DOI: https://doi.org/10.18860/cauchy.v11i1.38905
تاريخ النشر: 2026-03-03
المؤلف: Eka Susanti وآخرون
الموضوع الرئيسي: الديناميات الرياضية والكسور
نظرة عامة
تتناول هذه الدراسة تحدي عدم اليقين في الطلب في تخطيط المخزون من خلال اقتراح تقنية جديدة للتداخل الكسري. تستخدم الطريقة دالة متداخلة كسريًا مشتقة من دالة خطية تبني شكل كسري مربع. يتم تطبيق التقنية بشكل خاص لتداخل بيانات طلب الأرز فيما يتعلق بالتسعير في مصنع طحن الأرز، مع تقييم دقة التداخل باستخدام متوسط النسبة المئوية المطلقة للخطأ (MAPE).
تشير النتائج إلى أن طريقة التداخل الكسري المقترحة تحقق أفضل أداء لها في التكرار السادس، حيث تحقق MAPE قدره 16.319%، وهو ما يصنف على أنه جيد. تشير النتائج إلى أن الدالة الخطية المستخدمة لإنشاء الشكل الكسري المربع فعالة لتقريب الطلب في هذا السياق، مما يظهر إمكانيات تقنيات التداخل الكسري في تطبيقات إدارة المخزون.
مقدمة
تناقش المقدمة تقنية التداخل الكسري، التي تقدر القيم بين نقاط البيانات المعروفة باستخدام مفاهيم كسريّة. تم تطبيق هذه الطريقة عبر مجالات مختلفة، بما في ذلك التحليل الزلزالي، بيانات السلاسل الزمنية، التعلم العميق، نقل الكتلة في معالجة الطعام، تحليل انتشار COVID-19، والنمذجة المالية. يتضمن تطوير التداخل الكسري ضبط عامل القياس العمودي وتعزيز الدالة المتداخلة كسريًا (FIF) من خلال دوال غير خطية وخطية تخلق أشكالًا كسريّة.
من الجدير بالذكر أن الدالة الخطية التي تولد مثلث سيربينسكي قد تم استخدامها كـ FIF، كما هو موضح في دراسات سابقة. أدى تطبيق هذه الطرق لتداخل بيانات طلب الأرز إلى تحقيق متوسط نسبة مئوية مطلقة للخطأ (MAPE) قدره 23.77% في دراسة واحدة، مما يشير إلى دقة كافية بعد ست تكرارات، بينما حققت دراسة أخرى MAPE أقل بكثير قدره 7.15%، مصنفة على أنها جيدة جدًا. تؤكد هذه النتائج فعالية التداخل الكسري في تقديم تقديرات دقيقة في سياقات مختلفة.
طرق
في هذه الدراسة، تم تقديم مخطط تداخل كسري جديد يستخدم نظام الدوال المتكررة (IFS) الخطية، مع استخدام دالة تشكيل كسري مربع. تستند الطريقة إلى خمس دوال خطية، تُرمز بـ \( w_1, w_2, w_3, w_4, \) و \( w_5 \)، التي تقوم بشكل متكرر بتعيين مربع أولي إلى صناديق متطابقة يتم تقليصها بعامل قدره \( \frac{1}{3} \). كل دالة تقوم بترجمات وتعيينات محددة: \( w_2 \) تترجم عموديًا بمقدار \( \frac{2}{3} \)، \( w_3 \) تنقل أفقيًا وعموديًا بمقدار \( \frac{1}{3} \)، \( w_4 \) تنقل أفقيًا بمقدار \( \frac{2}{3} \)، و \( w_5 \) تنقل أفقيًا وعموديًا بمقدار \( \frac{2}{3} \).
يتبع خوارزمية التداخل الكسري نهجًا منظمًا: تبدأ بأربع نقاط بيانات أولية تشكل شكل مربع منتظم، مما يضمن أن المربع يحتوي على جميع قيم البيانات ذات الصلة. يتم حساب المسافات بين هذه النقاط لتسهيل عملية التعيين. ثم يتم تطبيق الدوال الخطية لتوليد مربع جديد \( B^* \) من خلال اتحاد الصناديق المحولة. تستمر هذه العملية التكرارية حتى يتم تحقيق متوسط نسبة مئوية مطلقة للخطأ (MAPE) مرضٍ، مما يشير إلى تداخل عالي الجودة لنقاط البيانات.
نتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون كل من النتائج النظرية والتجريبية المتعلقة بنهجهم المقترح، الذي يتضمن صياغة خرائط كسريّة مربعة ضمن إطار نظام الدوال المتكررة (IFS). تطبق الدراسة بشكل خاص الدالة المتداخلة كسريًا (FIF) الناتجة على مجموعة بيانات طلب الأرز لتقييم دقة التداخل.
تشير النتائج إلى أن FIF تلتقط بفعالية الأنماط الأساسية في بيانات طلب الأرز، مما يظهر دقة تداخل محسنة مقارنة بالطرق التقليدية. وهذا يشير إلى أن دمج خرائط الكسري المربع ضمن إطار IFS يمكن أن يعزز نمذجة البيانات في الاقتصاد الزراعي، مما يوفر أداة قوية لتحليل اتجاهات الطلب.
مناقشة
في هذه الدراسة، يستكشف المؤلفون تطبيق الكسري المربع كنظام دوال متكررة (IFS) لدوال التداخل الكسري (FIF)، مع التأكيد على التأثير الكبير لاختيار الشكل الكسري على نتائج التداخل. يقومون بتطوير دالة خطية لبناء هيكل كسري مربع، والذي يتم تطبيقه بعد ذلك على بيانات طلب الأرز من مصنع الطحن. تكمن الجدة في استخدام تعيين خطي لإنشاء الكسري المربع لتداخل طلب الأرز، مما يظهر فعالية الطريقة من خلال بيانات تجريبية تمتد على خمس سنوات.
