نهج فرع عالمي لحلول موحدة لمعادلة شرودنجر A global branch approach to normalized solutions for the Schrödinger equation

المجلة: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées، المجلد: 183
DOI: https://doi.org/10.1016/j.matpur.2024.01.004
تاريخ النشر: 2024-02-01

نهج فرع عالمي لحلول موحدة لمعادلة شرودنجر

لويس جانجان، جيانجون زانغ، وشويشيو تشونغ

الملخص

ندرس وجود وعدم وجود وتعدد الحلول الإيجابية ذات الكتلة المحددة لمعادلة شرودنجر بالشكل

نهجنا يسمح بالتعامل بطريقة موحدة مع اللاتخطيات التي تكون إما تحت حرجة جماعية، حرجة جماعية أو فوق حرجة جماعية. من بين مكوناتها الرئيسية هو دراسة السلوكيات التقاربية للحلول الإيجابية كما أو ووجود استمرارية غير محدودة من الحلول في .

الكلمات الرئيسية: الفرع العالمي، معادلة شرودنجر، الحل الموجب المعياري.
تصنيف موضوع الرياضيات لعام 2010: 35A16، 35B40، 35A02، 35J60، 46N50.

1. المقدمة

هدف هذه الورقة هو دراسة وجود وعدم وجود وتعدد الحلول الإيجابية ذات الكتلة المحددة لمعادلات شرودنجر غير الخطية ذات غير الخطيات العامة.
الافتراض للحلول الموجية الثابتة تؤدي إلى المعادلة البيضاوية
مع . لأسباب تتعلق بالفيزياء، سنركز على الحلول لـ (1.2) في في العقود الماضية، تم دراسة هذه المعادلة من قبل العديد من المؤلفين، بشكل رئيسي في حالة التردد الثابت حيث مُوصى به.
ميزة مهمة في (1.1) هي الحفاظ على الكتلة: -معيار حل مستقل عن نظرًا لهذه الخاصية، من المهم البحث عن حلول تلبي قيد التطبيع.
عندما مع ، حيث لـ و لـ هو الأس exponent الحرج سوبوليف، مسألة الحلول الموجبة المعيارية لـ (1.2)-(1.3)
يمكن حله بالكامل عن طريق التدرج. في الواقع، دع كن الحل الشعاعي الإيجابي الفريد لـ

انظر [26]. الإعداد

لا يمكن لأحد التحقق من ذلك، حتى الترجمة، هو الحل الإيجابي الفريد لـ
يظهر حساب مباشر أن
لذا يمكن للمرء أن يرى أنه إذا يوجد “فريد بحيث أ. أي أنه يوجد حل موجب مُعَيَّر للمعادلات (1.2)-(1.3) لأي كلما (وهو فريد حتى بالنسبة للترجمة). بينما بالنسبة لما يسمى بالأس exponent الحرج الكتلي لديها حل مُعَيَّر إيجابي إذا وفقط إذا (مع عدد لا نهائي من الحلول و ).
ومع ذلك، إذا غير متجانس، لم يعد هذا المنطق صالحًا، بل يتطلب الأمر حججًا أكثر تعقيدًا. الطريقة الكلاسيكية لمواجهة مثل هذه المشكلات هي من خلال نهج تبايني: يبحث المرء عن نقاط حرجة. من الدالة الطاقية
خاضع للقيود
لاحظ أنه في مثل هذا النهج، المعامل يظهر كمعامل لاغرانج وليس معروفًا مسبقًا.
يتحدث المرء عن حالة تحت حرجة جماعية إذا كانت “ محدود من الأسفل على لأي ، وحالة فائقة الكتلة إذا غير محدد من الأسفل لأي . يُشار أيضًا إلى حالة حرجة جماعية عندما تعتمد الحدودية من الأسفل على قيمة في الواقع، القضية التي نحن فيها تعتمد بشكل حاسم على عدم الخطية. لذا، عند استخدام نهج تبايني، يجب فرض شروط عالمية محددة في كل حالة على لعلاج المشكلة.
لقد شهدت دراسة حالة الكتلة دون الحرجة، التي يمكن إرجاعها إلى أعمال ستيوارت [38، 39]، تقدمًا كبيرًا مع إدخال نهج التركيز من خلال الكثافة الذي قدمه ليون [28، 29]. في الوقت الحاضر، تُفهم هذه الحالة بشكل جيد نسبيًا ونشير إلى [34، 21، 23، 37] للمساهمات الحديثة.
في حالة الكتلة فوق الحرجة، غير محدود من الأسفل على وبالتالي لا يوجد مُقلل عالمي. في [18]، فرض المؤلف الأول بعض الشروط العالمية على لضمان هندسة ممر الجبل على . ثم، بعد حل بعض مشكلات الكثافة، تم الحصول على حل موحد. منذ [18]، كانت هناك العديد من المساهمات في الكتلة
الحالات الفائقة الحرجة والحالات الحرجة الكتلية. دعونا نذكر هنا [3، 5، 6، 10، 22، 17، 35]. كما نشير إلى [20، 36، 40] لمعالجة غير الخطيات التي تعتبر حرجة سوبوليف.
في الورقة الحالية، هدفنا هو تقديم نهج مختلف، يعتمد على مؤشر النقطة الثابتة وحجج الاستمرارية، لدراسة مشاكل الحلول الطبيعية. لا يعتمد هذا النهج على الهيكل التبايني، وبالتالي يمكننا معالجة غير الخطيات بطريقة موحدة سواء كانت تحت حرجة الكتلة، حرجة الكتلة أو فوق حرجة الكتلة. بالإضافة إلى توفير إطار آخر لدراسة المشاكل الطبيعية، نعتقد أنه يثير بالفعل اهتمامًا لوجود فروع عالمية من الحلول. على عكس طرق التفرع الكلاسيكية، التي تتعلق بفرع يتفرع من بعض القيم الذاتية، فإن حجتنا، بروح نظرية التفرع العالمية لرابينوفيتش، تقدم إمكانية التحقيق في المشاكل دون قيم ذاتية.
يبدو أن بارتش وزو والمؤلف الثالث [7] هم الأوائل الذين طبقوا نهج الفروع العالمية لدراسة وجود الحلول المعيارية. وقد ركزوا على نظام شرودنجر المترابط التالي.
وجود حلول طبيعية لمجموعة واسعة من تم الحصول عليه لكتل عشوائية و . نتائج [7] وسعت بشكل كبير نتائج بارش وآخرون [4]، التي تعتمد على نهج تبايني على الـ -الكرات. ومع ذلك، نلاحظ أنه في [7]، هناك فرع إيجابي يتفرع من فرع الحلول شبه التافهة عندما كبير. أيضًا، يمكن تطبيق النظرية الضمنية لـ ، حيث إن المشكلة (1.4) تُختصر إلى معادلتين عدديتين مستقلتين تُحدد حلولها الإيجابية بشكل جيد بواسطة [26]. في مشكلتنا العددية، لا نستفيد من هذه الميزات. إن نهج الفرع العالمي الذي سنطوره يختلف تمامًا عن نهج [7].
سيتم استخدام الافتراضات التالية في الورقة.
(G1) لـ .
(ج2) يوجد بعض مُرضٍ
بحيث
(G3) ليس لديه حل كلاسيكي متناقص شعاعياً إيجابياً في .
ملاحظة 1.1. (ط) لاحظ أن (G1)-(G2) تعني أن نظرًا لأننا مهتمون بالحلول غير السلبية لـ (1.2)، فإنه ليس من المقيّد أن نفترض، طوال الورقة، أن يمتد إلى دالة مستمرة على جميع عن طريق تعيين لجميع .
ثم، بموجب مبدأ الحد الأقصى الضعيف، فإن أي حل للمعادلة (1.2) غير سالب. كما أن مبدأ الحد الأقصى القوي يدل أيضًا على أنه موجب بشكل صارم.
(ii) في النظرية 2.5 نقدم شروطًا كافية على تحت أي شرط (G3) ينطبق. في الواقع، تحت (G1) و (G2)، ينطبق الشرط (G3) إذا أو افتراض أن إذا . علاوة على ذلك، في حالة مع إذا افترضنا أيضًا أن في ثم (G3) أيضًا صحيح.
في سياقنا، ما يُفرض أساسًا هو سلوك عند 0 و . بعيدًا، إلى حد ما، مع الشرط (G3)، لا نحتاج إلى شروط عالمية على نتيجتنا الرئيسية هي النظرية التالية.
النظرية 1.2. دع ولنفترض أن (G1)-(G3) صحيحة. ثم لدينا الاستنتاجات التالية.
(ط) (حالة تحت الحرجة الكتلية) إذا ، ثم لأي يمتلك (1.2)-(1.3) حلاً طبيعياً إيجابياً .
(ii) (حالة حرجة بالضبط) إذا ، يدل على و . ثم (1.2)-(1.3) يمتلك على الأقل حلاً طبيعياً إيجابياً واحداً مقدم . على وجه الخصوص، يوجد بعض و بحيث لا يوجد حل موحد موجب لـ (1.2)-(1.3) لـ .
(iii) (في أسوأ الحالات الحرجة للكتلة)
(iii-1) إذا لـ (1.2)-(1.3) حل واحد على الأقل مُعَدل إيجابي إذا . علاوة على ذلك، يوجد بعض بحيث لا يوجد حل موحد موجب لـ (1.2)-(1.3) بشرط .
(iii-2) إذا لـ (1.2)-(1.3) حل واحد على الأقل مُعَدل إيجابي إذا كان . علاوة على ذلك، هناك بعض الإيجابيات بحيث لا يوجد حل موحد موجب لـ (1.2)-(1.3) بشرط .
(رابعًا) (حالة مختلطة)
(iv-1) إذا يوجد بعض بحيث أنه لأي لديه على الأقل حلين متميزين موجبَين مُعَدلين بينما (1.2)-(1.3) ليس له حل موحد إيجابي بشرط .
(iv-2) إذا كان يوجد بعض بحيث لأي لـ (1.2)-(1.3) على الأقل حلين متميزين موجبَين مُعَيارين بينما (1.2)-(1.3) ليس له حل موحد إيجابي متاح .
(v) (على الأقل حالة حرجة جماعية)
(v-1) إذا لـ (1.2)-(1.3) حل موحد إيجابي واحد على الأقل إذا . علاوة على ذلك، يوجد بعض بحيث لا يوجد حل موحد موجب لـ (1.2)-(1.3) بشرط .
(v-2) إذا لديه على الأقل حل موحد إيجابي واحد إذا كان . علاوة على ذلك، هناك بعض الإيجابيات بحيث لا يوجد حل موحد موجب لـ (1.2)-(1.3) بشرط .
(vi) (حالة فوق حرجة جماعية) إذا ، ثم لأي يمتلك (1.2)-(1.3) حلاً إيجابياً مُعَياراً .
هناك خطوتان رئيسيتان في إثبات النظرية 1.2. الأولى هي إظهار وجود مجموعة مستمرة من الحلول الإيجابية للمعادلة (1.2). والثانية هي فهم سلوك الـ “ معايير الحلول الإيجابية كـ أو في هذا الاتجاه لدينا النتيجة التالية التي لها اهتمام خاص بها.
في النظرية 1.3 أدناه، وطوال الورقة يمثل فضاء الدوال الشعاعية المستمرة التي تتلاشى عند .
النظرية 1.3. دع ولنفترض أن (G1)-(G3) صحيحة. دع كن الحل الإيجابي الفريد لـ
و كن الحل الإيجابي الفريد لـ
ثم يمسك
(ط) دع كن حلولًا إيجابية لـ (1.2) مع . ثم
و
(ii) دع كن حلولًا إيجابية لـ (1.2) مع . ثم
و
دعونا نقدم الآن الخطوات الرئيسية لإثبات النظريتين 1.2 و 1.3، وبشكل أكثر شمولاً هيكل الورقة.
في القسم 2، نجمع بعض الحقائق حول (1.2). على وجه الخصوص، تحت الافتراضات (G1)(G2)، نثبت التماثل الشعاعي والتزايدية للحلول الإيجابية المرتبطة بحلول (1.2) عندما . وأيضًا، من خلال اشتقاق بعض نتائج عدم الوجود، نصل إلى الاستنتاج بأن الحلول الإيجابية لـ (1.2) يجب أن تُبحث مع افتراض أن .
في القسم 3، نستنتج حدودًا مسبقة على الـ -مقياس الحلول الإيجابية اعتمادًا على المعامل . علاوة على ذلك، نثبت انضغاط مجموعة الحلول الإيجابية، سواء من حيث وفي معنى عندما يكمن في فترة مضغوطة بعيدة عن 0.
في القسم 4، نطبق حجج الانفجار لتوضيح سلوك الحلول الإيجابية كلاهما في وفي ، كـ أو الدليل على النظرية 1.3 موجود هناك.
في القسم 5، نبحث في تفرد الحلول الإيجابية ونثبت في النظرية 5.1 أنه تحت الشروط (G1)-(G3)، فإن (1.2) يمتلك حلاً إيجابياً واحداً على الأكثر لـ صغير. وهذا ينطبق أيضًا على كبير قليلاً تحت (G1)-(G2).
في القسم 6، بالاعتماد على النتائج الكلاسيكية من [8، 9]، نثبت أن (1.2) له حل إيجابي لأي وبالتالي، استنادًا إلى النظرية 5.1، فإن المعادلة (1.2) لها حل إيجابي فريد. إذا صغير. نحن نوضح أيضًا أن هو من نوع mp، انظر اللمحة 6.2، وهي خاصية ستكون مفيدة في القسم [7. عندما تسمح هذه الخصوصية، جنبًا إلى جنب مع التوصيف المتغير لممر الجبال للحل، بإظهار أن هو منحنى لـ صغير، انظر اللمحة 6.4. يتطلب الأمر حجة منفصلة عندما لكنها تؤدي مباشرة إلى الاستنتاج بأن المجموعة المكونة من جميع الحلول الإيجابية متصل، انظر النظرية 6.6.
في القسم 7، نركز على الحالة . يدل على
نثبت وجود مكون غير محدود تحتوي على الفرع المحلي الذي يضمن وجوده اللمّا 6.4، بدقة أكثر، دع كن الإسقاط على -المكون، نثبت أن .
يتم الحصول على هذه النتيجة من خلال إعادة صياغة (1.2) إلى مشكلة نقطة ثابتة. بالنسبة لـ نحن نحدد الخريطة بواسطة
ثم، فإن الحل لـ (1.2) يفي بمعادلة النقطة الثابتة
أين هو مشغل مستمر تمامًا، انظر اللمحة 7.1،
نقطة رئيسية لإثبات أن الفرع المحلي ينتمي إلى مكون غير محدود من هو إظهار أن الحل الفريد مع صغير، يحمل درجة طوبولوجية غير صفرية. في الواقع، هذه الدرجة هي -1. تم إثبات ذلك من خلال الجمع بين الحقيقة أن هو نقطة حرجة من نوع mp لـ محدد في (6.2)، مع حقيقة أن الهessian لـ في يعترف بقيمة eigen الأولى غير الموجبة البسيطة، انظر lemma 7.2.
بمجرد أن نعلم أن الدرجة الطوبولوجية غير تافهة، واتباع الحجج الكلاسيكية التي تعود إلى ليراي وشاودر، يمكننا أن نستنتج أن غير محدود. في الواقع، المعلومات حول درجة تلعب دورًا مشابهًا لوجود نقطة تفرع ذات تعدد فردي في النتيجة الكلاسيكية لـ P.H. Rabinowitz [32]، التي تضمن وجود فرع عالمي ينشأ من نقطة التفرع. الآن، نظرًا للحدود الأولية المستمدة في النتيجة 3.2 واللماحة 3.3، نستنتج أن انظر اللمحة 7.3،
في القسم 8، يتم إثبات النظرية 1.2 من خلال دمج النظرية 1.3 مع المعلومات التي .
طوال الورقة نستخدم الرموز لـ -نورم. يمثل الفضاء الفرعي الشعاعي لـ . بواسطة نحن نشير إلى التقارب الضعيف في الحروف الكبيرة تمثل ثوابت إيجابية قد تعتمد على بعض المعلمات وقد تتغير قيمتها الدقيقة من سطر إلى سطر.

