تعدد الحلول شبه الكلاسيكية لفئة من الأنظمة البيانية غير الخطية الهاميلتونية Multiplicity of semiclassical solutions for a class of nonlinear Hamiltonian elliptic system

المجلة: Advances in Nonlinear Analysis، المجلد: 13، العدد: 1
DOI: https://doi.org/10.1515/anona-2023-0139
تاريخ النشر: 2024-01-01

تعدد الحلول شبه الكلاسيكية لفئة من الأنظمة البيانية غير الخطية الهاميلتونية

https://doi.org/10.1515/anona-2023-0139
تم الاستلام في 29 أغسطس 2023؛ تم القبول في 26 يناير 2024
الملخص: تتعلق هذه المقالة بالنظام الهاميلتوني البيضاوي التالي:
حيث هو معامل صغير، هو دالة محتملة، و هو هاميلتوني تحت حرجة فوق رباعية. من خلال تطبيق حجج تباينية مناسبة وتقنيات تحليل متطورة، نقوم ببناء نتيجة جديدة لتعدد الحلول شبه الكلاسيكية التي تعتمد على عدد نقاط الحد الأدنى العالمية لـ . تشير هذه النتيجة إلى كيف يؤثر شكل الرسم البياني لـ على عدد الحلول شبه الكلاسيكية.
الكلمات المفتاحية: النظام الهاميلتوني البيضاوي، الحلول شبه الكلاسيكية، التعدد
MSC 2020: 35J50، 35Q40، 58E05

1 المقدمة والنتيجة الرئيسية

في هذه المقالة، نتعامل مع فئة من الأنظمة الهاميلتونية البيضاوية المضطربة بشكل فردي مع حد تدرج
حيث هو معامل إيجابي صغير، هو متجه ثابت، هو دالة محتملة، و و تشير إلى المشتقات الجزئية لـ بالنسبة لـ و . الدافع الرئيسي لدراسة النموذج (1.1) هو أن حلولها هي في الواقع الحالات الثابتة للنظام التالي للتفاعل والانتشار:
الذي يُستخدم لنمذجة تركيزات المواد الكيميائية بسبب التفاعل والانتشار. تعتبر الدالة كإمكان كيميائي، و تمثل التفاعل الفيزيائي الكيميائي الخارجي. علاوة على ذلك، تظهر أيضًا في مجالات مختلفة، مثل الفيزياء والكيمياء، والميكانيكا الكمومية، ونظرية التحكم، والحركات البراونية. لمزيد من المحتويات والتطبيقات التفصيلية في العلوم الفيزيائية وغيرها من المجالات، نوجه القراء لرؤية مؤلفات ناغاساوا [19] وليونز [18].
على مدى العقود القليلة الماضية، جذبت الأنظمة الهاميلتونية البيضاوية مثل (1.1) اهتمامًا كبيرًا بسبب العديد من التطبيقات القوية في مجالات مختلفة، والأدبيات المتعلقة بهذه الأنظمة هائلة وتغطي عدة مواضيع مثيرة للاهتمام في التحليل غير الخطي، بما في ذلك الوجود، وعدم الوجود، والتعدد، وخصائص نوعية أدق للحلول.
عندما ، درس دي فيجويريدو وفيلمر [10] وهولشوف ودي فورت [13] النظام البيضاوي المحدد على المجال المحدود وحصلوا على نتيجة وجود حلول غير تافهة باستخدام نظرية تمرير الجبال العامة في [5]. لاحقًا، تم تأسيس نتيجة الحلول المتعددة بواسطة دي فيجويريدو ودينغ [9]. في حالة أن النظام مستقر في الفضاء الكامل، نحتاج إلى التعامل مع الصعوبة الرئيسية الناتجة عن نقص التجميع في تضمين سوبوليف. بالإضافة إلى ذلك، السمة غير العادية الرئيسية للنظام الهاميلتوني هي أن الوظيفة الطاقية المقابلة غير محددة بشدة. بناءً على الميزتين المذكورتين أعلاه، فإن طرق التباين القياسية مثل طريقة مانيفولد نيهاري ونظرية تمرير الجبال غير متاحة. تم تطوير بعض الحجج التباينية المتطورة لاحقًا من قبل العديد من العلماء للوظائف غير المحددة بشدة. نشير إلى طريقة التباين المزدوج [3،24]، نهج فضاء أورليز [8]، نظرية الربط العامة [4،14]، طريقة التخفيض [7]، وما إلى ذلك. مؤخرًا، من خلال تطبيق بعض الأساليب المقدمة أعلاه، حققت المقالات [15-17،21،27،29-32،36] نتائج الوجود والتعدد للحلول غير التافهة للنظام (1.1) تحت ظروف مختلفة. لمزيد من النتائج، نذكر أيضًا النظرة العامة الأخيرة من بونور وآخرون [6] لمقدمة شاملة جدًا حول النظام الهاميلتوني البيضاوي.
عندما يكون صغيرًا، تُسمى حلول الموجات الثابتة للنظام (1.1) بالحالات شبه الكلاسيكية. واحدة من المبادئ الأساسية في الميكانيكا الكمومية هي مبدأ المطابقة، الذي يشير إلى أن قوانين الميكانيكا الكمومية تتقلص إلى تلك الخاصة بالميكانيكا الكلاسيكية عندما يكون . تعكس ظاهرة التركيز للحالات شبه الكلاسيكية، عندما يذهب إلى الصفر، الانتقال من الميكانيكا الكمومية إلى الميكانيكا الكلاسيكية، وهو ذو معنى في الفيزياء ويعطي رؤى فيزيائية مهمة.
فيما يتعلق بالتحقيق في الحلول شبه الكلاسيكية للنظام (1.1)، نود أن نذكر الأعمال ذات الصلة [3،12،22،23،28،35،37،38]. بدقة أكثر، حصل أفيلا-يانغ [3] على وجود وسلوك تركيز الحدود للحلول الإيجابية لنظام بيضاوي مع شرط حدود نيويمان صفر. من خلال استخدام طريقة تخفيض ليابونوف-شميت ذات الأبعاد اللانهائية، أسس راموس وتافاريس [22] وراموس وسواريز [23] وجود حلول إيجابية تتركز عند نقاط الحد الأدنى المحلية والعالمية للدالة المحتملة . يمكن العثور على نمط تركيز جديد أن الحلول شبه الكلاسيكية تتركز حول نقاط السرج المحلية أو نقاط الحد الأقصى المحلية للدالة المحتملة في زانغ وزانغ [38].
مؤخراً جدًا، أظهر زانغ وآخرون [35] وجود وتركيز (حول نقاط الحد الأقصى للدالة غير الخطية) للحل للنظام التالي مع دالة غير خطية. ظهرت أيضًا نتائج إضافية للنظام مع دوال متنافسة (بما في ذلك الدالة الخطية والدالة غير الخطية) في [37]، حيث تم تأسيس حلول الحالة الأرضية شبه الكلاسيكية التي تتركز حول نقاط الحد الأدنى العالمية للدالة الخطية ونقاط الحد الأقصى العالمية للدالة غير الخطية تحت الشرط العالمي للدالة الخطية
لاحقًا، قام زانغ وآخرون [28] ببناء عائلة من الحلول شبه الكلاسيكية وأظهروا أن ظواهر التركيز تحدث حول الحد الأدنى المحلي لـ تحت الشرط المحلي للدالة المحتملة
حيث هو مجال محدود في . للحصول على نتائج أخرى تتعلق بالنظام الهاميلتوني البيضاوي، نشير إلى [3،12،33] والمراجع الواردة فيها.
نود أن نؤكد أن جميع الأعمال المذكورة أعلاه تركز فقط على وجود وتركيز الحلول شبه الكلاسيكية، لكن نتيجة التعدد للحلول شبه الكلاسيكية لم تُدرس للنظام (1.1) حتى الآن.
مدفوعين بالأعمال [28] و[37]، هدفنا الرئيسي من هذه المقالة هو تكملة النتائج الموجودة في [28] و[37] بالمعنى التالي: نعتزم تأسيس نتيجة جديدة لتعدد الحلول شبه الكلاسيكية للنظام (1.1). لنكون أكثر دقة، في المقالة الحالية سنقوم بدراسة أن عدد نقاط الحد الأدنى العالمية لـ مرتبط مباشرة بعدد الحلول شبه الكلاسيكية عندما يكون صغيرًا، ثم يمكن الحصول على تعدد الحلول.
قبل بيان نتيجتنا نفترض أن الشروط التالية تنطبق على الدالة المحتملة واللاخطية .
هي دالة مستمرة بحيث
توجد نقاط مع بحيث لكل .
يوجد بحيث ، ولبعض و ، هناك
حيث و هو الأس exponent الحرج المعتاد لسوبوليف؛
كـ ، و كـ ؛
تزداد بشكل صارم في على .
نذكر فيما يلي النتيجة الرئيسية لهذه المقالة.
النظرية 1.1. افترض أن الشروط ( و تنطبق. ثم يوجد بحيث يحتوي النظام (1.1) على ما لا يقل عن حلول شبه كلاسيكية لكل .
نود أن نشير إلى أن النتيجة الواردة في هذه المقالة تشير إلى كيف يؤثر شكل الرسم البياني لـ على عدد الحلول شبه الكلاسيكية، وأن استنتاج التعدد للحلول شبه الكلاسيكية يكمل العديد من المساهمات الحديثة لدراسة النظام الهاميلتوني البيضاوي مع هيكل تبايني غير محدد بشدة.
بعد ذلك، نرسم استراتيجيات وطرق إثبات النتيجة الرئيسية. سيتم تنفيذ إثبات النظرية 1.1 باستخدام طرق تباينية مناسبة وتقنيات تحليل متطورة. كما هو موضح في المقدمة السابقة، فإن الهيكل غير المحدد بشدة للوظيفة الطاقية ونقص التجميع هما صعوبتان رئيسيتان نواجههما في السعي للوجود الحلول شبه الكلاسيكية.
أولاً، سنستفيد من طريقة مانيفولد نيهاري العامة التي طورها سزولكين وويث [25] للتغلب على الصعوبة الناتجة عن الخصائص غير المحددة بشدة. من الجدير بالذكر أن بعض التقديرات التي تم إثباتها في المقالة الحالية استلهمت أيضًا من الحجج الموجودة في [25]؛ ومع ذلك، من الضروري أن نكون أكثر دقة لأن المشاكل مختلفة وبعض التقديرات لا يمكن القيام بها بنفس الطريقة كما في المقالة [25]. ثانيًا، يجب علينا إثبات أن الدالة الطاقية تمتلك خاصية الانضغاط الضرورية عند مستوى مينيمكس معين لحل الصعوبة الناجمة عن نقص الانضغاط. سيتم تحقيق هذه النقطة الرئيسية من خلال استخدام حجة مقارنة الطاقة لتأسيس بعض العلاقات المقارنة الدقيقة لمستوى الطاقة الأساسية بين المشكلة الأصلية وبعض المشاكل المساعدة. أخيرًا، من أجل إثبات نتيجة التعددية، نحصل على عدة استنتاجات مفيدة جدًا من خلال استخدام خاصية خريطة المركز الثقل، والتي تساهم في بناء بعض تسلسلات باليه-سمال مختلفة. علاوة على ذلك، من خلال دمج مبدأ إكلاند للتباين، وتقنية مشكلة الحدود، وأدوات التحليل المتطورة، يمكننا بناء الحلول شبه الكلاسيكية.
تنظيم بقية هذه المقالة هو كما يلي. في القسم 2، نقدم إطارًا تباينيًا مناسبًا مرتبطًا بالنظام (1.1) ونثبت بعض النتائج الأولية المفيدة. في القسم 3، نقدم وجود وبعض خصائص حلول الحالة الأساسية للنظام ذي المعاملات الثابتة. القسم 4 مخصص لإثباتات كاملة لنظرية 1.1.

