نتائج الوجود والقابلية للتحكم في معادلات فولتيرا-فريدولم التكاملية التفاضلية الكسرية المحايدة Existence and controllability results for neutral fractional Volterra-Fredholm integro-differential equations

المجلة: Journal of Mathematics and Computer Science، المجلد: 34، العدد: 4
DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.034.04.04
تاريخ النشر: 2024-04-05

الصفحة الرئيسية للمجلة: www.isr-publications.com/jmcs

نتائج الوجود والقابلية للتحكم في معادلات فولتيرا-فريدولم التكاملية التفاضلية الكسرية المحايدة

ثارمالينغام غوناسيكار , براباكاران راغافندران , شيام سوندار سانترا , محمد ساجد قسم الرياضيات، معهد فيل تيك رانجاراجان د. ساغونثالا للبحث والتطوير في العلوم والتكنولوجيا، تشيناي 600062، تاميل نادو، الهند. كلية الذكاء الاصطناعي وعلوم البيانات، المعهد الهندي للتكنولوجيا (IIT)، جودبور 342030، الهند. قسم الرياضيات، كلية جيس للهندسة، كالياني، البنغال الغربي 741235، الهند. قسم الهندسة الميكانيكية، كلية الهندسة، جامعة القصيم، بريدة 51452، المملكة العربية السعودية.

الملخص

تتناول هذه الورقة البحثية التحقيق في معادلة فولتيرا-فريدولم التكاملية التفاضلية المعززة بمشتقات كابوتو الكسرية الخاضعة لظروف ترتيب محددة. تؤسس الدراسة بشكل صارم وجود الحلول من خلال تطبيق نظرية نقطة الثبات لشودر. علاوة على ذلك، تشمل المعادلات التكاملية التفاضلية المحايدة لفولتيرا-فريدولم، مما يوسع من قابلية تطبيق النتائج. بالإضافة إلى ذلك، تستكشف الورقة مفهوم القابلية للتحكم في الحلول التي تم الحصول عليها، مقدمة رؤى قيمة حول كيفية تصرف هذه الحلول على مدى فترات زمنية ممتدة.

الكلمات المفتاحية: معادلات فولتيرا-فريدولم التكاملية التفاضلية، المشتقات الكسرية، القابلية للتحكم، نظرية نقطة الثبات لشودر.
2020 MSC: 26A33، 26D10، 34A12، 45G10، 45J05، 47G20.
©2024 جميع الحقوق محفوظة.

1. المقدمة

يمثل مجال المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية فرعًا مثيرًا وسريع التطور من الرياضيات، حيث يجد تطبيقات عميقة عبر العلوم والهندسة. هذه المعادلات، التي تتناول عمليات معقدة ذات ذاكرة واعتماد طويل المدى، تمثل شهادة على قيود المعادلات التفاضلية التقليدية [37]. يحظى حساب التفاضل الكسرى، الذي روج له دالامبير، أويلر، وليوفييل [6]، الآن بانتعاش مع تعريفات جديدة عامة تتضمن نوى غير مفردة، مما يقدم طرقًا مثيرة لدراسة المعادلات التفاضلية ذات المشتقات الكسرية [20]. تشكل الأعمال الرائدة لكيلباس وآخرين [24] وزو وآخرين [50] حجر الزاوية النظري، مما يمهد الطريق لمزيد من الاستكشاف في حساب التفاضل الكسرى والمعادلات التكاملية التفاضلية، متجولًا في شبكة معقدة من العلاقات الرياضية.
في سعيهم للحصول على الحلول، وضع أحمد وسيفاسونديرام [2] وو وليو [49] الأساس لاستكشاف الوجود، والتفرد، والحلول للمعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية، كاشفين عن خصائصها الرياضية. تسلط مساهمات حمود وغدلي [17]، نداي ومانسال [36]، دهماني [9]، حمود [16]، وحمود وآخرون [18] الضوء على تنوع الحلول، خاصة للمعادلات الكسرية لفولتيرا-فريدولم، التي تمتد تطبيقاتها عبر مجالات متنوعة من ديناميات السكان إلى المالية. التعريفات الجديدة للمشتقات الكسرية من حتاف [20] وأتانغانا وباليانو [4] وسعت بشكل كبير من صندوق الأدوات الرياضية، مما أغنى وصف الظواهر المعقدة. لعبت أهمية مشتق كابوتو الكسرية، الخالية من النوى المفردة، التي أسسها كابوتو وفابريزيو [6]، دورًا محوريًا في تقدم دراسة المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية.
أدت الأسس النظرية إلى استكشاف التطبيقات العملية وجوانب القابلية للتحكم في أنظمة المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية. تناول الباحثون مثل فيكان وآخرين [11]، هيرنانديز وأوريغان [21]، دينيشكومار وآخرين [10]، وتشاليشاجار [7] قضايا القابلية للتحكم ضمن فضاءات باناش، مؤكدين على الدور المحوري للتحكم في التطبيقات الهندسية والعلمية. في مواجهة التحديات العملية، طور توما وبوستافارو [46] طرقًا عددية حاسمة لمحاكاة الأنظمة الواقعية الموصوفة بواسطة المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية. ساهمت أعمال راسل [38] وجوردجيفيتش وكوين [23] في إثراء فهمنا للقابلية للتحكم والاستقرار في المعادلات التفاضلية، مؤكدين على روابطها مع المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية، بهدف في النهاية ربط التطورات النظرية بالتطبيقات العملية. درس كولومبو وآخرون [8] خصائص الحلول غير المحدودة في فئة من نماذج الكيمياء الحيوية. تركز أعمالهم على فهم سلوك وخصائص الحلول ضمن هذه الفئة المحددة من النماذج، مسلطة الضوء على عدم الاستقرار المحتمل في أنظمة الكيمياء الحيوية. استكشف لي وآخرون [25] التأثيرات المشتركة التي تضمن الحدود في نموذج كيمياء الجذب-النفور الذي يتضمن الإنتاج والاستهلاك. من المحتمل أن تتناول هذه التحقيقات جوانب الاستقرار الحاسمة التي تحكم سلوك هذه الأنظمة تحت ظروف مختلفة. استكشف لي وآخرون [26] خصائص الحلول لمشاكل الوسائط المسامية مع مصادر وظروف حدودية متنوعة. من المحتمل أن تسهم هذه الاستكشافات في تقديم رؤى حول جوانب الاستقرار في الأنظمة الموصوفة بمشاكل الوسائط المسامية، مما قد يسلط الضوء على العوامل التي تؤثر على سلوك النظام. غاص لي وفيغليالورو [30] في اعتبارات الحدود لنموذج كيمياء رد فعل غير محلي، حتى في السيناريوهات التي تهيمن عليها الجاذبية. قد تقدم هذه الدراسة وجهات نظر قيمة حول جوانب الاستقرار ضمن مثل هذه النماذج، خاصة في الأنظمة التي تهيمن فيها ديناميات الجذب. قدم أغاروال وآخرون [1] ملاحظات حول تذبذب المعادلات التفاضلية المحايدة من الدرجة الثانية. على الرغم من عدم ارتباطها مباشرة بالمعادلات التفاضلية الجزئية، إلا أن رؤاهم حول السلوك التذبذبي قد تفيد المناقشات حول ديناميات النظام والاستقرار في نماذج معينة من المعادلات التفاضلية. درس بوهينر ولي [5] تذبذب المعادلات الديناميكية من الدرجة الثانية p-لابلاس مع معاملات محايدة غير إيجابية. قد تسهم نتائجهم حول السلوك التذبذبي في فهم خصائص الاستقرار لبعض المعادلات الديناميكية. قدمت أعمال لي وروغوفشينكو [27-29] معايير تذبذب لمختلف أنواع المعادلات التفاضلية المحايدة من الدرجة الثانية والثالثة. على الرغم من عدم ارتباطها مباشرة بالمعادلات التفاضلية الجزئية، إلا أن هذه المعايير قد تقدم رؤى قيمة حول شروط الاستقرار التي تحكم نماذج المعادلات التفاضلية. استكشف معاذ وآخرون [34] معايير التذبذب للمعادلات التفاضلية المحايدة من الدرجة الزوجية مع حجج متغيرة موزعة. على الرغم من تركيزها على المعادلات التفاضلية، قد تقدم نتائجهم أوجه تشابه أو رؤى قابلة للتطبيق على تحليل الاستقرار في أنظمة معينة من المعادلات التفاضلية الجزئية.
لقد حظيت معايير التذبذب في المعادلات التفاضلية باهتمام كبير في الأبحاث الرياضية الحديثة. تستكشف أعمال سانترا من عام 2015 معايير التذبذب للمعادلات التفاضلية المحايدة غير الخطية من الدرجة الأولى مع تأخيرات متعددة [40]. يقدم تريباتي وسانترا شروطًا ضرورية وكافية للتذبذبات في المعادلات التفاضلية المحايدة من الدرجة الثانية مع نبضات، مما يساهم برؤى حاسمة حول هذه الأنظمة المعقدة [47]. تتناول التحقيقات التي أجراها الزابت وآخرون المعادلات التفاضلية من الدرجة العليا مع مصطلحات قسرية، موضحة الحلول غير التذبذبية في هذه النماذج الرياضية المعقدة [3]. تسلط هذه الدراسات الضوء على نماذج مختلفة من المعادلات التفاضلية، بما في ذلك المعادلات التفاضلية الجزئية، والمعادلات من الدرجة الكسرية، والأنظمة النبضية، ومعادلات الفرق المتأخرة، مما يغني فهمنا للسلوك التذبذبي في أنظمة متنوعة.
علاوة على ذلك، تستكشف الأبحاث الحديثة التذبذب في الأنظمة النبضية من الدرجة الثانية [42]، التحليل العددي-
تحليل معادلات بلوتش المنفصلة من الرتبة الكسرية [33]، ونتائج التذبذب لمعادلات الفرق ذات التأخير نصف الخطية من الرتبة الثانية [22]. تقدم مساهمات سانترا وسكابيلا توضيحات حول الشروط الضرورية والكافية لتذبذب المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية مع تأخيرات مختلطة [44]، بينما يستكشف معاذ وآخرون السلوك اللانهائي لمعادلات التفاضل المحايدة غير القياسية من الرتبة الزوجية [35]. تساهم هذه الدراسات بشكل كبير في فهم ظواهر التذبذب في المعادلات التفاضلية، مما يمهد الطريق لمزيد من الاستكشاف والتطبيق في مجالات علمية متنوعة.
بينما نتعمق في التحقيق في وجود وقابلية التحكم في الحلول لمعادلات فولتر-فريدولم التكاملية التفاضلية (IDEs)، نستخدم نظرية نقطة الثبات لشودر، وهي أداة رياضية قوية لمعالجة قضايا الوجود والتفرد. علاوة على ذلك، في محاولة لتوسيع صلة نتائجنا بأنظمة وظواهر متنوعة، نوسع استفسارنا ليشمل معادلات فولتر-فريدولم التكاملية التفاضلية المحايدة. يتم دعم هذا التوسع بأمثلة ذات صلة في هذا المجال، والتي تخدم لتوضيح المفاهيم الأساسية.