2. المقدمات ونتائج عدم الوجود

تجمع مقدمتنا الأولى بعض الخصائص لـ التي تنطبق تحت (G1)-(G2). برهانها يتم من خلال الحسابات المباشرة.
اللمّا 2.1. دع وافترض أن (G1)-(G2) صحيحتان،
(ط) و .
(ii) يوجد بعض بحيث
وأي يوجد بعض بحيث
(iii) يوجد بعض بحيث
أين وأي يوجد بعض بحيث
(iv) إذا لدينا، لبعض ،
اللمّا 2.2. دع ولنفترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. دع كن حلاً كلاسيكياً غير سالب لـ (1.2) مع الذي يختفي عند اللانهاية. ثم، حتى مع الترجمة، متناظر شعاعيًا ويتناقص بالنسبة لـ .
الدليل. النتيجة تتبع من [13، النظرية 3″] لـ وبواسطة [14، النظرية 2] لـ .
ملاحظة 2.3. لاحظ أن هو حل غير سالب لـ (1.2) مع إذا وفقط إذا هو حل كلاسيكي غير سالب يتلاشى عند اللانهاية. في الواقع، إذا هو حل لـ (1.2)، من خلال تقدير شودر القياسي وعدم المساواة هارناك، يمكننا أن نرى أن وهو يتلاشى عند اللانهاية. وعلى العكس، يمكن رؤية أن أي حل كلاسيكي غير سالب لـ (1.2) حيث الذي يختفي عند اللانهاية له انحسار أسي وبالتالي ينتمي إلى . على وجه الخصوص، فإن استنتاجات اللمّا 2.2 تنطبق على الحلول غير السلبية لـ (1.2) مع التي تنتمي إلى .
دعونا نقدم الآن بعض نتائج عدم الوجود للحلول غير السلبية.
النظرية 2.4. دع وافترض أن ، حيث يدل على . ثم (1.2) ليس له حل كلاسيكي غير تافه وغير سالب إذا كان .
برهان. إذا النتيجة تتبع مباشرة من [9، النظرية 5]. إذا النتيجة تتبع من [2، النظرية 2.8] وإذا من [2، النظرية 2.1].
لدينا أيضًا نتيجة عدم الوجود عندما ، التي توفر شروطًا كافية لتحقيق (G3).
النظرية 2.5. ليكن و كن على هذا النحو،
(ط) إذا كان أو افتراض أن إذا لا يوجد حل كلاسيكي غير تافه وغير سالب عندما .
(ii) إذا افتراض أن و في لا يوجد حل كلاسيكي شعاعي غير سالب غير تافه عندما .
برهان. (ط) لنفترض أن هو حل كلاسيكي لـ (1.2) مع . ثم من (2.1) واستخدام الحقيقة أن ينتمي إلى يمكننا العثور على ثابت بحيث
في هذه المرحلة، وفقًا لافتراضنا حول تتبع النتيجة من [31، النظرية 8.4].
(ii) نلاحظ أولاً أنه إذا هو حل شعاعي، ثم إيجابي في بموجب مبدأ الحد الأقصى وهو يحل
أيضًا، يقل بالنسبة لـ . بالتأكيد،
يعني أن . لذا، يتناقص في . بواسطة 0 ، نرى أن لـ . لذا، لـ . هذا يعني أن يوجد ومنذ
لدينا ذلك أي،
تعرف دالة بوهوزاييف المقابلة بـ
إنه من الفئة ويُرضي يوضح حساب مباشر أن
لذا، بناءً على افتراضنا في نرى أن غير متناقص في .
دعونا الآن نثبت أن . إنه ينطبق على . افترض أن هناك بعض بحيث
بواسطة نحصل على أن
أي، غير متزايد في . لذا
لـ ، منذ إيجابي، لدينا
دع ، منذ نحصل على تناقض. ومن ثم، للجميع وهكذا
باستخدام الحقيقة يتناقص في يتبع من (2.2) و (2.4) أن
منذ تحت افتراضنا على يوجد ثابت بحيث لجميع . وبالتالي، باستخدام (2.5)، نحصل على أن
ثم بموجب (2.4)، لدينا أن
لذا من (2.3)، (2.5)-(2.7) ونظرًا لـ نستنتج أن
ومن ثم، فإن أحادية الاتجاه لـ يعني أن وهكذا في . أي
وفقًا لقواعد المستشفى، يمكن أن تؤدي (2.6) و(2.8) إلى
مما يعني أن تناقض.
نظرًا لنظريتي 2.4 و 2.5 للبحث عن حلول شعاعية موجبة لـ (1.2) في سنركز على الحالة التي .
أخيرًا، للرجوع إليها في المستقبل، نذكر اقتراحًا ونتذكر بعض النتائج الكلاسيكية.
الاقتراح 2.6. دع . ثم يوجد حل شعاعي إيجابي فريد إلى
علاوة على ذلك، فإن خطية (2.9) عند لديه نواة فارغة في .
الدليل. هذه النتائج تتبع من النتائج المقابلة الواردة في [26] حول الحل الإيجابي الفريد إلى
بعد أن لوحظ أن هو حل إيجابي لـ (2.10) إذا وفقط إذا هو حل إيجابي لـ (2.9).
التعريف 2.7. (انظر [16، التعريف 1]). دع كن مجموعة مفتوحة غير فارغة من فضاء باناش و افترض نقطة حاسمة من على مستوى ما نقول أن هو من نوع ممر الجبال (mp-type) إذا كانت لجميع الأحياء المفتوحة من الفضاء الطوبولوجي غير فارغ وليس متصلًا بالطريق.
ثم لدينا، انظر [16، النظرية 2].
النظرية 2.8. نفترض أن الشرط ( ) امسك:
دع كن فضاء هيلبرت حقيقي و واعتبر التدرج من لديه شكل الهوية-المضغوط. علاوة على ذلك، افترض أنه بالنسبة لجميع النقاط الحرجة من القيمة الذاتية الأولى من الخطية في بسيط بشرط .
ثم، إذا نقطة حرجة معزولة لـ من نوع mp، الدرجة المحلية في هو -1 .
أخيرًا، نذكر النتيجة التالية، التي تعود إلى ليراي-شودر، انظر [1، نظرية 4.3.4].
الاقتراح 2.9. افترض أن هو فضاء باناش حقيقي، هي مجموعة مفتوحة محدودة من و يتم إعطاؤه بواسطة مع خريطة مضغوطة. افترض أيضًا أن
إذا
ثم يوجد مجموعة متصلة مدمجة بحيث
هنا
و يدل على -شريحة من ، أي

3. حدود أولية ونتائج الانضغاط

لـ نحن نحدد المجموعة
وتذكر أن يمثل فضاء الدوال الشعاعية المستمرة التي تتلاشى عند اللانهاية. نظرًا للملاحظة 2.3، .
اللمّا 3.1. دع وافترض أن (G1)-(G2) صحيحتان.
(ط) لأي يوجد بحيث، لأي حل غير سالب إلى (1.2) مع ،
(ii) دع . ثم المجموعة مضغوط في .
برهان. (ط) نبدأ بالتناقض، مفترضين وجود تسلسل أين هو الحل لـ (1.2) مع و
نتبع إجراء الانفجار الذي قدمه جيداس وسبروك [15]. دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن . الآن نقوم بإعادة القياس، مع تعيين وتعريف بواسطة
ثم و
إذا ، منذ و مستذكرين Lemma2.1-(ii)، نرى أن
إذا لدينا أيضًا ذلك
نلاحظ أيضًا أن لذا، من خلال تطبيق تقديرات إهليلجية قياسية، والانتقال إلى سلسلة فرعية إذا لزم الأمر، يمكننا أن نفترض أن في ، حيث هو حل شعاعي غير تافه وغير سالب ومحدود لـ
في هذه المرحلة، يوفر النظرية 2.5 تناقضًا.
(ii) لاحظ أن المجموعة المحدودة يكون مضغوطًا مسبقًا إذا وفقط إذا هو مستمر متساوي على المجموعات المحدودة ويتلاشى بشكل موحد عند اللانهاية. أولاً، من خلال حجة انتظام قياسية يمكننا التحقق من أن المجموعة محدود في لإثبات الانخفاض المتجانس، نتجادل بالتناقض ونفترض أنه يوجد يمكن افتراضه بأنه صغير بشكل تعسفي، و
تسلسلات و بحيث و يحل (1.2) مع . ضع ثم
الانتقال إلى التتابعات (لا تزال تُرمز بـ و ) ثم أخذ الحدود، نحصل على أن وأن يتقارب إلى حل غير تافه للمعادلة التالية
مع ومحدود. بموجب اللممة 2.2، يتناقص في وهكذا محدود ويتناقص في . لذا، له حد عند وحدود عند . على وجه الخصوص، و . هنا يُرضي
منذ محدود بعيدًا عن 0، لدينا أن تحت الافتراض (G2)، أخذ أصغر إذا لزم الأمر، يمكننا أن نفترض أن لـ ، مما يعني أن . ضع و . مع الإشارة إلى أن و لدينا ذلك
تحت الافتراضات (G1)-(G2)، وفقًا لـ [9، النظرية 5]، يوجد حل فريد (حتى الترجمة) إلى المعادلة التالية
دون فقدان العمومية، نفترض أن ثم
أين يتم تحديده بواسطة
انظر [9. النظرية 5] مرة أخرى. من خلال اختيارنا لـ نرى أن ، وبالتالي . لذا يوجد بعض بحيث . الآن، نترك ثم
علاوة على ذلك، مع الإشارة إلى أن وبتطبيق حجة مشابهة لتلك في (3.3)، نستنتج أن
لذا، كلاهما “ و حل
من خلال تميز حلول مشكلة القيمة الابتدائية، نستنتج في . وبالتالي،
تناقض مع .
النتيجة 3.2. دع ولنفترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. دع . ثم المجموعة مضغوط في .
برهان. بموجب اللمحة 3.1-(ii)، المجموعة مضغوط في . لذلك، من (G2)، يمكننا العثور على بعض كبير لدرجة أن
ثم يتبع ذلك أن
والجمع بين التCompactness في يوجد بعض لكي
استذكار Lemma3.1-(ii)، يمكننا تعديل بحيث
الذي منه تحدد الحدود لـ في يتبع. الآن، لأي تسلسل يمكننا أن نفترض أن في و . على وجه الخصوص، هو حل شعاعي إيجابي لـ
ملاحظًا أن Lemma2.1-(ii) تشير إلى أن ، من خلال الانخفاض الأسي الموحد لـ ونظرًا لنظرية التقارب المهيمن لليبغ، نلاحظ أن
ومن ثم، من (3.8)-(3.9)، نحصل على أن
مستذكرًا أن في (3.10) يعني أن في . أي أن مضغوط في .
للمرجع المستقبلي نلاحظ أيضًا
اللمّا 3.3. دع وافترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. لأي دع يتم إعطاؤه بواسطة (3.1). ثم يوجد بعض بحيث
برهان. بما أن أي ، يحل (1.2) لبعض باستخدام اللمّا 2.1-(ii)،
مما يعني وجود .