2 الإطار التبايني والنتائج الأولية

خلال المقال الحالي، نستخدم الرموز التالية التي ستستخدم لاحقًا.
  • يدل على المعيار المعتاد لمساحة ليبغ لـ ؛
  • يدل على الناتج الداخلي لـ ؛
  • تشير (ربما بشكل مختلف) إلى أي ثوابت إيجابية، قيمها ذات صلة؛
  • و تشير إلى الطيف والطيف الأساسي للمشغل .
في هذا القسم، سنقدم فضاء الدوال الذي سيعمل مع النظام (1.1) وبعض النتائج الأولية التي تعتبر حاسمة في نهجنا.
من أجل إثبات النتيجة الرئيسية، لا نتعامل مع النظام (1.1) مباشرة، بل ندرس نظامًا مكافئًا للنظام (1.1). في الواقع، باستخدام تغيير المتغير يمكننا إعادة كتابة النظام (1.1) على النحو التالي كنظام مكافئ:
من الواضح أننا يمكن أن نرى أنه إذا هو حل لنظام (2.1)، إذن
هو حل لنظام (1.1). لذلك، سنقوم بدراسة النظام المعادل (2.1) بعد ذلك.
للمتابعة في المناقشة، نقدم الرموز التالية. لنفترض
و نحن نُشير
ثم يمكن إعادة كتابة النظام (2.1) كالتالي
الآن نؤسس الإطار التبايني للنظام (2.1)، نجمع بعض خصائص طيف المشغل التي يمكن العثور على براهينها في [29]، لذا نغفل التفاصيل.
الليما 2.1. المشغل هو مشغل ذاتي الترافق على مع النطاق .
اللمّا 2.2. لدينا الاستنتاجان التاليان حول الطيف من :
(أ) ، أي، يمتلك فقط الطيف الأساسي؛
(ب) و متماثل بالنسبة للأصل.
من الواضح أنه يتبع من اللمحات 2.1 و 2.2 أن الفضاء يمتلك التحليل العمودي التالي:
بحيث سالب محدد (أو موجب محدد) في (أي ).
مُشيرًا إلى القيمة المطلقة لـ و بواسطة جذرها التربيعي من “، ودع كن مجال المشغل الذاتي المرافق ، وهو فضاء هيلبرت مزود بالضرب الداخلي
والمعيار . منذ ، يتبع ذلك أن له التحلل التالي:
الذي يكون عمودياً بالنسبة للمنتجات الداخلية و علاوة على ذلك، استخدام التحلل القطبي لـ يمكننا الحصول على ذلك
من الواضح، منذ يمكننا أن نعرف أن
من [29، ليمما 2.4]، يتبع أن و هما معياران متكافئان. ومن ثم، لدينا نظرية التضمين، أي، يتضمن باستمرار في لكل وبشكل مضغوط إلى لكل . ثم، يوجد ثابت موجب بحيث
وفقًا للشروط ( ) و ( يمكننا أن نستنتج أنه بالنسبة لأي هناك بحيث
أين . علاوة على ذلك، من يمكننا أن نستنتج أن
تحت التعليقات أعلاه، يمكننا تعريف الدالة الطاقية المرتبطة بالنظام (2.1) بواسطة
أين و يدل على المنتج الداخلي المعتاد في استخدام التحلل القطبي لـ الدالة الطاقية له تمثيل آخر كما يلي:
من اللمّا 2.2 يمكننا أن نرى أن غير محدد بشكل قوي. فرضياتنا تشير إلى أن من خلال الحجة القياسية نعلم أن النقاط الحرجة لـ هي حلول النظام (2.1)، و لـ ، هناك يحمل
نلاحظ أنه إذا هو نقطة حرجة غير تافهة لـ ثم يمكننا أن نحصل من (2.6) على
من ناحية أخرى، لأي “، باستخدام ( )، (2.3)، و (2.6) نحصل على
لذلك، يمكننا أن نرى أن جميع النقاط الحرجة غير التافهة لـ في الفضاء .
بعد ذلك نعتبر المجموعة التالية التي قدمها بانكوف [20]
تمت دراسته بعمق بواسطة سزولكين وويث [25]. وفقًا لمصطلحات سزولكين وويث [25]، المجموعة يسمى مانيفولد نيهاري العام، ويحتوي على جميع النقاط الحرجة غير التافهة لـ دعنا نُشير إلى قيمة الطاقة المحددة بواسطة
إذا يتم تحقيقه بواسطة ، ثم يسمى حل الحالة الأرضية للنظام (2.1).
علاوة على ذلك، لكل نحتاج أيضًا إلى تعريف الفضاء الفرعي
والمجموعة المحدبة
نقدم تقديرًا حاسمًا، يلعب دورًا رئيسيًا في طريقة مانيفولد نيهاري المعمم.
العبارة 2.3. افترض أن ، و مع ثم لدينا التقدير التالي:
على وجه الخصوص، دع ، و مع ، هناك يحمل
برهان. لنفترض أن ، و مع ، عند الحساب مباشرة، لدينا
أين
من ناحية، استخدام ) و (2.3) نستنتج أن
من ناحية أخرى، استخدام الشروط وبناءً على الحجج التي تم استكشافها في [36] (انظر أيضًا [32، ليمما 2.5])، يمكننا التحقق من أن للجميع . لذلك، نحصل على الاستنتاج الأول من التقدير أعلاه. علاوة على ذلك، نأخذ و ثم نعلم أن من الواضح أننا نحصل على الاستنتاج الثاني.
وفقًا لل lemma 2.3، يمكننا الحصول على نتيجة مباشرة، وهي إذا ، ثم هو الحد الأقصى العالمي الفريد لـ .
اللمّا 2.4. افترض أن الشروط ( ) و ( انتظر. ثم لدينا
(أ) توجد ثوابت موجبة اثنان و بحيث ، حيث
(ب) للجميع .
برهان. (أ) لن ثم من (2.3) و(2.4) و(2.5) نستنتج أن
منذ و يمكننا أن نجد أن هناك ثابتين إيجابيين و كلاهما مستقل عن بحيث .
من ناحية أخرى، دع ، إذن يوجد بحيث لذا من اللمّا 2.3 يمكننا أن نستنتج أن
لذلك، نوضح أن الاستنتاج (أ) صحيح.
(ب) دع “، باستخدام ( )، (2.6)، والاستنتاج (أ)، يمكننا الحصول على
وبذلك، يتبع أن