2. المقدمات

في هذا القسم، نركز على التعريفات الشائعة المستخدمة في حساب التفاضل الكسرية، بما في ذلك المشتق الكسرية ريمان-ليوفيلي و مشتق كابوتو، كما تم مناقشته سابقًا في الأدبيات الأكاديمية. . دعونا نعتبر فضاء باناش مزودًا بمعيار اللانهاية المحدد كـ ، حيث أن ينتمي إلى .
التعريف 2.1 ([24]). التكامل الكسرية لدالة مع تعريف ريمان-ليوفيلي من الرتبة يُعطى بواسطة
حيث أن يدل على مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة، و .
التعريف 2.2 ([50]). المشتق ريمان-ليوفيلي من الرتبة ، حيث أن محصور في الفترة والحد الأدنى مضبوط على الصفر، يُعرف لدالة كما يلي:
التعريف 2.3 ([50]). المشتق كابوتو من الرتبة ، حيث أن يقع ضمن النطاق من 0 إلى 1، ينطبق على دالة . يمكن تمثيله كـ:
التعريف 2.4 ([24]). المشتق الكسرية كابوتو للدالة يُعرف كما يلي: للقيم بين و (غير شامل)، يُعطى بواسطة:
بالنسبة لـ يساوي ، فهو ببساطة المشتق -th من :
يمكن أن يكون المعامل في هذا التعريف عددًا حقيقيًا أو حتى عددًا مركبًا، يمثل رتبة المشتق.
التعريف 2.5 ([24]). المشتق الكسرية ريمان-ليوفيلي من الرتبة يُعبر عنه عادةً كـ:
نظرية 2.6 (نظرية أرتزيلا-أسكولي، انظر [50]). تسلسل من الدوال التي تكون محدودة ومتواصلة ضمن الفترة المغلقة والمحدودة تمتلك تسلسلاً فرعيًا يتقارب بشكل موحد.
نظرية 2.7 (نظرية نقطة الثبات لشودر، انظر [13، 19، 45]). في فضاء باناش E، اعتبر مجموعة غير فارغة B تكون مغلقة ومحدبة. دع N تكون خريطة مستمرة من B إلى نفسها، بحيث تكون صورة B تحت N محدودة نسبيًا في E. ثم، تمتلك N على الأقل نقطة ثابتة واحدة ضمن B.

3. معادلة فولتر-فريدولم التكاملية التفاضلية

في هذا القسم، سنحقق في وجود ونتائج قابلية التحكم لمعادلة فولتر-فريدولم التكاملية التفاضلية، مما يقدم رؤى قيمة للأسس النظرية.

3.1. نتائج الوجود

في هذه الفقرة، نستكشف معادلة فولتر-فريدولم التكاملية التفاضلية الكسرية كابوتو، المعطاة بواسطة:
ترافق هذه المعادلة الشرط الابتدائي:
في التعبيرات أعلاه، يدل على المشتق الكسرية كابوتو مع ، و ، حيث أن ، يمثل الدالة المستمرة قيد النظر. بالإضافة إلى ذلك، و ، حيث أن ، هي دوال مستمرة. قبل بدء نتائجنا الرئيسية وإثباتاتها، نقدم اللمحة التالية مع بعض الفرضيات الأساسية.
(A1) اعتبر الدوال المستمرة و المعرفة على المجموعة . إنهم يلبون الشروط التالية:
(A2) الدالة مستمرة، وتلبي الشرط .
(A3) الدالة مستمرة، والثوابت و جميعها موجبة.
(A4) الثوابت و بحيث أن ، .
اللمحة 3.1. إذا كانت الدالة ، فإن الدالة هي حل للمشكلة (3.1)-(3.2) إذا وفقط إذا كانت تلبي الشرط التالي:
بالنسبة لـ .
الإثبات. يمكن توضيح ذلك بسهولة من خلال استخدام المشغل التكامل المشار إليه كـ (2.1) على كلا الجانبين من المعادلة المشار إليها بـ (3.1). ونتيجة لذلك، ينتج المعادلة التكاملية الممثلة بـ (3.3).
لتأسيس أساس تحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول وجود الحلول في سياق معادلة فولتر-فريدولم التكاملية التفاضلية، كما هو موضح في المعادلات (3.1)-(3.2).
النظرية 3.2. نظرًا لأن الشروط (A1)-(A4) صحيحة، يمكن التأكيد على أن المعادلة (3.1) تمتلك على الأقل حلاً واحدًا.
الإثبات. دعونا نعتبر المشغل . يمكن التعبير عن المعادلة التكاملية المقابلة (3.3) من حيث هذا المشغل كما يلي:
في البداية، نلاحظ أن المشغل يحدد نفسه. لتوضيح ذلك، نختار قيمًا عشوائية، حيث نعتبر t من المجموعة و من المجموعة . يتبع أن:
هذا يثبت أن يحدد المجموعة على نفسها. سنظهر الآن أن المشغل يفي بجميع المعايير الموضحة في النظرية 2.7. سيتم تقديم الإثبات في عدة خطوات.
الخطوة 1: مستمرة. دع تكون تسلسلًا بحيث أن في .
نظرًا لاستمرارية و ، يمكننا استنتاج أن:
نتيجة لذلك، تظهر الاستمرارية ضمن المجموعة .
الخطوة 2: تمتلك المجموعة حدًا موحدًا. هذا واضح حيث أن ، مما يعني التقييد.
الخطوة 3: نثبت أن تظهر التواصلي.
اعتبر و ينتميان إلى المجموعة المحدودة في كما في الخطوة 2، مع من و . في هذا السياق، لدينا:
بينما يقترب من ، نلاحظ أن الجانب الأيمن من المعادلة السابقة يميل إلى الصفر، المشار إليه بـ . من خلال الآثار المجمعة للخطوات 1-3 ونظرية أرتزيلا-أسكولي، نثبت استمرارية وكون محدودة. من خلال تطبيق نظرية شودر، نؤكد بالتالي وجود نقطة ثابتة تعمل كحل للمشكلة (3.1)-(3.2). هذا يكمل إثبات النظرية.

