DOI: https://doi.org/10.28924/apjm/13-58
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Montri Thongmoon وآخرون
الموضوع الرئيسي: الطوبولوجيا المتقدمة ونظرية المجموعات
نظرة عامة
تقدم هذه القسم فئة جديدة من الدوال المتعددة المستمرة، والتي تُسمى الدوال المتعددة المستمرة العليا (السفلى) \((m, \sigma)\)، والتي تعمل بين فضاء \(m\) وفضاء طوبولوجي مثالي. تتناول الدراسة خصائص وتوصيفات مختلفة مرتبطة بهذه الدوال المتعددة، مما يوفر فهمًا أساسيًا لسلوكها وآثارها في سياق الفضاءات الطوبولوجية. تسهم استكشاف هذه المفاهيم في المجال الأوسع للطوبولوجيا من خلال تعزيز الإطار النظري المحيط باستمرارية الدوال المتعددة.
مقدمة
في المقدمة، يبني المؤلفون على العمل الأساسي لـ Noiri و Popa (2000)، الذين استكشفوا الدوال المتعددة المستمرة العليا والسفلى M، مما أسس إطارًا للدوال المتعددة المعرفة بين المجموعات تحت شروط دنيا. كما يشيرون إلى خصائص وتوصيفات مختلفة لهذه الدوال المتعددة المقدمة في دراسات سابقة. بالإضافة إلى ذلك، يعترف المؤلفون بمساهمات Noiri فيما يتعلق بالمجموعات الضعيفة المفتوحة مسبقًا و الدوال شبه المستمرة I، مما يبرز تقدمًا في فهم الاستمرارية في الدوال المتعددة.
تقدم الورقة الحالية المفاهيم الجديدة للدوال المتعددة المستمرة العليا \((m, \sigma)\) والدوال المتعددة المستمرة السفلى \((m, \sigma)\). يهدف المؤلفون إلى دراسة خصائص هذه الدوال المتعددة الجديدة، وبالتالي توسيع الأدبيات الموجودة حول استمرارية الدوال المتعددة وتقديم رؤى أعمق حول خصائصها وتطبيقاتها.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون خصائص الهياكل \(m\) والدوال المتعددة ضمن إطار الفضاءات الطوبولوجية المثالية. يتم تعريف هيكل \(m\) على مجموعة غير فارغة \(X\) من خلال خصائص محددة، بما في ذلك تضمين المجموعة الفارغة و\(X\) نفسها، بالإضافة إلى الإغلاق تحت الاتحاد العشوائي للمجموعات المفتوحة \(m\). يتم تقديم مفهومي الإغلاق \(mCl(A)\) والداخل \(mInt(A)\)، مع تحديد اللمحة 1 الشروط اللازمة لتكون مجموعة ما مفتوحة أو مغلقة \(m\). يستكشف القسم أيضًا الدوال المتعددة \(F: (X, m) \to (Y, \sigma, J)\) وخصائص استمراريتها، وبشكل خاص الاستمرارية العليا والسفلى \(m-\sigma\)، مع تقديم النظريتين 1 و 2 شروطًا مكافئة لهذه الأنواع من الاستمرارية.
كما يقدم المؤلفون مفهوم شبه الانتظام والانتظام في الفضاءات الطوبولوجية المثالية، مع توضيح اللمحات 3 إلى 7 العلاقات بين النقاط المفتوحة والمغلقة ونقاط التجمع في هذه الفضاءات. تحدد النظريات 3 إلى 6 المكافئات لاستمرارية \(m-\sigma\) العليا والسفلى فيما يتعلق بخصائص الدالة المتعددة \(F\) والخصائص الطوبولوجية للفضاءات المعنية. بشكل عام، يبرز هذا النقاش العلاقات المعقدة بين الدوال المتعددة والهياكل الطوبولوجية التي تعمل ضمنها، مما يسلط الضوء على أهمية خصائص الاستمرارية والإغلاق في سياق الفضاءات الطوبولوجية المثالية.
DOI: https://doi.org/10.28924/apjm/13-58
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Montri Thongmoon et al.
Primary Topic: Advanced Topology and Set Theory
Overview
This section introduces a novel category of continuous multifunctions, termed upper (lower) (m, σ)-continuous multifunctions, which operate between an m-space and an ideal topological space. The study delves into various characterizations and properties associated with these multifunctions, providing a foundational understanding of their behavior and implications in the context of topological spaces. The exploration of these concepts contributes to the broader field of topology by enhancing the theoretical framework surrounding multifunction continuity.
Introduction
In the introduction, the authors build upon the foundational work of Noiri and Popa (2000), who explored upper and lower M-continuous multifunctions, establishing a framework for multifunctions defined between sets under minimal conditions. They also reference various characterizations and properties of these multifunctions presented in earlier studies. Additionally, the authors acknowledge the contributions of Noiri regarding weakly pre-I-open sets and semi-I-continuous functions, highlighting a progression in the understanding of continuity in multifunctions.
The current paper introduces the novel concepts of upper \((m, \sigma)\)-continuous multifunctions and lower \((m, \sigma)\)-continuous multifunctions. The authors aim to investigate the characterizations of these new multifunctions, thereby expanding the existing literature on multifunction continuity and providing a deeper insight into their properties and applications.
Discussion
In this section, the authors discuss the properties of m-structures and multifunctions within the framework of ideal topological spaces. An m-structure on a nonempty set \(X\) is defined by specific properties, including the inclusion of the empty set and \(X\) itself, as well as closure under arbitrary unions of m-open sets. The concepts of m-closure \(mCl(A)\) and m-interior \(mInt(A)\) are introduced, with Lemma 1 establishing conditions for a set to be m-open or m-closed. The section further explores multifunctions \(F: (X, m) \to (Y, \sigma, J)\) and their continuity properties, specifically upper and lower m-σ-continuity, with Theorems 1 and 2 providing equivalent conditions for these types of continuity.
The authors also introduce the notion of semi-regularity and regularity in ideal topological spaces, with Lemmas 3 to 7 detailing the relationships between open, closed, and cluster points in these spaces. Theorems 3 to 6 establish equivalences for upper and lower m-σ-continuity in relation to the properties of the multifunction \(F\) and the topological characteristics of the spaces involved. Overall, this discussion emphasizes the intricate relationships between multifunctions and the topological structures they operate within, highlighting the significance of continuity and closure properties in the context of ideal topological spaces.