إكمال الإثبات.
العبارة 2.5. إذا إذا كانت مجموعة مضغوطة، فهناك بحيث على لكل .
برهان. دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن للجميع افترض بالتناقض أنه يوجد و مُرضٍ للجميع و كـ . كـ مضغوط، حتى تسلسل فرعي، مع .
الإعداد ، حيث و . من الواضح أننا لدينا الانتقال إلى سلسلة فرعية، في في ، و أ.هـ. . من ( )، (2.3)، و (2.6) يمكننا أن نستنتج أن
الذي ينتج أن ، وهكذا . إذا لم يكن هذا صحيحًا، فإن من عدم المساواة أعلاه يمكننا أن نرى أن ، الذي يتعارض مع .
إيجار . ثم ، و في . وبالتالي، استخدام ( ) ومبدأ فاتو نحصل على
وهو أمر سخيف. لقد اكتمل البرهان.
لأغراض الإثبات لاحقًا، نحتاج إلى إثبات العلاقة المعادلة بين معيارين. وفقًا لـ ( ) و (2.3)، من السهل الحصول على التقديرات التالية:
و
من الواضح أن (2.7) و (2.8) تعطي أن المعيار
حيث الرمز يدل على تساوي معيارين.
العبارة 2.6. لكل المجموعة يتكون من نقطة واحدة بالضبط ، وهو الحد الأقصى العالمي الفريد لـ بعبارة أخرى، هناك وجود فريد و بحيث و
علاوة على ذلك، إذا ، ثم و .
برهان. نتبع بعض الأفكار الموجودة في [25]. في الواقع، وفقًا لل lemma 2.3، يكفي أن نثبت أن . منذ يمكننا أن نفترض أن . من اللمّا 2.5، نجد أنه يوجد بحيث لـ علاوة على ذلك، فإن اللمّا 2.4 تشير إلى أن للصغير . لذا، . إذا هو شبه مستمر ضعيف من الأعلى على ثم يمكننا أن نجد بحيث ، و هو نقطة حاسمة من . وبالتالي، للجميع ، مما يدل على أن .
بعد ذلك نحتاج إلى إظهار أن هو شبه مستمر ضعيفًا من الأعلى على . دع في مع و ، ثم و في . ومن ثم، باستخدام (2.8)، قاعدة فاتو واستمرارية النورم الضعيفة السفلية، يمكننا أن نستنتج أن
حيث نستخدم الحقيقة التالية:
هذا يُظهر أن هو شبه مستمر علوياً بشكل ضعيف على تم الانتهاء من الإثبات.
نشير إلى أنه، نتيجة لل lemma 2.6، فإن قيمة طاقة الحالة الأساسية لها توصيف مينيمكس يُعطى بواسطة
اللمّا 2.7. يُجبر على ، أي، كـ .
برهان. لنفترض بالتناقض أن هناك سلسلة بحيث و لبعض السماح ، الانتقال إلى سلسلة فرعية، ثم في و أ.هـ. على يتبع من اللمحة 2.4 أن
بناءً على مبدأ تركيز ليون، سنناقش في ما يلي حالتين: الاختفاء أو عدم الاختفاء.
إذا يختفي، فإن ليمّا الاختفاء الموجود في [26، ليمّا 2.1] ينتج أن في للجميع . لذلك، لأي نستنتج من (2.5) أن
منذ لـ ثم باستخدام اللمحة 2.3، (2.11)، و(2.12) يمكننا الحصول على
وهو أمر سخيف إذا كبير بما فيه الكفاية. لذا فإن حالة الاختفاء لا تحدث.
إذا إذا كانت غير متلاشية، فهناك وسلسلة بحيث
دعنا نعتبر التسلسل ثم يتبع ذلك
من الواضح أننا يمكننا أن نجد بحيث في مع .
الإعداد . ثم ولكل “. لذلك، استخدام ( ) ومبدأ فاتو يمكننا أن نستنتج أن
من الواضح أننا نحصل على تركيز. لذا، نكمل إثبات اللمّة.
الآن سنقوم بالتحقق من استمرارية الخريطة المعطاة في اللمحة 2.6.
العبارة 2.8. الخريطة مستمر.
برهان. سنعتمد على الحجج المماثلة كما في برهان [25، ليمّا 2.8] لإثبات النتيجة. دع ، في ضوء حجة معيارية، استمرارية في يتم اختزاله إلى التأكيد التالي:
دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن للجميع ، لذا . بواسطة اللمّا 2.5، نجد أنه يوجد بحيث
لذلك، محدود بواسطة اللمحة 2.7. حتى تسلسل فرعي، يمكننا أن نفترض أن
أين بواسطة اللمّة 2.4. علاوة على ذلك، باستخدام اللمّة 2.6 يمكننا استنتاج أن
بتطبيق ليمّا فاتو واستمرارية النصف السفلية الضعيفة للمعيار، ودمج (2.9) يمكننا أن نستنتج أن
مما يعني أن في علاوة على ذلك، فإن الحجة أعلاه تؤدي أيضًا إلى أن
الذي يظهر أن . لذلك، يمكننا أن نرى أن
لذا فإن الادعاء يتبع، مما يكمل البرهان.
استنادًا إلى التعليقات أعلاه، سنقدم بعد ذلك بعض النتائج المهمة لطريقة مانيفولد نيهاري المعممة. للقيام بذلك، نحدد في واعتبر الخرائط التالية
وعكس هو
من اللمّا 2.8، ليس من الصعب أن نرى أن هو تآلف.
من الآن فصاعدًا، دعونا نعتبر الدالة التخفيفية
من الواضح أن اللمّا 2.8 يظهر أنها مستمرة.
تحدد النتائج التالية بعض الخصائص الحاسمة المتعلقة بالوظائف المخفضة و ، التي تلعب دورًا أساسيًا في دراسة وجود حلول الحالة الثابتة لمشاكل التباين غير المحددة بشدة. وتستند براهينها إلى براهين [25، الاقتراح 2.9، النتيجة 2.10].
اللمّا 2.9. لدينا الخصائص التالية:
(أ) ومن أجل و ،
(ب) ولكل و ،
(ج) هو تسلسل (PS) لـ إذا وفقط إذا هو تسلسل (PS) لـ .
(د) نقطة حاسمة من إذا وفقط إذا نقطة حاسمة من . علاوة على ذلك، القيم المقابلة لـ و يتزامن و