3.2. نتائج قابلية التحكم

قابلية التحكم، وهي حجر الزاوية في نظرية التحكم في الهندسة والرياضيات، تتعامل مع التلاعب بالأنظمة الديناميكية. تدور حول القدرة على توجيه نظام من حالة ابتدائية إلى حالة مرغوبة باستخدام مدخلات خارجية، تُعرف عادةً بإشارات التحكم. في مجال معادلات فولتر-فريدولم التكاملية التفاضلية، التي تعتبر حاسمة في الفيزياء، وعلم الأحياء، والاقتصاد، تكتسب هذه الفكرة أهمية قصوى. تشمل هذه المعادلات كل من الحدود التفاضلية والتكاملية، مما يلتقط تأثير الحالات السابقة على سلوك النظام الحالي [7، 10، 23، 38]. الآن، سنثبت قابلية التحكم لمعادلة فولتر-فريدولم التكاملية التفاضلية الكسرية كابوتو مع معامل تحكم من شكل محدد:
ترافق هذه المعادلة الشرط الابتدائي:
في السياق المعطى، المتغير الحالى يقيم في فضاء باناش المشار إليه بـ ، بينما يتم تعريف دالة التحكم في الفضاء ، مما يمثل فضاء باناش للدوال التحكم المسموح بها مع كفضاء باناش الأساسي. المشغل محدود وخطي، يحدد من إلى . وبالتالي، بالنسبة للمعادلات (3.4)-(3.5)، يوجد حل في شكل معتدل، يُعبر عنه كـ:
بالنسبة لـ .
التعريف 3.3. يُعتبر النظام الكسرية الموصوف بالمعادلات (3.4)-(3.5) قابلًا للتحكم على الفترة إذا، بالنسبة لأي حالات ابتدائية معطاة و في فضاء باناش ، يوجد دالة تحكم في الفضاء . تضمن هذه الدالة التحكم أن الحل المعتدل للمعادلات (3.4)-(3.5) يلبي الشروط و .
لتأسيس أساس تحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول نتائج قابلية التحكم في سياق معادلة فولتر-فريدولم التكاملية التفاضلية (3.4)-(3.5).
النظرية 3.4. بافتراض أن الفرضيات (A1)-(A4) مستوفاة، نفترض أيضًا ما يلي:
(A5) المشغل الخطي المحدود المعرفة كـ
يمتلك مشغل عكسي مستحث يعمل ضمن .
بالإضافة إلى ذلك، توجد ثوابت موجبة و بحيث أن و بالنظر إلى هذه الشروط، فإن النظام الموصوف بـ (3.4)-(3.5) قابل للتحكم خلال الفترة .
برهان. اعتبر مجموعة الدوال التي تتكون من جميع الدوال المستمرة المشار إليها بـ مُعَرَّف على فترة وأخذ قيم حقيقية، بشرط أن مع الافتراضات المقدمة في الفرضية (B5)، يمكننا إنشاء تحكم بناءً على خصائص دالة عشوائية N(•)،
مع التحكم المحدد، سنظهر أن المشغل تعيين من المجموعة لنفسه، والذي يُعرّف بأنه
يمكننا أن نستنتج أن هناك نقطة ثابتة للمشغل ، حيث يتم تعريفه وفقًا للمعادلة (3.7). هذه النقطة الثابتة تعمل كحل معتدل لمشكلة التحكم الموصوفة بالمعادلات (3.4)-(3.5). بشكل محدد، من الواضح أن “، وهذه الملاحظة تشير إلى أن النظام الممثل بالمعادلات (3.4)-(3.5) قابل للتحكم خلال الفترة .
من خلال تطبيق تعريف وظيفة التحكم نحصل على التعبير التالي،
نظرًا لأن جميع الدوال المدرجة في تعريف المشغل مستمرة، يمكننا أن نستنتج أن المشغل يظهر الاستمرارية.
توسيع المعادلة (3.6)، لأي دالة ينتمي إلى المجموعة ولجميع قيم t ضمن الفترة يمكننا إقامة العلاقة التالية:
بتطبيق المعادلتين (3.8) و(3.9)، يمكننا اشتقاق النتيجة التالية:
هذا يُظهر أن المشغل يحدد المجموعة على نفسه. سنقوم الآن بإظهار أن المشغل تفي بجميع متطلبات نظرية شودر (النظرية 2.7). سيتم تقديم البرهان على عدة خطوات.
الخطوة 1: مستمر. دع كن تسلسلاً بحيث في ،
نظرًا لاستمرار ، و يمكننا أن نستنتج أن: كـ . نتيجة لذلك، يعرض الاستمرارية ضمن المجموعة .
الخطوة 2: المجموعة يمتلك حدًا موحدًا. هذا واضح كما ، مما يعني التقييد.
الخطوة 3: نحن نوضح أن يظهر الاستمرارية المتساوية.
اعتبر و تنتمي إلى المجموعة المحدودة في كما في الخطوة 2، مع من و في هذا السياق، لدينا:
كـ نهج نلاحظ أن الجانب الأيمن من المعادلة السابقة يميل إلى الصفر، ويشار إليه بـ من خلال الآثار المجمعة للخطوات 1-3 ونظرية أرتزيلا-أسكولي، نثبت الاستمرارية والضغط. بتطبيق نظرية شودر، نستنتج بالتالي
تحديد وجود نقطة ثابتة الذي يعمل كحل للمشكلة (3.4)-(3.5). لذلك، فإن النظام (3.4)-(3.5) قابل للتحكم في . هذا يكمل إثبات النظرية.

4. معادلة فولتر-فريدولم المتكاملة التفاضلية المحايدة

في هذا القسم، نتناول التحقيق في كل من وجود الحلول، بالإضافة إلى نتائج التحكم في معادلة فريدولم-فولتر المتكاملة التفاضلية المحايدة.

4.1. نتائج الوجود

في هذا القسم الفرعي، نستكشف معادلة كابوتو الفعلية لفولتر-فريدولم المحايدة التكاملية-التفاضلية، المعطاة بـ:
ترافق هذه المعادلة الشرط الابتدائي:
في التعبيرات أعلاه، يدل على مشتق كابوتو الكسري مع ، و ، حيث يمثل الدالة المستمرة قيد النظر. بالإضافة إلى ذلك، و ، حيث هي دوال مستمرة. قبل البدء في نتائجنا الرئيسية وإثباتاتها، نقدم اللمحة التالية مع بعض الفرضيات الأساسية.
(ب1) اعتبر الدوال المستمرة و مُعرَّف على المجموعة تفي بالشروط التالية:
(B2) الوظائف و تكون مستمرة، وتفي بالشروط
(B3) الوظيفة مستمرة، والثوابت ، و كلها إيجابية.
(B4) الثوابت ، و بحيث
اللمّا 4.1. إذا ، ثم هو حل للمشكلة (4.1)-(4.2) إذا وفقط إذا كان يفي بـ:
لـ .
برهان. يمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال استخدام المشغل التكامل (2.1) على كلا جانبي المعادلة (4.1)، مما يؤدي إلى المعادلة التكاملية (4.3).
لتأسيس قاعدة تحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول وجود الحلول في سياق معادلة فولتيرا-فريدولم التكاملية التفاضلية، كما هو موضح في المعادلات (4.1)-(4.2).
النظرية 4.2. بالنظر إلى أن الشروط (B1)-(B4) مستوفاة، يمكن التأكيد على أن المعادلتين (4.1)-(4.2) تمتلكان على الأقل حلاً واحداً.
برهان. دعنا نعتبر المشغل يمكن التعبير عن معادلة التكامل المقابلة (4.3) من حيث هذه المشغل على النحو التالي
في البداية، نلاحظ أن المشغل تقوم بتعيين نفسها. لتوضيح ذلك، نختار قيمًا عشوائية، تشير إلى t من المجموعة و من المجموعة . يتبع ذلك:
هذا يثبت أن يحدد المجموعة على نفسه. سنقوم الآن بإظهار أن المشغل تفي بجميع المعايير الموضحة في النظرية 2.7. سيتم تقديم البرهان على عدة خطوات.
الخطوة 1: مستمر. دع كن تسلسلاً بحيث في ،
نظرًا لاستمرار ، و يمكننا أن نستنتج أن: كـ . نتيجة لذلك، يظهر استمرارية ضمن المجموعة .
الخطوة 2: المجموعة يمتلك حدًا موحدًا. هذا واضح كما ، مما يعني التقييد.
الخطوة 3: نحن نوضح أن يظهر الاستمرارية المتساوية.
اعتبر و تنتمي إلى المجموعة المحدودة في كما في الخطوة 2، مع من و في هذا السياق، لدينا:
كـ نهج نلاحظ أن الجانب الأيمن من المعادلة السابقة يميل إلى الصفر، ويشار إليه بـ من خلال الآثار المجمعة للخطوات 1-3 ونظرية أرتزيلا-أسكولي، نثبت الاستمرارية والضغط. من خلال تطبيق نظرية شودر، نستنتج بالتالي وجود نقطة ثابتة. الذي يعمل كحل للمشكلة (4.1) – (4.2). هذا يكمل إثبات النظرية.