4. السلوكيات التقاربية للحلول الإيجابية لـ و

٤.١. حالة “ .

اللمّا 4.1. دع ولنفترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. دع كن حلولًا إيجابية لـ (1.2) مع . ثم
برهان. يتبع ذلك من اللمحة 3.1-(i).
اللمّا 4.2. دع ولنفترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. دع كن حلولًا إيجابية لـ (1.2) مع . ثم
علاوة على ذلك، إذا كانت (G3) صحيحة، فإن
برهان. لأي تسلسل ( ) مع و
بفضل اللمحة 4.1 وثبات (1.2) تحت الترجمة، يمكننا أن نفترض أن . إعدادات
لدينا و
من خلال حجج الانتظام القياسية، هو حل كلاسيكي لـ (1.2). أخذ نحصل على
لذا،
افترض الآن أن . منذ في (4.2)، بالانتقال إلى سلسلة فرعية، يمكننا أن نفترض أن في مع و دالة شعاعية متناقصة محدودة غير سالبة تحل
ومن ثم، من (G3)، نحصل على أن تناقض مع .
اللمّا 4.3. دع ولنفترض أن (G1)-(G3) صحيحة. دع كن حلولًا إيجابية لـ (1.2) مع . ثم
برهان. نحن نناقش عن طريق التناقض ونفترض أن هناك تسلسلاً الحلول الإيجابية لـ (1.2) مع بحيث
دون فقدان العمومية، نفترض أن . الإعدادات
لدينا و
نظرًا للنتائج 2.1 و 4.1، فإن الجانب الأيمن من (4.4) هو في لذا، إذا لزم الأمر، يمكننا الانتقال إلى سلسلة فرعية، يمكننا أن نفترض أن في باستخدام (4.1)، نحصل على أن هو حل محدود غير سالب لـ
هنا مرة أخرى، يوفر النظرية 2.5 تناقضًا لـ .
اللمّا 4.4. دع ولنفترض أن (G1)-(G3) صحيحة. دع كن حلولاً شعاعية إيجابية لـ (1.2) مع . تعريف
ثم كـ بشكل موحد في .
برهان. بموجب اللمتين 4.2 و 4.3، يمكننا أن نفترض، حتى في حالة وجود تسلسل فرعي، أن
خذ صغير بحيث . نحن نجادل بالتناقض ونفترض أن هناك تسلسلاً موجوداً بحيث . عن طريق تغيير الأصل إلى وعند الانتقال إلى الحد، نحصل على حل غير تافه من المعادلة التالية،
مع ومحدود. من اللممة 2.2، نحصل على أن يتناقص على . لذا، له حد عند وحدود عند . على وجه الخصوص، حل
لذا بواسطة نحصل على أن و . ثم، نظرًا لأننا من (4.6) لدينا أن على بالضرورة واستخدام ذلك مرة أخرى على نواجه تناقضًا مع حقيقة أن محدود.
النظرية 4.5. (السلوك بمعنى كـ ) دع ولنفترض أن (G1)-(G3) صحيحة. دع كن حلولاً شعاعية إيجابية لـ (1.2) مع . تعريف
وإذا لزم الأمر الانتقال إلى سلسلة فرعية، فإن لدينا في كـ ، حيث مُعطى بواسطة النظرية 1.3
برهان. من اللمتين 4.2 و 4.3، لدينا
ملاحظًا أن يحل المعادلة
من خلال حجة الانتظام القياسية، من السهل أن نرى أن هو مستمر متساوي على المجموعات المحدودة. من ناحية أخرى، نلاحظ أن ، حيث يتم إعطاؤه بواسطة (4.5). لذا،
بواسطة Lemma4.4 و (4.8)، نرى أن يتحلل إلى 0 بشكل موحد عند . لذا، مضغوط مسبقًا في إذا لزم الأمر، يمكننا الانتقال إلى سلسلة فرعية، يمكننا أن نفترض أن أين يحل (1.5) مع .
من أجل تطبيق هذه النتائج على دراسة وجود حلول ذات كتلة محددة، نحتاج أيضًا إلى توضيح سلوك هذه الحلول في كـ .
النظرية 4.6. (السلوك بمعنى كـ ) دع ولنفترض أن (G1)-(G3) صحيحة. دع و سيتم إعطاؤه بواسطة النظرية 4.5 ثم لدينا أيضًا
برهان. يمكننا إعادة كتابة (4.9) كـ
من خلال برهان النظرية 4.5، نعلم أن مضغوط مسبقًا في . لذلك، في ضوء اللمّا 2.1، يمكننا أن نجد بعض كبير بما يكفي بحيث
ثم لدينا
يتبع ذلك من مبدأ المقارنة، ونظرًا لذلك، انظر النظرية 4.5، في يمكن للمرء أن يجد بعض بحيث
من ناحية أخرى، وفقًا لل lemma 2.1-(i)،
مما يعني أن محدود في دون فقدان العمومية، نفترض أن في من خلال نظرية التقارب المهيمن لليبيغ، نرى أن
علاوة على ذلك، نظرًا لأن مضغوط مسبقًا في و ، بموجب Lemma2.1-(i)، لدينا أن
لذا يحل
لذا وهكذا
مما يعني أن في .

٤.٢. حالة “ .

اللمّا 4.7. دع ولنفترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. دع كن حلولًا إيجابية لـ (1.2) مع . ثم
و
برهان. من خلال الانتظام، لأي ثابت وقد نفترض أن . نحن نسمح يتم إعطاؤه كما في برهان اللمحة 4.2 وبالتالي فإن (4.3) صحيح. أخذ ، بموجب اللمحة 2.1، نحصل على أن
منذ و ، نحصل على (4.10). علاوة على ذلك، إذا كان ، (4.11) يحمل بشكل تافه. إذا كان ، بموجب اللمحة 2.1-(ii)، ، ونحصل أيضًا على (4.11).
اللمّا 4.8. دع ولنفترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. دع كن حلولًا إيجابية لـ (1.2) مع . ثم
برهان. كما في برهان اللمّة 4.3، نتناقش عن طريق التناقض ونفترض أن هناك سلسلة الحلول الإيجابية لـ (1.2) مع بحيث
دون فقدان العمومية، نفترض أن . إعدادات
لدينا و
بموجب اللمّا 2.1، فإن الجانب الأيمن من (4.12) هو في بالانتقال إلى الحد، يمكننا أن نفترض أن في أين هو حل محدود غير سالب لـ
مرة أخرى هنا، يتعارض النظرية 2.5 .
النظرية 4.9. (السلوك بمعنى كـ دع ولنفترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. دع كن حلولاً شعاعية إيجابية لـ (1.2) مع . تعريف
وإذا لزم الأمر الانتقال إلى سلسلة فرعية، فإن لدينا في كـ ، حيث مُعطى بواسطة النظرية 1.3
برهان. من اللمتين 4.7 و 4.8، نرى أن
مما يعني محدود بشكل موحد في . نلاحظ أن يحل
إذا ، بموجب اللمحة 2.1 و لدينا ذلك
مما يعني أن الجانب الأيمن من (4.15) هو في . إذا ومع ذلك، وفقًا لل lemma 2.1، لدينا أن
الجانب الأيمن من (4.15) هو أيضًا من . وبالتالي، استنادًا إلى التقديرات البيضاوية القياسية، يمكننا أن نفترض أن في . لذا، هو مستمر متساوي على المجموعات المحدودة. أيضًا، من خلال المتابعة تمامًا كما في إثبات اللمحة 4.4 يمكننا التحقق من أن يتحلل إلى 0 بشكل موحد عند . لذا، مضغوط مسبقًا في و في أين يحل (1.6).
الآن، من خلال تكييف برهان النظرية 4.6 بطريقة مباشرة، لدينا أيضًا
النظرية 4.10. (السلوك بمعنى كـ دع ولنفترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. دع و سيتم إعطاؤه بواسطة النظرية 4.9. ثم لدينا أيضًا
الآن يمكننا أن نعطي
إثبات النظرية 1.3 (1) نظرًا لل lemma 2.2 والملاحظة 2.3 يمكننا أن نفترض دون قيود أن هو دالة شعاعية. دع يتم تعريفه بواسطة (4.7). وبالتالي، مع ملاحظة أن
وإذ نتذكر، انظر النظرية 4.6، أن في كـ وبذلك، تتبع النتيجة.
(ii) بالمثل، لـ المحدد بواسطة (4.14)، لدينا
منذ في كـ انظر النظرية 4.10، وبالتالي يتبع الاستنتاج.

5. الخصوصية المحلية للحلول الإيجابية

في هذا القسم، نثبت تفرد الحلول الإيجابية لـ (1.2) بشرط صغيرًا أو كبيرًا بما فيه الكفاية. ستساعدنا الخصوصية في إثبات أن المجموعة المكونة من مع صغير، هو في الواقع منحنى في القسم 6. بشكل أكثر دقة،
النظرية 5.1. دع وافترض أن (G1)-(G2) صحيحة. ثم (1.2) لديها على الأكثر حل إيجابي واحد لـ كبير بما فيه الكفاية. إذا كان (G3) صحيحًا أيضًا، فإنه ينطبق أيضًا على صغير بما فيه الكفاية.
برهان. (ط) نبدأ أولاً بالنظر في الحالة حيث صغيرة. نحن نجادل بالتناقض ونفترض أن هناك عائلتين من الحلول الإيجابية. و إلى (1.2) مع . دع
ثم هناك عائلتان من الحلول الشعاعية الموجبة لـ
بموجب النظريتين 4.5 و 4.6،
ندرس التطبيع
بموجب اللمّا 2.1 ونظرية القيمة المتوسطة، لأي يوجد بعض بحيث
لذا لدينا ذلك
استذكار اللمّا 4.4، والحقائق التي و في يمكن للمرء أن يرى أن الجانب الأيمن من (5.1) هو في . ومن ثم، إذا لزم الأمر، يمكننا الانتقال إلى سلسلة فرعية، يمكننا أن نفترض أن في ، حيث هو دالة محدودة شعاعياً تلبي
منذ تشير التقديرات البيضاوية القياسية إلى أن هو حل قوي. ثم من خلال تحلل ومن خلال تطبيق مبدأ المقارنة، نحصل على أن يتناقص بشكل أسي إلى 0 كما . لذا، في هذه المرحلة، توفر الفرضية 2.6 تناقضًا.
(ب) الآن، نعتبر حالة كبير. نحن نناقش أيضًا عن طريق التناقض ونفترض وجود عائلتين من الحلول الإيجابية. و إلى (1.2) مع . دع
ثم هناك عائلتان من الحلول الإيجابية للمشكلة
بموجب النظريتين 4.9 و 4.10،
نحن نعتبر أيضًا التطبيع
تظهر حسابات مباشرة أنه يوجد بعض بحيث
بموجب اللمّا 2.1-(iv)، إذا لدينا
مما يعني أن الجانب الأيمن من (5.2) هو في بواسطة و في . من ناحية أخرى، إذا كان ،
لذا بواسطة ،
باستخدام الحقائق التي و في نرى أن الجانب الأيمن من (5.2) هو في . ومن ثم، بالانتقال إلى سلسلة فرعية يمكننا أن نفترض أن في ، حيث هو دالة محدودة شعاعياً تلبي
كما هو الحال في صغير، الاقتراح 2.6 يقدم تناقضًا.

