DOI: https://doi.org/10.1016/j.physa.2026.131321
تاريخ النشر: 2026-01-27
المؤلف: P.F. Dias وآخرون
الموضوع الرئيسي: الفيزياء النظرية والحسابية
نظرة عامة
في هذه الدراسة، نستكشف نموذج إيسينغ المحبط \( J_1 – J_2 – J_3 \) على شبكة خلوية، يتميز بالتفاعلات الفيرومغناطيسية للجيران الأول والثاني (\( J_1 > 0 \) و \( J_2 > 0 \)) والتفاعلات المضادة للفيرومغناطيسية للجيران الثالثين (\( J_3 < 0 \)). باستخدام طريقة متوسط الكتلة، نركز على الانتقالات الطورية ضمن النطاق \( \frac{1}{2} < \frac{J_2}{J_1} \leq 1 \)، حيث يحدث التنافس بين الأطوار الفيرومغناطيسية والمضادة للفيرومغناطيسية. تشير نتائجنا إلى أنه مع اقتراب النظام من الحد المحبط بشدة \( \frac{J_3}{J_1} = -1 \)، يظهر ظواهر مثل اختيار الحالة بواسطة الفوضى، والسلوك الثلاثي الحرجة والثنائي الحرجة، ونقاط حرجة، واثنين من الانتقالات الطورية المتعاقبة. تظل الانتقال من الفيرومغناطيسي إلى البارامغناطيسي من الدرجة الثانية باستمرار عبر نطاق التفاعل، بينما يظهر الحد الفاصل بين المضادة للفيرومغناطيسي والبارامغناطيسي سلوكًا أكثر تعقيدًا، بما في ذلك كل من الانتقالات من الدرجة الأولى والثانية جنبًا إلى جنب مع النقاط الثلاثية الحرجة. من الجدير بالذكر أن زيادة تفاعل الجار الثاني \( \frac{J_2}{J_1} \) تقلل من نطاق \( \frac{J_3}{J_1} \) حيث تحدث الانتقالات المضادة للفيرومغناطيسي إلى البارامغناطيسي من الدرجة الأولى، مما يؤدي إلى تحول النقطة الثلاثية الحرجة نحو \( \frac{J_3}{J_1} \approx -1 \) وينتهي بنقطة ثنائية حرجة حيث تتقارب الأطوار المضادة للفيرومغناطيسية والفيرومغناطيسية والبارامغناطيسية.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة أهمية الأنظمة المغناطيسية ذات الأبعاد المنخفضة، وخاصة تلك المستندة إلى مواد فان دير ووالس ذات الهياكل الشبكية الخلوية الطبقية. لقد أظهرت هذه المواد ترتيبًا مغناطيسيًا طويل المدى مستمرًا حتى حد الطبقة الواحدة، مما يشير إلى وجود أنيسوتروبي الدوران، كما تدعمه نظرية ميرمين-واجنر. تشير الدراسات الحديثة حول مغناطيسات فان دير ووالس المختلفة إلى أنيسوتروبي إيسينغ قوي وتبرز دور التفاعلات التبادلية المتنافسة، وخاصة حتى الجيران الثالثين، في تشكيل السلوك المغناطيسي لهذه الأنظمة. وقد أدى ذلك إلى التركيز على نموذج إيسينغ المحبط على الشبكة الخلوية، حيث تكشف التحقيقات النظرية أن الانتقالات الطورية في هذا النموذج، وخاصة تلك التي تتضمن التفاعلات بين الجيران الأول والثاني، تظهر سلوكًا معقدًا، بما في ذلك النقاط الثلاثية الحرجة المحتملة.