4.2. نتائج القابلية للتحكم

في هذا القسم الفرعي، سنثبت قابلية التحكم في معادلة فولتيرا-فريدولم التكاملية-التفاضلية الكسرية المحايدة من نوع كابوتو مع معامل تحكم من شكل محدد:
ترافق هذه المعادلة الشرط الابتدائي:
في السياق المعطى، المتغير الحكومي يقيم في فضاء باناش المسمى بـ بينما وظيفة التحكم يتم تعريفه في الفضاء يمثل فضاء باناش من دوال التحكم المسموح بها مع كفضاء بانش الأساسي. المشغل محدود وخطي، يخرّج من إلى . وبالتالي، بالنسبة للمعادلات (4.4)-(4.5)، يوجد حل بشكل معتدل، يُعبر عنه كالتالي:
لـ .
التعريف 4.3. يُعتبر النظام الكسري الموصوف بالمعادلات (4.4)-(4.5) قابلاً للتحكم خلال الفترة إذا، لأي حالات أولية معينة و في فضاء باناش يوجد دالة تحكم في الفضاء . هذه الوظيفة التحكمية تضمن أن المحلول اللطيف من المعادلات (4.4)-(4.5) تلبي الشروط و .
لتأسيس قاعدة تحقيقنا، نقدم الآن النظرية التالية التي تتناول نتائج القابلية للتحكم في سياق معادلة فولتيرا-فريدولم التكاملية التفاضلية (4.4)-(4.5).
النظرية 4.4. بافتراض أن الفرضيات (B1)-(B4) مستوفاة، نفترض أيضًا ما يلي.
(B5) المشغل الخطي المحدود مُعرَّف كـ
يمتلك مشغل عكسي مستحث التي تعمل ضمن .
بالإضافة إلى ذلك، توجد ثوابت إيجابية و بحيث و بالنظر إلى هذه الشروط، فإن النظام الموصوف بواسطة (4.4)-(4.5) قابل للتحكم خلال الفترة .
برهان. اعتبر مجموعة الدوال التي تتكون من جميع الدوال المستمرة المشار إليها بـ مُعَرَّف على فترة وأخذ القيم الحقيقية، بشرط أن مع الافتراضات المقدمة في الفرضية (B5)، يمكننا إنشاء تحكم استنادًا إلى خصائص دالة عشوائية. ،
مع التحكم المحدد، سنظهر أن المشغل تعيين من المجموعة لنفسه، والذي يُعرّف على النحو التالي:
يمكننا أن نستنتج أن هناك نقطة ثابتة للمشغل ، حيث يتم تعريفه وفقًا للمعادلة (4.7). هذه النقطة الثابتة تعمل كحل معتدل لمشكلة التحكم الموصوفة بالمعادلات (4.4)-(4.5). بشكل محدد، من الواضح أن “، وهذه الملاحظة تشير إلى أن النظام الممثل بالمعادلات (4.4)-(4.5) قابل للتحكم خلال الفترة [ ].
من خلال تطبيق تعريف وظيفة التحكم نحصل على التعبير التالي،
نظرًا لأن جميع الدوال المدرجة في تعريف المشغل مستمرة، يمكننا أن نستنتج أن المشغل يظهر الاستمرارية.
توسيع المعادلة (4.6)، لأي دالة ينتمي إلى المجموعة ولجميع قيم t ضمن الفترة يمكننا إقامة العلاقة التالية:
بتطبيق المعادلات (4.8) و (4.9)، يمكننا اشتقاق النتيجة التالية:
هذا يوضح أن المشغل يطابق المجموعة على نفسها. سنواصل الآن إثبات أن المشغل يفي بجميع متطلبات نظرية شودر (نظرية 2.7). سيتم تقديم الإثبات على عدة خطوات.
الخطوة 1: مستمر. لنفترض أن هي سلسلة بحيث في ,
نظرًا لاستمرارية و ، يمكننا استنتاج أن: عندما . نتيجة لذلك، يظهر الاستمرارية ضمن المجموعة .
الخطوة 2: تمتلك المجموعة حدًا موحدًا. هذا واضح حيث أن ، مما يعني التقييد.
الخطوة 3: نثبت أن يظهر الاستمرارية المتساوية.
اعتبر أن و ينتميان إلى المجموعة المحدودة في كما في الخطوة 2، جنبًا إلى جنب مع من و . في هذا السياق، لدينا:
عندما تقترب من ، نلاحظ أن الجانب الأيمن من المعادلة السابقة يميل إلى الصفر، ويشار إليه بـ . من خلال الآثار المترتبة على الخطوات 1-3 ونظرية أرتزيلا-أسكولي، نثبت الاستمرارية والضغط لـ . بتطبيق نظرية شودر، نؤكد بالتالي وجود نقطة ثابتة تعمل كحل للمشكلة (4.4)-(4.5). لذلك، فإن النظام (4.4)-(4.5) قابل للتحكم عليه . هذا يكمل إثبات النظرية.

5. الخاتمة

في هذه الورقة، تتناول الدراسة معادلة تفاضلية متكاملة من نوع فولتر-فريدولم معززة بمشتقات كابوتو الكسرية تحت شروط ترتيب محددة. أثبتت الدراسة بشكل صارم وجود الحلول، باستخدام نظرية نقطة الثابت لشودر. علاوة على ذلك، وسعت نطاقها ليشمل المعادلات التفاضلية المتكاملة فولتر-فريدولم المحايدة، مما يوسع بشكل كبير نطاق النتائج. بالإضافة إلى ذلك، تم استكشاف مفهوم القابلية للتحكم للحلول التي تم الحصول عليها، مما أسفر عن رؤى قيمة حول سلوكها على المدى الطويل. تعزز المقاربة الشاملة المتبعة في هذه الدراسة، التي تجمع بين الصرامة النظرية والعرض العملي، من أهمية البحث، مما يساهم في فهم أعمق لهذه الهياكل الرياضية المعقدة.

شكر وتقدير

يرغب الباحثون في شكر عمادة البحث العلمي بجامعة القصيم على تمويل نشر هذا المشروع.