6. وجود منحنى للحلول الإيجابية لـ صغير.

في هذا القسم نثبت وجود منحنى للحلول الإيجابية لـ (1.2) عندما صغير. في الحالة الخاصة لـ نثبت أن هذه المنحنى عالمي. سنستخدم النتائج الكلاسيكية المذكورة أدناه.
الاقتراح 6.1. دع وافترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. لأي يوجد حل شعاعي موجب إلى (1.2) الذي، كأي حل لـ (1.2)، يحقق هوية بوهوزايف
علاوة على ذلك، تعريف الوظيفة بواسطة
لدينا
أين
على وجه الخصوص،
برهان. في [9] لـ وفي [8] لـ تم إثبات وجود حل بأقل عمل للمعادلة (1.2) تحت افتراضات عامة جدًا تُحقق تحت (G1)-(G2) ويفترض أن غريب. لاحقًا في [25]، لـ وفي [24] لـ تم تحديد توصيف ممر الجبال لهذا الحل الأقل عمل. دعنا نتحقق من أن هذه النتائج تنطبق أيضًا على غير خطيتنا. وهو ليس غريبًا. من الواضح أن الحل تم الحصول عليه عن طريق الاستبدال بواسطة مع
كونه غير سالب هو أيضًا حل أقل عمل للدالة. . الآن، لاحظ أنه منذ يُفيد أن
لذا، تذكّر، انظر [25، 24] أنه، لأي حل إيجابي لأقل فعل، يوجد مسار مُرضٍ
بحيث للجميع نستنتج أن توصيف ممر الجبال المقدم في (6.2)-(6.3) محفوظ حتى لو ليس غريبًا. أخيرًا، نلاحظ أن (6.4) يتبع مباشرة من دمج (6.1) و(6.2).
مستذكرين أن تعريف النقطة الحرجة من نوع mp مُعطى في التعريف 2.7، لدينا
اللمّا 6.2. دع وافترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. أي حل إلى (1.2) الذي يفي بـ هو من نوع mp.
برهان. لن كن نقطة حاسمة في مع نحتاج إلى إظهار أنه: لأي حي مفتوح من المجموعة
غير فارغ وليس متصلًا بالطريق.
منذ مفتوح، يحتوي على كرة أين
باستخدام [23، ليمما 4.1] مع و ثابت تعسفي، نستنتج أنه يوجد ثابت وطريق مستمر مُرضٍ
(ط) ؛
(ii) لبعض ، و
لأي بحيث .
لاحظ أنه بعد إعادة المعايرة، يمكننا أن نفترض لنكون 1. نحن نصلح بحيث
النقاط و تنتمي إلى ولا يمكن توصيله داخل المجموعة . في الواقع، افترض أنهم يمكن أن يتصلوا بـ مع و . ثم، بالنظر إلى الطريق
كنا سنحصل على ذلك مع
في تناقض مع تعريف .
الملاحظة 6.3. يمكن إثبات خاصية أن أي حل أقل عمل من المعادلات العامة التي تم النظر فيها في [9، 8] هو من نوع mp تمامًا كما في lemma 6.2.
العبارة 6.4. دع وافترض أن (G1)-(G3) صحيحة. يوجد بعض صغير، بحيث لأي لها حل إيجابي فريد . علاوة على ذلك، الخريطة مستمر. أي، هو منحنى في .
برهان. من خلال دمج الاقتراح 6.1 والنظرية 5.1 نرى أن هناك حلاً إيجابياً فريداً إلى (1.2) المقدمة صغير بما فيه الكفاية. لـ ، مباشرة تحت (G1)-(G2)، يتبع النتيجة من [19، نتيجة 3.5]، انظر أيضًا [33، ليمما 19]. هنا، بافتراض بالإضافة إلى ذلك أن (G3) holds، نقدم برهانًا لأي . تحت (G1)-(G2) يمكننا أن نجد بعض وبعض بحيث
عندما يكون (G3) صحيحًا، وفقًا لل lemma 4.2، لدينا
لذا يمكننا أن نجد بعض بحيث
لأي سنثبت أن مستمرة عند “، وهي أنه لأي تسلسل لدينا أن في دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن
ملاحظًا أن يُرضي
نحصل، من خلال دمج (6.7) مع (6.1) و(6.4)-(6.6)، على
لذا،
حيث استخدمنا حقيقة أن غير متناقص بسبب توصيف ممر الجبل (6.2)-(6.3). لذا نستنتج أن محدود في . الآن، من خلال التضمين المضغوط لـ إلى واستخدام معادلة يمكننا أن نثبت أن مضغوط في . ومن ثم، حتى تتبع لاحق في ، حيث هو حل إيجابي لـ (1.2) مع . ثم تعني الخصوصية أن . أي، الخريطة مستمرة عند .
ملاحظة 6.5. من الواضح أن استنتاج ليمّا 6.4 يمكن أن يُمدد ليشمل جميع إذا كانت خصوصية الحلول الإيجابية معروفة. ومع ذلك، لاحظ أن
(ط) مشكلة اشتقاق الشروط على الذي يضمن أن (1.2) له حل إيجابي فريد، قد تم دراسته بشكل موسع. من المعروف أن التفرد ينطبق فقط على بعض الفئات المحددة من غير الخطية. نشير إلى [26، 27، 30] والمراجع هناك في هذا الاتجاه.
(ii) نلاحظ أيضًا أن تفرد الحل الإيجابي عمومًا ليس صحيحًا. في [12]، بافتراض مع قريب من 5 كبير بما فيه الكفاية، أثبت المؤلفون أن (1.2) يمتلك على الأقل ثلاث حلول إيجابية مختلفة.
نحن الآن نركز على حالة . ثم يُعرف، انظر [9، نظرية 5] أو [24، نظرية 1.2]، أنه لأي يوجد حل فريد في إلى (1.2) وأن هذه الحل، حتى ترجمة الأصل، هي دالة إيجابية متزايدة (شعاعية) تناقصية. ستكون النتيجة التالية حاسمة في إثبات النظرية 1.2 عندما .
النظرية 6.6. دع وافترض أن (G1)-(G2) صحيحتان. لأي دع تشير إلى الحل الفريد لـ (1.2) في . ثم الخريطة مستمر من إلى . على وجه الخصوص متصل.
برهان. لأي سنثبت أن مستمرة عند “، وهي أنه لأي تسلسل لدينا أن في . نحن نُدعي أن محدود في حدود هو نتيجة مباشرة لـ (6.4) ولفكرة أن غير متناقص. لإثبات حدودية نحن نحدد، لأي ثابت ، وتذكر، انظر [9، النظرية 5] أن
أين هو القيمة الفريدة التي من أجلها لـ و . هنا .
منذ لدينا أن . ومن ثم
مستذكرًا أن يجب أن تلبي هوية بوهوزايف، أي،
نستنتج، من خلال دمج (6.8) و (6.9)، أن
لذا، محدود أيضًا. تسلسل الحلول محدود. تذكير بأن لكل هي دالة متناقصة، ومن خلال الاستفادة من [11، الاقتراح 1.7.1]، نستنتج أن مضغوط في . ثم يرى المرء أن في حتى تتبع، حيث هو حل إيجابي لـ (1.2) مع كما في برهان اللمحة 6.4، فإن تفرّد الحلول الإيجابية يسمح بالاستنتاج.

7. الفروع العالمية للحلول الإيجابية

عندما لقد أظهرنا في النظرية 6.6 تحت (G1)-(G2) أنه، لأي الحل الإيجابي الفريد من (1.2) يقع على منحنى عالمي. في هذا القسم، تحت (G1)-(G3)، نوضح أنه عندما المنحنى المحلي، الذي تم إثبات وجوده في اللمّة 6.4، ينتمي إلى مكون متصل من مجموعة الحلول الإيجابية، والتي تحتوي على حل إيجابي لكل . دع
نحن نعرف كجزء متصل من تحتوي على الحلول ( ) لـ . دلالة على الإسقاط على -المكون، سنثبت أن للوصول إلى هذا الاستنتاج، نقوم بإعادة صياغة (1.2) إلى مشكلة نقطة ثابتة. من أجل ثابت، القاعدة ، المحدد بـ
يعادل القاعدة المعتادة تدرج فيما يتعلق بـ يمكن حسابه على أنه
سنطبق حجج نظرية الدرجات الكلاسيكية على المعادلة
بعض التحضيرات ضرورية.
اللمّا 7.1. دع وافترض أن (G1)-(G2) صحيحة. المشغل هو مستمر تمامًا.
برهان. نحتاج إلى إثبات أن يحوّل أي مجموعة محدودة إلى مجموعة شبه مدمجة. سنعمل على مع القاعدة . دع كن تسلسلاً محدودًا. من خلال التضمين المدمج يوجد عدد غير سالب بحيث، الانتقال إلى تسلسل فرعي إذا لزم الأمر،
دع أي،
عندما ، تحت الافتراضات (G1)-(G2)، لأي يوجد بحيث
الاختبار (7.2) مع ، بواسطة عدم المساواة هولدر وعدم المساواة سوبوليف الحرجة، لدينا
مما يعني أن محدود. على افتراض أن في ، يتبع ذلك أن هو حل ضعيف غير سالب لـ
الآن، من خلال دمج (7.1) واللما 2.1-(ii)، نستنتج، بطريقة قياسية، أن
ثم بواسطة (7.2)، (7.4)-(7.5)، لدينا أن
مما يعني أن في . عندما نحن نأخذ في (7.3) التي تلبي . لا يزال بإمكاننا الكتابة باستخدام عدم المساواة لهولدر وتضمين سوبوليف.
وبقية الإثبات تسير كما عندما .
نذكر أن مؤشر النقطة الثابتة المحلية يُعرَف بأنه
أين صغير، يدل على -حي في ، و deg يدل على درجة ليراي-شودر. وهي معرفة بشكل جيد عندما هو نقطة ثابتة معزولة من في .
العبارة 7.2. دع ولنفترض أن (G1)-(G3) صحيحة. دع يتم إعطاؤه بواسطة اللمّا 6.4 لـ دع كن الحل الإيجابي الفريد لـ (1.2). ثم يكون صحيحًا .
برهان. تتابع اللمّا مباشرة من النظرية 2.8، دعنا نوضح أن الشرط ( ) راضٍ. دعنا نرمز بـ القيمة الذاتية الأولى لـ و دالة eigen مرتبطة، وهي
نفترض أن وحدد نحصل على أن هو على هذا النحو
باختيار تدل (6.5)-(6.6) بسهولة على أن مشكلة القيم الذاتية
يمتلك أصغر قيمة ذاتية موجبة . علاوة على ذلك، نظرًا لأن كـ ، من أجل صغير بما يكفي، فإنه يحمل ذلك في . ثم من المعتاد أن يظهر أن هو قيمة ذاتية بسيطة. وبالتالي، بما أن الشرط ( ) يحتفظ. أيضًا، من خلال اللممة 6.2 نعلم أن النقطة الحرجة الفريدة هو من نوع mp. أخيرًا، نظرًا لـ هي منحنى، الاستنتاج ينطبق على الجميع .
العبارة 7.3. دع وافترض أن (G1)-(G3) صحيحة. ثم .
برهان. نفترض بالتناقض أن هناك بحيث . دع و بالنظر إلى النتيجة 3.2 واللما 3.3، توجد ثوابت موجبة اثنان بحيث
نحن نحدد
و
نستخدم أيضًا الرمز لـ -شريحة من أي
نلاحظ أن
إنه، إذا ، ثم هو إيجابي بموجب المبدأ الأقصى. وبالتالي و(7.6) صحيح. في هذه المرحلة، نطبق الاقتراح 2.9 مع و مُعرّف كما هو مذكور أعلاه. لاحظ أن الافتراض يمسك لأننا نعلم من اللمّا 7.2 أن نستنتج أن المجموعة المتصلة المدمجة المقدمة من الاقتراح 2.9 تلبي
لأن بالضرورة يتزامن مع ، هذا يتعارض مع افتراضنا أن . تم إثبات اللمّة.

8. التطبيق على الوجود، والعدم، وكثرة الحلول الإيجابية المُعَيارَة.