يهدف المؤلفون إلى تعزيز فهم نموذج إيسينغ $J_1-J_2-J_3$ على الشبكة الخلوية، تحديدًا للنطاق حيث $g_2 > \frac{1}{2}$، وهو مساحة معلمة تم تجاهلها إلى حد كبير. في هذا النطاق، تتواجد التفاعلات الفيرومغناطيسية بين الجيران الأول والثاني مع تفاعلات مضادة للفيرومغناطيسية بين الجيران الثالثين، مما يقدم الإحباط والتنافس بين الأطوار الفيرومغناطيسية والمضادة للفيرومغناطيسية. تستخدم الدراسة طريقة متوسط الكتلة (CMF)، التي أثبتت فعاليتها في الأبحاث السابقة حول الأنظمة المغناطيسية المحبطة، لتحليل الانتقالات الطورية بالقرب من الحد الفاصل الذي يفصل بين هذه الأطوار. تم هيكلة الورقة لتقديم النموذج والمنهجية أولاً، تليها النتائج والمناقشات، وتختتم بملخص وتوجيهات للبحث المستقبلي.
النتائج
في هذا القسم، تُعرض نتائج تقريب متوسط الكتلة (CMF) لمجموعات من 6 و18 موقعًا، مع التركيز على السلوك الحرج والانتقالات الطورية لنموذج مع تفاعلات فيرومغناطيسية ومضادة للفيرومغناطيسية متنافسة. يكشف التحليل أنه بالنسبة لمجموعة الـ 6 مواقع، تحدث انتقالات طورية من الدرجة الثانية بين الأطوار الفيرومغناطيسية (FE) والبارامغناطيسية (PM)، بينما تظهر انتقالات المضادة للفيرومغناطيسية (AF) إلى PM خصائص من الدرجة الأولى ضمن نطاق محدد من معلمة تفاعل الجار الثالث $g_3$. من الجدير بالذكر أنه تم تحديد نقطة ثلاثية حرجة عند حوالي $g_3 \approx -1.228$، حيث يتغير طبيعة الانتقال من AF-PM من الدرجة الأولى إلى الدرجة الثانية. تدعم النتائج من خلال فحص مشهد الطاقة الحرة وسلوك معلمة ترتيب المضادة للفيرومغناطيسية، مما يؤكد وجود هذه الانتقالات.
تشير التحليلات الإضافية باستخدام مجموعة الـ 18 موقعًا إلى أن نطاق الانتقالات من الدرجة الأولى أوسع مقارنة بمجموعة الـ 6 مواقع، مما يقترح أن زيادة حجم المجموعة تعزز معالجة الارتباطات. مع زيادة قوة التفاعلات الفيرومغناطيسية بين الجيران الثانيين ($g_2$)، يتقلص نطاق انتقالات AF-PM من الدرجة الأولى، مما يؤدي إلى سيناريو حيث تُلاحظ فقط الانتقالات من الدرجة الثانية لحجم كافٍ من $g_2$. تبرز الدراسة أيضًا ظهور نقطة ثنائية حرجة حيث تلتقي خطي انتقال من الدرجة الثانية مع خط الانتقال من الدرجة الأولى AF-FE، مما يشير إلى دور كبير لتأثيرات الإحباط في تحديد طبيعة الانتقالات الطورية. بشكل عام، تؤكد النتائج على التفاعل المعقد بين التفاعلات المتنافسة في النموذج وثبات انتقالات FE-PM من الدرجة الثانية عبر مختلف نطاقات المعلمات.
