بعض مشاكل التطبيقات على وجه التحديد، أجرى تشاو وآخرون سلسلة من الدراسات [21،53-55،60،61] حول قابلية الحل واستقرار بعض أنظمة المعادلات التفاضلية الكسرية ABC في العامين الماضيين.
في عام 1983، اقترح ليبينسون [31] لأول مرة -نموذج معادلة تفاضلية لابلاس لوصف مشكلة الاضطراب في الوسائط المسامية. الشكل الأساسي الأكثر بساطة من معادلة لابلاس التفاضلية هي كما يلي:
أين يسمى بـ -مؤثر لابلاس. معكوسه هو مع . نظرًا لخلفيته الفيزيائية القوية وتطبيقه، فإن لقد أصبحت معادلة لابلاس التفاضلية واحدة من أشهر وأهم المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية من الدرجة الثانية، وقد تم دراستها بشكل موسع وعميق. في السنوات الأخيرة، أصبحت غير الخطية لقد تم تفضيل نظام التفاضل الكسري -لابلاس من قبل بعض العلماء. على سبيل المثال، ناقش السعيدي وآخرون [7] تعدد الحلول الإيجابية لمشكلة القيمة الحدية للتكامل الكسري غير الخطي من الرتبة العالية ريمان-ليوفيلي. -لابلاسيان. درس زهاو [62] وجود واستقرار UH العام للحل لمعادلة لابلاسيان المرتبطة غير الخطية من نوع كابوتو-فابريزيو. طبق راو وأحمديني [39] نظرية النقطة الثابتة لجو-كراسنوسيلسكي للحصول على تعددية الحلول الإيجابية لنظام من مشاكل القيمة الحدية الكسرية المختلطة من نوع هادامارد مع ( مشغل لابلاس. في الواقع، كانت هناك بعض الأوراق التي تتعامل مع مشاكل القيمة الحدية المختلفة (BVP) لـ نظام لابلاس يتضمن مشتقات كسرية ريمان-ليوفيل أو كابوتو أو هادامارد، على سبيل المثال، مشكلة القيمة الحدية التكاملية [2، 6]، مشكلة القيمة الحدية متعددة النقاط [32، 40]، مشكلة القيمة الحدية اللانهائية [43]، مشكلة القيمة الحدية المفردة [24]، مشكلة القيمة الحدية الدورية [63].
كما هو معروف، لا يمكن للعديد من العمليات التطورية الحفاظ على استقرار دائم، وعملية تطورها دائمًا ما تشهد تغييرات مفاجئة وجذرية. على سبيل المثال، في أنظمة ديناميات السكان، يمكن أن ينخفض عدد الأنواع بشكل حاد أو قد تنقرض الأنواع بسبب عوامل مثل الزلازل، والتسونامي، والأوبئة، والصيد الجائر على المدى القصير. تُسمى هذه الحالة ظاهرة اندفاعية. تعتبر المعادلات التفاضلية الاندفاعية واحدة من الأدوات القوية لوصف الظواهر الاندفاعية. لقد ازدهرت نظرية وتطبيق المعادلات التفاضلية الاندفاعية. في السنوات الأخيرة، ظلت المعادلات التفاضلية الاندفاعية الكسرية موضوع اهتمام ساخن للعلماء. على سبيل المثال، قام بنكرّوش وآخرون [13] بتطبيق نظريتين لنقطة ثابتة لدراسة وجود وحيدة واستقرار UH للحلول لمعادلات كابوتو-هادامارد الاندفاعية متعددة الحدود. استخدم بريا وكاليراج [37] تقنية نقطة ثابتة لروث لمناقشة قابلية التحكم في الأنظمة الاندفاعية غير الخطية ذات الترتيب الكسر. استكشف شياو ولي [48] الاستقرار الأسي للأنظمة الاندفاعية غير الخطية المتأخرة القابلة للتوافق من خلال مبدأ المقارنة وطريقة دالة ليابونوف. بحث فوه وهوا [35] في استقرار ميتاج-ليفلر للأنظمة الديناميكية غير المؤكدة غير الخطية مع تأثيرات الاندفاع باستخدام المشتق الكسر العشوائي. قدم سيفالينغام وغوفينداراج [42] خوارزمية عددية جديدة لمعادلة التفاضل الكسرية الاندفاعية المتغيرة مع الزمن. على الرغم من أن الظاهرة الاندفاعية يمكن أن تسبب تغييرات جذرية في النظام في فترة زمنية قصيرة، إلا أننا نتوقع أن يكون السلوك على المدى الطويل للنظام مستقرًا. لذلك، تم اقتراح العديد من مفاهيم استقرار النظام. على سبيل المثال، تم اقتراح استقرار UH لأول مرة من قبل هايرز وأولام.
[22,45] في الأربعينيات. لاحقًا، تم إجراء سلسلة من التعميمات حول استقرار UH، مثل الاستقرار UH العام، واستقرار أولام-هايرس-راسياس (UHR)، والاستقرار UHR العام. مؤخرًا، حقق بعض العلماء إنجازات كبيرة في دراسة استقرار نوع UH للأنظمة التفاضلية من الرتبة الكسرية. على سبيل المثال، ناقش زادا وآخرون [52] استقرار نظام متصل مفاجئ من معادلات التفاضل التكاملي الكسرية. أنشأ يو [51] -استقرار نوع UH لمعادلة تفاضلية كسرية مع دفعات غير فورية. قام تشين ولين [14] بدراسة استقرار نوع أولام للأنظمة التفاضلية الكسرية المتأثرة بالدفعات والتأخيرات. تناول محمود وآخرون [33] استقرار نوع UH للأنظمة التفاضلية الكسرية المترابطة من نوع ABC. اعتمد ياغوبي وآخرون [50] الطريقة المعتمدة على التردد لتحليل استقرار نوع UH لمعادلات تفاضلية كسرية متعددة الحدود. استكشف تشاو [56] استقرار نوع UH وUHR للأنظمة الكسرية من نوع لانغفين ذات النواة الأسية غير المفردة. يمكن أيضًا العثور على بعض الإنجازات المهمة حول استقرار المعادلات التفاضلية الكسرية في الأدبيات [4، 15، 16، 26، 29، 30]. ومع ذلك، من النادر دراسة استقرار نوع UH لمعادلات تفاضلية كسرية من نوع ABC مع دفعات، لأن هيكل المعادلات التفاضلية أكثر تعقيدًا من معادلة تفاضلية واحدة. بالإضافة إلى ذلك، لا توجد دراسات تجمع بين المشتق الكسرية من نوع ABC ونظام لابلاس المترابط. وبالتالي، من الجديد والمثير استكشاف هذه المشكلات.
استنادًا إلى ما ذُكر أعلاه، نعتبر بشكل أساسي النظام غير الخطي المتقطع المرتبط من نوع ABC-كسر مع ( (-لابلاسيان:
أين هي سلسلة نقاط متهورة تلبي و بعض الثوابت؛ هو -مشتق كسرية من الرتبة ABC؛ وعكسه بشرط أن ; غير خطي؛ و تمثل الحد الأيمن؛ و عبّر عن الحد الأيسر الذي يحقق و .
ملاحظة 1.1 بالمقارنة مع الأوراق السابقة مثل [23،41،56]، يعتبر نظامنا (1.1) نظامًا مترابطًا من المعادلات التي تتضمن تأثيرات مفاجئة ومشتقات كسرية متعددة. ، و التي تتضمن معادلة واحدة وتكون أكثر تعقيدًا وصعوبة في الدراسة.
الهدف من هذه المخطوطة هو التحقيق في وجود واستقرار الحلول العامة لنظام (1.1). تشمل مساهماتنا الرئيسية الجوانب التالية. (i) نظرًا لعدم العثور على أوراق بحثية حتى الآن تتناول نظام المعادلات التفاضلية غير الخطية المرتبطة بـ ABC-الكسري مع الاندفاعات، فإننا نعتبر أولاً النظام (1.1) لسد هذه الفجوة. (ii) يتم عادةً تنفيذ طريقة البحث للمعادلات التفاضلية الاندفاعية بشكل متقطع استنادًا إلى فترات الاندفاع. هذه الطريقة معقدة نسبيًا في بناء فضاء وجود الحل وإجراء التقديرات السابقة. نحن نتغلب على
نقوم بتجاوز هذا العيب من خلال تطبيق تحويل مناسب لتحويل النظام الاندفاعي (1.1) إلى نظام غير اندفاعي. (iii) من خلال بناء خريطة F-تقلصية وفضاء متري كامل، نطبق نظرية جديدة لنقطة ثابتة على الفضاء المتري للحصول على وجود وحيدة الحل للنظام (1.1). نظرًا لأن خريطة F-التقلص هي امتداد مهم لخريطة التقلص، فإنها توسع نطاق تطبيق طرق خرائط التقلص في دراسة حلول معادلات المشغل المعرفة على الفضاءات المترية الكاملة. بالإضافة إلى ذلك، يتم أيضًا إثبات الاستقرار العام للنظام (1.1) من خلال طرق التحليل غير الخطي. (iv) نقترح خوارزمية محاكاة عددية جديدة للنظام (1.1).
الإطار المتبقي من الورقة هو كما يلي. القسم 2 يستعرض بعض المحتويات الضرورية حول حساب التفاضل والتكامل الكسر ABC. استنادًا إلى خريطة F-contractiva ونظرية النقطة الثابتة الجديدة في فضاء متري، نحصل على بعض الشروط الكافية لضمان أن النظام (1.1) له حل فريد في القسم 3. القسم 4 يبني المزيد من الاستقرار العام للنظام (1.1). في القسم 5، نقدم أولاً خوارزمية جديدة لمحاكاة عددية. ثم، يتم تطبيق مثال للتحقق من صحة نتائجنا النظرية وفعالية الخوارزمية. يتم تقديم استنتاج موجز في القسم 6.