3 مشكلة مستقلة

سنستند إلى تقنيات مشكلة الحدود لمساعدتنا في إثبات النتيجة الرئيسية. ولهذا الغرض، في هذا القسم نحتاج إلى دراسة وجود وبعض خصائص حلول الحالة الأساسية لنظام المعاملات الثابتة.
دع نبدأ بالنظر في المشكلة الذاتية:
من المعروف جيدًا أن حلول المشكلة (3.1) هي بالضبط نقاط حرجة للدالة الطاقية المعرفة بواسطة
مماثل للقسم السابق، نحدد المتنوع العام المرتبط بنهاري
وقيمة طاقة الحالة الأساسية
باستخدام نفس الحجج المستخدمة في القسم السابق، يمكننا أن نعرف أنه لكل المجموعة هي مجموعة فردية، وعنصر هذه المجموعة هو الحد الأقصى العالمي الفريد لـ أي أنه يوجد زوج فريد و بحيث
وبناءً عليه، يمكننا تعريف الخرائط
وعكس هو
في هذه الأثناء، نعتبر الدالة التناقصية والقيود
نود أن نوضح أنه، باستخدام نفس المناقشات التي تم استكشافها في القسم 2، تظل جميع الاستنتاجات والخصائص ذات الصلة في القسم 2 سارية لـ ، و ، على التوالي. هنا نتجنب تفاصيل الإثبات.
علاوة على ذلك، لدينا أيضًا توصيف مينيمكس لقيمة طاقة الحالة الأساسية.
نحن الآن نذكر نتيجة وجود الحل في الحالة المستقرة للمشكلة الذاتية (3.1).
اللمّا 3.1. افترض أن و إذا تم الاحتفاظ، فإن المشكلة (3.1) تمتلك حلاً في حالة القاع بحيث .
برهان. أولاً، يتبع من اللمحة 2.4 أن . نلاحظ أنه إذا يُرضي ثم من اللمحة 2.9 يمكننا أن نرى أن
هذا يُظهر أن هو مُقلل لـ ، ومن ثم نقطة حاسمة من لكي نقطة حاسمة من بواسطة اللمّة 2.9.
وبذلك، يبقى إثبات أنه يوجد مُقلل بحيث في الواقع، باستخدام مبدأ إيكيلاند للتغيرات [26]، يوجد تسلسل بحيث و كـ . دع للجميع . ثم تظهر النتيجة 2.9 أن و بناءً على اللمّا 2.7، من السهل أن نرى أن محدود في ومن ثم في لبعض بعد الانتقال إلى سلسلة فرعية.
دع كن تسلسلاً يحقق
باستخدام حقيقة أن و ثابتة تحت التحويلات، يمكننا أن نفترض أن محدود في . إذا
ثم، مبدأ تركيز كثافة الأسود [26، ليمما 2.1] ينتج أن في لأي من (2.5) يمكننا أن نستنتج أن
ويترتب على ذلك
هذا مستحيل لأن ، ومن ثم فإن (3.2) لا يمكن أن تكون صحيحة.
دعنا نحدد ثم نحصل مباشرة على و
علاوة على ذلك، هناك
لذلك، يمكننا أن نجد بحيث في في للجميع ، و أ.هـ. من (3.3) و (3.4) يمكننا أن نستنتج أن .
أخيرًا، سنظهر أن باستغلال ليمّا فاتو (Fatou’s lemma) والمعادلة (2.6)، يمكننا استنتاج أن
مما يعني أن تتبع المعادلة العكسية من التعريف منذ . لذا، هو حل للحالة الأساسية للمشكلة (3.1)، مما يكمل الإثبات.
كنتيجة ثانوية لل lemma 3.1، نحصل على الاستنتاج الذي يتضمن التزايد والاستمرارية لـ .
العبارة 3.2. الدالة يزداد بشكل صارم ومستمر على ( ).
برهان. فيما يلي، دع و كن كحل الحالة الأساسية لـ و افترض أن أولاً، نثبت أن الدالة في تزايد. بموجب ليمّا 2.6، توجد و بحيث
ثم يتبع أن
منذ من السهل أن نرى أن
هذا يُظهر أن الدالة يزداد بشكل صارم على ( ). بعد ذلك سنأخذ حالتين لإكمال إثبات الاستمرارية لـ .
الحالة 1: دع كن تسلسلاً بحيث و .
الادعاء: كـ .
إنه حقًا، دع كن الحل في حالة الأرض للمشكلة (3.1). بالنظر إلى اللمحة 2.6، يمكننا أن نجد أنه يوجد و بحيث
عند الحساب مباشرة، لدينا
الذي ينتج أن من اللمّا 2.5، يوجد بحيث
وفقًا لخاصية التزايد نحصل على الفور
الذي مع (3.5) ينتج أن . لذلك، محدود في . ثم، يمكننا أن نستنتج أن
من ناحية أخرى، بما أن للجميع ثم نوضح أن
الحالة 2: دع كن تسلسلاً بحيث و .
الادعاء: كـ .
إنه حقًا، دع كن الحل في الحالة الأساسية للمشكلة (3.1) مع ثم يوجد و بحيث
مماثل للحجة السابقة، يمكننا بسهولة الحصول على أن التسلسل محدود. علاوة على ذلك، يمكننا أن نجد أن هناك و بحيث لكل لدينا
إذا لم يكن كذلك، باستخدام مبدأ تركيز ليونز وكثافته لدينا في للجميع . ثم يمكننا التحقق من ذلك
وبذلك، يتبع أن
الذي يظهر أن منذ مُتناقضًا مع الحقيقة . لذا، (3.6) صحيح.
الإعداد يمكن للمرء التحقق من أن محدود، حتى تسلسل فرعي، في . يدل على ، ومن ثم محدود والتسلسل لا يتقارب ضعيفًا إلى الصفر في . ثم باستخدام اللمّة 2.5، يوجد بحيث أنه لكل نحصل على
دعنا نحدد لدينا
من جمع (3.7) و (3.8)، نعلم للجميع ، ثم ، مما يعني أن التسلسل محدود في . ثم يتبع ذلك أن
دمج هذا مع حقيقة أن للجميع نظهر أن
هذا يكمل البرهان.
أخيرًا، من أجل إنهاء هذا القسم، نثبت نتيجة التراص التي ستكون مفيدة في تحليلنا.
اللمّا 3.3. دع كن تسلسل باليه-سمال عند المستوى لـ مع في . ثم، لدينا الاستنتاجات التالية:
(أ) في ; أو
(ب) يوجد مع بحيث أن التسلسل يتقارب بشدة إلى في لبعض .
برهان. نبدأ البرهان بإظهار أنه إذا ، فإن الاستنتاج (أ) صحيح. في الواقع، إذا كان هو تسلسل باليه-سمال عند المستوى لـ ثم من السهل أن نرى أن . إذا ، يتبع ذلك أن و
باتباع بعض أفكار الإثبات [11، ليمما 6.7]، يمكننا التحقق من أن
هذا، مع (3.9)، ينتج أن و باستخدام حقيقة أن الدالة الصفرية 0 هي نقطة حرجة معزولة لـ نستنتج أن في .
الآن سنقوم بالتحقق مما إذا كان ، فإن الاستنتاج (ب) صحيح. في الواقع، إذا كان ، مجادلين كما في النتيجة السابقة، يمكننا أن نجد أن هناك و بحيث
منذ في ليس من الصعب أن نرى أن هو تسلسل غير محدود. ضبط ، ثم و . يتبع ذلك أن هو أيضًا تسلسل باليه-سمال عند المستوى لـ مع في و أي، من خلال تكرار الحجج المذكورة أعلاه التي تم استكشافها في (أ)، يمكننا استنتاج أن في ، إكمال الإثبات.