References

[1] R. P. Agarwal, C. Zhang, T. Li, Some remarks on oscillation of second order neutral differential equations, Appl. Math. Comput., 274 (2016), 178-181. 1
[2] B. Ahmad, S. Sivasundaram, Some existence results for fractional integro-differential equations with nonlinear conditions, Commun. Appl. Anal., 12 (2008), 107-112. 1
[3] J. Alzabut, S. R. Grace, J. M. Jonnalagadda, S. S. Santra, B. Abdalla, Higher-order Nabla Difference Equations of Arbitrary Order with Forcing, Positive and Negative Terms: Non-oscillatory Solutions, Axioms, 12 (2023), 1-14. 1
[4] A. Atangana, D. Baleanu, New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: theory and application to heat transfer model, arXiv preprint arXiv:1602.03408, 20 (2016), 763-769 1
[5] M. Bohner, T. Li, Oscillation of second-order p-Laplace dynamic equations with a nonpositive neutral coefficient, Appl. Math. Lett., 37 (2014), 72-76. 1
[6] M. Caputo, M. Fabrizio, A new definition of fractional derivative without singular kernel, Prog. Fract. Differ. Appl., 1 (2015), 73-85. 1
[7] D. N. Chalishajar, Controllability of mixed Volterra-Fredholm-type integro-differential systems in Banach space, J. Franklin Inst., 344 (2007), 12-21. 1, 3.2
[8] A. Columbu, S. Frassu, G. Viglialoro, Properties of given and detected unbounded solutions to a class of chemotaxis models, Stud. Appl. Math., 151 (2023), 1349-1379. 1
[9] Z. Dahmani, A. Taeb, New existence and uniqueness results for high dimensional fractional differential systems, Facta Univ. Ser. Math. Inform., 30 (2015), 281-293. 1
[10] C. Dineshkumar, V. Vijayakumar, R. Udhayakumar, A. Shukla, K. S. Nisar, Controllability discussion for fractional stochastic Volterra-Fredholm integro-differential systems of order , Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 24 (2023), 1947-1979. 1, 3.2
[11] M. Fečkan, J. Wang, M. Pospíšil, Fractional-order equations and inclusions, De Gruyter, Berlin, (2017). 1
[12] A. Ganesh, S. Deepa, D. Baleanu, S. S. Santra, O. Moaaz, V. Govindan, R. Ali, Hyers-Ulam-Mittag-Leffler stability of fractional differential equations with two Caputo derivative using fractional Fourier transform, AIMS Math., 7 (2022), 1791-1810.
[13] T. Gunasekar, P. Raghavendran, The Mohand Transform Approach to Fractional Integro-Differential Equations, J. Comput. Anal. Appl., 33 (2024), 358-371. 2.7
[14] T. Gunasekar, J. Thiravidarani, M. Mahdal, P. Raghavendran, A. Venkatesan, M. Elangovan, Study of Non-Linear Impulsive Neutral Fuzzy Delay Differential Equations with Non-Local Conditions, Mathematics, 11 (2023), 1-16. 2
[15] H. HamaRashid, H. M. Srivastava, M. Hama, P. O. Mohammed, M. Y. Almusawa, D. Baleanu, Novel algorithms to approximate the solution of nonlinear integro-differential equations of Volterra-Fredholm integro type, AIMS Math., 8 (2023), 14572-14591. 2
[16] A. Hamoud, Existence and uniqueness of solutions for fractional neutral Volterra-Fredholm integro differential equations, Adv. Theory Nonlinear Anal. Appl., 4 (2020), 321-331. 1
[17] A. A. Hamoud, K. P. Ghadle, Some new uniqueness results of solutions for fractional Volterra-Fredholm integrodifferential equations, Iran. J. Math. Sci. Inform., 17 (2022), 135-144. 1, 2
[18] A. Hamoud, N. Mohammed, K. Ghadle, Existence and uniqueness results for Volterra-Fredholm integro differential equations, Adv. Theory Nonlinear Anal. Appl., 4 (2020), 361-372. 1
[19] S. Harikrishnan, D. Vivek, E. M. Elsayed, Existence and Stability of Integro Differential Equation with Generalized Proportional Fractional Derivative, Izv. Nats. Akad. Nauk Armenii Mat., 58 (2023), 24-35. 2.7
[20] K. Hattaf, A new generalized definition of fractional derivative with non-singular kernel, Computation, 8 (2020), 1-9. 1
[21] E. Hernández M., D. O. Regan, Controllability of Volterra-Fredholm type systems in Banach spaces, J. Franklin Inst., 346 (2009), 95-101. 1
[22] C. Jayakumar, S. S. Santra, D. Baleanu, R. Edwan, V. Govindan, A. Murugesan, M. Altanji, Oscillation Result for Half-Linear Delay Difference Equations of Second Order, Math. Biosci. Eng., 19 (2022), 3879-3891. 1
[23] V. Jurdjevic, J. P. Quinn, Controllability and stability, J. Differential Equations, 28 (1978), 381-389. 1, 3.2
[24] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and applications of fractional differential equations, Elsevier Science B.V., Amsterdam, (2006). 1, 2, 2.1, 2.4, 2.5
[25] T. Li, S. Frassu, G. Viglialoro, Combining effects ensuring boundedness in an attraction a repulsion chemotaxis model with production and consumption, Z. Angew. Math. Phys., 74 (2023), 109-121. 1
[26] T. Li, N. Pintus, G. Viglialoro, Properties of solutions to porous medium problems with different sources and boundary conditions, Z. Angew. Math. Phys., 70 (2019), 18 pages. 1
[27] T. Li, Y. V. Rogovchenko, Oscillation of second-order neutral differential equations, Math. Nachr., 288 (2015), 1150-1162. 1
[28] T. Li, Y. V. Rogovchenko, Oscillation criteria for second-order superlinear Emden a Fowler neutral differential equations, Monatsh. Math., 184 (2017), 489-500.
[29] T. Li, Y. V. Rogovchenko, On the asymptotic behavior of solutions to a class of third-order nonlinear neutral differential equations, Appl. Math. Lett., 105 (2020), 7 pages. 1
[30] T. Li, G. Viglialoro, Boundedness for a nonlocal reaction chemotaxis model even in the attraction-dominated regime, Differential Integral Equations, 34 (2021), 315-336. 1
[31] F. Masood, O. Moaaz, S. S. Santra, U. Fernandez-Gamiz, H. A. El-Metwally, Oscillation theorems for fourth-order quasi-linear delay differential equations, AIMS Math., 8 (2023), 16291-16307.
[32] F. Masood, O. Moaaz, S. S. Santra, U. Fernandez-Gamiz, H. El-Metwally, On the monotonic properties and oscillatory behavior of solutions of neutral differential equations, Demonstr. Math., 56 (2023), 23 pages.
[33] M. Meganathan, S. S. Santra, L. A. Jayanathan, D. Baleanu, Numerical analysis of fractional order discrete Bloch equations, J. Math. Comput. Sci., 32 (2023), 222-228. 1
[34] O. Moaaz, E. M. Elabbasy, A. Muhib, Oscillation criteria for even-order neutral differential equations with distributed deviating arguments, Adv. Difference Equ., 2019 (2019), 10 pages. 1
[35] O. Moaaz, A. Muhib, T. Abdeljawad, S. S. Santra, M. Anis, Asymptotic behavior of even-order noncanonical neutral differential equations, Demonstr. Math., 55 (2022), 28-39. 1
[36] A. Ndiaye, F. Mansal, Existence and Uniqueness Results of Volterra-Fredholm Integro-Differential Equations via Caputo Fractional Derivative, J. Math., 2021 (2021), 8 pages. 1
[37] P. Raghavendran, T. Gunasekar, H. Balasundaram, S. S. Santra, D. Majumder, D. Baleanu, Solving fractional integrodifferential equations by Aboodh transform, J. Math. Comput. Sci., 32 (2024), 229-240. 1, 2
[38] D. L. Russell, Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions, SIAM Rev., 20 (1978), 639-739. 1, 3.2
[39] S. Sangeetha, S. K. Thamilvanan, S. S. Santra, S. Noeiaghdam, M. Abdollahzadeh, Property of third-order noncanonical functional differential equations with positive and negative terms, AIMS Math., 8 (2023), 14167-14179.
[40] S. S. Santra, Oscillation Criteria for Nonlinear Neutral Differential Equations of First Order with Several Delays, Mathematica, 57 (2015), 75-89. 1
[41] S. S. Santra, Necessary and sufficient conditions for oscillation of second-order differential equation with several delays, Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 68 (2023), 319-330.
[42] S. S. Santra, P. Mondal, M. E. Samei, H. Alotaibi, M. Altanji, T. Botmart, Study on the oscillation of solution to second-order impulsive systems, AIMS Math., 8 (2023), 22237-22255. 1
[43] S. S. Santra, S. Priyadharshini, V. Sadhasivam, J. Kavitha, U. Fernandez-Gamiz, S. Noeiaghdam, K. M. Khedher, On the oscillation of a certain class of conformable Emden-Fowler type elliptic partial differential equations, AIMS Math., 8 (2023), 12622-12636.
[44] S. S. Santra, A. Scapellato, Necessary and sufficient conditions for the oscillation of second-order differential equations with mixed several delays, J. Fixed Point Theory Appl., 24 (2022), 1-11. 1
[45] D. R. Smart, Fixed Point Theorems, Cup Archive, (1980). 2.7
[46] A. Toma, O. Postavaru, A numerical method to solve fractional Fredholm-Volterra integro-differential equations, Alex. Eng. J., 68 (2023), 469-478. 1
[47] A. K. Tripathy, S. S. Santra, Necessary and sufficient conditions for oscillations to a second-order neutral differential equations with impulses, Kragujevac J. Math., 47 (2023), 81-93. 1
[48] X. Wang, L. Wang, Q. Zeng, Fractional differential equations with integral boundary conditions, J. Nonlinear Sci. Appl., 8 (2015), 309-314.
[49] J. Wu, Y. Liu, Existence and uniqueness of solutions for the fractional integro-differential equations in Banach spaces, Electron. J. Differential Equations, 2009 (2009), 1-8. 1
[50] Y. Zhou, J. Wang, L. Zhang, Basic theory of fractional differential equations, World Scientific Publishing Co., Hackensack, NJ, (2017). 1, 2, 2.2, 2.3, 2.6
  1. *Corresponding author
    Email addresses: tguna84@gmail.com or m23air514@iitj.ac.in (Tharmalingam Gunasekar), rockypraba55@gmail.com (Prabakaran Raghavendran), shyam01.math@gmail.com or shyamsundar.santra@jiscollege.ac.in (Shyam Sundar Santra), msajd@qu.edu.sa (Mohammad Sajid)
    doi: 10.22436/jmcs.034.04.04

Journal: Journal of Mathematics and Computer Science, Volume: 34, Issue: 4
DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.034.04.04
Publication Date: 2024-04-05

Existence and controllability results for neutral fractional Volterra-Fredholm integro-differential equations

Tharmalingam Gunasekar , Prabakaran Raghavendran , Shyam Sundar Santra , Mohammad Sajid Department of Mathematics, Vel Tech Rangarajan Dr. Sagunthala R&D Institute of Science and Technology, Chennai 600062, Tamil Nadu, India. School of Artificial Intelligence and Data Science, Indian Institute of Technology (IIT), Jodhpur 342030, India. Department of Mathematics, JIS College of Engineering, Kalyani, West Bengal 741235, India. Department of Mechanical Engineering, College of Engineering, Qassim University, Buraydah 51452, Saudi Arabia.

Abstract

This paper delves into the investigation of a Volterra-Fredholm integro-differential equation enhanced with Caputo fractional derivatives subject to specific order conditions. The study rigorously establishes the existence of solutions through the application of the Schauder fixed-point theorem. Furthermore, it encompasses neutral Volterra-Fredholm integro-differential equations, thereby extending the applicability of the findings. In addition, the paper explores the concept of controllability for the obtained solutions, offering valuable insights into how these solutions behave over extended time periods.

Keywords: Volterra-Fredholm integro-differential equations, fractional derivatives, controllability, Schauder fixed point theorem.
2020 MSC: 26A33, 26D10, 34A12, 45G10, 45J05, 47G20.
©2024 All rights reserved.