2 المقدمات

التعريف 2.1 ([23]) لـ و الجانب الأيسر -ترتيب التكامل الكسري ABC يتم تعريفه بواسطة
أين هو ثابت تطبيع مع .
التعريف 2.2 ([8]) لـ و الجانب الأيسر -مشتق ABC الكسري من يتم تعريفه بواسطة
أين هي دالة ميتاج-ليفير الخاصة بالمعامل .
اللمّا 2.1 ([41]) إذا . ثم الحل الفريد لمشكلة القيمة الابتدائية التالية
يتم إعطاؤه بواسطة
اللمّا 2.2 دع . الـ -مؤثر لابلاس تتميز بما يلي:
(ط) إذا ، ثم ، و يزداد بالنسبة إلى ؛
(ii) لجميع ؛
(iii) إذا ، ثم لجميع ؛
(رابعًا) لجميع ؛
(v) ؛
(vi)
نظرية النقطة الثابتة المقدمة أدناه هي وسيلة مهمة لحل مشكلتنا.
التعريف 2.3 ([46]) دالة يسمى دالة واردوفسكي إذا تفي بما يلي:
(f1) لجميع وهو، يزداد بصرامة بشكل أحادي.
(f2) ؛
(f3) لديها بحيث .
جميع دوال واردوفسكي مُعلمة على أنها . ووردوفسكي [47] استبدل (f2) بـ (f2)’: لأي تسلسل ، وسمى إرضاء (f1) و(f2) دالة ووردوفسكي شبه.
التعريف 2.4 ([46]) دع كن فضاء متري كامل، و كن مشغلًا. إذا كان هناك و بحيث
ثم يسمى -انكماش.
ملاحظة 2.1 من السهل التحقق من أن تفي بالشروط (f1)-(f3)، أي، . في الوقت نفسه، يعني أن أي، هو انكماش باناش. بعبارة أخرى، -الانكماش هو تعميم لانكماش باناش.
اللمّا 2.3 ([34]) دع كن مشغلاً معرفًا على الفضاء المتري الكامل افترض أن ما يلي صحيح:
(أ1) يوجد و بحيث
أين
(a2) واحد من و مستمر.
ثم، يوجد واحد فريد بحيث .

3 وجود وحيدة الحل

هذا القسم مخصص لإثبات وجود وحيدة الحل للنظام (1.1). نقوم أولاً بتحويل النظام المفاجئ (1.1) إلى نظام غير مفاجئ. في ماذا
يتبع، دع ، وبتطبيق اللمّة 2.2، يصبح النظام (1.1) النظام التالي:
من الواضح أن قابلية الحل للنظام (1.1) والنظام (3.1) متكافئة تمامًا. لذا، يكفي مناقشة وجود وحيدة الحل للنظام (3.1). ولهذا الغرض، اعتبر النظام التفاضلي غير الاندفاعي ABC-كسرية التالي:
اللمّة 3.1 بالنسبة للأنظمة (3.1) و (3.2)، فإن التصريحات التالية صحيحة:
(ب1) إذا و تلبية النظام (3.2)، ثم و تلبية النظام (3.1);
(ب2) إذا و تلبية النظام (3.1)، ثم و تلبية النظام (3.2).
الدليل من الواضح أن (3.1) و (3.2) لهما نفس الشروط الابتدائية. افترض أن و تلبية النظام (3.2)، عندما نستبدل و في المعادلات الأربعة الأولى من (3.2) للحصول على المعادلات الأربعة الأولى من (3.1)، مما يعني أن و تلبية النظام (3.1). عندما لدينا
و
مع (3.3) و (3.4)، نحصل على
المعادلة (3.5) هي شروط الاندفاع لـ (3.1). وبالتالي، فإن الادعاء (b1) صحيح.
بعد ذلك، نوضح أن الادعاء (b2) صحيح. في الواقع، عندما ، بنفس الطريقة التي تم بها إثبات (ب1) أن و تلبية النظام (3.2). في الجوار الصغير من )، نستنتج من (3.5)، و ذلك
تعني المعادلات (3.6)-(3.9) أن و تستمر على تم الانتهاء من إثبات اللمحة 3.1.
اللمّا 3.2 افترض أن و بعض الثوابت، و . ثم، فإن نظام التفاضل الكسري ABC غير الاندفاعي (3.2) يعادل النظام التكامل التالي:
أين
برهان من أجل البساطة، نُشير إلى
إذا هو حل لنظام (3.2)، ومن ثم يتبع من اللمحة 2.1 أن
ملاحظًا أن
والشروط الأولية نستنتج من (3.13)-(3.16) أن
على العكس، إذا هو حل لـ (3.17)، فإنه أيضًا حل لـ (3.2) لأن الاشتقاق أعلاه قابل للعكس تمامًا. في (3.17)، استبدال و في المعادلتين الأولى والثانية، نحصل على النظام التكامل (3.10). تم الانتهاء من الإثبات.
وفقًا لل lemma 3.2، دع مقياس يتم تعريفه بواسطة
لجميع ، حيث من السهل إثبات أن هو فضاء متري كامل.
ملاحظة 3.1 نظرًا لللمسات 3.1 و3.2، إذا هو حل لـ (3.10)، إذن هو حل لـ (1.1)، حيث
استنادًا إلى الملاحظة 3.1، لمناقشة وجود وحيدة الحل للنظام (1.1)، يكفي إجراء نفس المناقشة على النظام (3.10). نحتاج أولاً إلى الافتراضات الأساسية التالية:
لجميع ، هناك بعض الثوابت بحيث
للجميع يوجد ثابت وبعض الدوال المستمرة بحيث
من أجل الاختصار والطلاقة في النص التالي، نقدم بعض الرموز أدناه:
نفترض أيضًا أن أحد الشروط التالية ينطبق: متى ; أو متى ; أو متى ; أو متى ؛
النظرية 3.1 افترض أن امسك. إذا ، إذن النظام (3.10) لديه حل غير صفري فريد .
دليل يعني أن نقدم فضاءً متريًا كاملاً ) معرف على أنه (3.18). وفقًا لل lemma 3.2، بالنسبة لجميع نحن نعرف مشغل متجه كما يلي:
أين
و تعرف على أنها (3.11) و (3.12) على التوالي.
لجميع نستنتج من (3.11)، ، و ذلك
و
وبالمثل، يتبع من (3.12)، ، و ذلك
و
من الواضح أن . للجميع نحن نطبق الشرط للحصول على التقدير التالي
مماثل لـ (3.26)، لدينا
وفقًا لـ (3.20)، نحصل على
عندما من اللمّا 2.2 (vi)، (3.22)، (3.26)، و(3.28)، نحصل على
عندما من خلال تطبيق اللمحة 2.2 (السادس)، (3.23)، (3.26)، و(3.28)، نحصل على
مماثل لـ (3.28)-(3.30)، لدينا
و
وبالتالي، نستنتج من (3.29)-(3.32) أن
بواسطة نحن نعلم أن
أخذ اللوغاريتم على كلا الجانبين من (3.33) وتطبيق (3.34)، لدينا
مما يعني أن
بالإضافة إلى ذلك، من الواضح أن
من (3.35) و (3.36)، نحصل على
نختار خريطة انكماش F كـ ثم يمكن إعادة كتابة (3.37) كـ
تشير المعادلة (3.38) إلى أن الشرط (a1) في اللمحة 2.3 صحيح. من الواضح، مستمر على ( )، مما يعني أن الشرط (a2) في اللمحة 2.3 صحيح. وبالتالي، يتبع من اللمحة 2.3 أن يوجد ونقطة ثابتة فريدة وهو الحل الفريد للمعادلة (3.10). تم الانتهاء من الإثبات.