المناقشة
في هذه الدراسة، نستكشف الانتقالات الطورية لنموذج إيسينغ على شبكة خلوية، يتميز بتفاعلات الجيران الأول والثاني والثالث. يتم تعريف هاميلتونيان على أنه $\mathcal{H} = -\sum_{i,j} J_{ij} \sigma_i \sigma_j$، حيث $\sigma_i = \pm 1$. نركز على النطاق الذي تتواجد فيه التفاعلات الفيرومغناطيسية بين الجيران الأول والثاني ($J_1, J_2 > 0$) والتفاعلات المضادة للفيرومغناطيسية بين الجيران الثالثين ($J_3 < 0$)، خاصة بالقرب من الحد الفاصل بين الأطوار المضادة للفيرومغناطيسية (AF) والفيرومغناطيسية (FE). باستخدام تقريب متوسط الكتلة (CMF) مع مجموعات من 6 و18 موقعًا، نقوم بتحليل الانتقالات الطورية الحرارية، كاشفين عن كل من الانتقالات من الدرجة الأولى والثانية، بالإضافة إلى سلوك ثلاثي حرجة على طول حد AF-PM الطوري. تشير نتائجنا إلى أنه مع زيادة تفاعل الجار الثاني الفيرومغناطيسي، يتقلص نطاق التفاعلات بين الجيران الثالثين التي تدعم انتقالات AF-PM من الدرجة الأولى، مما يؤدي في النهاية إلى انتقالات من الدرجة الثانية فقط. من الجدير بالذكر أن مجموعة الـ 18 موقعًا الأكبر تظهر منطقة أوسع من الانتقالات من الدرجة الأولى، مما يشير إلى قوة هذا السلوك مع زيادة حجم المجموعة. بالإضافة إلى ذلك، نلاحظ تسلسلًا من الانتقالات بالقرب من حد AF-FE الطوري، حيث يتبع انتقال AF-FE من الدرجة الأولى انتقال FE-PM من الدرجة الثانية، مما يدل على تنافس قوي بين الأطوار. تبرز الدراسة الحاجة إلى مزيد من التحقيق في نموذج إيسينغ المحبط $J_1-J_2-J_3$، خاصة فيما يتعلق بتأثيرات الحقول المغناطيسية الخارجية وإمكانية وجود ثلاثية حرجة مستحثة بالحقول، مدفوعة بالتطورات الأخيرة في مواد فان دير ووالس التي تظهر تفاعلات متنافسة مماثلة.
DOI: https://doi.org/10.1016/j.physa.2026.131321
Publication Date: 2026-01-27
Author(s): P.F. Dias et al.
Primary Topic: Theoretical and Computational Physics
Overview
In this study, we explore the frustrated \( J_1 – J_2 – J_3 \) Ising model on a honeycomb lattice, characterized by first- and second-neighbor ferromagnetic couplings (\( J_1 > 0 \) and \( J_2 > 0 \)) and third-neighbor antiferromagnetic interactions (\( J_3 < 0 \)). Utilizing the cluster mean-field method, we focus on the phase transitions within the regime \( \frac{1}{2} < \frac{J_2}{J_1} \leq 1 \), where competition between ferromagnetic and antiferromagnetic phases occurs. Our findings indicate that as the system approaches the strongly frustrated limit \( \frac{J_3}{J_1} = -1 \), it exhibits phenomena such as order-by-disorder state selection, tricritical and bicritical behavior, critical endpoints, and two successive phase transitions. The ferromagnetic-paramagnetic transition consistently remains second order throughout the interaction range, while the antiferromagnetic-paramagnetic boundary displays more complex behavior, including both first- and second-order transitions along with tricritical points. Notably, increasing the second-neighbor coupling \( \frac{J_2}{J_1} \) reduces the range of \( \frac{J_3}{J_1} \) where first-order antiferromagnetic-paramagnetic transitions occur, leading to a shift of the tricritical point toward \( \frac{J_3}{J_1} \approx -1 \) and culminating in a bicritical point where the antiferromagnetic, ferromagnetic, and paramagnetic phases converge.
Introduction
The introduction of the paper discusses the significance of low-dimensional magnetic systems, particularly those based on van der Waals materials with layered honeycomb-lattice structures. These materials have shown persistent magnetic long-range order down to the monolayer limit, suggesting the presence of spin anisotropy, as supported by the Mermin-Wagner theorem. Recent studies on various van der Waals magnets indicate strong Ising anisotropy and highlight the role of competing exchange interactions, particularly up to third neighbors, in shaping the magnetic behavior of these systems. This has led to a focus on the frustrated honeycomb Ising model, with theoretical investigations revealing that the phase transitions in this model, particularly involving first- and second-neighbor interactions, exhibit complex behavior, including potential tricritical points.