تستند الأسس النظرية للدراسة إلى نظرية التداخل الكسري، حيث يتكون IFS من تعيينات انكماشية تتقارب إلى جاذب – مجموعة ثابتة أو منحنى يبقى ثابتًا تحت IFS. يوضح المؤلفون شروط الانكماش ووجود الجاذبات، مؤكدين على تفرد الجاذب المستمد من FIF. تتضمن التطبيق العملي اختيار نقاط البيانات لتشكيل هيكل مربع، بما في ذلك متغير وهمي لضمان انتظام تشكيل المربع. تولد العملية التكرارية أزواجًا متعددة من النقاط، مما يعزز دقة التداخل مع كل تكرار، كما هو موضح في الأشكال والجداول المقدمة. تشير النتائج إلى إطار عمل قوي لتطبيق تقنيات التداخل الكسري على البيانات الواقعية، لا سيما في التنبؤ بالطلب الزراعي.
DOI: https://doi.org/10.18860/cauchy.v11i1.38905
Publication Date: 2026-03-03
Author(s): Eka Susanti et al.
Primary Topic: Mathematical Dynamics and Fractals
Overview
This study addresses the challenge of demand uncertainty in inventory planning by proposing a novel fractal interpolation technique. The method utilizes a Fractal Interpolated Function derived from an affine function that constructs a Box Fractal shape. The technique is specifically applied to interpolate rice demand data in relation to pricing at a rice milling factory, with the accuracy of the interpolation assessed using the Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
The results indicate that the proposed fractal interpolation method achieves its best performance at the 6th iteration, yielding a MAPE of 16.319%, which is classified as good. The findings suggest that the affine function used to create the Box Fractal is effective for demand approximation in this context, demonstrating the potential of fractal interpolation techniques in inventory management applications.
Introduction
The introduction discusses the technique of fractal interpolation, which estimates values between known data points using fractal concepts. This method has been applied across various domains, including seismic analysis, time series data, deep learning, mass transfer in food processing, COVID-19 spread analysis, and financial modeling. The development of fractal interpolation involves adjusting the vertical scaling factor and enhancing the Fractal Interpolated Function (FIF) through nonlinear and affine functions that create fractal shapes.
Notably, the affine function that generates the Sierpinski triangle has been utilized as a FIF, as demonstrated in previous studies. The application of these methods to interpolate rice demand data yielded a Mean Absolute Percentage Error (MAPE) of 23.77% in one study, indicating sufficient accuracy after six iterations, while another study achieved a significantly lower MAPE of 7.15%, categorized as very good. These findings underscore the effectiveness of fractal interpolation in providing accurate estimations in various contexts.
Methods
In this study, a novel fractal interpolation scheme utilizing an affine Iterated Function System (IFS) is introduced, specifically employing a box fractal forming function. The method is based on five affine functions, denoted as \( w_1, w_2, w_3, w_4, \) and \( w_5 \), which iteratively map an initial box into congruent boxes that are scaled down by a factor of \( \frac{1}{3} \). Each function performs specific translations and mappings: \( w_2 \) translates vertically by \( \frac{2}{3} \), \( w_3 \) shifts both horizontally and vertically by \( \frac{1}{3} \), \( w_4 \) shifts horizontally by \( \frac{2}{3} \), and \( w_5 \) shifts both horizontally and vertically by \( \frac{2}{3} \).
The fractal interpolation algorithm follows a structured approach: it begins with four initial data points forming a regular box shape, ensuring that the box encompasses all relevant data values. Distances between these points are calculated to facilitate the mapping process. The affine functions are then applied to generate a new box \( B^* \) through the union of the transformed boxes. This iterative process continues until a satisfactory Mean Absolute Percentage Error (MAPE) is achieved, indicating a high-quality interpolation of the data points.
Results
In this section, the authors present both theoretical and empirical findings related to their proposed approach, which involves the formulation of Box Fractal mappings within the Iterated Function System (IFS) framework. The study specifically applies the resulting Fractal Interpolation Function (FIF) to a rice demand dataset to evaluate the accuracy of interpolation.
The results indicate that the FIF effectively captures the underlying patterns in the rice demand data, demonstrating improved interpolation accuracy compared to traditional methods. This suggests that the integration of Box Fractal mappings within the IFS framework can enhance data modeling in agricultural economics, providing a robust tool for analyzing demand trends.
Discussion
In this study, the authors explore the application of Box Fractals as an Iterated Function System (IFS) for Fractal Interpolation Functions (FIF), emphasizing the significant impact of fractal shape selection on interpolation outcomes. They develop an affine function to construct a box fractal structure, which is then applied to rice demand data from a milling factory. The novelty lies in utilizing an affine mapping to create the box fractal for interpolating rice demand, demonstrating the method’s effectiveness through empirical data spanning five years.
The theoretical foundation of the study is rooted in fractal interpolation theory, where an IFS comprises contractive mappings that converge to an attractor—a fixed set or curve that remains invariant under the IFS. The authors detail the conditions for contractiveness and the existence of attractors, affirming the uniqueness of the attractor derived from the FIF. The practical application involves selecting data points to form a box structure, including a dummy variable to ensure regularity in the box formation. The iterative process generates multiple pairs of points, enhancing the interpolation accuracy with each iteration, as illustrated in the provided figures and tables. The results indicate a robust framework for applying fractal interpolation techniques to real-world data, particularly in agricultural demand forecasting.