1. Introduction

The realm of fractional integro-differential equations represents a captivating and rapidly evolving branch of mathematics, finding profound applications across scientific and engineering disciplines. These equations, delving into complex processes with memory and long-range dependence, stand as a testament to the limitations of traditional differential equations [37]. Fractional calculus, championed by D’Alembert, Euler, and Liouville [6], now thrives with new generalized definitions incorporating nonsingular kernels, presenting exciting avenues in studying differential equations with fractional derivatives [20]. Pioneering works by Kilbas et al. [24] and Zhou et al. [50] form the theoretical cornerstone, paving the way for further exploration in fractional calculus and integro-differential equations, navigating a complex web of mathematical relationships.
In the quest for solutions, Ahmad and Sivasundaram [2] and Wu and Liu [49] laid groundwork exploring existence, uniqueness, and solutions for fractional integro-differential equations, unveiling their mathematical properties. Contributions by Hamoud and Ghadle [17], Ndiaye and Mansal [36], Dahmani [9], Hamoud [16], and Hamoud et al. [18] shed light on the diversity of solutions, especially for fractional Volterra-Fredholm equations, spanning applications across diverse fields from population dynamics to finance. Novel definitions for fractional derivatives by Hattaf [20] and Atangana and Baleanu [4] significantly expanded the mathematical toolbox, enriching the description of complex phenomena. The prominence of the Caputo fractional derivative, devoid of singular kernels, established by Caputo and Fabrizio [6], played a pivotal role in advancing the study of fractional integro-differential equations.
The theoretical underpinnings spurred exploration into practical implementations and controllability aspects of fractional integro-differential systems. Researchers like Feckan et al. [11], Hernández and O’Regan [21], Dineshkumar et al. [10], and Chalishajar [7] addressed controllability concerns within Banach spaces, emphasizing the pivotal role of control in engineering and scientific applications. Addressing practical challenges, Toma and Postavaru [46] developed numerical methods crucial for simulating realworld systems described by fractional integro-differential equations. Contributions by Russell [38] and Jurdjevic and Quinn [23] further enriched our understanding of controllability and stability in differential equations, emphasizing their connections to fractional integro-differential equations, ultimately aiming to bridge theoretical developments with practical applications. Columbu et al. [8] studied properties of unbounded solutions in a class of chemotaxis models. Their work focuses on understanding the behavior and properties of solutions within this specific class of models, shedding light on potential instability in chemotaxis systems. Li et al. [25] explored the combined effects ensuring boundedness in an attractionrepulsion chemotaxis model involving production and consumption. This investigation likely touches upon crucial stability aspects that govern the behavior of these systems under different conditions. Li et al. [26] investigated properties of solutions to porous medium problems with various sources and boundary conditions. This exploration likely contributes insights into stability aspects in systems described by porous medium problems, possibly shedding light on factors influencing system behavior. Li and Viglialoro [30] delved into boundedness considerations for a nonlocal reaction chemotaxis model, even in attraction-dominated scenarios. This study might offer valuable perspectives on stability aspects within such models, especially in regimes where attraction dynamics dominate. Agarwal et al. [1] provided remarks on oscillation of second-order neutral differential equations. While not directly related to PDEs, their insights into oscillatory behavior could inform discussions on system dynamics and stability in certain differential equation models. Bohner and Li [5] studied the oscillation of second-order p-Laplace dynamic equations with nonpositive neutral coefficients. Their findings on oscillatory behavior could potentially contribute to understanding the stability properties of certain dynamic equations. Li and Rogovchenko’s works [27-29] provided oscillation criteria for various types of second and third-order neutral differential equations. Although not directly related to PDEs, these criteria may offer valuable insights into stability conditions governing differential equation models. Moaaz et al. [34] explored oscillation criteria for even-order neutral differential equations with distributed deviating arguments. While focused on differential equations, their findings might offer parallels or insights applicable to stability analysis in certain PDE systems.
Oscillation criteria in differential equations have garnered substantial attention in recent mathematical research. Santra’s work from 2015 explores oscillation criteria for first-order nonlinear neutral differential equations with multiple delays [40]. Tripathy and Santra present necessary and sufficient conditions for oscillations in second-order neutral differential equations with impulses, contributing crucial insights into these complex systems [47]. Investigations by Alzabut et al. delve into higher-order Nabla difference equations with forcing terms, elucidating non-oscillatory solutions in these intricate mathematical models [3]. These studies shed light on various differential equation models, including partial differential equations, fractional order equations, impulsive systems, and delay difference equations, enriching our understanding of oscillatory behavior in diverse systems.
Moreover, recent research explores oscillation in second-order impulsive systems [42], numerical anal-
ysis of fractional order discrete Bloch equations [33], and oscillation results for half-linear delay difference equations of second order [22]. Contributions by Santra and Scapellato offer insights into necessary and sufficient conditions for the oscillation of second-order differential equations with mixed several delays [44], while Moaaz et al. investigate the asymptotic behavior of even-order noncanonical neutral differential equations [35]. Collectively, these studies contribute significantly to understanding oscillation phenomena in differential equations, paving the way for further exploration and application in various scientific domains.
As we delve into the investigation of the existence and controllability of solutions for Volterra-Fredholm integro-differential equations (IDEs), we employ the Schauder fixed-point theorem, a powerful mathematical tool for addressing existence and uniqueness issues. Furthermore, in an effort to extend the relevance of our findings to diverse systems and phenomena, we broaden our inquiry to include Volterra-Fredholm neutral integro-differential equations. This expansion is substantiated by relevant examples within the field, which serve to illustrate the underlying concepts.

2. Preliminaries

In this section, we concentrate on the prevalent definitions used in fractional calculus, including the Riemann-Liouville fractional derivative and the Caputo derivative, as previously discussed in academic literature . Let us consider the Banach space equipped with the infinity norm defined as , where belongs to .
Definition 2.1 ([24]). The fractional integral of a function with a Riemann-Liouville definition of order is given by
where denotes the set of positive real numbers, and .
Definition 2.2 ([50]). The Riemann-Liouville derivative of order , where is confined to the interval and the lower limit is set to zero, is defined for a function as follows:
Definition 2.3 ([50]). The Caputo derivative of order , where falls within the range of 0 to 1 , is applicable to a function . It can be represented as:
Definition 2.4 ([24]). The Caputo fractional derivative of the function is defined as follows: for values between and (exclusive), it is given by:
For equal to , it is simply the -th derivative of :
The parameter in this definition can be a real or even complex number, representing the order of the derivative.
Definition 2.5 ([24]). The Riemann-Liouville fractional derivative of order is typically expressed as:
Theorem 2.6 (Arzela-Ascoli theorem, see [50]). A sequence of functions that is both bounded and equicontinuous within the closed and bounded interval possesses a subsequence that converges uniformly.
Theorem 2.7 (Schauder fixed point theorem, see [13, 19, 45]). In a Banach space E , consider a nonempty subset B that is both closed and convex. Let N be a continuous mapping from B to itself, such that the image of B under N is relatively compact in E . Then, N possesses at least one fixed point within B .

3. Volterra-Fredholm integro-differential equation

In this section, we will investigate the existence and controllability results for Volterra-Fredholm integro-differential equation, offering valuable insights for theoretical foundations.

3.1. Existence results

In this subsection, we explore into the Caputo fractional Volterra-Fredholm integro-differential equation, given by:
This equation is accompanied by the initial condition:
In the above expressions, denotes Caputo’s fractional derivative with , and , where , represents the continuous function under consideration. Additionally, and , where , are continuous functions. Before commencing our main results and their proofs, we present the following lemma along with some essential hypotheses.
(A1) Consider continuous functions and defined on the set . They satisfy the following conditions:
(A2) The function is continuous, and it satisfies the condition .
(A3) The function is continuous, and the constants , and are all positive.
(A4) The constants and such that , .
Lemma 3.1. If the function , then a function is a solution to problem (3.1)-(3.2) if and only if it meets the following condition:
for .
Proof. This can be readily illustrated by employing the integral operator referenced as (2.1) to both sides of the equation denoted by (3.1). As a consequence, it yields the integral equation represented by (3.3).
To establish the foundation of our investigation, we now present the following theorem that addresses the existence of solutions in the context of Volterra-Fredholm integro-differential equation, as described in equations (3.1)-(3.2).
Theorem 3.2. Given that conditions (A1)-(A4) hold, it can be asserted that equation (3.1) possesses at least one solution.
Proof. Let us consider the operator . The corresponding integral equation (3.3) can be expressed in terms of this operator as follows:
Initially, we note that the operator maps into itself. To illustrate, we select arbitrary values, denoting t from the set and from the set . It follows that:
This establishes that maps the set onto itself. We will now demonstrate that the operator fulfills all the criteria outlined in Theorem 2.7. The proof will be presented in multiple steps.
Step 1: is continuous. Let be a sequence such that in .
Due to the continuity of , and , we can deduce that:
As a result, exhibits continuity within the set .
Step 2: The set possesses a uniform bound. This is evident as , which implies boundedness.
Step 3: We demonstrate that exhibits equicontinuity.
Consider and belonging to the bounded set in as in Step 2, along with from and . In this context, we have:
As approaches , we observe that the right-hand side of the preceding equation tends to zero, denoted as . Through the combined implications of steps 1-3 and the Arzela-Ascoli theorem, we establish the continuity and compactness of . Applying Schauder’s theorem, we consequently ascertain the existence of a fixed point that acts as a solution to the problem (3.1)-(3.2). This completes the proof of the theorem.

3.2. Controllability results

Controllability, a cornerstone of control theory in engineering and mathematics, deals with the manipulation of dynamic systems. It revolves around the ability to direct a system from an initial state to a desired state using external inputs, commonly known as control signals. In the realm of Volterra-Fredholm integro-differential equations, particularly crucial in physics, biology, and economics, this concept gains paramount importance. These equations encompass both differential and integral terms, capturing the influence of past states on the present behavior of the system [7, 10, 23, 38]. Now, we will establish the controllability of the Caputo fractional Volterra-Fredholm integro-differential equation with a control parameter of a specific form:
This equation is accompanied by the initial condition:
In the given context, the state variable resides in the Banach space denoted as , while the control function is defined in the space , representing a Banach space of permissible control functions with as its underlying Banach space. The operator is bounded and linear, mapping from to . Consequently, for the equations (3.4)-(3.5), there exists a solution in a mild form, expressed as:
for .
Definition 3.3. The fractional system described by equations (3.4)-(3.5) is considered controllable over the interval if, for any given initial states and in the Banach space , there exists a control function in the space . This control function ensures that the mild solution of equations (3.4)-(3.5) satisfies the conditions and .
To establish the foundation of our investigation, we now present the following theorem that addresses the controllability results in the context of the Volterra-Fredholm integro-differential equation (3.4)-(3.5).
Theorem 3.4. Assuming that hypotheses (A1)-(A4) are satisfied, we further postulate the following:
(A5) The bounded linear operator defined as
possesses an induced inverse operator that operates within .
Additionally, there exist positive constants and such that and . Given these conditions, the system described by (3.4)-(3.5) is controllable over the interval .
Proof. Consider the set of functions , which consists of all continuous functions denoted by defined on an interval and taking real values, with the condition that . With the assumptions provided in hypothesis (B5), we can establish a control based on the properties of an arbitrary function N(•),
With the defined control, we will demonstrate that the operator mapping from the set to itself, which is defined as
We can conclude that there exists a fixed point for the operator , where is defined as per equation (3.7). This fixed point serves as the mild solution to the control problem described by equations (3.4)-(3.5). Specifically, it’s evident that , and this observation implies that the system represented by equations (3.4)-(3.5) is controllable over the interval .
By applying the definition of the control function , we obtain the following expression,
Given that all the functions included in the operator’s definition are continuous, we can conclude that the operator exhibits continuity.
Expanding upon equation (3.6), for any function belonging to the set and for all values of t within the interval , we can establish the following relationship:
Applying equations (3.8) and (3.9), we can derive the subsequent result:
This demonstrates that the operator maps the set onto itself. We will now proceed to demonstrate that the operator fulfills all the requirements of the Schauder theorem (Theorem 2.7). The proof will be presented in multiple steps.
Step 1: is continuous. Let be a sequence such that in ,
Due to the continuity of , and , we can deduce that: as . As a result, exhibits continuity within the set .
Step 2: The set possesses a uniform bound. This is evident as , which implies boundedness.
Step 3: We demonstrate that exhibits equicontinuity.
Consider and belonging to the bounded set in as in Step 2, along with from and . In this context, we have:
As approaches , we observe that the right-hand side of the preceding equation tends to zero, denoted as . Through the combined implications of Steps 1-3 and the Arzela-Ascoli theorem, we establish the continuity and compactness of . Applying Schauder’s theorem, we consequently
ascertain the existence of a fixed point that acts as a solution to the problem (3.4)-(3.5). Therefore, the system (3.4)-(3.5) is controllable on . This completes the proof of the theorem.