4 إثبات النظرية 1.1

في هذا القسم، نثبت بعض النتائج المهمة ونقدم برهان نتيجة التعددية للحلول شبه الكلاسيكية للنظام (1.1).
لإثبات النتائج الرئيسية، سنستخدم بعض الاستنتاجات من مشكلة الحدود. للقيام بذلك، نعتبر النظام الحدّي التالي:
لراحة الاستخدام، سنستخدم بعد ذلك الرموز ، و للدلالة على الوظيفة الطاقية المرتبطة، وقيمة طاقة الحالة الأرضية، ومانيفولد نيهاري للنظام (4.1) على التوالي.
بعد ذلك، نقدم العلاقة بين قيمة طاقة الحالة الأساسية للنظام (2.1) والنظام الحدّي (4.1)، وهذا أمر بالغ الأهمية في حججنا التالية.
الحد 4.1. لدينا الحد .
برهان. لن كـ من الواضح أنه باستخدام اللمّة 3.2 نعلم أن للجميع ، وهكذا .
من ناحية أخرى، يمكننا من اللمّا 3.1 أن نرى أن النظام (4.1) لديه حل في حالة القاع . ثم باستخدام اللممة 2.6 يمكننا أن نجد أنه يوجد و بحيث و
مماثل للحجج السابقة، يمكننا أن نعرف أن محدود في . وبالتالي، يمكننا أن نفترض أن و في وبذلك، باستخدام (2.7) و(2.9) وتطبيق الاستمرارية شبه المستمرة السفلية الضعيفة للمعيار وليمّة فاتو، نحصل على
من الواضح أننا يمكننا الحصول على
ونكمل الإثبات.
كنتيجة ثانوية لل lemma 4.1، يمكننا الحصول مباشرة على النتيجة التالية.
اللمّا 4.2. افترض أن الشرط ( ) يمسك، ثم هناك بحيث لـ .
برهان. وفقًا للشرط نحن نعلم أن . ثم باستخدام اللمحة 3.2 لدينا . يتبع من اللمحة 4.1 أنه يوجد صغير بما يكفي بحيث للجميع .
من و نلاحظ أن ، ثم . بعد ذلك نحدد معايير الانضغاط للوظيفة ، وهو أمر حاسم في نهجنا.
اللمّا 4.3. الدالة يحقق شرط التراص لـ ، حيث .
برهان. لن كن تسلسل باليه-سمال عند المستوى لـ مع . من اللمّا 2.9، هو تسلسل باليه-سمال عند المستوى للوظائفية . ثم، محدود في ، ومن خلال الانتقال إلى سلسلة فرعية، يمكننا أن نفترض أن في و أ.هـ. في .
الإعداد ثم، مشابهًا لإثبات [34، ليمما 5.2]، نحصل على النتائج التالية:
لاحظ أنه منذ نحصل على علاوة على ذلك، باستخدام (2.6) يمكننا استنتاج أن
هذا، مع (4.2)، يؤدي إلى أن
من الواضح أن هو تسلسل باليه-سمال عند المستوى لـ مع .
الادعاء: لكل ثابت، هناك يمسك
إذا كانت المطالبة صحيحة، فإنه باستخدام مبدأ تركيز الأسود، يمكننا أن نعرف أن في لأي . من الحقائق أن الإسقاط العمودي لـ على و مستمرة في لدينا و في لأي وبالتالي، يتبع من (2.5) أن
باستخدام (4.3) و (4.6) يمكننا الحصول على
لذلك، يمكننا أن نرى أن أي، في .
فيما يلي، سنظهر أن الادعاء صحيح. في الواقع، إذا لم يكن الادعاء صحيحًا، فهناك و بحيث
هذا يضمن أن هو تسلسل غير محدود لأن الإعداد ، ثم محدود في بـ (4.7) لدينا
وبذلك، يمكننا أن نجد أنه يوجد بحيث في و أ.هـ. في .
من ناحية أخرى، وفقًا لحقيقة أن للجميع يمكننا التحقق من أن للجميع ، مما يدل على أن هو نقطة حرجة غير تافهة لـ . يتبع ذلك أن
هذا، مع تعريف يؤدي إلى أن . من الواضح أننا نحصل على تناقض لأن (انظر اللمحة 3.2)، مما يكمل الإثبات.
دعونا نحدد أدناه بحيث
  • لـ و ؛
  • ؛
  • .
علاوة على ذلك، نحدد خريطة المركز الثقل بواسطة
أين يتم إعطاؤه بواسطة
استنادًا إلى الحجج في [2]، يمكننا إثبات اللمّة المهمة التالية، التي تكون مفيدة جدًا للحصول على تسلسلات لـ .
اللمّا 4.4. يوجد و بحيث إذا و ، ثم للجميع .
برهان. افترض بالتناقض أن هناك ، و بحيث
بموجب اللمّا 2.6، توجد و بحيث . ثم، من أجل لدينا
مما يتبع أن
من مبدأ إيكيلاند للتغيرات، يمكننا أن نفترض أن . ومن ثم، يمكننا أن نرى أن يُرضي
باستخدام اللمحة 3.3، هناك حالتان تحتاجان إلى التحليل.
(أ) في ; أو
(ب) يوجد مع بحيث أن التسلسل يتقارب بشدة إلى في لبعض .
من الواضح أنه إذا كانت (أ) صحيحة، فإن لدينا في منذ هو تآلف من إلى . لكن، إذا
(ب) صحيح، إذن لدينا في . بعد ذلك سنستخدم العلاقة التالية:
الحالة (أ): شكرًا للاستنتاج في ثم بتطبيق نظرية التقارب المهيمن لليبيغ يمكننا استنتاج أن
هذا يُظهر أن لـ كافية، ونحصل على تناقض.
الحالة (ب): الإعداد ، و هنا هناك احتمالان يحتاجان إلى المناقشة: و لبعض .
إذا كانت الحالة التي يحدث، بالنظر إلى اللمحة 2.6 نجد أن و بحيث ; يتبع من في ذلك
الذي يتعارض مع الحقيقة ، حيث للجميع .
إذا كانت الحالة التي لبعض يحدث. باستخدام حجة مشابهة يمكننا أن نوضح أن و . من ناحية أخرى، إذا نستنتج من اللمحة 3.2 أن ، وهو تناقض. ومن ثم، وفقًا لـ لدينا و لبعض علاوة على ذلك، يمكننا الحصول على
هذا يُظهر أن لـ كبير بما فيه الكفاية، وهو أمر سخيف. نكمل الإثبات.
من الآن فصاعدًا، سنستخدم الرموز التالية:
والأرقام
اللمّا 4.5. يوجد بحيث
لجميع ، حيث .
برهان. لن كن حلاً في حالة القاع لنظام الحدود (4.1)، ثم و الإعداد ثم بموجب اللمحة 2.9 لدينا
لـ و دعنا نحدد الدالة . من الواضح أن السماح نثبت أن الاستنتاج التالي صحيح
بالفعل، منذ لبعض و باستخدام متغير بسيط متغير، يمكننا الحصول على
وبالمثل، باستخدام التعليقات السابقة يمكننا أن نرى أن محدود في ، ومن ثم، يمكننا أن نفترض أن و كـ لذلك، بعد إثبات اللمحة 4.1، نحصل على
لجميع من الواضح أنه يتبع أن (4.8) صحيح.
مرة واحدة كـ ، يظهر أنه بالنسبة لـ صغير بما فيه الكفاية
لبعض . وبالتالي، يوجد بحيث
ثم، تناقص إذا لزم الأمر،
إظهار عدم المساواة الأول.
لإثبات المتباينة الثانية، نتذكر أنه إذا ثم
يؤدي إلى . لذلك، باستخدام اللمحة 4.4 نعلم أنه يوجد بحيث
من حيث يتبع أن
من الواضح، من (4.9) و (4.10) يمكننا أن نستنتج أن
أين . هذا ينهي إثبات اللمّة.
أخيرًا، سنثبت النظرية 1.1.
إثبات النظرية 1.1 (مكتمل). وفقًا لل lemma 4.5، يوجد بحيث
من خلال الجدال كما في [1، نظرية 1.1]، يمكننا تطبيق مبدأ إيكيلاند للتغيرات للحصول على تسلسل لـ الليما 4.5 ينتج أن ، ثم بموجب اللمحة 4.3 هناك بحيث في . لذلك، لدينا
لاحظ أنه، منذ
نستنتج أن لـ مع . وبالتالي، يمتلك على الأقل نقاط حرجة غير تافهة للجميع على باستغلال اللمّا 2.9 نعلم أن يمتلك على الأقل نقاط حرجة غير تافهة للجميع على العودة إلى النظام (1.1) مع استبدال المتغير ، ثم نرى أن النظام (1.1) لديه على الأقل حلول شبه كلاسيكية لكل ، مما يكمل إثبات النظرية 1.1.
الشكر والتقدير: تم دعم هذا العمل من قبل المؤسسة الوطنية للعلوم الطبيعية في الصين (12271152)، ومؤسسة العلوم الطبيعية في مقاطعة هونان (2022JJ30200)، والمشروع الرئيسي لمشروع البحث العلمي في وزارة التعليم بمقاطعة هونان (22A0461، 23A0478).
تعارض المصالح: يعلن المؤلفون أنهم ليس لديهم مصالح متنافسة.
بيان توفر البيانات: لا ينطبق مشاركة البيانات على هذه المقالة حيث لم يتم إنشاء أو تحليل أي مجموعات بيانات خلال الدراسة الحالية.