4 الاستقرار العام UH

تركز هذه الفقرة على الاستقرار العام لمشكلة (1.1). لذلك، بالنسبة لجميع نعتبر عدم المساواة التفاضلية الكسرية الاندفاعية أدناه:
ملاحظة 4.1 هو حل للمتباينات (4.1) إذا وفقط إذا كان هناك دالة مستمرة بحيث
اعتبر النظام التكامل أدناه:
أين
وفقًا للنتائج 3.1 و3.2، والملاحظة 3.1، والملاحظة 4.1، لدينا النتيجة التالية.
اللمّا 4.1 إذا هو حل لـ (4.3)، إذن هو حل (4.2)، وهو أيضًا حل (4.1)، حيث
لذلك، يتبع من اللمحة 4.1 أن وجود الحلول للمتباينات (4.1) والنظام التكامل (4.3) متكافئ. بالإضافة إلى ذلك، من اللمحة 3.1، نحن
اعلم أن الاستقرار العام UH للأنظمة (1.1) و (3.10) متكافئ. بعد ذلك، سنناقش فقط الاستقرار العام UH للنظام (3.10).
التعريف 4.1 النظام (3.10) مستقر بشكل عام UH في الفضاء المتري ( إذا وفقط إذا، لجميع وأي حل من (4.3)، يوجد مع وحل فريد من (3.10) بحيث
النظرية 4.1 بشرط أن إذاً، النظام (3.10) مستقر بشكل عام UH.
برهان من النظرية 3.1، نعلم أن النظام (3.10) له حل فريد . للجميع صغير بما فيه الكفاية ، مشابه لـ (3.22)-(3.25)، نستنتج من ، الملاحظة 4.1، (4.4)، و(4.5) أن
و
من (3.22)-(3.25) و(4.6)-(4.9)، يمكن القول
لأي حل إلى النظام (4.3) والحل الفريد إلى النظام (3.10)، بواسطة (3.11)، (3.12)، (4.4)، (4.5)، و(4.2)، لدينا
أين .
عندما ، مشابه لـ (3.28)، نستنتج من (3.10)، (3.29)، (3.31)، (4.3)، (4.10)، (4.11)، و(vi) في ليمما 2.2 أن
أين .
عندما ، مشابه لـ (4.12)، لدينا
أين .
لجميع صغير بما فيه الكفاية نحن نعلم أن . وبالتالي، من (4.12) و (4.13)، نحصل على
وفقًا للتعريف 4.1 و(4.14)، نستنتج أن النظام (3.10) مستقر بشكل عام. تم الانتهاء من الإثبات.

5 خوارزميات المحاكاة والأمثلة

في هذا القسم، سنقدم خوارزمية محاكاة عددية للنظام (1.1) وسنطبق مثالاً للتحقق من صحة وفعالية نتائجنا النظرية وخوارزمية المحاكاة.

5.1 خوارزميات المحاكاة

استنادًا إلى الافتراضات يتطلب خوارزمية المحاكاة لدينا أيضًا الافتراض التالي:
للجميع لديه المشتق الجزئي من الدرجة الأولى عند أي، ، و كل شيء موجود.
بواسطة (3.1) و(3.2) واللمّتين 3.1 و3.2، نقدم خوارزمية محاكاة للنظام (1.1) كما يلي:
الخطوة 1: دع سنقوم بتحويل النظام (1.1) إلى النظام (3.1).
الخطوة 2: بناءً على النظام (3.1)، يمكننا الحصول على النظام (3.2).
الخطوة 3: وفقًا للعبارة 3.2، يمكننا الحصول على نظام تكاملي (3.10).
الخطوة 4: بالنظر إلى التعريف 2.2 و نحن نعلم أن و كلها موجودة. لذلك، عند أخذ المشتقة على كلا الجانبين من (3.10)، نحصل على
يترتب على تعريف ذلك
دع نستنتج من (3.11) و (3.12) أن
من خلال استبدال (5.2) و(5.3) في (5.1)، يمكننا تبسيطه للحصول على
أين
و
بتطبيق قاعدة كرامر، يتم إعادة كتابة (5.4) كالتالي
أين
و
الخطوة 5: نستخدم صندوق أدوات ode45 في MATLAB لحل المعادلة (5.5).
الخطوة 6: من خلال تطبيق العلاقة في اللمّا 3.1، يمكننا إجراء المحاكاة العددية على النظام (1.1).

5.2 مثال

اعتبر المعادلات غير الخطية الكسرية المترابطة التالية أنظمة -Laplacian مع نواة ميتاج-ليفلر غير المفردة ونقطة اندفاعية واحدة:
أين ، ، .
خذ ، ثم تظهر عملية حسابية بسيطة أن ، و
وبالتالي، الشروط تتحقق. بالإضافة إلى ذلك، ، ، ، و
لذا، صحيح. يتبع من النظرية 3.1 والنظرية 4.1 أن النظام (5.6) له حل فريد، وهو مستقر بشكل عام UH.
من خلال تطبيق الخوارزمية في القسم 5.1 وأداة ODE45 في MATLAB 2018b، قدمنا محاكاة عددية للحل للنظام (5.6)، كما هو موضح في الشكلين 1 و 2. تُظهر المحاكاة أن حل النظام (1.1) غير متصل عند النقطة الاندفاعية. .

6 الاستنتاجات

لقد حقق نموذج التفاضل الكسري ABC نتائج أفضل في وصف بعض المشكلات في مجالات الفيزياء والهندسة مقارنةً بأنظمة التفاضل ذات الرتبة الصحيحة. وقد قام بعض العلماء بإجراء دراسات على أنواع معينة من معادلات التفاضل الكسري ABC. ومع ذلك، كما نعلم، لا توجد أوراق تتناول النظام غير الخطي المرتبط بالتفاضل الكسري ABC مع لابلاسيان والنبضات. لذلك، نحاول سد الفجوة من خلال دراسة النظام (1.1) في هذه المخطوطة. من خلال بناء فضاء متري كامل ومشغل انكماش F، وتطبيق نظرية النقطة الثابتة المهمة على الفضاء المتري، نحصل على وجود وحيدة الحل.
الشكل 1 محاكاة الحل
الشكل 2 محاكاة الحل
لنظام (1.1). في الوقت نفسه، يتم إثبات الاستقرار العام UH باستخدام طريقة التحليل المباشر. بالإضافة إلى ذلك، نقدم خوارزمية جديدة لمحاكاة عددية. نطبق مثالاً للتحقق من نتائجنا النظرية وخوارزمياتنا. تظهر دراستنا أن وجود وحيدة واستقرار الحل لنظام (1.1) مرتبط ارتباطًا وثيقًا بمعلمات لابلاس. أوامر المشتقات الكسرية متغيرات الدافع القيم الأولية ، ، و علاوة على ذلك، سيتحول تركيزنا الأكاديمي المستقبلي نحو أنظمة التفاعل والانتشار وأنظمة ديناميات السكان التي تتضمن مشتقات كسرية بسبب بعض دراساتنا الأولية [57-59، 64-69].

تمويل

تم دعم هذا العمل من قبل أموال بدء البحث للمواهب عالية المستوى في جامعة تايتشو.

توفر البيانات

لم يتم استخدام أي بيانات لدعم هذه الدراسة.

الإعلانات

المصالح المتنافسة

يعلن المؤلف أنه لا توجد مصالح متنافسة.

مساهمات المؤلفين

قرأ المؤلف ووافق على النسخة النهائية.
تاريخ الاستلام: 22 أكتوبر 2023 تاريخ القبول: 22 يناير 2024 تاريخ النشر على الإنترنت: 30 يناير 2024