4. Neutral Volterra-Fredholm integro-differential equation

In this section, we delve into the investigation of both the existence of solutions, as well as the controllability results for neutral Volterra-Fredholm integro-differential equation.

4.1. Existence results

In this subsection, we explore into the Caputo fractional Volterra-Fredholm neutral integro-differential equation, given by:
This equation is accompanied by the initial condition:
In the above expressions, denotes Caputo’s fractional derivative with , and , where , represents the continuous function under consideration. Additionally, and , where , are continuous functions. Before commencing our main results and their proofs, we present the following lemma along with some essential hypotheses.
(B1) Consider continuous functions and defined on the set . They satisfy the following conditions:
(B2) The functions and are continuous, and they satisfy the conditions
(B3) The function is continuous, and the constants , and are all positive.
(B4) The constants , and such that
Lemma 4.1. If , then is a solution to problem (4.1)-(4.2) if and only if it satisfies:
for .
Proof. This can be readily demonstrated by utilizing the integral operator (2.1) on both sides of equation (4.1), resulting in the integral equation (4.3).
To establish the foundation of our investigation, we now present the following theorem that addresses the existence of solutions in the context of Volterra-Fredholm integro differential equation, as described in equations (4.1)-(4.2).
Theorem 4.2. Given that conditions (B1)-(B4) hold, it can be asserted that equation (4.1)-(4.2) possesses at least one solution.
Proof. Let us consider the operator . The corresponding integral equation (4.3) can be expressed in terms of this operator as
Initially, we note that the operator maps into itself. To illustrate, we select arbitrary values, denoting t from the set and from the set . It follows that:
This establishes that maps the set onto itself. We will now demonstrate that the operator fulfills all the criteria outlined in Theorem 2.7. The proof will be presented in multiple steps.
Step 1: is continuous. Let be a sequence such that in ,
Due to the continuity of , and , we can deduce that: as . As a result, exhibits continuity within the set .
Step 2: The set possesses a uniform bound. This is evident as , which implies boundedness.
Step 3: We demonstrate that exhibits equicontinuity.
Consider and belonging to the bounded set in as in Step 2, along with from and . In this context, we have:
As approaches , we observe that the right-hand side of the preceding equation tends to zero, denoted as . Through the combined implications of Steps 1-3 and the Arzela-Ascoli theorem, we establish the continuity and compactness of . Applying Schauder’s theorem, we consequently ascertain the existence of a fixed point that acts as a solution to the problem (4.1) – (4.2). This completes the proof of the theorem.

4.2. Controllability results

In this subsection, we will establish the controllability of the Caputo fractional neutral VolterraFredholm integro-differential equation with a control parameter of a specific form:
This equation is accompanied by the initial condition:
In the given context, the state variable resides in the Banach space denoted as , while the control function is defined in the space , representing a Banach space of permissible control functions with as its underlying Banach space. The operator is bounded and linear, mapping from to . Consequently, for the equations (4.4)-(4.5), there exists a solution in a mild form, expressed as:
for .
Definition 4.3. The fractional system described by equations (4.4)-(4.5) is considered controllable over the interval if, for any given initial states and in the Banach space , there exists a control function in the space . This control function ensures that the mild solution of equations (4.4)-(4.5) satisfies the conditions and .
To establish the foundation of our investigation, we now present the following theorem that addresses the controllability results in the context of the Volterra-Fredholm integro differential equation (4.4)-(4.5).
Theorem 4.4. Assuming that hypotheses (B1)-(B4) are satisfied, we further postulate the following.
(B5) The bounded linear operator defined as
possesses an induced inverse operator that operates within .
Additionally, there exist positive constants and such that and . Given these conditions, the system described by (4.4)-(4.5) is controllable over the interval .
Proof. Consider the set of functions , which consists of all continuous functions denoted by defined on an interval and taking real values, with the condition that . With the assumptions provided in hypothesis (B5), we can establish a control based on the properties of an arbitrary function ,
With the defined control, we will demonstrate that the operator mapping from the set to itself, which is defined as follows:
We can conclude that there exists a fixed point for the operator , where is defined as per equation (4.7). This fixed point serves as the mild solution to the control problem described by equations (4.4)-(4.5). Specifically, it’s evident that , and this observation implies that the system represented by equations (4.4)-(4.5) is controllable over the interval [ ].
By applying the definition of the control function , we obtain the following expression,
Given that all the functions included in the operator’s definition are continuous, we can conclude that the operator exhibits continuity.
Expanding upon equation (4.6), for any function belonging to the set and for all values of t within the interval , we can establish the following relationship:
Applying equations (4.8) and (4.9), we can derive the subsequent result:
This demonstrates that the operator maps the set onto itself. We will now proceed to demonstrate that the operator fulfills all the requirements of the Schauder theorem (Theorem 2.7). The proof will be presented in multiple steps.
Step 1: is continuous. Let be a sequence such that in ,
Due to the continuity of , and , we can deduce that: as . As a result, exhibits continuity within the set .
Step 2: The set possesses a uniform bound. This is evident as , which implies boundedness.
Step 3: We demonstrate that exhibits equicontinuity.
Consider and belonging to the bounded set in as in Step 2, along with from and . In this context, we have:
As approaches , we observe that the right-hand side of the preceding equation tends to zero, denoted as . Through the combined implications of Steps 1-3 and the Arzela-Ascoli theorem, we establish the continuity and compactness of . Applying Schauder’s theorem, we consequently ascertain the existence of a fixed point that acts as a solution to the problem (4.4)-(4.5). Therefore, the system (4.4)-(4.5) is controllable on . This completes the proof of the theorem.

5. Conclusion

In this paper, the investigation delves into a Volterra-Fredholm integro-differential equation enhanced with fractional Caputo derivatives under specific order conditions. The study rigorously established the existence of solutions, employing the Schauder fixed-point theorem. Moreover, it extended its domain to encompass neutral Volterra-Fredholm integro-differential equations, significantly broadening the scope of the findings. Additionally, the concept of controllability for the obtained solutions was explored, yielding valuable insights into their long-term behavior. The comprehensive approach taken in this study, combining theoretical rigor with practical demonstration, strengthens the significance of the research, contributing to a deeper understanding of these complex mathematical structures.

Acknowledgement

Researchers would like to thank the Deanship of Scientific Research, Qassim University for funding publication of this project.