References

[1] C. O. Alves, On existence of multiple normalized solutions to a class of elliptic problems in whole , Z. Angew. Math. Phys. 73 (2022), 97.
[2] C. O. Alves, R. N. de Lima, and A. B. Nóbrega, Existence and multiplicity of solutions for a class of Dirac equations, J. Differential Equations 370 (2023), 66-100.
[3] A. I. Ávila and J. Yang, On the existence and shape of least energy solutions for some elliptic systems, J. Differential Equations 191 (2003), 348-376.
[4] T. Bartsch and Y. Ding, Deformation theorems on non-metrizable vector spaces and applications to critical point theory, Math. Nach. 279 (2006), 1267-1288.
[5] V. Benci and P. Rabinowitz, Critical point theorems for indefinite functionals, Invent. Math. 52 (1979), 241-273.
[6] D. Bonheure, E. dos Santos, and H. Tavares, Hamiltonian elliptic systems: a guide to variational frameworks, Port. Math. 71 (2014), 301-395.
[7] D. Bonheure, E. dos Santos, and M. Ramos, Ground state and non-ground state solutions of some strongly coupled elliptic systems, Trans. Am. Math. Soc. 364 (2012), 447-491.
[8] D. G. De Figueiredo, J. M. do Ó, and B. Ruf, An Orlicz-space approach to superlinear elliptic systems, J. Funct. Anal. 224 (2005), 471-496.
[9] D. G. De Figueiredo and Y. Ding, Strongly indefinite functions and multiple solutions of elliptic systems, Trans. Am. Math. Soc. 355 (2003), 2973-2989.
[10] D. G. De Figueiredo and P. L. Felmer, On superquadiatic elliptic systems, Trans. Am. Math. Soc. 343 (1994), 97-116.
[11] Y. Ding, Variational Methods for Strongly Indefinite Problems, Interdisciplinary Mathematical Sciences, vol. 7, World Scientific Publications, Singapore, 2007.
[12] Y. Ding, C. Lee, and F. Zhao, Semiclassical limits of ground state solutions to Schrödinger systems, Calc. Var. 51 (2014), 725-760.
[13] J. Hulshof and R. C. A. M. De Vorst, Differential systems with strongly variational structure, J. Funct. Anal. 113 (1993), 32-58.
[14] W. Kryszewki and A. Szulkin, Generalized linking theorem with an application to semilinear Schrödinger equation, Adv. Differential Equations 3 (1998), 441-472.
[15] Q. Li, J. Nie, and W. Zhang, Existence and asymptotics of normalized ground states for a Sobolev critical Kirchhoff equation, J. Geom. Anal. 33 (2023), 126.
[16] G. Li and J. Yang, Asymptotically linear elliptic systems, Commun. Part. Differ. Equ. 29 (2004), 925-954.
[17] F. Liao and W. Zhang, New asymptotically quadratic conditions for Hamiltonian elliptic systems, Adv. Nonlinear Anal. 11 (2022), 469-481.
[18] J. L. Lions, Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1971.
[19] M. Nagasawa, Schröinger Equations and Diffusion Theory, Birkhäser, Boston, 1993.
[20] A. Pankov, Periodic nonlinear Schrödinger equation with application to photonic crystals, Milan J. Math. 73 (2005), 259-287.
[21] D. Qin, X. Tang, and J. Zhang, Ground states for planar Hamiltonian elliptic systems with critical exponential growth, J. Differential Equations 308 (2022), 130-159.
[22] M. Ramos and H. Tavares, Solutions with multiple spike patterns for an elliptic system, Calc. Var. 31 (2008), 1-25.
[23] M. Ramos and S. H. Soares, On the concentration of solutions of singularly perturbed Hamiltonian systems in , Port. Math. 63 (2006), 157-171.
[24] B. Sirakov and S. H. Soares, Soliton solutions to systems of coupled Schröinger equations of Hamiltonian type, Trans. Am. Math. Soc. 362 (2010), 5729-5744.
[25] A. Szulkin and T. Weth, Ground state solutions for some indefinite variational problems, J. Funct. Anal. 257 (2009), 3802-3822.
[26] M. Willem, Minimax Theorems, Birkhäuser, Boston, 1996.
[27] M. Yang, W. Chen, and Y. Ding, Solutions of a class of Hamiltonian elliptic systems in , J. Math. Anal. Appl. 352 (2010), 338-349.
[28] J. Zhang, J. Chen, Q. Li, and W. Zhang, Concentration behavior of semiclassical solutions for Hamiltonian elliptic system, Adv. Nonlinear Anal. 10 (2021), 233-260.
[29] F. Zhao and Y. Ding, On Hamiltonian elliptic systems with periodic or non-periodic potentials, J. Differential Equations 249 (2010), 2964-2985.
[30] F. Zhao, L. Zhao, and Y. Ding, Multiple solutions for asympototically linear elliptic systems, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 15 (2008), 673-688.
[31] F. Zhao, L. Zhao, and Y. Ding, Multiple solution for a superlinear and periodic elliptic system on , Z. Angew. Math. Phys. 62 (2011), 495-511.
[32] J. Zhang and W. Zhang, Existence and decay property of ground state solutions for Hamiltonian elliptic system, Comm. Pure Appl. Anal. 18 (2019), 2433-2455.
[33] J. Zhang and W. Zhang, Semiclassical states for coupled nonlinear Schrödinger system with competing potentials, J. Geom. Anal. 32 (2022), 114.
[34] W. Zhang, J. Zhang, and H. Mi, Ground states and multiple solutions for Hamiltonian elliptic system with gradient term, Adv. Nonlinear Anal. 10 (2021), 331-352.
[35] J. Zhang, X. Tang, and W. Zhang, On semiclassical ground state solutions for Hamiltonian elliptic systems, Appl. Anal. 94 (2015), 1380-1396.
[36] J. Zhang, W. Zhang, and X. Tang, Ground state solutions for Hamiltonian elliptic system with inverse square potential, Discrete Contin. Dyn. Syst. 37 (2017), 4565-4583.
[37] J. Zhang, W. Zhang, and X. Xie, Existence and concentration of semiclassical solutions for Hamiltonian elliptic system, Comm. Pure Appl. Anal., 15 (2016), 599-622.
[38] C. Zhang and X. Zhang, Semi-classical states for elliptic system near saddle points of potentials, Nonlinearity 36 (2023), 3125-3157.
    • Corresponding author: Jian Zhang, College of Science, Hunan University of Technology and Business, 410205 Changsha, Hunan, China, e-mail: zhangjian@hutb.edu.cn
      Huitao Zhou: College of Science, Hunan University of Technology and Business, 410205 Changsha, Hunan, China, e-mail: zhouhuitao141@163.com
      Heilong Mi: College of Science, Hunan University of Technology and Business, 410205 Changsha, Hunan, China, e-mail: miheilong@126.com