References

  1. Abouelregal, A.E., Rayan, A., Mostafa, D.M.: Transient responses to an infinite solid with a spherical cavity according to the MGT thermo-diffusion model with fractional derivatives without nonsingular kernels. Waves Random Complex Media (2022). https://doi.org/10.1080/17455030.2022.2147242
  2. Ahmadkhanlu, A.: On the existence and multiplicity of positive solutions for a p-Laplacian fractional boundary value problem with an integral boundary condition. Filomat 37(1), 235-250 (2023)
  3. Ali, Z., Rabiei, F., Hosseini, K.: A fractal-fractional-order modified predator-prey mathematical model with immigrations. Math. Comput. Simul. 207, 466-481 (2023)
  4. Ali, Z., Zada, A., Shah, K.: On Ulam’s stability for a coupled systems of nonlinear implicit fractional differential equations. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 42(5), 2681-2699 (2019)
  5. Almalahi, M., Panchal, S., Jarad, F., et al.: Qualitative analysis of a fuzzy Volterra-Fredholm integrodifferential equation with an Atangana-Baleanu fractional derivative. AIMS Math. 7(9), 15994-16016 (2022)
  6. Alsaedi, A., Alghanmi, M., Ahmad, B., Alharbi, B.: Uniqueness of solutions for a -Hilfer fractional integral boundary value problem with the p-Laplacian operator. Demonstr. Math. 56(1), 20220195 (2023)
  7. Alsaedi, A., Luca, R., Ahmad, B.: Existence of positive solutions for a system of singular fractional boundary value problems with p-Laplacian operators. Mathematics 8(11), 1890 (2020)
  8. Atangana, A., Baleanu, D.: New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: theory and application to heat transfer model. Therm. Sci. 20, 763-769 (2016)
  9. Atangana, A., Koca, I.: Chaos in a simple nonlinear system with Atangana-Baleanu derivatives with fractional order. Chaos Solitons Fractals 89, 447-454 (2016)
  10. Bedi, P., Kumar, A., Abdeljawad, T., et al.: Existence and approximate controllability of Hilfer fractional evolution equations with almost sectorial operators. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 615 (2020)
  11. Bedi, P., Kumar, A., Khan, A.: Controllability of neutral impulsive fractional differential equations with Atangana-Baleanu-Caputo derivatives. Chaos Solitons Fractals 150, 111153 (2021)
  12. Begum, R., Tunc, O., Khan, H., et al.: A fractional order Zika virus model with Mittag-Leffler kernel. Chaos Solitons Fractals 146, 110898 (2021)
  13. Benkerrouche, A., Souid, M.S., Stamov, G., Stamova, I.: Multiterm impulsive Caputo-Hadamard type differential equations of fractional variable order. Axioms 11(11), 634 (2022)
  14. Chen, C.W., Li, M.M.: Existence and Ulam type stability for impulsive fractional differential systems with pure delay. Fractal Fract. 6(12), 742 (2022)
  15. Devi, A., Kumar, A., Abdeljawad, T., Khan, A.: Stability analysis of solutions and existence theory of fractional Langevin equation. Alex. Eng. J. 60(4), 3641-3647 (2021)
  16. Devi, A., Kumar, A., Baleanu, D., et al.: On stability analysis and existence of positive solutions for a general non-linear fractional differential equations. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 300 (2020)
  17. Dokuyucu, M.A., Baleanu, D., Celik, E.: Analysis of Keller-Segel model with Atangana-Baleanu fractional derivative. Filomat 32(16), 5633-5643 (2018)
  18. Fernandez, A.: A complex analysis approach to Atangana-Baleanu fractional calculus. Math. Methods Appl. Sci. 44(10), 8070-8087 (2019)
  19. Fernandez, A., Mohammed, S.: Hermite-Hadamard inequalities in fractional calculus defined using Mittag-Leffler kernels. Math. Methods Appl. Sci. 44(10), 8414-8431 (2021)
  20. Goufo, E.F.D., Mbehou, M., Pene, M.M.K.: A peculiar application of Atangana-Baleanu fractional derivative in neuroscience: chaotic burst dynamics. Chaos Solitons Fractals 115, 170-176 (2018)
  21. Huang, H., Zhao, K.H., Liu, X.D.: On solvability of BVP for a coupled Hadamard fractional systems involving fractional derivative impulses. AIMS Math. 7(10), 19221-19236 (2022)
  22. Hyers, D.: On the stability of the linear functional equation. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 27(4), 2222-2240 (1941)
  23. Jarad, F., Abdeljawad, T., Hammouch, Z.: On a class of ordinary differential equations in the frame of Atangana-Baleanu fractional derivative. Chaos Solitons Fractals 117, 16-20 (2018)
  24. Jong, K., Choi, H., Kim, M., et al.: On the solvability and approximate solution of a one-dimensional singular problem for a p-Laplacian fractional differential equation. Chaos Solitons Fractals 147, 110948 (2021)
  25. Khan, A., Alshehri, H., Gomez-Aguilar, J.F., et al.: A predator-prey model involving variable-order fractional differential equations with Mittag-Leffler kernel. Adv. Differ. Equ. 2021(1), 183 (2021)
  26. Khan, A., Khan, H., Gomez-Aguilar, J.F., Abdeljawad, T.: Existence and Hyers-Ulam stability for a nonlinear singular fractional differential equations with Mittag-Leffler kernel. Chaos Solitons Fractals 127, 422-427 (2019)
  27. Khan, D., Kumam, P., Watthayu, W.: A novel comparative case study of entropy generation for natural convection flow of proportional-Caputo hybrid and Atangana Baleanu fractional derivative. Sci. Rep. 11(1), 22761 (2021)
  28. Khan, D., Kumam, P., Watthayu, W., et al.: A novel multi fractional comparative analysis of second law analysis of MHD flow of Casson nanofluid in a porous medium with slipping and ramped wall heating. Z. Angew. Math. Mech. 103(6), e202100424 (2023)
  29. Khan, H., Tunc, C., Chen, W., Khan, A.: Existence theorems and Hyers-Ulam stability for a class of hybrid fractional differential equations with p-Laplacian operator. J. Appl. Anal. Comput. 8(4), 1211-1226 (2018)
  30. Khan, H., Tunc, C., Khan, A.: Stability results and existence theorems for nonlinear delay-fractional differential equations with -operator. J. Appl. Anal. Comput. 10(2), 58-597 (2020)
  31. Leibenson, L.: General problem of the movement of a compressible fluid in a porous medium. Izv. Akad. Nauk Kirg. SSSR 9, 7-10 (1983)
  32. Li, S., Zhang, Z.X., Jiang, W.: Multiple positive solutions for four-point boundary value problem of fractional delay differential equations with p-Laplacian operator. Appl. Numer. Math. 165, 348-356 (2021)
  33. Mehmood, N., Abbas, A., Akgul, A., et al.: Existence and stability results for coupled system of fractional differential equations involving AB-Caputo derivative. Fractals 31(2), 2340023 (2023)
  34. Minak, G., Helvaci, A., Altun, I.: Ćirić type generalized F-contractions on complete metric spaces and fixed point results. Filomat 28(6), 1143-1151 (2014)
  35. Phu, N.D., Hoa, N.V.: Mittag-Leffler stability of random-order fractional nonlinear uncertain dynamic systems with impulsive effects. Nonlinear Dyn. 111(10), 9409-9430 (2023)
  36. Prakasha, D.G., Veeresha, P., Baskonus, H.M.: Analysis of the dynamics of hepatitis E virus using the Atangana-Baleanu fractional derivative. Eur. Phys. J. Plus 134(5), 241 (2019)
  37. Priya, P.K.L., Kaliraj, K.: An application of fixed point technique of Rothe’s-type to interpret the controllability criteria of neutral nonlinear fractional ordered impulsive system. Chaos Solitons Fractals 164, 112647 (2022)
  38. Rahman, M.U., Arfan, M., Shah, Z., et al.: Nonlinear fractional mathematical model of tuberculosis (TB) disease with incomplete treatment under Atangana-Baleanu derivative. Alex. Eng. J. 60(3), 2845-2856 (2021)
  39. Rao, S.N., Ahmadini, A.A.H.: Multiple positive solutions for system of mixed Hadamard fractional boundary value problems with ( )-Laplacian operator. AIMS Math. 8(6), 14767-14791 (2023)
  40. Rezapour, S., Abbas, M.I., Etemad, S., Dien, N.M.: On a multi-point p-Laplacian fractional differential equation with generalized fractional derivatives. Math. Methods Appl. Sci. 46(7), 8390-8407 (2023)
  41. Sadeghi, S., Jafari, H., Nemati, S.: Operational matrix for Atangana-Baleanu derivative based on Genocchi polynomials for solving FDEs. Chaos Solitons Fractals 135, 109736 (2020)
  42. Sivalingam, S.M., Govindaraj, V.: A novel numerical approach for time-varying impulsive fractional differential equations using theory of functional connections and neural network. Expert Syst. Appl. 238, 121750 (2024)
  43. Sun, B.Z., Zhang, S.Q., Jiang, W.: Solvability of fractional functional boundary-value problems with p-Laplacian operator on a half-line at resonance. J. Appl. Anal. Comput. 13(1), 11-33 (2023)
  44. Tajadodi, H., Khan, A., Gomez-Aguilar, J.F., Khan, H.: Optimal control problems with Atangana-Baleanu fractional derivative. Optim. Control Appl. Methods 42(1), 96-109 (2021)
  45. Ulam, S.: A Collection of Mathematical Problems. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathmatics. Interscience, New York (1906)
  46. Wardowski, D.: Fixed points of a new type of contractive mappings in complete metric spaces. Fixed Point Theory Appl. 2012, 94 (2012)
  47. Wardowski, D.: Solving existence problems via F-contractions. Proc. Am. Math. Soc. 146(4), 1585-1598 (2018)
  48. Xiao, S.H., Li, J.L.: Exponential stability of impulsive conformable fractional-order nonlinear differential system with time-varying delay and its applications. Neurocomputing 560, 126845 (2023)
  49. Yadav, S., Pandey, R.K., Shukla, A.K.: Numerical approximations of Atangana-Baleanu Caputo derivative and its application. Chaos Solitons Fractals 118, 58-64 (2019)
  50. Yaghoubi, H., Zare, A., Rasouli, M., Alizadehsani, R.: Novel frequency-based approach to analyze the stability of polynomial fractional differential equations. Axioms 12(2), 147 (2023)
  51. Yu, X.L.: Existence and -Ulam-Hyers stability for a class of fractional differential equations with non-instantaneous impulses. Adv. Differ. Equ. 2015, 104 (2015)
  52. Zada, A., Waheed, H., Alzabut, J., Wang, X.M.: Existence and stability of impulsive coupled system of fractional integrodifferential equations. Demonstr. Math. 52(1), 296-335 (2019)
  53. Zhao, K.H.: Stability of a nonlinear ML-nonsingular kernel fractional Langevin system with distributed lags and integral control. Axioms 11(7), 350 (2022)
  54. Zhao, K.H.: Existence, stability and simulation of a class of nonlinear fractional Langevin equations involving nonsingular Mittag-Leffler kernel. Fractal Fract. 6(9), 469 (2022)
  55. Zhao, K.H.: Stability of a nonlinear Langevin system of ML-type fractional derivative affected by time-varying delays and differential feedback control. Fractal Fract. 6(12), 725 (2022)
  56. Zhao, K.H.: Stability of a nonlinear fractional Langevin system with nonsingular exponential kernel and delay control. Discrete Dyn. Nat. Soc. 2022, 9169185 (2022)
  57. Zhao, K.H.: Global stability of a novel nonlinear diffusion online game addiction model with unsustainable control. AIMS Math. 7(12), 20752-20766 (2022)
  58. Zhao, K.H.: Probing the oscillatory behavior of Internet game addiction via diffusion PDE model. Axioms 11(11), 649 (2022)
  59. Zhao, K.H.: Coincidence theory of a nonlinear periodic Sturm-Liouville system and its applications. Axioms 11(12), 726 (2022)
  60. Zhao, K.H.: Existence and UH-stability of integral boundary problem for a class of nonlinear higher-order Hadamard fractional Langevin equation via Mittag-Leffler functions. Filomat 37(4), 1053-1063 (2023)
  61. Zhao, K.H.: Generalized UH-stability of a nonlinear fractional coupling ( )-Laplacian system concerned with nonsingular Atangana-Baleanu fractional calculus. J. Inequal. Appl. 2023(1), 96 (2023)
  62. Zhao, K.H.: Solvability and GUH-stability of a nonlinear CF-fractional coupled Laplacian equations. AIMS Math. 8(6), 13351-13367 (2023)
  63. Zhao, K.H.: Solvability, approximation and stability of periodic boundary value problem for a nonlinear Hadamard fractional differential equation with p-Laplacian. Axioms 12(8), 733 (2023)
  64. Zhao, K.H.: Attractor of a nonlinear hybrid reaction-diffusion model of neuroendocrine transdifferentiation of human prostate cancer cells with time-lags. AIMS Math. 8(6), 14426-14448 (2023)
  65. Zhao, K.H.: Local exponential stability of four almost-periodic positive solutions for a classic Ayala-Gilpin competitive ecosystem provided with varying-lags and control terms. Int. J. Control 96(8), 1922-1934 (2023)
  66. Zhao, K.H.: Local exponential stability of several almost periodic positive solutions for a classical controlled GA-predation ecosystem possessed distributed delays. Appl. Math. Comput. 437, 127540 (2023)
  67. Zhao, K.H.: Global asymptotic stability for a classical controlled nonlinear periodic commensalism AG-ecosystem with distributed lags on time scales. Filomat 37(29), 9899-9911 (2023)
  68. Zhao, K.H.: Existence and stability of a nonlinear distributed delayed periodic AG-ecosystem with competition on time scales. Axioms 12(3), 315 (2023)
  69. Zhao, K.H.: Asymptotic stability of a periodic GA-predation system with infinite distributed lags on time scales. Int. J. Control (2023). https://doi.org/10.1080/00207179.2023.2214251