في هذا القسم نقدم برهان نتيجتنا الرئيسية.
برهان النظرية 1.2: دعونا نقدم الدالة
(ط) بموجب اللمحة 7.3 لـ والنظرية 6.6 لـ يوجد مجموعة متصلة مع استذكار النظرية 1.3، هناك مع و “. بالمثل، توجد مع و . منذ مرتبط، يتبع ذلك على.
(vi) كما في برهان (i)، لدينا أن ، وتأتي النتيجة من النظرية 1.3.
(ii) بواسطة
نرى أنه بالنسبة لأي يمتلك (1.2) على الأقل حلاً موحدًا واحدًا مع و استذكار النظرية 5.1، فإن (1.2) له حل فريد لـ صغير أو كبير بما فيه الكفاية. لذا لأي يوجد بعض صغير بما فيه الكفاية و كبير بما يكفي بحيث
من ناحية أخرى، من خلال النتيجة 3.2 واللما 3.3، يمكننا أن نجد بعض بحيث
لذا، يمكننا أن نأخذ
ثم لأي لا يوجد حل موحد إيجابي لـ (1.2)-(1.3).
(iii) نحن نثبت فقط (iii-1). بواسطة
بتطبيق حجة مشابهة لـ (ii)، يمكننا إثبات أن (1.2)-(1.3) لديها على الأقل حل واحد مُعَيَّر. ) مع و إذا “. وهناك بعض بحيث لا يوجد حل موحد موجب لـ (1.2)-(1.3) بشرط . هذا ينهي إثبات (iii-1). يمكن إثبات حالة (iii-2) بطريقة مشابهة.
(٥) نحن نثبت فقط (٥-١). بواسطة
يمكننا إثبات ذلك بطريقة مشابهة لـ (iii-1).
(iv) نحن نثبت فقط (iv-1). في هذه الحالة، لدينا كلاهما كـ وكما . تعريف
ثم يوجد بعض مع . ثم لأي ، هناك بعض و بحيث
أي، بالنسبة لأي “، (1.2)-(1.3) لديها على الأقل حلين مقياسين مختلفين ) مع و . علاوة على ذلك، من خلال تطبيق حجة مشابهة لما هو مذكور في (ii)، يمكننا العثور على بعض بحيث لا يوجد حل موحد موجب لـ (1.2)-(1.3) بشرط يمكن إثبات حالة (iv-2) بطريقة مشابهة. نلاحظ فقط أنه في مثل هذه الحالة، كلاهما كـ و .

References

[1] A. Ambrosetti and D. Arcoya. An introduction to nonlinear functional analysis and elliptic problems, volume 82 of Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2011.
[2] Scott N. Armstrong and B. Sirakov. Nonexistence of positive supersolutions of elliptic equations via the maximum principle. Comm. Partial Differential Equations, 36(11):2011-2047, 2011.
[3] T. Bartsch and S. de Valeriola. Normalized solutions of nonlinear Schrödinger equations. Arch. Math. (Basel), 100(1):75-83, 2013.
[4] T. Bartsch, L. Jeanjean, and N. Soave. Normalized solutions for a system of coupled cubic Schrödinger equations on . J. Math. Pures Appl. (9), 106(4):583-614, 2016.
[5] T. Bartsch and N. Soave. A natural constraint approach to normalized solutions of nonlinear Schrödinger equations and systems. J. Funct. Anal., 272(12):4998-5037, 2017.
[6] T. Bartsch and N. Soave. Correction to: “A natural constraint approach to normalized solutions of nonlinear Schrödinger equations and systems” [J. Funct. Anal. 272 (12) (2017) 4998-5037] [ MR3639521]. J. Funct. Anal., 275(2):516-521, 2018.
[7] T. Bartsch, X. X. Zhong, and W. M. Zou. Normalized solutions for a coupled Schrödinger system. Math. Ann., 380(3-4):1713-1740, 2021.
[8] H. Berestycki, T. Gallouët, and O. Kavian. Équations de champs scalaires euclidiens non linéaires dans le plan. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 297(5):307-310, 1983.
[9] H. Berestycki and P.-L. Lions. Nonlinear scalar field equations. II. Existence of infinitely many solutions. Arch. Rational Mech. Anal., 82(4):347-375, 1983.
[10] B. Bieganowski and J. Mederski. Normalized ground states of the nonlinear Schrödinger equation with at least mass critical growth. J. Funct. Anal., 280(11):Paper No. 108989, 26, 2021.
[11] T. Cazenave. Semilinear Schrödinger equations, volume 10 of Courant Lecture Notes in Mathematics. New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
[12] J. Dávila, M. del Pino, and I. Guerra. Non-uniqueness of positive ground states of non-linear Schrödinger equations. Proc. Lond. Math. Soc. (3), 106(2):318-344, 2013.
[13] B. Gidas, W. M. Ni, and L. Nirenberg. Symmetry and related properties via the maximum principle. Comm. Math. Phys., 68(3):209-243, 1979.
[14] B. Gidas, W. M. Ni, and L. Nirenberg. Symmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in . In Mathematical analysis and applications, Part A, volume 7 of Adv. Math. Suppl. Stud., pages 369-402. Academic Press, New York-London, 1981.
[15] B. Gidas and J. Spruck. Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations. Comm. Pure Appl. Math., 34(4):525-598, 1981.
[16] H. Hofer. A note on the topological degree at a critical point of mountainpass-type. Proc. Amer. Math. Soc., 90(2):309-315, 1984.
[17] N. Ikoma and K. Tanaka. A note on deformation argument for normalized solutions of nonlinear Schrödinger equations and systems. Adv. Differential Equations, 24(11-12):609-646, 2019.
[18] L. Jeanjean. Existence of solutions with prescribed norm for semilinear elliptic equations. Nonlinear Anal., 28(10):1633-1659, 1997.
[19] L. Jeanjean. Some continuation properties via minimax arguments. Electron. J. Differential Equations, pages No. 48, 10, 2011.
[20] L. Jeanjean and T. T. Le. Multiple normalized solutions for a Sobolev critical Schrödinger equation. Math. Ann., 384(1-2):101-134, 2022.
[21] L. Jeanjean and S. S. Lu. Nonradial normalized solutions for nonlinear scalar field equations. Nonlinearity, 32(12):4942-4966, 2019.
[22] L. Jeanjean and S. S. Lu. A mass supercritical problem revisited. Calc. Var. Partial Differential Equations, 59(5):Paper No. 174, 43, 2020.
[23] L. Jeanjean and S. S. Lu. On global minimizers for a mass constrained problem. Calc. Var. Partial Differential Equations, 61(6):Paper No. 214, 18, 2022.
[24] L. Jeanjean and K. Tanaka. A note on a mountain pass characterization of least energy solutions. Adv. Nonlinear Stud., 3(4):445-455, 2003.
[25] L. Jeanjean and K. Tanaka. A remark on least energy solutions in . Proc. Amer. Math. Soc., 131(8):23992408, 2003.
[26] M. K. Kwong. Uniqueness of positive solutions of in . Arch. Rational Mech. Anal., 105(3):243-266, 1989.
[27] M. Lewin and S. R. Nodari. The double-power nonlinear Schrödinger equation and its generalizations: uniqueness, non-degeneracy and applications. Calc. Var. Partial Differential Equations, 59(6):Paper No. 197, 49, 2020.
[28] P.-L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case. I. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 1(2):109-145, 1984.
[29] P.-L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case. II. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 1(4):223-283, 1984.
[30] P. Pucci and J. Serrin. Uniqueness of ground states for quasilinear elliptic equations in the exponential case. Indiana Univ. Math. J., 47(2):529-539, 1998.
[31] P. Quittner and P. Souplet. Superlinear parabolic problems. Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. [Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks]. Birkhäuser/Springer, Cham, 2019. Blow-up, global existence and steady states, Second edition of [ MR2346798].
[32] Paul H. Rabinowitz. Some global results for nonlinear eigenvalue problems. J. Functional Analysis, 7:487-513, 1971.
[33] J. Shatah and W. Strauss. Instability of nonlinear bound states. Comm. Math. Phys., 100(2):173-190, 1985.
[34] M. Shibata. Stable standing waves of nonlinear Schrödinger equations with a general nonlinear term. Manuscripta Math., 143(1-2):221-237, 2014.
[35] N. Soave. Normalized ground states for the NLS equation with combined nonlinearities. J. Differential Equations, 269(9):6941-6987, 2020.
[36] N. Soave. Normalized ground states for the NLS equation with combined nonlinearities: the Sobolev critical case. J. Funct. Anal., 279(6):108610, 43, 2020.
[37] A. Stefanov. On the normalized ground states of second order PDE’s with mixed power non-linearities. Comm. Math. Phys., 369(3):929-971, 2019.
[38] A. Stuart. Bifurcation from the continuous spectrum in the -theory of elliptic equations on . In Recent methods in nonlinear analysis and applications (Naples, 1980), pages 231-300. Liguori, Naples, 1981.
[39] C. A. Stuart. Bifurcation for Dirichlet problems without eigenvalues. Proc. London Math. Soc. (3), 45(1):169192, 1982.
[40] J. Wei and Y. Wu. Normalized solutions for Schrödinger equations with critical Sobolev exponent and mixed nonlinearities. J. Funct. Anal., 283(6):Paper No. 109574, 46, 2022.
Louis Jeanjean, Laboratoire de Mathématiques (CNRS UMR 6623), Université de Bourgogne Franche-Comté, 16 Rte de Gray, 25030,Besancon, France.
Email address: louis.jeanjean@univ-fcomte.fr
Jianjun Zhang, College of Mathematics and Statistics, Chongqing Jiaotong University, Xuefu, Nan’an, 40007 Chongling, PR China.
Email address: zhangjianjun09@tsinghua.org.cn
Xuexiu Zhong, South China Research Center for Applied Mathematics and Interdisciplinary Studies & School of Mathematics Science, South China Normal University, Tianhe, Guangzhou 510631, Guangdong, PR China.
  1. Xuexiu Zhong was supported by the NSFC (No.12271184), Guangdong Basic and Applied Basic Research Foundation (2021A1515010034), Guangzhou Basic and Applied Basic Research Foundation(202102020225),Guangdong Natural Science Fund (2018A030310082). Jianjun Zhang was supported by the NSFC (No.12371109).

Journal: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Volume: 183
DOI: https://doi.org/10.1016/j.matpur.2024.01.004
Publication Date: 2024-02-01

A GLOBAL BRANCH APPROACH TO NORMALIZED SOLUTIONS FOR THE SCHRÖDINGER EQUATION

LOUIS JEANJEAN, JIANJUN ZHANG, AND XUEXIU ZHONG

Abstract

We study the existence, non-existence and multiplicity of prescribed mass positive solutions to a Schrödinger equation of the form

Our approach permits to handle in a unified way nonlinearities which are either mass subcritical, mass critical or mass supercritical. Among its main ingredients is the study of the asymptotic behaviors of the positive solutions as or and the existence of an unbounded continuum of solutions in .

Key words: Global branch, Schrödinger equation, Positive normalized solution.
2010 Mathematics Subject Classification: 35A16, 35B40, 35A02, 35J60, 46N50.

1. INTRODUCTION

The aim of this paper is to study the existence, non-existence and multiplicity of positive solutions with a prescribed mass for nonlinear Schrödinger equations with general nonlinearities
The ansatz for standing waves solutions leads to the elliptic equation
with . For physical reason we shall focus on solutions to (1.2) in . In the past decades, this equation has been investigated by many authors, mainly in the fixed frequency case where is prescribed.
An important feature of (1.1) is the conservation of mass: the -norm of a solution is independent of . In view of this property it is relevant to search for solutions satisfying a normalization constraint
When with , where for and for is the Sobolev critical exponent, the issue of positive normalized solutions to (1.2)-(1.3)
can be completely solved by scaling. Indeed, let be the unique positive radial solution to