References

[1] R. P. Agarwal, C. Zhang, T. Li, Some remarks on oscillation of second order neutral differential equations, Appl. Math. Comput., 274 (2016), 178-181. 1
[2] B. Ahmad, S. Sivasundaram, Some existence results for fractional integro-differential equations with nonlinear conditions, Commun. Appl. Anal., 12 (2008), 107-112. 1
[3] J. Alzabut, S. R. Grace, J. M. Jonnalagadda, S. S. Santra, B. Abdalla, Higher-order Nabla Difference Equations of Arbitrary Order with Forcing, Positive and Negative Terms: Non-oscillatory Solutions, Axioms, 12 (2023), 1-14. 1
[4] A. Atangana, D. Baleanu, New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: theory and application to heat transfer model, arXiv preprint arXiv:1602.03408, 20 (2016), 763-769 1
[5] M. Bohner, T. Li, Oscillation of second-order p-Laplace dynamic equations with a nonpositive neutral coefficient, Appl. Math. Lett., 37 (2014), 72-76. 1
[6] M. Caputo, M. Fabrizio, A new definition of fractional derivative without singular kernel, Prog. Fract. Differ. Appl., 1 (2015), 73-85. 1
[7] D. N. Chalishajar, Controllability of mixed Volterra-Fredholm-type integro-differential systems in Banach space, J. Franklin Inst., 344 (2007), 12-21. 1, 3.2
[8] A. Columbu, S. Frassu, G. Viglialoro, Properties of given and detected unbounded solutions to a class of chemotaxis models, Stud. Appl. Math., 151 (2023), 1349-1379. 1
[9] Z. Dahmani, A. Taeb, New existence and uniqueness results for high dimensional fractional differential systems, Facta Univ. Ser. Math. Inform., 30 (2015), 281-293. 1
[10] C. Dineshkumar, V. Vijayakumar, R. Udhayakumar, A. Shukla, K. S. Nisar, Controllability discussion for fractional stochastic Volterra-Fredholm integro-differential systems of order , Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 24 (2023), 1947-1979. 1, 3.2
[11] M. Fečkan, J. Wang, M. Pospíšil, Fractional-order equations and inclusions, De Gruyter, Berlin, (2017). 1
[12] A. Ganesh, S. Deepa, D. Baleanu, S. S. Santra, O. Moaaz, V. Govindan, R. Ali, Hyers-Ulam-Mittag-Leffler stability of fractional differential equations with two Caputo derivative using fractional Fourier transform, AIMS Math., 7 (2022), 1791-1810.
[13] T. Gunasekar, P. Raghavendran, The Mohand Transform Approach to Fractional Integro-Differential Equations, J. Comput. Anal. Appl., 33 (2024), 358-371. 2.7
[14] T. Gunasekar, J. Thiravidarani, M. Mahdal, P. Raghavendran, A. Venkatesan, M. Elangovan, Study of Non-Linear Impulsive Neutral Fuzzy Delay Differential Equations with Non-Local Conditions, Mathematics, 11 (2023), 1-16. 2
[15] H. HamaRashid, H. M. Srivastava, M. Hama, P. O. Mohammed, M. Y. Almusawa, D. Baleanu, Novel algorithms to approximate the solution of nonlinear integro-differential equations of Volterra-Fredholm integro type, AIMS Math., 8 (2023), 14572-14591. 2
[16] A. Hamoud, Existence and uniqueness of solutions for fractional neutral Volterra-Fredholm integro differential equations, Adv. Theory Nonlinear Anal. Appl., 4 (2020), 321-331. 1
[17] A. A. Hamoud, K. P. Ghadle, Some new uniqueness results of solutions for fractional Volterra-Fredholm integrodifferential equations, Iran. J. Math. Sci. Inform., 17 (2022), 135-144. 1, 2
[18] A. Hamoud, N. Mohammed, K. Ghadle, Existence and uniqueness results for Volterra-Fredholm integro differential equations, Adv. Theory Nonlinear Anal. Appl., 4 (2020), 361-372. 1
[19] S. Harikrishnan, D. Vivek, E. M. Elsayed, Existence and Stability of Integro Differential Equation with Generalized Proportional Fractional Derivative, Izv. Nats. Akad. Nauk Armenii Mat., 58 (2023), 24-35. 2.7
[20] K. Hattaf, A new generalized definition of fractional derivative with non-singular kernel, Computation, 8 (2020), 1-9. 1
[21] E. Hernández M., D. O. Regan, Controllability of Volterra-Fredholm type systems in Banach spaces, J. Franklin Inst., 346 (2009), 95-101. 1
[22] C. Jayakumar, S. S. Santra, D. Baleanu, R. Edwan, V. Govindan, A. Murugesan, M. Altanji, Oscillation Result for Half-Linear Delay Difference Equations of Second Order, Math. Biosci. Eng., 19 (2022), 3879-3891. 1
[23] V. Jurdjevic, J. P. Quinn, Controllability and stability, J. Differential Equations, 28 (1978), 381-389. 1, 3.2
[24] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and applications of fractional differential equations, Elsevier Science B.V., Amsterdam, (2006). 1, 2, 2.1, 2.4, 2.5
[25] T. Li, S. Frassu, G. Viglialoro, Combining effects ensuring boundedness in an attraction a repulsion chemotaxis model with production and consumption, Z. Angew. Math. Phys., 74 (2023), 109-121. 1
[26] T. Li, N. Pintus, G. Viglialoro, Properties of solutions to porous medium problems with different sources and boundary conditions, Z. Angew. Math. Phys., 70 (2019), 18 pages. 1
[27] T. Li, Y. V. Rogovchenko, Oscillation of second-order neutral differential equations, Math. Nachr., 288 (2015), 1150-1162. 1
[28] T. Li, Y. V. Rogovchenko, Oscillation criteria for second-order superlinear Emden a Fowler neutral differential equations, Monatsh. Math., 184 (2017), 489-500.
[29] T. Li, Y. V. Rogovchenko, On the asymptotic behavior of solutions to a class of third-order nonlinear neutral differential equations, Appl. Math. Lett., 105 (2020), 7 pages. 1
[30] T. Li, G. Viglialoro, Boundedness for a nonlocal reaction chemotaxis model even in the attraction-dominated regime, Differential Integral Equations, 34 (2021), 315-336. 1
[31] F. Masood, O. Moaaz, S. S. Santra, U. Fernandez-Gamiz, H. A. El-Metwally, Oscillation theorems for fourth-order quasi-linear delay differential equations, AIMS Math., 8 (2023), 16291-16307.
[32] F. Masood, O. Moaaz, S. S. Santra, U. Fernandez-Gamiz, H. El-Metwally, On the monotonic properties and oscillatory behavior of solutions of neutral differential equations, Demonstr. Math., 56 (2023), 23 pages.
[33] M. Meganathan, S. S. Santra, L. A. Jayanathan, D. Baleanu, Numerical analysis of fractional order discrete Bloch equations, J. Math. Comput. Sci., 32 (2023), 222-228. 1
[34] O. Moaaz, E. M. Elabbasy, A. Muhib, Oscillation criteria for even-order neutral differential equations with distributed deviating arguments, Adv. Difference Equ., 2019 (2019), 10 pages. 1
[35] O. Moaaz, A. Muhib, T. Abdeljawad, S. S. Santra, M. Anis, Asymptotic behavior of even-order noncanonical neutral differential equations, Demonstr. Math., 55 (2022), 28-39. 1
[36] A. Ndiaye, F. Mansal, Existence and Uniqueness Results of Volterra-Fredholm Integro-Differential Equations via Caputo Fractional Derivative, J. Math., 2021 (2021), 8 pages. 1
[37] P. Raghavendran, T. Gunasekar, H. Balasundaram, S. S. Santra, D. Majumder, D. Baleanu, Solving fractional integrodifferential equations by Aboodh transform, J. Math. Comput. Sci., 32 (2024), 229-240. 1, 2
[38] D. L. Russell, Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions, SIAM Rev., 20 (1978), 639-739. 1, 3.2
[39] S. Sangeetha, S. K. Thamilvanan, S. S. Santra, S. Noeiaghdam, M. Abdollahzadeh, Property of third-order noncanonical functional differential equations with positive and negative terms, AIMS Math., 8 (2023), 14167-14179.
[40] S. S. Santra, Oscillation Criteria for Nonlinear Neutral Differential Equations of First Order with Several Delays, Mathematica, 57 (2015), 75-89. 1
[41] S. S. Santra, Necessary and sufficient conditions for oscillation of second-order differential equation with several delays, Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 68 (2023), 319-330.
[42] S. S. Santra, P. Mondal, M. E. Samei, H. Alotaibi, M. Altanji, T. Botmart, Study on the oscillation of solution to second-order impulsive systems, AIMS Math., 8 (2023), 22237-22255. 1
[43] S. S. Santra, S. Priyadharshini, V. Sadhasivam, J. Kavitha, U. Fernandez-Gamiz, S. Noeiaghdam, K. M. Khedher, On the oscillation of a certain class of conformable Emden-Fowler type elliptic partial differential equations, AIMS Math., 8 (2023), 12622-12636.
[44] S. S. Santra, A. Scapellato, Necessary and sufficient conditions for the oscillation of second-order differential equations with mixed several delays, J. Fixed Point Theory Appl., 24 (2022), 1-11. 1
[45] D. R. Smart, Fixed Point Theorems, Cup Archive, (1980). 2.7
[46] A. Toma, O. Postavaru, A numerical method to solve fractional Fredholm-Volterra integro-differential equations, Alex. Eng. J., 68 (2023), 469-478. 1
[47] A. K. Tripathy, S. S. Santra, Necessary and sufficient conditions for oscillations to a second-order neutral differential equations with impulses, Kragujevac J. Math., 47 (2023), 81-93. 1
[48] X. Wang, L. Wang, Q. Zeng, Fractional differential equations with integral boundary conditions, J. Nonlinear Sci. Appl., 8 (2015), 309-314.
[49] J. Wu, Y. Liu, Existence and uniqueness of solutions for the fractional integro-differential equations in Banach spaces, Electron. J. Differential Equations, 2009 (2009), 1-8. 1
[50] Y. Zhou, J. Wang, L. Zhang, Basic theory of fractional differential equations, World Scientific Publishing Co., Hackensack, NJ, (2017). 1, 2, 2.2, 2.3, 2.6
  1. *Corresponding author
    Email addresses: tguna84@gmail.com or m23air514@iitj.ac.in (Tharmalingam Gunasekar), rockypraba55@gmail.com (Prabakaran Raghavendran), shyam01.math@gmail.com or shyamsundar.santra@jiscollege.ac.in (Shyam Sundar Santra), msajd@qu.edu.sa (Mohammad Sajid)
    doi: 10.22436/jmcs.034.04.04