ملاحظة الناشر
تظل Springer Nature محايدة فيما يتعلق بالمطالبات القضائية في الخرائط المنشورة والانتماءات المؤسسية.

قدّم مخطوطتك إلى SpringerOpen سجل واستفد من:

  • تقديم مريح عبر الإنترنت
  • مراجعة دقيقة من الأقران
  • الوصول المفتوح: مقالات متاحة مجانًا على الإنترنت
  • رؤية عالية داخل المجال
  • الاحتفاظ بحقوق الطبع والنشر لمقالك
  1. *المراسلات:zhaokaihongs@126.com
    قسم الرياضيات، كلية الإلكترونيات وهندسة المعلومات، جامعة تايتشو، تشجيانغ، تايتشو 318000، الصين
  2. © المؤلفون 2024. الوصول المفتوح. هذه المقالة مرخصة بموجب رخصة المشاع الإبداعي النسب 4.0 الدولية، التي تسمح بالاستخدام والمشاركة والتكيف والتوزيع وإعادة الإنتاج بأي وسيلة أو صيغة، طالما أنك تعطي الائتمان المناسب للمؤلفين الأصليين والمصدر، وتوفر رابطًا لرخصة المشاع الإبداعي، وتوضح ما إذا كانت هناك تغييرات قد أُجريت. الصور أو المواد الأخرى من طرف ثالث في هذه المقالة مشمولة في رخصة المشاع الإبداعي الخاصة بالمقالة، ما لم يُشار إلى خلاف ذلك في سطر الائتمان للمواد. إذا لم تكن المادة مشمولة في رخصة المشاع الإبداعي الخاصة بالمقالة وكان استخدامك المقصود غير مسموح به بموجب اللوائح القانونية أو يتجاوز الاستخدام المسموح به، فستحتاج إلى الحصول على إذن مباشرة من صاحب حقوق الطبع والنشر. لعرض نسخة من هذه الرخصة، قم بزيارةhttp://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
  3. قدّم مخطوطتك التالية في springeropen.com

Journal: Advances in Continuous and Discrete Models, Volume: 2024, Issue: 1
DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-024-03801-y
Publication Date: 2024-01-30

Study on the stability and its simulation algorithm of a nonlinear impulsive ABC-fractional coupled system with a Laplacian operator via F-contractive mapping

Kaihong Zhao (ㅇ)

Abstract

In this paper, we study the solvability and generalized Ulam-Hyers (UH) stability of a nonlinear Atangana-Baleanu-Caputo (ABC) fractional coupled system with a Laplacian operator and impulses. First, this system becomes a nonimpulsive system by applying an appropriate transformation. Secondly, the existence and uniqueness of the solution are obtained by an F-contractive operator and a fixed-point theorem on metric space. Simultaneously, the generalized UH-stability is established based on nonlinear analysis methods. Thirdly, a novel numerical simulation algorithm is provided. Finally, an example is used to illustrate the correctness and availability of the main results. Our study is a beneficial exploration of the dynamic properties of viscoelastic turbulence problems.

Mathematics Subject Classification: 34A08; 34A37; 34D20
Keywords: Coupled ABC-fractional system; Laplacian operator; Solvability and stability; F-contractive mapping; Simulation algorithm

1 Introduction

In 2016, Atangana and Baleanu [8] first put forward a new fractional derivative in the Caputo sense. It is referred to as an ABC-fractional derivative. Compared to both RiemannLiouville and Caputo fractional derivatives, ABC-fractional derivatives employ a special Mittag-Leffler function as the integral kernel to avoid singularity, which can be explained by the analysis below. Let the order of the derivatives be , then the integral kernel of the ABC-fractional derivatives satisfies (nonsingular), as . However, the integral kernel of both Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives agrees with (singular), as . Therefore, the study of ABC-fractional differential systems has become one of the hot topics in recent years. For example, some scholars have studied their theoretical problems such as research methods [18, 27], important inequalities [19], qualitative analysis [5], chaos analysis [9], and numerical approximations [49]. Other re-
searchers applied ABC-fractional calculus theory to explore some application problems . Specifically, Zhao et al. conducted a series of studies [21,53-55,60,61] on the solvability and stability of some ABC-fractional differential systems in the past two years.
In 1983, Leibenson [31] first proposed the -Laplacian differential equation model to describe the turbulence problem in porous media. The most basic form of -Laplacian differential equation is as follows:
where is called the -Laplacian operator. Its inverse is with . Due to its strong physical background and application, the -Laplacian differential equation has become one of the most famous and important second-order nonlinear ordinary differential equations, and has been extensively and deeply studied. In recent years, the nonlinear -Laplacian fractional differential system has been favored by some scholars. For example, Alsaedi et al. [7] discussed the multiplicity of positive solutions for a nonlinear high-order Riemann-Liouville fractional integral boundary value problem with -Laplacian. Zhao [62] studied the existence and generalized UH-stability of solution for a nonlinear Caputo-Fabrizio fractional coupled Laplacian equation. Rao and Ahmadini [39] applied the Guo-Krasnosel’skii fixed-point theorem to obtain the multiplicity of positive solutions for a system of mixed Hadamard fractional boundary value problems with a ( )-Laplacian operator. Actually, there have been some papers dealing with various boundary value problems (BVP) of a -Laplacian system involving Riemann-Liouville or Caputo or Hadamard fractional derivatives, for instance, integral BVP [2, 6], multipoint BVP [32, 40], infinite BVP [43], singular BVP [24], periodic BVP [63].
As is well known, many evolutionary processes cannot maintain permanent stability, and their development process always experiences brief and drastic changes. For example, in population dynamics systems, the number of species can sharply decrease or species may even become extinct due to factors such as earthquakes, tsunamis, epidemics, and short-term overhunting. This type of situation is called an impulsive phenomenon. The impulsive differential equations are one of the powerful tools for describing impulsive phenomena. The theory and application of impulsive differential equations have flourished. In recent years, fractional impulsive differential equations have remained a hot topic of interest for scholars. For example, Benkerrouche et al. [13] applied two fixed-point theorems to study the existence, uniqueness, and UH-stability of solutions to the multiterm impulsive Caputo-Hadamard-type differential equations. Priya and Kaliraj [37] utilized the Rothe’s fixed-point technique to discuss the controllability of neutral nonlinear fractionalordered impulsive systems. Xiao and Li [48] probed into the exponential stability of impulsive nonlinear conformable fractional delayed systems by the principle of comparison and the Lyapunov function method. Phu and Hoa [35] investigated the Mittag-Leffler stability of nonlinear uncertain dynamic systems with impulse effects with the random-order fractional derivative. Sivalingam and Govindaraj [42] provided a new numerical algorithm for the time-varying impulsive fractional differential equation. Although the impulsive phenomenon can cause drastic changes to the system in a short period of time, we expect the long-term behavior of the system to be stable. Therefore, many concepts of system stability have been proposed. For example, the UH-stability was first proposed by Hyers and Ulam
[22,45] in the 1940s. Later, a series of generalizations were made on UH-stability, such as generalized UH-stability, Ulam-Hyers-Rassias (UHR) stability, and generalized UHRstability. Recently, some scholars have made major achievements in the study of UH-type stability of fractional-order differential systems. For example, Zada et al. [52] discussed the stability of an impulsive coupled system of fractional integrodifferential equations. Yu [51] established the -UH-stability of a fractional differential equation with noninstantaneous impulses. Chen and Lin [14] investigated the Ulam-type stability of impulsive and delayed fractional differential systems. Mehmood et al. [33] dealt with the UH-type stability of coupled ABC-fractional differential systems. Yaghoubi et al. [50] adopted the frequencybased method to analyze the UH-type stability of polynomial fractional differential equations. Zhao [56] explored the UH- and UHR-stability of nonsingular exponential kernel fractional Langevin systems. Some important achievements on the stability of fractional differential equations can also be found in the literature [4, 15, 16, 26, 29, 30]. However, it is rare to study the UH-type stability of ABC-fractional differential equations with impulses because the structure of the differential equations is more complex than that of a single differential equation. Additionally, there are no studies combining ABC-fractional derivative with a coupled Laplacian system. Consequently, it is novel and interesting to probe these problems.
Inspired by the aforementioned, we mainly consider the following nonlinear impulsive ABC-fractional coupled system with a ( )-Laplacian:
where is an impulsive point sequence satisfying and are some constants; is the -order ABC-fractional derivative; , and its inverse , provided that ; is nonlinear; and represent the right limit; and express the left limit satisfying and .
Remark 1.1 Compared to previous papers such as [23,41,56], our system (1.1) considers a coupled system of equations involving impulsive effects and multiple fractional derivatives , and , which includes a single equation and is more complex and difficult to study.
The objective of this manuscript is to investigate the existence and generalized UHstability of solutions for system (1.1). Our main contributions include the following aspects. (i) As no papers have been found yet to address the nonlinear ABC-fractional differential coupled Laplacian system with impulses, we first consider the system (1.1) to fill this gap. (ii) The research method for impulsive differential equations is usually carried out piecewise based on impulsive intervals. This method is relatively complex in constructing the existence space of the solution and conducting prior estimation. We overcome
this disadvantage by applying an appropriate transformation to convert the impulsive system (1.1) into a nonimpulsive system. (iii) By constructing a F-contractive mapping and a complete metric space, we apply a new fixed-point theorem on metric space to obtain the existence and uniqueness of the solution of system (1.1). As the F-contraction mapping is an important extension of contraction mapping, it expands the scope of application of contraction mapping methods in the study of operator equation solutions defined on complete metric spaces. In addition, the generalized UH-stability of system (1.1) is also established by nonlinear analysis methods. (iv) We propose a novel numerical simulation algorithm for system (1.1).
The remaining framework of the paper is as follows. Section 2 reviews some necessary content about ABC-fractional calculus. Based on the F-contractive mapping and a new fixed-point theorem on a metric space, we obtain some sufficient conditions to ensure that system (1.1) has a unique solution in Sect. 3. Section 4 further builds the generalized UHstability of system (1.1). In Sect. 5, we first provide a novel numerical simulation algorithm. Then, an example is applied to verify the correctness of our theoretical results and the effectiveness of the algorithm. A concise conclusion is made in Sect. 6.