cf. [26]. Setting

one can check that, up to a translation, is the unique positive solution to
A direct computation shows that
So one can see that if , there exists a unique such that a. That is, there exists a positive normalized solution to (1.2)-(1.3) for any whenever (and it is unique up to a translation). While for the so-called mass critical exponent has a positive normalized solution if and only if (with infinitely many solutions and ).
However, if is nonhomogeneous, such scaling argument is not valid anymore, more elaborate arguments are required. The classical way to attack such problems is through a variational approach: one looks for critical points of the energy functional
subject to the constraint
Note that in such an approach the parameter appears as a Lagrange multiplier and is not a priori known.
One speaks of a mass subcritical case if is bounded from below on for any , and of a mass supercritical case if is unbounded from below for any . One also refers to a mass critical case when the boundedness from below depends on the value of . Actually the case we are in crucially depends on the nonlinearity . So, when using a variational approach, in each case specific global conditions need to be imposed on to treat the problem.
The study of the mass subcritical case, which can be traced back to the work of Stuart [38, 39], had seen a major advance with the introduction of the Compactness by Concentration approach of Lions [28, 29]. Nowadays, this case is rather well-understood and we refer to [34, 21, 23, 37] for recent contributions.
In the mass supercritical case, is unbounded from below on and thus there is no global minimizer. In [18], the first author imposed some global conditions on to guarantee the mountain pass geometry of on . Then, after solving some compactness issues, a normalized solution was obtained. Since [18] there has been numerous contributions in the mass
supercritical, and mass critical cases. Let us just mention here [3, 5, 6, 10, 22, 17, 35]. We also refer to [20, 36, 40] for the treatment of nonlinearities which are Sobolev critical.
In the current paper, our aim is to present a different approach, based on the fixed point index and continuation arguments, to study normalized solutions problems. This approach does not rely on the variational structure, and thus we can treat in a unified way nonlinearities which are either mass subcritical, mass critical or mass supercritical. Apart for providing another framework for the study of normalized problems, we believe it is already of interest for the existence of global branches of solutions. In contrast to the classical bifurcation methods, which concerns a branch bifurcating from some eigenvalue, in the spirit of Rabinowitz’s global bifurcation theorem [32], our argument offers the possibility to investigate problems without eigenvalues.
It seems that Bartsch, Zou and the third author [7] are the first to apply a global branch approach to study the existence of normalized solutions. They focused on the following coupled Schrödinger system
The existence of normalized solutions for a large range of was obtained for arbitrary masses and . The results of [7] significantly extended the ones of Bartsch et al.[4], which rely on a variational approach on the -spheres. However, we note that in [7], there is a positive branch bifurcating from the branch of semi-trivial solutions when is large. Also, the implicit theorem can be applied for , since the problem (1.4) is reduced to two independent scalar equations whose positive solutions are well identified by [26]. In our scalar problem, we do not benefit from these features. The global branch approach we shall develop is rather distinct from the one of [7].
The following assumptions will be used in the paper.
(G1) for .
(G2) There exists some satisfying
such that
(G3) has no positive radial decreasing classical solution in .
Remark 1.1. (i) Note that (G1)-(G2) imply that . Since we are interested in nonnegative solutions to (1.2), it is not restrictive to assume, throughout the paper, that is extended to a continuous function on all by setting , for all .
Then, by the weak maximum principle, any solution to (1.2) is non-negative. The strong maximum principle also implies that it is strictly positive.
(ii) In Theorem 2.5 we provide sufficient conditions on under which condition (G3) holds. Actually, under (G1) and (G2), the condition (G3) holds, if or assuming that if . Furthermore, in the case of with , if we suppose further that in , then (G3) also holds.
In our setting, what is essentially imposed is the behavior of at 0 and . Apart, to some extend, with condition (G3), we do not need global conditions on . Our main result is the following theorem.
Theorem 1.2. Let and assume that (G1)-(G3) hold. Then we have the following conclusions.
(i) (mass subcritical case) If , then for any given , (1.2)-(1.3) possesses a positive normalized solution .
(ii) (exactly mass critical case) If , denote and . Then (1.2)-(1.3) possesses at least one positive normalized solution provided . In particular, there exists some and such that (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution for .
(iii) (at most mass critical case)
(iii-1) If , (1.2)-(1.3) has at least one positive normalized solution if . Furthermore, there exists some such that (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution provided .
(iii-2) If , (1.2)-(1.3) has at least one positive normalized solution if a . Furthermore, there exists some positive such that (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution provided .
(iv) (mixed case)
(iv-1) If , there exists some such that for any has at least two distinct positive normalized solutions , while (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution provided a .
(iv-2) If , there exists some such that for any , (1.2)-(1.3) has at least two distinct positive normalized solutions , while (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution provided .
(v) (at least mass critical case)
(v-1) If , (1.2)-(1.3) has at least one positive normalized solution if . Furthermore, there exists some such that (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution provided .
(v-2) If has at least one positive normalized solution if a . Furthermore, there exists some positive such that (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution provided .
(vi) (mass supercritical case) If , then for any given , (1.2)-(1.3) possesses a normalized positive solution .
There are two main steps in the proof of Theorem 1.2. One is to show the existence of a continuum of positive solutions to (1.2). The other one is to understand the behavior of the norms of the positive solutions as or . In that direction we have the following result which has its own interest.
In Theorem 1.3 below, and throughout the paper , denotes the space of continuous radial functions vanishing at .
Theorem 1.3. Let and assume that (G1)-(G3) hold. Let be the unique positive solution to
and be the unique positive solution to
Then it holds,
(i) Let be positive solutions to (1.2) with . Then
and
(ii) Let be positive solutions to (1.2) with . Then
and
Let us now present the main steps of the proofs of Theorems 1.2 and 1.3 and more globally the structure of the paper.
In Section 2, we collect a few facts about (1.2). In particular, under the assumptions (G1)(G2), we prove the radial symmetry and the monotonicity of the positive solutions associated to solutions of (1.2) when . Also, through the derivation of some non-existence results, we reach the conclusion that positive solutions to (1.2) should be searched assuming that .
In Section 3, we derive a priori bounds on the -norm of positive solutions depending on the parameter . Furthermore, we prove the compactness of the set of positive solutions, both in the sense of and in the sense of , when lies in a compact interval away from 0 .
In Section 4, we apply blow up arguments to explicit the behavior of positive solutions both in and in , as or . The proof of Theorem 1.3 is given there.
In Section 5, we investigate the uniqueness of positive solutions and prove in Theorem 5.1 that under (G1)-(G3), (1.2) possesses at most one positive solution for small. It is also the case for large just under (G1)-(G2).
In Section 6, relying on classical results from [8, 9], we prove that (1.2) has a positive solution for any . Thus, in view of Theorem 5.1, equation (1.2) has a unique positive solution if is small. We also show that is of mp-type, see Lemma 6.2, a property that will be useful in Section [7. When , this uniqueness combined with the mountain pass variational characterization of the solution permits to show that is a curve for small, see Lemma 6.4. A separate argument is required when , but it directly leads to the conclusion that, the set consisting of all positive solutions is connected, see Theorem 6.6.
In Section 7, we focus on the case . Denoting
we prove the existence of an unbounded component containing the local branch whose existence is guaranteed by Lemma 6.4, More precisely, letting be the projection onto the -component, we prove that .
This result is obtained by reformulating (1.2) into a fixed point problem. For we define the map by
Then, a solution to (1.2) satisfies the fixed point equation
where is a completely continuous operator, see Lemma 7.1,
A key point to prove that the local branch belongs to an unbounded component of is to show that the unique solution with small, carries a non null topological degree. Actually, this degree is -1 . It is proved combining the fact that is a mp-type critical point of defined in (6.2), with the fact that the Hessian of at admits a simple non-positive first eigenvalue, see Lemma 7.2.
Once we know that the topological degree is nontrivial, following classical arguments which go back to Leray and Schauder, we are able to conclude that is unbounded. In fact, the information on the degree of plays a similar role to the presence of a bifurcation point having an odd multiplicity in the classical result of P.H. Rabinowitz [32], which guarantees the existence of a global branch emanating from a bifurcation point. Now, in view of the priori bounds derived in Corollary 3.2 and Lemma 3.3, we conclude that , see Lemma 7.3 ,
In Section 8, Theorem 1.2 is proved combining Theorem 1.3 with the information that .
Throughout the paper we use the notation for the -norm. denotes the radial subspace of . By we denote the weak convergence in . Capital letters stand for positive constants which may depend on some parameters and whose precise value may change from line to line.

2. Preliminaries and non existence results

Our first lemma gather some properties of that hold under (G1)-(G2). Its proof is by direct computations.
Lemma 2.1. Let and assume that (G1)-(G2) hold,
(i) and .
(ii) There exists some such that
and for any , there exists some such that
(iii) There exists some such that
where and for any , there exists some such that
(iv) If , we have, for some ,
Lemma 2.2. Let and assume that (G1)-(G2) hold. Let be a non-negative classical solution to (1.2) with , which vanishes at infinity. Then, up to a translation, is radially symmetric and decreases with respect to .
Proof. The conclusion follows by [13, Theorem 3″] for and by [14, Theorem 2] for .
Remark 2.3. Note that is a non-negative solution to (1.2) with , if and only if is a non-negative classical solution vanishing at infinity. Indeed, if is a solution to (1.2), by a standard Schauder estimate and the Harnack inequality, we can see that and is vanishing at infinity. Conversely, it is readily seen that any non-negative classical solution to (1.2) where which vanishes at infinity has an exponential decay and thus belongs to . In particular, the conclusions of Lemma 2.2 hold for the non-negative solutions to (1.2) with which belong to .
Let us now present some non-existence results of non-negative solutions.
Theorem 2.4. Let and assume that , where denotes . Then (1.2) has no nontrivial non-negative classical solution if .
Proof. If the result follows directly from [9, Theorem 5]. If the result follows from [2, Theorem 2.8] and if from [2, Theorem 2.1].
We also have a non-existence result when , which provides sufficient conditions for (G3) to hold.
Theorem 2.5. Let and be such that,
(i) If or assuming that if , (1.2) has no nontrivial non-negative classical solution when .
(ii) If assuming that and in , (1.2) has no nontrivial non-negative radial classical solution when .
Proof. (i) Suppose that is a classical solution to (1.2) with . Then from (2.1) and using the fact that belongs to we can find a constant such that
At this point, under our assumption on , the conclusion follows by [31, Theorem 8.4].
(ii) We first remark that if is a radial solution, then is positive in by the maximum principle and it solves
Also, decreases with respect to . Indeed,
implies that . Hence, is decreasing in . By 0 , we see that for . Hence, for . This implies that exists and since
we have that , i.e.,
The corresponding Pohozaev function is defined by
It is of class and satisfies . A direct computation shows that
Hence, under our assumption in , we see that is non-decreasing in .
Let us now prove that . It holds for . Suppose there exists some such that
By , we obtain that
That is, is non-increasing in . So
For , since is positive, we have
Let , since , we obtain a contradiction. Hence, for all and thus
Using the fact is decreasing in , it follows from (2.2) and (2.4) that
Since , under our assumption on there exists a constant such that , for all . Thus, using (2.5), we obtain that
Then by (2.4), we have that
So from (2.3), (2.5)-(2.7) and since , we conclude that
Hence, the monotonicity of implies that and thus in . Namely,
By the Hospital’s rule, (2.6) and (2.8) can lead to
which implies that , a contradiction.
In view of Theorems 2.4 and 2.5 for the search of positive radial solutions to (1.2) in we shall focus on the case where .
Finally, for future reference we state a Proposition and recall some classical results.
Proposition 2.6. Let . Then there exists a unique positive radial solution to
Moreover, the linearization of (2.9) at , has a null kernel in .
Proof. These results follow from the corresponding results due to [26] on the unique positive solution to
after having observed that is a positive solution to (2.10) if and only if is a positive solution to (2.9).
Definition 2.7. (see [16, Definition 1]). Let be a nonempty open subset of a Banach space and . Suppose is a critical point of at some level . We say that is of mountainpass-type (mp-type) if for all open neighborhoods of the topological space is nonempty and not path-connected.
Then we have, see [16, Theorem 2].
Theorem 2.8. We assume that the condition ( ) hold:
Let be a real Hilbert space and , and assume the gradient of has the form identity-compact. Furthermore, suppose that for all critical points of the first eigenvalue of the linearisation at is simple provided .
Then, if is an isolated critical point of of mp-type, the local degree at is -1 .
Finally, we recall the following result, due to Leray-Schauder, see [1, Theorem 4.3.4].
Proposition 2.9. Assume that is a real Banach space, is a bounded, open subset of and is given by with a compact map. Suppose also that
If,
then there exists a compact connected set such that
Here,
and denotes the -slice of , i.e.

3. A priori bounds and compactness results

For , we define the set
and recall that denotes the space of continuous radial functions vanishing at infinity. In view of Remark 2.3, .
Lemma 3.1. Let and assume that (G1)-(G2) hold.
(i) For any , there exists such that, for any non-negative solution to (1.2) with ,
(ii) Let . Then the set is compact in .
Proof. (i) We proceed by contradiction, assuming there exists a sequence where is solution to (1.2) with and
We follow a blow up procedure introduced by Gidas and Spruck [15]. Without loss of generality, we may assume that . Now we perform a rescaling, setting and defining by
Then and
If , since and , recalling Lemma2.1-(ii), we see that
If , we also have that
We also remark that . So, applying standard elliptic estimates, and passing to a subsequence if necessary, we may assume that in , where is a nontrivial and non-negative bounded radial solution to
At this point Theorem 2.5 provides a contradiction.
(ii) Note that a bounded set is pre-compact if and only if is equi-continuous on bounded sets and decay uniformly at infinity. Firstly, by a standard regularity argument we can check that the set is bounded in . To prove the uniform decay we argue by contradiction and assume that there exists a , that can be assumed as arbitrarily small, and
sequences and such that and solves (1.2) with . Put , then
Passing to subsequences (still denoted by and ) and then taking the limits, we get that and that converges to , a nontrivial solution of the following equation
with and bounded. By Lemma 2.2, is decreasing in and thus is bounded and decreasing in . Hence, has a limit at and a limit at . In particular, and . Here satisfies
Since is bounded away from 0 , we have that . Under the assumption (G2), taking smaller if necessary, we can assume that for , which implies that . Put and . Noting that and , we have that
Under the assumptions (G1)-(G2), by [9, Theorem 5], there exist a unique solution (up to a translation) to the following equation
Without loss of generality, we suppose that , then
where is determined by
see [9. Theorem 5] again. By our choice of , we see that , and thus . So there exists some such that . Now, we let , then
Furthermore, noting that , applying a similar argument as that in (3.3), we conclude that
Hence, both and solve
By the uniqueness of solutions of initial value problem, we conclude in . Thus,
a contradiction to .
Corollary 3.2. Let and assume that (G1)-(G2) hold. Let . Then the set is compact in .
Proof. By Lemma 3.1-(ii), the set is compact in . So by (G2), we can find some large such that
Then it follows that
and combining with the compactness of in , there exists some so that
Recalling Lemma3.1-(ii), we can modify such that
from which the boundedness of in follows. Now, for any sequence , we may assume that in and . In particular, is a positive radial solution to
Noting that Lemma2.1-(ii) implies that , by the uniform exponential decay of and the Lebesgue dominated convergence theorem, we observe that
Hence, by (3.8)-(3.9), we obtain that
Recalling that in , (3.10) implies that in . That is, is compact in .
For future reference we also observe
Lemma 3.3. Let and assume that (G1)-(G2) hold. For any , let be given by (3.1). Then there exists some such that
Proof. Since any , solves (1.2) for some , using Lemma 2.1-(ii),
which implies the existence of .