The authors aim to advance the understanding of the $J_1-J_2-J_3$ Ising model on the honeycomb lattice, specifically for the regime where $g_2 > \frac{1}{2}$, a parameter space that has been largely overlooked. In this regime, ferromagnetic first- and second-neighbor interactions coexist with antiferromagnetic third-neighbor couplings, introducing frustration and competition between ferromagnetic and antiferromagnetic phases. The study employs the cluster mean-field (CMF) method, which has proven effective in previous research on frustrated magnetic systems, to analyze the phase transitions near the boundary separating these phases. The paper is structured to first introduce the model and methodology, followed by results and discussions, and concludes with a summary and future research directions.
Results
In this section, the results of the cluster mean-field (CMF) approximation for clusters of 6 and 18 sites are presented, focusing on the critical behavior and phase transitions of a model with competing ferromagnetic and antiferromagnetic interactions. The analysis reveals that for the 6-site cluster, second-order phase transitions occur between the ferromagnetic (FE) and paramagnetic (PM) phases, while the antiferromagnetic (AF) to PM transitions exhibit first-order characteristics within a specific range of the third-neighbor coupling parameter $g_3$. Notably, a tricritical point is identified at approximately $g_3 \approx -1.228$, where the nature of the AF-PM transition changes from first-order to second-order. The findings are substantiated by examining the free-energy landscape and the behavior of the antiferromagnetic order parameter, which confirms the presence of these transitions.
Further analysis using the 18-site cluster indicates that the range of first-order transitions is broader compared to the 6-site cluster, suggesting that increasing cluster size enhances the treatment of correlations. As the strength of the ferromagnetic second-neighbor interactions ($g_2$) increases, the range of first-order AF-PM transitions diminishes, leading to a scenario where only second-order transitions are observed for sufficiently large $g_2$. The study also highlights the emergence of a bicritical point where two second-order transition lines meet the first-order AF-FE transition line, indicating a significant role of frustration effects in determining the nature of phase transitions. Overall, the results underscore the complex interplay between competing interactions in the model and the robustness of second-order FE-PM transitions across various parameter regimes.
Discussion
In this study, we explore the phase transitions of the Ising model on a honeycomb lattice, characterized by first-, second-, and third-neighbor interactions. The Hamiltonian is defined as $\mathcal{H} = -\sum_{i,j} J_{ij} \sigma_i \sigma_j$, where $\sigma_i = \pm 1$. We focus on the regime with ferromagnetic first and second neighbor interactions ($J_1, J_2 > 0$) and antiferromagnetic third neighbor interactions ($J_3 < 0$), particularly near the boundary between antiferromagnetic (AF) and ferromagnetic (FE) phases. Utilizing the cluster mean-field (CMF) approximation with clusters of 6 and 18 sites, we analyze the thermal phase transitions, revealing both first- and second-order transitions, as well as tricritical behavior along the AF-PM phase boundary. Our findings indicate that as the ferromagnetic second-neighbor interaction increases, the range of third-neighbor interactions supporting first-order AF-PM transitions narrows, eventually leading to exclusively second-order transitions. Notably, the larger 18-site cluster exhibits a more extensive region of first-order transitions, suggesting robustness in this behavior with increased cluster size. Additionally, we observe a sequence of transitions near the AF-FE phase boundary, where a first-order AF-FE transition is followed by a second-order FE-PM transition, indicative of strong competition between phases. The study highlights the need for further investigation into the frustrated $J_1-J_2-J_3$ Ising model, particularly regarding the effects of external magnetic fields and the potential for field-induced tricriticality, motivated by recent developments in van der Waals materials that exhibit similar competing interactions.