2 Preliminaries

Definition 2.1 ([23]) For and , the left-sided -order ABCfractional integral of is defined by
where is a normalization constant with .
Definition 2.2 ([8]) For and , the left-sided -order ABCfractional derivative of is defined by
where is the Mittag-Leffer special function with parameter .
Lemma 2.1 ([41]) If . then the unique solution of the following IVP
is given by
Lemma 2.2 Let . The -Laplacian operator has the following features:
(i) If , then , and is increasing with respect to ;
(ii) For all ;
(iii) If , then , for all ;
(iv) For all ;
(v) ;
(vi)
The fixed-point theory introduced below is an important means to solve our problem.
Definition 2.3 ([46]) A function is called the Wardowski function if satisfies the following:
(f1) For all , namely, is strictly monotonically increasing;
(f2) ;
(f3) It has such that .
All Wardowski functions are marked as . Wardowski [47] replaced (f2) with (f2)’: for any sequence , and called satisfying (f1) and (f2)’ the semi-Wardowski function.
Definition 2.4 ([46]) Let be a complete metric space, and be an operator. If there exist and such that
then is called a -contraction.
Remark 2.1 It is easy to verify that meets the conditions (f1)-(f3), i.e., . Concurrently, implies that , that is, is a Banach contraction. In other words, -contraction is a generalization of Banach contraction.
Lemma 2.3 ([34]) Let be an operator defined on the complete metric space . Assume that the following are true:
(a1) There exist and such that
where
(a2) One of and is continuous.
Then, there exists a unique such that .

3 Existence and uniqueness of solution

This section is devoted to proving the existence and uniqueness of the solution to system (1.1). We first transform the impulsive system (1.1) into a nonimpulsive system. In what
follows, let , and apply Lemma 2.2, then system (1.1) becomes the following system:
Obviously, the solvability of system (1.1) and system (3.1) are completely equivalent. Hence, it suffices to discuss the existence and uniqueness of the solution to system (3.1). To this end, consider the following nonimpulsive ABC-fractional differential system:
Lemma 3.1 For systems (3.1) and (3.2), the following assertions hold:
(b1) If and satisfy system (3.2), then and satisfy system (3.1);
(b2) If and satisfy system (3.1), then and satisfy system (3.2).
Proof Obviously, (3.1) and (3.2) have the same initial conditions. Assume that and satisfy system (3.2), when , we substitute and into the first four equations of (3.2) to obtain the first four equations of (3.1), which means that and satisfy system (3.1). When , we have
and
Together with (3.3) and (3.4), we obtain
Equation (3.5) is the impulsive conditions of (3.1). Thus, the assertion (b1) is true.
Next, we show that the assertion (b2) holds. In fact, when , it is same manner as the proof of (b1) that and satisfy system (3.2). In the small neighborhood of ), we derive from (3.5), and that
Equations (3.6)-(3.9) mean that and are continuous on . The proof of Lemma 3.1 is completed.
Lemma 3.2 Assume that and are some constants, and . Then, the nonimpulsive ABC-fractional differential system (3.2) is equivalent to the following integral system:
where
Proof For simplicity, we denote
If is a solution of system (3.2), then it follows from Lemma 2.1 that
Noting that
and the initial conditions , we derive from (3.13)-(3.16) that
Conversely, if is a solution of (3.17), then it is also a solution of (3.2) because the above derivation is completely reversible. In (3.17), substituting and into the first and second equations, respectively, we obtain the integral system (3.10). The proof is completed.
According to Lemma 3.2, let , a metric is defined by
for all , where . It is easy to prove that is a complete metric space.
Remark 3.1 In view of Lemmas 3.1 and 3.2, if is a solution of (3.10), then is a solution of (1.1), where
Based on Remark 3.1, to discuss the existence and uniqueness of the solution to system (1.1), it suffices to conduct the same discussion on system (3.10). We first need the following underlying assumptions:
For all , there exist some constants such that
For all , there exist a constant and some continuous functions such that
For the sake of brevity and fluency in the subsequent text, we introduce some symbols below:
We further assume that one of the following conditions holds: when ; or when ; or when ; or when ;
Theorem 3.1 Assume that hold. If , then system (3.10) has a unique nonzero solution .
Proof implies that . We introduce a complete metric space ( ) defined as (3.18). According to Lemma 3.2, for all , we define a vector operator as follows:
where
and are defined as (3.11) and (3.12), respectively.
For all , we derive from (3.11), , and that
and
Similarly, it follows from (3.12), , and that
and
Obviously, . For all , we apply the condition to obtain the following estimate
Similar to (3.26), we have
According to (3.20), we obtain
When , from Lemma 2.2 (vi), (3.22), (3.26), and (3.28), we yield
When , by applying Lemma 2.2 (vi), (3.23), (3.26), and (3.28), we obtain
Similar to (3.28)-(3.30), we have
and
Thus, we derive from (3.29)-(3.32) that
By , we know that
Taking the logarithm on both sides of (3.33) and applying (3.34), we have
which implies that
In addition, it is clear that
From (3.35) and (3.36), we obtain
We choose an F -contraction mapping as , then (3.37) can be rewritten as
Equation (3.38) indicates that the condition (a1) in Lemma 2.3 holds. Obviously, is continuous on ( ), which means that the condition (a2) in Lemma 2.3 is true. Thus, it follows from Lemma 2.3 that exists and a unique fixed point , which is the unique solution of (3.10). The proof is completed.

4 Generalized UH-stability

This section focuses on the generalized UH-stability of problem (1.1). Therefore, for all , we consider the impulsive fractional differential inequalities below:
Remark 4.1 is a solution of inequalities (4.1) iff there has a continuous function such that
Consider the integral system below:
where
According to Lemmas 3.1 and 3.2, Remark 3.1, and Remark 4.1, we have the following result.
Lemma 4.1 If is a solution of (4.3), then is the solution of (4.2), which is also the solution of (4.1), where
Therefore, it follows from Lemma 4.1 that the existence of the solutions to the inequalities (4.1) and the integral system (4.3) is equivalent. Additionally, from Lemma 3.1, we
know that the generalized UH-stability of systems (1.1) and (3.10) is equivalent. Next, we will only discuss the generalized UH-stability for system (3.10).
Definition 4.1 System (3.10) is generalized UH-stable on the metric space ( ) iff, for all and any solution of (4.3), there exists an with and a unique solution of (3.10) such that
Theorem 4.1 Provided that hold, then system (3.10) is generalized UH-stable.
Proof By Theorem 3.1, we know that system (3.10) has a unique solution . For all small enough , similar to (3.22)-(3.25), we derive from , Remark 4.1, (4.4), and (4.5) that
and
From (3.22)-(3.25) and (4.6)-(4.9), one has
For any solution to system (4.3) and the unique solution to system (3.10), by (3.11), (3.12), (4.4), (4.5), and (4.2), we have
where .
When , similar to (3.28), we derive from (3.10), (3.29), (3.31), (4.3), (4.10), (4.11), and (vi) in Lemma 2.2 that
where .
When , similar to (4.12), we have
where .
For all small enough , we know that . Thus, from (4.12) and (4.13), we obtain
According to Definition 4.1 and (4.14), we conclude that system (3.10) is generalized UHstable. The proof is completed.