4. Asymptotic BEHAVIORS OF POSITIVE SOLUTIONS FOR and

4.1. The case of .

Lemma 4.1. Let and assume that (G1)-(G2) hold. Let be positive solutions to (1.2) with . Then
Proof. It follows by Lemma 3.1-(i).
Lemma 4.2. Let and assume that (G1)-(G2) hold. Let be positive solutions to (1.2) with . Then
Furthermore, if (G3) holds, then
Proof. For any sequence ( ) with and
thanks to Lemma 4.1 and the invariance of (1.2) under translation, we may suppose that . Setting
we have and
By standard regularity arguments, is a classical solution to (1.2). Taking , we obtain
Hence,
Suppose now that . Since in (4.2), passing to a subsequence, we may assume that in with and a non-negative bounded radial decreasing function which solves
Hence, by (G3), we obtain that , a contradiction to .
Lemma 4.3. Let and assume that (G1)-(G3) hold. Let be positive solutions to (1.2) with . Then
Proof. We argue by contradiction and assume there exists a sequence of positive solutions to (1.2) with such that
Without loss of generality, we suppose that . Setting
we have and
In view of Lemmas 2.1 and 4.1, the right hand side of (4.4) is in . So, passing to a subsequence if necessary, we may assume that in . Using (4.1), we obtain that is a non-negative bounded solution to
Here again, Theorem 2.5 provides a contradiction to .
Lemma 4.4. Let and assume that (G1)-(G3) hold. Let be positive radial solutions to (1.2) with . Define
then as uniformly in .
Proof. By Lemmas 4.2 and 4.3, up to a subsequence, we may assume that
Take small such that . We argue by contradiction and suppose there exists a sequence such that . By changing the origin to and passing to the limit, we obtain a nontrivial solution of the following equation,
with and bounded. By Lemma 2.2, we obtain that is decreasing on . Hence, has a limit at and a limit at . In particular, solve
So by , we obtain that and . Then, since from (4.6), we have that on necessarily and using again that on we get a contradiction with the fact that is bounded.
Theorem 4.5. (The behavior in the sense of as ) Let and assume that (G1)-(G3) hold. Let be positive radial solutions to (1.2) with . Defining
and passing to a subsequence if necessary we have that in as , where is given by Theorem 1.3
Proof. By Lemmas 4.2 and 4.3, we have
Noting that solves the equation
by standard regularity argument, it is easy to see that is equi-continuous on bounded sets. On the other hand, we remark that , where is given by (4.5). So,
by Lemma4.4and (4.8), we see that decay to 0 uniformly at . Hence, is pre-compact in . Passing to a subsequence if necessary, we may assume that where solves (1.5) with .
In order to apply these results to the study of the existence of solutions with prescribed mass, we also need to explicit the behavior of these solutions in as .
Theorem 4.6. (The behavior in the sense of as ) Let and assume that (G1)-(G3) hold. Let and be given by Theorem 4.5 Then we also have
Proof. We can rewrite (4.9) as
By the proof of Theorem 4.5, we know that is pre-compact in . So, in view of Lemma 2.1, we can find some large enough such that
Then we have
It follows by the comparison principle and since, see Theorem 4.5, in that one can find some such that
On the other hand, by Lemma 2.1-(i),
which implies that is bounded in . Without loss of generality, we assume that in . By the Lebesgue dominated convergence theorem, we see that
Furthermore, since is pre-compact in and , by Lemma2.1-(i), we have that
So solves
Hence and thus
which implies that in .

4.2. The case of .

Lemma 4.7. Let and assume that (G1)-(G2) hold. Let be positive solutions to (1.2) with . Then
and
Proof. By regularity, for any fixed and we may suppose that . We let be given as in the proof of Lemma 4.2 and thus (4.3) holds. Taking , by Lemma 2.1, we obtain that
Since and , we obtain (4.10). Furthermore, if , (4.11) trivially holds. If , by Lemma 2.1-(ii), , and we also obtain (4.11).
Lemma 4.8. Let and assume that (G1)-(G2) hold. Let be positive solutions to (1.2) with . Then
Proof. As in the proof of Lemma 4.3, we argue by contradiction and assume there exists a sequence of positive solutions to (1.2) with such that
Without loss of generality, we suppose that . Setting
we have and
By Lemma 2.1, the right hand side of (4.12) is in . Passing to the limit, we may assume that in where is a non negative bounded solution to
Again here, Theorem 2.5 contradicts .
Theorem 4.9. (The behavior in the sense of as Let and assume that (G1)-(G2) hold. Let be positive radial solutions to (1.2) with . Defining
and passing to a subsequence if necessary we have that in as , where is given by Theorem 1.3
Proof. By Lemmas 4.7 and 4.8, we see that
which implies is uniformly bounded in . We note that solves
If , by Lemma 2.1 and , we have that
which implies the right hand side of (4.15) is in . If , still by Lemma 2.1, we have that
the right hand side of (4.15) is also of . Thus, in view of standard elliptic estimates, we may assume that in . Hence, is equi-continuous on bounded sets. Also, proceeding exactly as in the proof of Lemma4.4 we may check that decay to 0 uniformly at . Hence, is pre-compact in and in where solves (1.6).
Now, adapting in a straightforward way the proof of Theorem 4.6 we also have
Theorem 4.10. (The behavior in the sense of as Let and assume that (G1)-(G2) hold. Let and be given by Theorem 4.9. Then we also have
Now we can give the
Proof of Theorem 1.3 (i) In view of Lemma 2.2 and Remark 2.3 we can assume without restriction that is a radial function. Let be defined by (4.7). Thus, noting that
and recalling, see Theorem 4.6, that in as , the conclusion follows.
(ii) Similarly, for defined by (4.14), we have
Since in as , see Theorem 4.10, the conclusion follows.

5. Local uniqueness of positive solutions

In this section, we prove the uniqueness of positive solutions to (1.2) provided small or large enough. The uniqueness will help us to prove that the set consisting of with small, is indeed a curve in Section 6. More precisely,
Theorem 5.1. Let and assume that (G1)-(G2) hold. Then (1.2) has at most one positive solution for large enough. If in addition (G3) holds, it is also the case for small enough.
Proof. (i) We first consider the case where is small. We argue by contradiction and suppose there exist two families of positive solutions and to (1.2) with . Let
Then are two families of positive radial solutions to
By Theorems 4.5 and 4.6 ,
We study the normalization
By Lemma 2.1 and the mean value theorem, for any , there exists some such that
So we have that
Recalling Lemma 4.4, and the facts that and in , one can see that the right hand side of (5.1) is in . Hence, passing to a subsequence if necessary, we can assume that in , where is a radial bounded function satisfying
Since , standard elliptic estimates imply that is a strong solution. Then by the decay of and applying a comparison principle, we obtain that is exponentially decaying to 0 as . Hence, . At this point, Proposition 2.6 provides a contradiction.
(ii) Now, we consider the case of large. We also argue by contradiction and suppose there exist two families of positive solutions and to (1.2) with . Let
Then are two families of positive solutions to the problem
By Theorems 4.9 and 4.10 ,
We also consider the normalization
A direct computation shows that there exists some such that
By Lemma 2.1-(iv), if , we have
which implies the right hand side of (5.2) is in by and in . On the other hand, if ,
So by ,
Using the facts that and in , we see the right hand side of (5.2) is in . Hence, passing to a subsequence we can assume that in , where is a radial bounded function satisfying
As in the case of small, Proposition 2.6 provides a contradiction.

6. Existence of a curve of positive solutions for small.

In this section we prove the existence of a curve of positive solutions to (1.2) when is small. In the particular case of we prove that this curve is global. We shall use the classical results recalled below.
Proposition 6.1. Let and assume that (G1)-(G2) hold. For any there exists a positive radial solution to (1.2) which, as any solution to (1.2), satisfies the Pohozaev identity
Moreover, defining the functional by
we have
where
In particular,
Proof. In [9] for and in [8] for the existence of a least action solution was established for (1.2) under very general assumptions which are satisfied under (G1)-(G2) and assuming that is odd. Later in [25], for and in [24] for , the mountain pass characterization of this least action solution was established. Let us check that these results also hold for our nonlinearity which is not odd. Clearly, the solution obtained by replacing by with
being non-negative is also a least action solution of the functional . Now, observe that since it holds that
Thus, recalling, see [25, 24] that, for any positive least action solution, there exists a path satisfying
such that for all , we deduce that the mountain pass characterization given in (6.2)-(6.3) is preserved even if is not odd. Finally, we note that (6.4) follows directly combining (6.1) and (6.2).
Recalling that the definition of a critical point of mp-type is given in Definition 2.7, we have
Lemma 6.2. Let and assume that (G1)-(G2) hold. Any solution to (1.2) which satisfies is of mp-type.
Proof. Let be a critical point of with . We need to show that: for any open neighborhood of , the set
is nonempty and not path-connected.
Since is open, it contains a ball where
Using [23, Lemma 4.1] with and arbitrary fixed, we deduce that there exists a constant and a continuous path satisfying
(i) ;
(ii) for some , and
for any such that .
Note that, after a reparametrization, we can assume to be 1 . We fix such that
The points and belong to and cannot be connected inside the set . Indeed, suppose that they can be connected by with and . Then, considering the path
we would have that with
in contradiction with the definition of .
Remark 6.3. The property that any least action solution of the general equations considered in [9, 8] is of mp-type can be proved exactly as in Lemma 6.2.
Lemma 6.4. Let and assume that (G1)-(G3) hold. There exists some small, such that for any , (1.2) has a unique positive solution . Furthermore, the map is continuous. That is, is a curve in .
Proof. Combining Proposition 6.1 and Theorem 5.1 we see that there exists a unique positive solution to (1.2) provided small enough. For , just under (G1)-(G2), the result follows by [19, Corollary 3.5], see also [33, Lemma 19]. Here, assuming in addition that (G3) holds we give a proof for any . Under (G1)-(G2) we can find some and some such that
When in addition (G3) holds, by Lemma 4.2, we have
and so we can find some such that
For any , we shall prove that is continuous at , namely that for any sequence , we have that in . Without loss of generality, we may assume that
Noting that satisfies
we obtain, combining (6.7) with (6.1) and (6.4)-(6.6), that
Hence,
where we have used the fact that is non-decreasing due to the mountain pass characterization (6.2)-(6.3). So we conclude that is bounded in . Now, by the compact embedding of into and using the equation of , we can prove that is compact in . Hence, up to a subsequence, in , where is a positive solution of (1.2) with . Then the uniqueness implies that . That is, the map is continuous at .
Remark 6.5. Clearly the conclusion of Lemma 6.4 could be extended to all if the uniqueness of positive solutions is known. However, note that
(i) The problem of deriving conditions on , which insure that (1.2) has a unique positive solution, has been extensively studied. The uniqueness is known to hold only for some specific class of nonlinearities. We refer to [26, 27, 30] and the references therein in that direction.
(ii) We also note that the uniqueness of positive solution is in general not true. In [12], assuming with close to 5 and large enough, the authors proved that (1.2) possesses at least three different positive solutions.
We now focus on the case of . Then it is known, see [9, Theorem 5] or [24, Theorem 1.2], that for any there exists a unique solution in to (1.2) and that this solution is, up to a translation of the origin, a positive even (radial) decreasing function. The following result will be crucial in the proof of Theorem 1.2 when .
Theorem 6.6. Let and assume that (G1)-(G2) hold. For any , let denote the unique solution of (1.2) in . Then the map is continuous from to . In particular is connected.
Proof. For any , we shall prove that is continuous at , namely that for any sequence , we have that in . We claim that is bounded in . The boundedness of is a direct consequence of (6.4) and of the fact that is non-decreasing. To prove the boundedness of we set, for any fixed , and recall, see [9, Theorem 5]) that
where is the unique value for which for and . Here .
Since , we have that . Hence
Recalling that must satisfy the Pohozaev identity, i.e.,
we deduce, combining (6.8) and (6.9), that
Hence, is also bounded. The sequence of solutions is bounded. Recalling that for each is a decreasing function, and making use of [11, Proposition 1.7.1], we deduce that is compact in . Then one see that in up to a subsequence, where is a positive solution of (1.2) with . As in the proof of Lemma 6.4, the uniqueness of positive solutions permits to conclude.