Journal: Advances in Nonlinear Analysis, Volume: 13, Issue: 1
DOI: https://doi.org/10.1515/anona-2023-0139
Publication Date: 2024-01-01

Multiplicity of semiclassical solutions for a class of nonlinear Hamiltonian elliptic system

https://doi.org/10.1515/anona-2023-0139
received August 29, 2023; accepted January 26, 2024
Abstract: This article is concerned with the following Hamiltonian elliptic system:
where is a small parameter, is a potential function, and is a super-quadratic sub-critical Hamiltonian. Applying suitable variational arguments and refined analysis techniques, we construct a new multiplicity result of semiclassical solutions which depends on the number of global minimum points of . This result indicates how the shape of the graph of affects the number of semiclassical solutions.
Keywords: Hamiltonian elliptic system, semiclassical solutions, multiplicity
MSC 2020: 35J50, 35Q40, 58E05

1 Introduction and main result

In this article, we deal with a class of singularly perturbed Hamiltonian elliptic system with gradient term
where is a small positive parameter, is a constant vector, is a potential function, and and denote the partial derivatives of with respect to and . The main motivation for the study of model (1.1) is that its solutions are in fact the static states for the following reaction-diffusion system:
which is applied to model chemical concentrations due to reaction and diffusion. The function is considered as the chemical potential, and represents the external physicochemical interaction. Moreover, it also appears in various fields, such as physics and chemistry, quantum mechanics, control theory, and Brownian motions. For more detailed contents and applications in the physical science and other fields, we refer the readers to see the monographs of Nagasawa [19] and Lions [18].
In the past few decades, Hamiltonian elliptic systems like (1.1) have attracted considerable interest due to many powerful applications in different fields, the literature studies related to these systems are enormous and encompass several interesting topics of study in nonlinear analysis, including existence, nonexistence, multiplicity, and finer qualitative properties of solutions.
When , De Figueiredo and Felmer [10] and Hulshof and De Vorst [13] studied the elliptic system defined on the bounded domain and obtained the existence result of nontrivial solutions by using generalized mountain pass theorem in [5]. Later, the result of multiple solutions was established by De Figueiredo and Ding [9]. For the case that the system is settled on the whole space, we need to deal with the main difficulty caused by the lack of the compactness of the Sobolev embedding. Besides, the main unusual feature of the Hamiltonian system is that the corresponding energy functional is strongly indefinite. Based on the above two features, the standard variational methods like Nehari manifold method and mountain pass theorem are unavailable. Some refined variational arguments were subsequently developed by many scholars for strongly indefinite functionals. We refer to the dual variational method [3,24], the Orlitz space approach [8], the generalized linking theory [4,14], the reduction method [7], and so on. Recently, applying some approaches introduced above, the articles [15-17,21,27,29-32,36] investigated the existence and multiplicity results of nontrivial solutions of system (1.1) under various conditions. For more results we also mention the recent overview by Bonheure et al. [6] for a very comprehensive introduction about Hamiltonian elliptic system.
When is small, the standing wave solutions of system (1.1) are called as semiclassical states. One of the basic principles of quantum mechanics is the correspondence principle, which indicates that the laws of quantum mechanics reduce to those of classical mechanics as . The concentration phenomenon of semiclassical states, as goes to zero, reflects the transition from quantum mechanics to classical mechanics, which is meaningful in physics and gives rise to important physical insights.
Concerning the investigation of semiclassical solutions for system (1.1) we would like to mention the related works [3,12,22,23,28,35,37,38]. More precisely, Ávila-Yang [3] obtained the existence and boundary concentration behavior of positive solutions for a elliptic system with zero Neumann boundary condition. By means of infinite dimensional Lyapunov-Schmidt reduction method, Ramos and Tavares [22] and Ramos and Soares [23] established the existence of positive solutions which concentrate at local and global minimum points of the potential . A new concentration pattern that semiclassical solutions concentrate around the local saddle points or local maximum points of the potential can be found in Zhang and Zhang [38].
Very recently, Zhang et al. [35] showed the existence and concentration (around the maximum points of the nonlinear potential) of solution for the following system with nonlinear potential. Further results to system with competing potentials (including linear potential and nonlinear potential) have also appeared in [37], in which the semiclassical ground state solutions concentrating around the global minimum points of linear potential and the global maxima points of nonlinear potential were established under the global condition of the linear potential
Later on, Zhang et al. [28] constructed a family of semiclassical solutions and showed that the concentration phenomena hold around local minimum of under the local condition of the potential
where is a bounded domain in . For other results related to the Hamiltonian elliptic system, we refer to [3,12,33] and references therein
We would like to emphasize that all the works mentioned above only focus on the existence and concentration of semiclassical solutions, but the multiplicity result of semiclassical solutions has not been studied to system (1.1) up to now.
Motivated by the works [28] and [37], our main purpose of this article is to complement the results found in [28] and [37] in the following sense: we intend to establish a new multiplicity result of semiclassical solutions for system (1.1). To be more precise, in the present article we shall study that the number of global minimum points of is directly related to the number of semiclassical solutions when is small, then the multiplicity of solutions can be obtained.
Before stating our result we assume the following conditions hold for the potential and the nonlinearity .
is a continuous function such that
there exist points with such that for all .
there exists such that , and for some and , there holds
where and is usual Sobolev critical exponent;
as , and as ;
is strictly increasing in on .
We state in what follows the main result of this article.
Theorem 1.1. Assume that conditions ( and hold. Then there exists such that system (1.1) has at least semiclassical solutions for each .
We would like to point that the result included in this article indicates that how the shape of the graph of affects the number of semiclassical solutions, and the conclusion of multiplicity of semiclassical solutions complements several recent contributions to the study of Hamiltonian elliptic system with strongly indefinite variational structure.
Next we sketch the strategies and methods to prove the main result. The proof of Theorem 1.1 will be carried out by using suitable variational methods and refined analysis techniques. As described in the previous introduction, the strongly indefinite structure of energy functional and the lack of compactness are two major difficulties we encounter to seek for the existence of semiclassical solutions.
First, we will take advantage of the method of generalized Nehari manifold developed by Szulkin and Weth [25] to conquer the difficulty caused by strongly indefinite feature. It is worth pointing out that some estimates proved in the present article were also inspired by arguments found in [25]; however, it is necessary to be more refined because the problems are different and some estimates cannot be done by the same way as in the article [25]. Second, we have to prove that the energy functional possesses necessary compactness property at some minimax level to resolve the difficulty aroused by the lack of compactness. This key point will be achieved by employing the energy comparison argument to establish some exact comparison relationships of the ground state energy level between the original problem and certain auxiliary problems. Finally, in order to prove the multiplicity result, we obtain several very useful conclusions by using the nice property of barycenter map, which contribute to construct some different Palais-Smale sequences. Furthermore, combining the Ekeland’s variational principle, limit problem’s technique and refined analysis tools, we can construct semiclassical solutions.
The organization of the remainder of this article is as follows. In Section 2, we present a suitable variational framework associated with system (1.1) and prove some useful preliminary results. In Section 3, we introduce the existence and some properties of the ground state solutions for the constant coefficient system. Section 4 is devoted to the completed proofs of Theorem 1.1.