5 Simulation algorithms and examples

In this section, we will provide a numerical simulation algorithm for system (1.1) and apply an example to checkout the correctness and effectiveness of our theoretical results and simulation algorithm.

5.1 Simulation algorithms

Based on assumptions , our simulation algorithm further requires the following assumption:
For all has the first-order partial derivative at , that is, , and all exist.
By (3.1), (3.2), and Lemmas 3.1 and 3.2, we give a simulation algorithm for system (1.1) as follows:
Step 1: Let , we will convert system (1.1) to system (3.1).
Step 2: Based on system (3.1), we can obtain system (3.2).
Step 3: According to Lemma 3.2, we can obtain an integral system (3.10).
Step 4: In view of Definition 2.2 and , we know that and all exist. Therefore, taking the derivative on both sides of (3.10), we obtain
It follows from the definition of that
Let , we derive from (3.11) and (3.12) that
Substituting (5.2) and (5.3) into (5.1), we can simplify it to obtain
where
and
Applying Cramer’s rule, (5.4) is rewritten as
where
and
Step 5: We use the ode45 toolbox of MATLAB to solve equation (5.5).
Step 6: By applying the relationship in Lemma 3.1, we can perform the numerical simulation on system (1.1).

5.2 An example

Consider the following nonlinear fractional coupled ( )-Laplacian systems with nonsingular Mittag-Leffler kernel and a single impulsive point:
where , , .
Take , then . A simple computation yields that , and
Consequently, the conditions are fulfilled. Additionally, , , , and
Thus, is true. It follows from Theorem 3.1 and Theorem 4.1, that system (5.6) has a unique solution, which is generalized UH-stable.
By applying the algorithm in Sect. 5.1 and the ODE45 toolbox in MATLAB 2018b, we have provided numerical simulations of the solution for system (5.6), as shown in Figs. 1 and 2 . The simulation shows that the solution of system (1.1) is discontinuous at impulsive point .

6 Conclusions

The ABC-fractional differential model has achieved better results in describing some problems in the fields of physics and engineering compared to integer-order differential systems. Some scholars have carried out studies on certain types of ABC-fractional differential equations. However, as far as we know there are no papers dealing with the nonlinear ABC-fractional differential coupled system with a Laplacian and impulses. Therefore, we try to fill the gap by studying system (1.1) in this manuscript. By constructing a complete metric space and F-contraction operator, and applying an important fixedpoint theorem on metric space, we obtain the existence and uniqueness of the solution
Figure 1 Simulation of solution
Figure 2 Simulation of solution
of system (1.1). Meanwhile, the generalized UH-stability is established by using the direct analysis method. In addition, we provide a novel numerical simulation algorithm. We apply an example to validate and demonstrate our theoretical results and algorithms. Our study shows that the existence, uniqueness, and stability of the solution to system (1.1) are closely related to Laplace parameters , fractional derivative orders , impulse variables , initial values , , and . Moreover, our future academic focus will shift towards reaction-diffusion systems and population-dynamics systems involving fractional derivatives due to some of our preliminary studies [57-59, 64-69].

Funding

This work was supported by the research start-up funds for high-level talents of Taizhou University.

Data availability

No data were used to support this study.

Declarations

Competing interests

The author declares that there are no competing interests.

Author contributions

The author read and approved the final manuscript.
Received: 22 October 2023 Accepted: 22 January 2024 Published online: 30 January 2024

