DOI: https://doi.org/10.26686/ajl.v23i1.9622
تاريخ النشر: 2026-01-12
المؤلف: Ryan Simonelli
الموضوع الرئيسي: المنطق، البرمجة، وأنظمة الأنواع
نظرة عامة
في هذا القسم، يتم فحص ادعاء جيه سي بيل بأن المنطق الديونتي الحر (FDE) إذا كان منطقًا صحيحًا، فإنه يفتقر إلى نفي منطقي بشكل نقدي. يعتمد حجة بيل على غياب قواعد النفي المستقلة في أنظمة الإثبات القياسية لـ FDE. يقترح المؤلف أنه من خلال استخدام نظام إثبات ثنائي لـ FDE، من الممكن تأكيد وجود نفي منطقي يتماشى مع المنطق الكلاسيكي. يعمل هذا النفي كدور أساسي في الانتقال بين التأكيد والنفي.
تحدد الورقة الأسس التقنية لأنظمة الإثبات الثنائية وتفصل في الأسس الفلسفية للتأكيد والنفي، مع معالجة مختلف الاعتراضات على الإطار المقترح. بالإضافة إلى ذلك، يستكشف المؤلف مفهوم “النفي البولياني” ضمن هذا السياق الثنائي، مقترحًا طرقًا محتملة لمزيد من التحقيق. يقدم القسم أيضًا لمحة موجزة عن الخصائص الرئيسية لأنظمة الاستنتاج ذات الاستنتاج الواحد الثنائي (BSS)، والتي تمثل مساهمة جديدة في هذا البحث، مع الإشارة إلى مناقشة أكثر شمولاً حول أنظمة الاستنتاج ذات الاستنتاجات المتعددة.
مقدمة
في مقدمة ورقته “لا يوجد نفي منطقي: صحيح، خاطئ، كلاهما، ولا واحد منهما”، يطرح جيه سي بيل ادعائين رئيسيين: الدعوة إلى المنطق الفرعي الضعيف FDE كإطار منطقي شرعي وادعاء أن النفي المنطقي لا يوجد ضمن هذا الإطار. تركز هذه الملخصة على الادعاء الأخير، الذي يقترح أن حجة بيل متجذرة في اعتبارات نظرية الإثبات. على وجه التحديد، تفتقر أنظمة الإثبات القياسية لـ FDE إلى قواعد نفي مخصصة أو مخططات بديهية تعرف النفي كعامل منطقي مستقل، على عكس المنطقيات الأخرى مثل LP أو K3.
يقترح المؤلف نهجًا ثنائيًا لـ FDE، حيث يتم تعيين علامات إيجابية وسلبية للصيغ لتمثيل التأكيدات والنفي، على التوالي. يتحدى هذا المنظور استنتاج بيل من خلال إعادة تأكيد وجود النفي المنطقي، على غرار ما هو موجود في المنطق الكلاسيكي، والذي يعمل على التبديل بين التأكيد والنفي. تتوسع الورقة في الأسس النظرية لهذا النهج الثنائي، مستندة إلى الأطر الاستنتاجية من هلوبيل وبراندوم، بالإضافة إلى المساهمات التقنية من بلاسيو، ماركوس، ووانسينغ. من خلال التمييز بين الأسباب المؤيدة والمعارضة للتأكيدات والنفي، يقدم المؤلف نظامًا ثنائيًا جديدًا يعالج مختلف الاعتراضات على هذا الرأي. تستكشف الخاتمة أيضًا مفهوم “النفي البولياني”، مقدمة منظور جديد من الناحية النظرية حول عدم إمكانية التعبير عنه ضمن الأطر الفرعية.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلف الإطار المفاهيمي للاستنتاج من الدرجة الأولى (FDE) كمنطق أساسي، متحديًا الافتراضات الكلاسيكية حول الحقيقة والزيف. يجادل المؤلف بأن التقييم الثنائي للمنطق الكلاسيكي (صحيح أو خاطئ) مقيد للغاية، خاصة في ضوء المفارقات مثل مفارقة الكاذب. بدلاً من ذلك، يسمح FDE بأربعة تقييمات: صحيح، خاطئ، كلاهما صحيح وخاطئ، أو لا صحيح ولا خاطئ. يؤدي هذا المنظور الأوسع إلى إعادة تعريف الروابط المنطقية، حيث يتم استبدال علامة “=” الكلاسيكية بعلامة “∋” لاستيعاب هذه التقييمات الجديدة. يقترح المؤلف أن FDE يمكن أن يُنظر إليه كمنطق أكثر تسامحًا يشمل أنظمة منطقية متنوعة، مثل LP (منطق المفارقة)، K3 (المنطق ثلاثي القيم)، والمنطق الكلاسيكي، التي تنشأ من استبعاد تقييمات معينة.