7. Global branches of positive solutions

When , we have shown in Theorem 6.6 just under (G1)-(G2) that, for any , the unique positive solution of (1.2) lies on a global curve. In this section, under (G1)-(G3), we show that when , the local curve, whose existence is established in Lemma 6.4, belongs to a connected component of the set of positive solutions, which contains a positive solution for every . Let
We define as the connected component of containing the solutions ( ) for . Denoting by the projection onto the -component, we shall prove that . To reach this conclusion, we reformulate (1.2) into a fixed point problem. For fixed, the norm , defined by
is equivalent to the usual norm . The gradient of with respect to can be computed as
We shall apply classical degree theory arguments to the equation
Some preliminaries are necessary.
Lemma 7.1. Let and assume that (G1)-(G2) hold. The operator is completely continuous.
Proof. We need to prove that maps any bounded set into a pre-compact set. We shall work on with the norm . Let be a bounded sequence. By the compact embedding , there exists a non-negative such that, passing to a subsequence if necessary,
Let , i.e.,
When , under the assumptions (G1)-(G2), for any there exists such that
Testing (7.2) with , by the Hölder inequality and the critical Sobolev inequality, we have
which implies that is bounded. Assuming that in , it follows that is a non-negative weak solution to
Now, combining (7.1) and Lemma 2.1-(ii), we deduce, in a standard way, that
Then by (7.2), (7.4)-(7.5), we have that
which implies that in . When , we take in (7.3) satisfying . We can still write by Hölder inequality and the Sobolev embedding,
and the rest of the proof proceeds as when .
We recall that local fixed point index is defined as
where is small, denotes the -neighborhood in , and deg denotes the LeraySchauder degree. It is well defined when is an isolated fixed point of in .
Lemma 7.2. Let and assume that (G1)-(G3) hold. Let be given by Lemma 6.4 For , let be the unique positive solution to (1.2). Then it holds ind .
Proof. The lemma follows directly from Theorem 2.8, Let us show that the condition ( ) is satisfied. Denote by the first eigenvalue of and an associated eigenfunction, namely
We assume that and define we obtain that is such that
By the choice of , (6.5)-(6.6) readily imply that the eigenvalue problem
possesses a smallest positive eigenvalue . Furthermore, since as , for small enough, it holds that in . Then it is standard to show that is a simple eigenvalue. Thus, since the condition ( ) holds. Also, by Lemma6.2 we know that the unique critical point is of mp-type. Finally, since is a curve, the conclusion holds for all .
Lemma 7.3. Let and assume that (G1)-(G3) hold. Then .
Proof. We assume by contradiction that there exists a such that . Let and . In view of Corollary 3.2 and Lemma 3.3, there exist two positive constants such that
We define
and
We also use the notation for the -slice of , i.e.
We note that
Indeed, if , then is positive by the maximum principle. Thus and (7.6) holds. At this point, we apply Proposition 2.9 with and defined as above. Note that the assumption holds because we know from Lemma 7.2 that . We conclude that the compact connected set provided by Proposition 2.9 satisfies
Since necessarily coincides with , this is in contradiction with our assumption that . The lemma is proved.

8. Application to existence, non-existence and multiplicity of positive NORMALIZED SOLUTIONS.

In this section we give the proof of our main result.
Proof of Theorem 1.2: Let us introduce the function
(i) By Lemma 7.3 for and Theorem 6.6 for , there exists a connected set with . Recalling Theorem 1.3, there exist with and . Similarly, there exist with and . Since is connected, it follows that is onto.
(vi) As in the proof of (i), we have that , and the conclusion follows from Theorem 1.3.
(ii) By
we see that for any , (1.2) possesses at least one normalized solution with and . Recalling Theorem 5.1, (1.2) has a unique solution for small or large enough. So for any , there exists some small enough and large enough such that
On the other hand, by Corollary 3.2 and Lemma 3.3, we can find some such that
Hence, we can take
Then for any , (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution.
(iii) We only prove (iii-1). By
applying a similar argument as (ii), we can prove that (1.2)-(1.3) has at least one normalized solution ( ) with and if . And there exists some such that (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution provided . This finishs the proof of (iii-1). The case of (iii-2) can be proved similarly.
(v) We only prove (v-1). By
we can prove it in a similar way to (iii-1).
(iv) We only prove (iv-1). In such case, we have both as and as . Define
Then there exists some with . Then for any , there exist some and such that
That is, for any , (1.2)-(1.3) has at least two different normalized solutions ( ) with and . Furthermore, applying a similar argument as in (ii), we can find some such that (1.2)-(1.3) has no positive normalized solution provided . The case of (iv-2) can be proved similarly. We only note that in such a case, both as and .

References

[1] A. Ambrosetti and D. Arcoya. An introduction to nonlinear functional analysis and elliptic problems, volume 82 of Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2011.
[2] Scott N. Armstrong and B. Sirakov. Nonexistence of positive supersolutions of elliptic equations via the maximum principle. Comm. Partial Differential Equations, 36(11):2011-2047, 2011.
[3] T. Bartsch and S. de Valeriola. Normalized solutions of nonlinear Schrödinger equations. Arch. Math. (Basel), 100(1):75-83, 2013.
[4] T. Bartsch, L. Jeanjean, and N. Soave. Normalized solutions for a system of coupled cubic Schrödinger equations on . J. Math. Pures Appl. (9), 106(4):583-614, 2016.
[5] T. Bartsch and N. Soave. A natural constraint approach to normalized solutions of nonlinear Schrödinger equations and systems. J. Funct. Anal., 272(12):4998-5037, 2017.
[6] T. Bartsch and N. Soave. Correction to: “A natural constraint approach to normalized solutions of nonlinear Schrödinger equations and systems” [J. Funct. Anal. 272 (12) (2017) 4998-5037] [ MR3639521]. J. Funct. Anal., 275(2):516-521, 2018.
[7] T. Bartsch, X. X. Zhong, and W. M. Zou. Normalized solutions for a coupled Schrödinger system. Math. Ann., 380(3-4):1713-1740, 2021.
[8] H. Berestycki, T. Gallouët, and O. Kavian. Équations de champs scalaires euclidiens non linéaires dans le plan. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 297(5):307-310, 1983.
[9] H. Berestycki and P.-L. Lions. Nonlinear scalar field equations. II. Existence of infinitely many solutions. Arch. Rational Mech. Anal., 82(4):347-375, 1983.
[10] B. Bieganowski and J. Mederski. Normalized ground states of the nonlinear Schrödinger equation with at least mass critical growth. J. Funct. Anal., 280(11):Paper No. 108989, 26, 2021.
[11] T. Cazenave. Semilinear Schrödinger equations, volume 10 of Courant Lecture Notes in Mathematics. New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
[12] J. Dávila, M. del Pino, and I. Guerra. Non-uniqueness of positive ground states of non-linear Schrödinger equations. Proc. Lond. Math. Soc. (3), 106(2):318-344, 2013.
[13] B. Gidas, W. M. Ni, and L. Nirenberg. Symmetry and related properties via the maximum principle. Comm. Math. Phys., 68(3):209-243, 1979.
[14] B. Gidas, W. M. Ni, and L. Nirenberg. Symmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in . In Mathematical analysis and applications, Part A, volume 7 of Adv. Math. Suppl. Stud., pages 369-402. Academic Press, New York-London, 1981.
[15] B. Gidas and J. Spruck. Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations. Comm. Pure Appl. Math., 34(4):525-598, 1981.
[16] H. Hofer. A note on the topological degree at a critical point of mountainpass-type. Proc. Amer. Math. Soc., 90(2):309-315, 1984.
[17] N. Ikoma and K. Tanaka. A note on deformation argument for normalized solutions of nonlinear Schrödinger equations and systems. Adv. Differential Equations, 24(11-12):609-646, 2019.
[18] L. Jeanjean. Existence of solutions with prescribed norm for semilinear elliptic equations. Nonlinear Anal., 28(10):1633-1659, 1997.
[19] L. Jeanjean. Some continuation properties via minimax arguments. Electron. J. Differential Equations, pages No. 48, 10, 2011.
[20] L. Jeanjean and T. T. Le. Multiple normalized solutions for a Sobolev critical Schrödinger equation. Math. Ann., 384(1-2):101-134, 2022.
[21] L. Jeanjean and S. S. Lu. Nonradial normalized solutions for nonlinear scalar field equations. Nonlinearity, 32(12):4942-4966, 2019.
[22] L. Jeanjean and S. S. Lu. A mass supercritical problem revisited. Calc. Var. Partial Differential Equations, 59(5):Paper No. 174, 43, 2020.
[23] L. Jeanjean and S. S. Lu. On global minimizers for a mass constrained problem. Calc. Var. Partial Differential Equations, 61(6):Paper No. 214, 18, 2022.
[24] L. Jeanjean and K. Tanaka. A note on a mountain pass characterization of least energy solutions. Adv. Nonlinear Stud., 3(4):445-455, 2003.
[25] L. Jeanjean and K. Tanaka. A remark on least energy solutions in . Proc. Amer. Math. Soc., 131(8):23992408, 2003.
[26] M. K. Kwong. Uniqueness of positive solutions of in . Arch. Rational Mech. Anal., 105(3):243-266, 1989.
[27] M. Lewin and S. R. Nodari. The double-power nonlinear Schrödinger equation and its generalizations: uniqueness, non-degeneracy and applications. Calc. Var. Partial Differential Equations, 59(6):Paper No. 197, 49, 2020.
[28] P.-L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case. I. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 1(2):109-145, 1984.
[29] P.-L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case. II. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 1(4):223-283, 1984.
[30] P. Pucci and J. Serrin. Uniqueness of ground states for quasilinear elliptic equations in the exponential case. Indiana Univ. Math. J., 47(2):529-539, 1998.
[31] P. Quittner and P. Souplet. Superlinear parabolic problems. Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. [Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks]. Birkhäuser/Springer, Cham, 2019. Blow-up, global existence and steady states, Second edition of [ MR2346798].
[32] Paul H. Rabinowitz. Some global results for nonlinear eigenvalue problems. J. Functional Analysis, 7:487-513, 1971.
[33] J. Shatah and W. Strauss. Instability of nonlinear bound states. Comm. Math. Phys., 100(2):173-190, 1985.
[34] M. Shibata. Stable standing waves of nonlinear Schrödinger equations with a general nonlinear term. Manuscripta Math., 143(1-2):221-237, 2014.
[35] N. Soave. Normalized ground states for the NLS equation with combined nonlinearities. J. Differential Equations, 269(9):6941-6987, 2020.
[36] N. Soave. Normalized ground states for the NLS equation with combined nonlinearities: the Sobolev critical case. J. Funct. Anal., 279(6):108610, 43, 2020.
[37] A. Stefanov. On the normalized ground states of second order PDE’s with mixed power non-linearities. Comm. Math. Phys., 369(3):929-971, 2019.
[38] A. Stuart. Bifurcation from the continuous spectrum in the -theory of elliptic equations on . In Recent methods in nonlinear analysis and applications (Naples, 1980), pages 231-300. Liguori, Naples, 1981.
[39] C. A. Stuart. Bifurcation for Dirichlet problems without eigenvalues. Proc. London Math. Soc. (3), 45(1):169192, 1982.
[40] J. Wei and Y. Wu. Normalized solutions for Schrödinger equations with critical Sobolev exponent and mixed nonlinearities. J. Funct. Anal., 283(6):Paper No. 109574, 46, 2022.
Louis Jeanjean, Laboratoire de Mathématiques (CNRS UMR 6623), Université de Bourgogne Franche-Comté, 16 Rte de Gray, 25030,Besancon, France.
Email address: louis.jeanjean@univ-fcomte.fr
Jianjun Zhang, College of Mathematics and Statistics, Chongqing Jiaotong University, Xuefu, Nan’an, 40007 Chongling, PR China.
Email address: zhangjianjun09@tsinghua.org.cn
Xuexiu Zhong, South China Research Center for Applied Mathematics and Interdisciplinary Studies & School of Mathematics Science, South China Normal University, Tianhe, Guangzhou 510631, Guangdong, PR China.
  1. Xuexiu Zhong was supported by the NSFC (No.12271184), Guangdong Basic and Applied Basic Research Foundation (2021A1515010034), Guangzhou Basic and Applied Basic Research Foundation(202102020225),Guangdong Natural Science Fund (2018A030310082). Jianjun Zhang was supported by the NSFC (No.12371109).