References

  1. Abouelregal, A.E., Rayan, A., Mostafa, D.M.: Transient responses to an infinite solid with a spherical cavity according to the MGT thermo-diffusion model with fractional derivatives without nonsingular kernels. Waves Random Complex Media (2022). https://doi.org/10.1080/17455030.2022.2147242
  2. Ahmadkhanlu, A.: On the existence and multiplicity of positive solutions for a p-Laplacian fractional boundary value problem with an integral boundary condition. Filomat 37(1), 235-250 (2023)
  3. Ali, Z., Rabiei, F., Hosseini, K.: A fractal-fractional-order modified predator-prey mathematical model with immigrations. Math. Comput. Simul. 207, 466-481 (2023)
  4. Ali, Z., Zada, A., Shah, K.: On Ulam’s stability for a coupled systems of nonlinear implicit fractional differential equations. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 42(5), 2681-2699 (2019)
  5. Almalahi, M., Panchal, S., Jarad, F., et al.: Qualitative analysis of a fuzzy Volterra-Fredholm integrodifferential equation with an Atangana-Baleanu fractional derivative. AIMS Math. 7(9), 15994-16016 (2022)
  6. Alsaedi, A., Alghanmi, M., Ahmad, B., Alharbi, B.: Uniqueness of solutions for a -Hilfer fractional integral boundary value problem with the p-Laplacian operator. Demonstr. Math. 56(1), 20220195 (2023)
  7. Alsaedi, A., Luca, R., Ahmad, B.: Existence of positive solutions for a system of singular fractional boundary value problems with p-Laplacian operators. Mathematics 8(11), 1890 (2020)
  8. Atangana, A., Baleanu, D.: New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: theory and application to heat transfer model. Therm. Sci. 20, 763-769 (2016)
  9. Atangana, A., Koca, I.: Chaos in a simple nonlinear system with Atangana-Baleanu derivatives with fractional order. Chaos Solitons Fractals 89, 447-454 (2016)
  10. Bedi, P., Kumar, A., Abdeljawad, T., et al.: Existence and approximate controllability of Hilfer fractional evolution equations with almost sectorial operators. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 615 (2020)
  11. Bedi, P., Kumar, A., Khan, A.: Controllability of neutral impulsive fractional differential equations with Atangana-Baleanu-Caputo derivatives. Chaos Solitons Fractals 150, 111153 (2021)
  12. Begum, R., Tunc, O., Khan, H., et al.: A fractional order Zika virus model with Mittag-Leffler kernel. Chaos Solitons Fractals 146, 110898 (2021)
  13. Benkerrouche, A., Souid, M.S., Stamov, G., Stamova, I.: Multiterm impulsive Caputo-Hadamard type differential equations of fractional variable order. Axioms 11(11), 634 (2022)
  14. Chen, C.W., Li, M.M.: Existence and Ulam type stability for impulsive fractional differential systems with pure delay. Fractal Fract. 6(12), 742 (2022)
  15. Devi, A., Kumar, A., Abdeljawad, T., Khan, A.: Stability analysis of solutions and existence theory of fractional Langevin equation. Alex. Eng. J. 60(4), 3641-3647 (2021)
  16. Devi, A., Kumar, A., Baleanu, D., et al.: On stability analysis and existence of positive solutions for a general non-linear fractional differential equations. Adv. Differ. Equ. 2020(1), 300 (2020)
  17. Dokuyucu, M.A., Baleanu, D., Celik, E.: Analysis of Keller-Segel model with Atangana-Baleanu fractional derivative. Filomat 32(16), 5633-5643 (2018)
  18. Fernandez, A.: A complex analysis approach to Atangana-Baleanu fractional calculus. Math. Methods Appl. Sci. 44(10), 8070-8087 (2019)
  19. Fernandez, A., Mohammed, S.: Hermite-Hadamard inequalities in fractional calculus defined using Mittag-Leffler kernels. Math. Methods Appl. Sci. 44(10), 8414-8431 (2021)
  20. Goufo, E.F.D., Mbehou, M., Pene, M.M.K.: A peculiar application of Atangana-Baleanu fractional derivative in neuroscience: chaotic burst dynamics. Chaos Solitons Fractals 115, 170-176 (2018)
  21. Huang, H., Zhao, K.H., Liu, X.D.: On solvability of BVP for a coupled Hadamard fractional systems involving fractional derivative impulses. AIMS Math. 7(10), 19221-19236 (2022)
  22. Hyers, D.: On the stability of the linear functional equation. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 27(4), 2222-2240 (1941)
  23. Jarad, F., Abdeljawad, T., Hammouch, Z.: On a class of ordinary differential equations in the frame of Atangana-Baleanu fractional derivative. Chaos Solitons Fractals 117, 16-20 (2018)
  24. Jong, K., Choi, H., Kim, M., et al.: On the solvability and approximate solution of a one-dimensional singular problem for a p-Laplacian fractional differential equation. Chaos Solitons Fractals 147, 110948 (2021)
  25. Khan, A., Alshehri, H., Gomez-Aguilar, J.F., et al.: A predator-prey model involving variable-order fractional differential equations with Mittag-Leffler kernel. Adv. Differ. Equ. 2021(1), 183 (2021)
  26. Khan, A., Khan, H., Gomez-Aguilar, J.F., Abdeljawad, T.: Existence and Hyers-Ulam stability for a nonlinear singular fractional differential equations with Mittag-Leffler kernel. Chaos Solitons Fractals 127, 422-427 (2019)
  27. Khan, D., Kumam, P., Watthayu, W.: A novel comparative case study of entropy generation for natural convection flow of proportional-Caputo hybrid and Atangana Baleanu fractional derivative. Sci. Rep. 11(1), 22761 (2021)
  28. Khan, D., Kumam, P., Watthayu, W., et al.: A novel multi fractional comparative analysis of second law analysis of MHD flow of Casson nanofluid in a porous medium with slipping and ramped wall heating. Z. Angew. Math. Mech. 103(6), e202100424 (2023)
  29. Khan, H., Tunc, C., Chen, W., Khan, A.: Existence theorems and Hyers-Ulam stability for a class of hybrid fractional differential equations with p-Laplacian operator. J. Appl. Anal. Comput. 8(4), 1211-1226 (2018)
  30. Khan, H., Tunc, C., Khan, A.: Stability results and existence theorems for nonlinear delay-fractional differential equations with -operator. J. Appl. Anal. Comput. 10(2), 58-597 (2020)
  31. Leibenson, L.: General problem of the movement of a compressible fluid in a porous medium. Izv. Akad. Nauk Kirg. SSSR 9, 7-10 (1983)
  32. Li, S., Zhang, Z.X., Jiang, W.: Multiple positive solutions for four-point boundary value problem of fractional delay differential equations with p-Laplacian operator. Appl. Numer. Math. 165, 348-356 (2021)
  33. Mehmood, N., Abbas, A., Akgul, A., et al.: Existence and stability results for coupled system of fractional differential equations involving AB-Caputo derivative. Fractals 31(2), 2340023 (2023)
  34. Minak, G., Helvaci, A., Altun, I.: Ćirić type generalized F-contractions on complete metric spaces and fixed point results. Filomat 28(6), 1143-1151 (2014)
  35. Phu, N.D., Hoa, N.V.: Mittag-Leffler stability of random-order fractional nonlinear uncertain dynamic systems with impulsive effects. Nonlinear Dyn. 111(10), 9409-9430 (2023)
  36. Prakasha, D.G., Veeresha, P., Baskonus, H.M.: Analysis of the dynamics of hepatitis E virus using the Atangana-Baleanu fractional derivative. Eur. Phys. J. Plus 134(5), 241 (2019)
  37. Priya, P.K.L., Kaliraj, K.: An application of fixed point technique of Rothe’s-type to interpret the controllability criteria of neutral nonlinear fractional ordered impulsive system. Chaos Solitons Fractals 164, 112647 (2022)
  38. Rahman, M.U., Arfan, M., Shah, Z., et al.: Nonlinear fractional mathematical model of tuberculosis (TB) disease with incomplete treatment under Atangana-Baleanu derivative. Alex. Eng. J. 60(3), 2845-2856 (2021)
  39. Rao, S.N., Ahmadini, A.A.H.: Multiple positive solutions for system of mixed Hadamard fractional boundary value problems with ( )-Laplacian operator. AIMS Math. 8(6), 14767-14791 (2023)
  40. Rezapour, S., Abbas, M.I., Etemad, S., Dien, N.M.: On a multi-point p-Laplacian fractional differential equation with generalized fractional derivatives. Math. Methods Appl. Sci. 46(7), 8390-8407 (2023)
  41. Sadeghi, S., Jafari, H., Nemati, S.: Operational matrix for Atangana-Baleanu derivative based on Genocchi polynomials for solving FDEs. Chaos Solitons Fractals 135, 109736 (2020)
  42. Sivalingam, S.M., Govindaraj, V.: A novel numerical approach for time-varying impulsive fractional differential equations using theory of functional connections and neural network. Expert Syst. Appl. 238, 121750 (2024)
  43. Sun, B.Z., Zhang, S.Q., Jiang, W.: Solvability of fractional functional boundary-value problems with p-Laplacian operator on a half-line at resonance. J. Appl. Anal. Comput. 13(1), 11-33 (2023)
  44. Tajadodi, H., Khan, A., Gomez-Aguilar, J.F., Khan, H.: Optimal control problems with Atangana-Baleanu fractional derivative. Optim. Control Appl. Methods 42(1), 96-109 (2021)
  45. Ulam, S.: A Collection of Mathematical Problems. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathmatics. Interscience, New York (1906)
  46. Wardowski, D.: Fixed points of a new type of contractive mappings in complete metric spaces. Fixed Point Theory Appl. 2012, 94 (2012)
  47. Wardowski, D.: Solving existence problems via F-contractions. Proc. Am. Math. Soc. 146(4), 1585-1598 (2018)
  48. Xiao, S.H., Li, J.L.: Exponential stability of impulsive conformable fractional-order nonlinear differential system with time-varying delay and its applications. Neurocomputing 560, 126845 (2023)
  49. Yadav, S., Pandey, R.K., Shukla, A.K.: Numerical approximations of Atangana-Baleanu Caputo derivative and its application. Chaos Solitons Fractals 118, 58-64 (2019)
  50. Yaghoubi, H., Zare, A., Rasouli, M., Alizadehsani, R.: Novel frequency-based approach to analyze the stability of polynomial fractional differential equations. Axioms 12(2), 147 (2023)
  51. Yu, X.L.: Existence and -Ulam-Hyers stability for a class of fractional differential equations with non-instantaneous impulses. Adv. Differ. Equ. 2015, 104 (2015)
  52. Zada, A., Waheed, H., Alzabut, J., Wang, X.M.: Existence and stability of impulsive coupled system of fractional integrodifferential equations. Demonstr. Math. 52(1), 296-335 (2019)
  53. Zhao, K.H.: Stability of a nonlinear ML-nonsingular kernel fractional Langevin system with distributed lags and integral control. Axioms 11(7), 350 (2022)
  54. Zhao, K.H.: Existence, stability and simulation of a class of nonlinear fractional Langevin equations involving nonsingular Mittag-Leffler kernel. Fractal Fract. 6(9), 469 (2022)
  55. Zhao, K.H.: Stability of a nonlinear Langevin system of ML-type fractional derivative affected by time-varying delays and differential feedback control. Fractal Fract. 6(12), 725 (2022)
  56. Zhao, K.H.: Stability of a nonlinear fractional Langevin system with nonsingular exponential kernel and delay control. Discrete Dyn. Nat. Soc. 2022, 9169185 (2022)
  57. Zhao, K.H.: Global stability of a novel nonlinear diffusion online game addiction model with unsustainable control. AIMS Math. 7(12), 20752-20766 (2022)
  58. Zhao, K.H.: Probing the oscillatory behavior of Internet game addiction via diffusion PDE model. Axioms 11(11), 649 (2022)
  59. Zhao, K.H.: Coincidence theory of a nonlinear periodic Sturm-Liouville system and its applications. Axioms 11(12), 726 (2022)
  60. Zhao, K.H.: Existence and UH-stability of integral boundary problem for a class of nonlinear higher-order Hadamard fractional Langevin equation via Mittag-Leffler functions. Filomat 37(4), 1053-1063 (2023)
  61. Zhao, K.H.: Generalized UH-stability of a nonlinear fractional coupling ( )-Laplacian system concerned with nonsingular Atangana-Baleanu fractional calculus. J. Inequal. Appl. 2023(1), 96 (2023)
  62. Zhao, K.H.: Solvability and GUH-stability of a nonlinear CF-fractional coupled Laplacian equations. AIMS Math. 8(6), 13351-13367 (2023)
  63. Zhao, K.H.: Solvability, approximation and stability of periodic boundary value problem for a nonlinear Hadamard fractional differential equation with p-Laplacian. Axioms 12(8), 733 (2023)
  64. Zhao, K.H.: Attractor of a nonlinear hybrid reaction-diffusion model of neuroendocrine transdifferentiation of human prostate cancer cells with time-lags. AIMS Math. 8(6), 14426-14448 (2023)
  65. Zhao, K.H.: Local exponential stability of four almost-periodic positive solutions for a classic Ayala-Gilpin competitive ecosystem provided with varying-lags and control terms. Int. J. Control 96(8), 1922-1934 (2023)
  66. Zhao, K.H.: Local exponential stability of several almost periodic positive solutions for a classical controlled GA-predation ecosystem possessed distributed delays. Appl. Math. Comput. 437, 127540 (2023)
  67. Zhao, K.H.: Global asymptotic stability for a classical controlled nonlinear periodic commensalism AG-ecosystem with distributed lags on time scales. Filomat 37(29), 9899-9911 (2023)
  68. Zhao, K.H.: Existence and stability of a nonlinear distributed delayed periodic AG-ecosystem with competition on time scales. Axioms 12(3), 315 (2023)
  69. Zhao, K.H.: Asymptotic stability of a periodic GA-predation system with infinite distributed lags on time scales. Int. J. Control (2023). https://doi.org/10.1080/00207179.2023.2214251

Publisher’s Note
Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Submit your manuscript to a SpringerOpen journal and benefit from:

  • Convenient online submission
  • Rigorous peer review
  • Open access: articles freely available online
  • High visibility within the field
  • Retaining the copyright to your article
  1. *Correspondence: zhaokaihongs@126.com
    Department of Mathematics, School of Electronics & Information Engineering, Taizhou University, Zhejiang, Taizhou 318000, China
  2. © The Author(s) 2024. Open Access This article is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License, which permits use, sharing, adaptation, distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons licence, and indicate if changes were made. The images or other third party material in this article are included in the article’s Creative Commons licence, unless indicated otherwise in a credit line to the material. If material is not included in the article’s Creative Commons licence and your intended use is not permitted by statutory regulation or exceeds the permitted use, you will need to obtain permission directly from the copyright holder. To view a copy of this licence, visit http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
  3. Submit your next manuscript at springeropen.com