ثم تنتقل المناقشة إلى تداعيات هذا الإطار على مفهوم النفي. يتم فحص ادعاء بيل بأن “لا يوجد نفي منطقي” ضمن FDE، خاصة فيما يتعلق بأنظمة الإثبات القياسية. يبرز المؤلف أنه بينما يتميز النفي الكلاسيكي بقواعد محددة في حساب الاستنتاج الكلاسيكي، يفتقر FDE إلى مثل هذه القواعد المستقلة للنفي، مما يؤدي إلى استنتاج بيل. ومع ذلك، يقترح المؤلف تفسيرًا ثنائيًا للنفي، مقترحًا أن النفي يمكن فهمه كعامل تبديل بين التأكيد والنفي. يتماشى هذا التفسير مع وجهة النظر الاستنتاجية التي تُعرف فيها معنى الروابط المنطقية من خلال أدوارها الاستنتاجية. تختتم الورقة بتحديد أنظمة الإثبات الثنائية لـ FDE، مشددة على أن هذه الأنظمة تحافظ على نقاء القواعد لكل رابط، مما يحافظ على نزاهة الاستنتاج المنطقي.
DOI: https://doi.org/10.26686/ajl.v23i1.9622
Publication Date: 2026-01-12
Author(s): Ryan Simonelli
Primary Topic: Logic, programming, and type systems
Overview
In this section, Jc Beall’s assertion that if free deontic logic (FDE) is a proper logic, then it lacks a logical negation is critically examined. Beall’s argument hinges on the absence of standalone negation rules in standard proof systems for FDE. The author proposes that by employing a bilateral proof system for FDE, it is possible to affirm the existence of a logical negation that aligns with classical logic. This negation serves the fundamental role of transitioning between assertion and denial.
The paper outlines the technical foundations of bilateral proof systems and elaborates on the philosophical underpinnings of assertion and denial, addressing various objections to the proposed framework. Additionally, the author explores the concept of a “Boolean” negation within this bilateral context, suggesting potential avenues for further investigation. The section also briefly introduces the key properties of Bilateral Single-Conclusion Sequent (BSS) systems, which are a novel contribution of this research, while referencing a more comprehensive discussion on multiple conclusion sequent systems.
Introduction
In the introduction of his paper “There is No Logical Negation: True, False, Both, Neither,” Jc Beall posits two main claims: the advocacy for the weak subclassical logic FDE as a legitimate logical framework and the assertion that, under this framework, logical negation does not exist. This summary focuses on the latter claim, which Beall’s argument suggests is rooted in proof-theoretic considerations. Specifically, standard proof systems for FDE lack dedicated negation rules or axiom schemas that define negation as a standalone logical operator, unlike other logics such as LP or K3.
The author proposes a bilateral approach to FDE, where formulas are assigned positive and negative signs to represent assertions and denials, respectively. This perspective challenges Beall’s conclusion by reinstating the existence of logical negation, akin to that in classical logic, which serves to toggle between assertion and denial. The paper further elaborates on the theoretical foundation of this bilateral approach, drawing on inferentialist frameworks from Hlobil and Brandom, as well as technical contributions from Blasio, Marcos, and Wansing. By distinguishing between reasons for and against assertions and denials, the author introduces a new doubly bilateral system that addresses various objections to this view. The conclusion also explores the concept of “Boolean negation,” offering a fresh proof-theoretic perspective on its inexpressibility within subclassical frameworks.
Discussion
In this section, the author discusses the conceptual framework for First-Degree Entailment (FDE) as a foundational logic, challenging classical assumptions about truth and falsity. The author argues that classical logic’s binary valuation (true or false) is too restrictive, especially in light of paradoxes like the liar paradox. Instead, FDE allows for four valuations: true, false, both true and false, or neither true nor false. This broader perspective leads to a redefinition of logical connectives, where the classical “=” sign is replaced with the “∋” sign to accommodate these new valuations. The author posits that FDE can be seen as a more permissive logic that encompasses various logical systems, such as LP (Logic of Paradox), K3 (three-valued logic), and classical logic, which emerge from excluding certain valuations.
The discussion then shifts to the implications of this framework for the concept of negation. Beall’s assertion that “there is no logical negation” within FDE is examined, particularly in relation to the standard proof systems. The author highlights that while classical negation is characterized by specific rules in classical sequent calculus, FDE lacks such standalone negation rules, leading to Beall’s conclusion. However, the author proposes a bilateralist interpretation of negation, suggesting that negation can be understood as a flip-flop operator between assertion and denial. This interpretation aligns with the inferentialist view that the meaning of logical connectives is defined by their inferential roles. The author concludes by outlining bilateral proof systems for FDE, emphasizing that these systems maintain the purity of rules for each connective, thereby preserving the integrity of logical inference.