2 Variational framework and preliminary results

Throughout the present article, we use the following notations which will be used later.
  • denotes the usual norm of the Lebesgue space for ;
  • denotes the inner product of ;
  • denote (possibly different) any positive constants, whose values are relevant;
  • and denote the spectrum and the essential spectrum of operator .
In this section, we will introduce the function space which will work for system (1.1) and some preliminary results that are crucial in our approach.
In order to prove the main result, we do not deal with system (1.1) directly, but instead we study an equivalent system with system (1.1). Indeed, using the change of variable , we can rewrite system (1.1) as the following equivalent system:
Evidently, we can see that if is a solution of system (2.1), then
is a solution of system (1.1). Therefore, next we will study the equivalent system (2.1).
To continue the discussion, we introduce the following notations. Let
and . We denote
Then system (2.1) can be rewritten as
Now we establish the variational framework of system (2.1), we collect some properties of the spectrum of the operator , whose proofs can be found in [29], so we omit the details.
Lemma 2.1. The operator is a self-adjoint operator on with domain .
Lemma 2.2. We have the following two conclusions about the spectrum of :
(a) , i.e., has only essential spectrum;
(b) and is symmetric with respect to origin.
Evidently, it follows from Lemmas 2.1 and 2.2 that the space possesses the following orthogonal decomposition:
such that is negative definite (resp. positive definite) in (resp. ).
Denoting by the absolute value of and by its square root of , and let be the domain of the self-adjoint operator , which is a Hilbert space equipped with the inner product
and norm . Since , it follows that has the following decomposition:
which is orthogonal with respect to the inner products and . Moreover, using the polar decomposition of we can obtain that
Clearly, since , we can know that
From [29, Lemma 2.4], it follows that and are two equivalent norms. Hence, we have the embedding theorem, that is, embeds continuously into for each and compactly into for each . Then, there exists positive constant such that
According to conditions ( ) and ( ), we can infer that for any , there is such that
where . Moreover, from we can deduce that
Under the comments above, we can define the energy functional associated with system (2.1) by
where and denotes the usual inner product in . Employing the polar decomposition of , the energy functional has another representation as follows:
From Lemma 2.2 we can see that is strongly indefinite. Our hypotheses imply that . By standard argument we know that critical points of are solutions of system (2.1), and for , there holds
We note that if is a nontrivial critical point of , then we can obtain from (2.6) that
On the other hand, for any , using ( ), (2.3), and (2.6) we obtain
Therefore, we can see that all nontrivial critical points of are in the space .
Next we consider the following set introduced by Pankov [20]
deeply studied by Szulkin and Weth [25]. Following the terminology of Szulkin and Weth [25], the set is called the generalized Nehari manifold, it contains all nontrivial critical points of . Let us denote by the energy value defined by
If is achieved by , then is called a ground state solution of system (2.1).
Furthermore, for every , we also need to define the subspace
and the convex subset
We introduce a crucial estimate, which plays a key role in the method of the generalized Nehari manifold.
Lemma 2.3. Assume that , and with , then we have the following estimate:
In particular, let , and with , there holds
Proof. Let , and with , computing directly, we have
where
On the one hand, using ( ) and (2.3) we deduce that
On the other hand, using conditions and following the arguments explored in [36] (see also [32, Lemma 2.5]), we can verify that for all . Therefore, we obtain the first conclusion from the above estimate. Furthermore, we take and , then we know that . Evidently, we obtain the second conclusion.
According to Lemma 2.3, we can obtain a direct result, that is, if , then is the unique global maximum of .
Lemma 2.4. Assume that conditions ( ) and ( hold. Then we have
(a) there exist two positive constants and such that , where
(b) for all .
Proof. (a) Let , then from (2.3), (2.4), and (2.5) we infer that
Since and , we can find that there exist two positive constants and both independent of such that .
On the other hand, let , then there exists such that , so from Lemma 2.3 we can conclude that
Therefore, we show that conclusion (a) holds.
(b) Let , using ( ), (2.6), and conclusion (a), we can obtain
Thereby, it follows that
completing the proof.
Lemma 2.5. If is a compact subset, then there is such that on for every .
Proof. Without loss of generality, we can assume that for all . Suppose by contradiction that there exist and satisfying for all and as . As is compact, up to a subsequence, with .
Setting , where and . Obviously, we have . Passing to a subsequence, in in , and a.e. on . From ( ), (2.3), and (2.6) we can derive that
which yields that , and so . If this is not true, then . From the above inequality we can see that , which contradicts with .
Letting . Then , and in . Thereby, using ( ) and Fatou’s lemma we obtain
which is absurd. The proof is completed.
For the purpose of later proof, we need to prove the equivalent relationship between two norms. According to ( ) and (2.3), it is easy to obtain the following estimates:
and
Evidently, (2.7) and (2.8) yield that the norm
where the symbol denotes the equivalence of two norms.
Lemma 2.6. For each , the set consists of precisely one point , which is the unique global maximum of . In other words, there exist unique and such that and
Moreover, if , then and .
Proof. We follow some ideas found in [25]. Indeed, according to Lemma 2.3, it suffices to show that . Since , we may assume that . From Lemma 2.5, we find that there exists such that for . Moreover, Lemma 2.4 implies that for small . Hence, . If is weakly upper semi-continuous on , then we can find a such that , and is a critical point of . Thereby, for all , which shows that .
Next we need to show that is weakly upper semicontinuous on . Let in with and , then and in . Hence, using (2.8), Fatou’s lemma and the weak lower semicontinuity of norm we can infer that
where we use the following fact:
This shows that is weakly upper semicontinuous on . The proof is completed.
We point out that, as a consequence of Lemma 2.6, the ground state energy value has a minimax characterization given by
Lemma 2.7. is coercive on , i.e., as .
Proof. Suppose by contradiction that there is a sequence such that and for some . Letting , passing to a subsequence, then in and a.e. on . It follows from Lemma 2.4 that
On account of Lions’ concentration compactness principle, in the following we will discuss two cases: vanishing or nonvanishing.
If is vanishing, the vanishing lemma found in [26, Lemma 2.1] yields that in for all . Therefore, for any , we deduce from (2.5) that
Since for , then using Lemma 2.3, (2.11), and (2.12) we can obtain
which is absurd if is large enough. So the vanishing case does not occur.
If is nonvanishing, then there exist and a sequence such that
Let us consider the sequence , then it follows that
Clearly, we can find a such that in with .
Setting . Then and for each . Therefore, employing ( ) and Fatou’s lemma we can derive that
Evidently, we obtain a concentration. So, we finish the proof of lemma.
Now we are going to verify the continuity of the map given in Lemma 2.6.
Lemma 2.8. The map is continuous.
Proof. We will adopt the similar arguments as in the proof of [25, Lemma 2.8] to prove the conclusion. Let , in view of a standard argument, the continuity of in is reduced to the following assertion:
Without loss of generality, we may assume that for all , so . By Lemma 2.5, we find that there exists such that
Therefore, is bounded by Lemma 2.7. Up to a subsequence, we can assume that
where by Lemma 2.4. Furthermore, using Lemma 2.6 we can infer that
Applying Fatou’s lemma and the weak lower semicontinuity of norm, and combining (2.9) we can conclude that
which implies that in . Moreover, the argument above also yields that
which shows that . Therefore, we can see that
So the assertion follows, completing the proof.
Based on the comments above, next we will introduce some important results of the method of the generalized Nehari manifold. To do this, we set in and consider the following maps
and the inverse of is
From Lemma 2.8, it is not difficult to see that is a homeomorphism.
From now on, let us consider the reduction functional
Evidently, Lemma 2.8 shows that they are continuous.
The next results establish some crucial properties involving the reduced functionals and , which play a fundamental role in the study of the existence of ground state solutions for strongly indefinite variational problems. And their proofs follow the proofs of [25, Proposition 2.9, Corollary 2.10].
Lemma 2.9. We have the following properties:
(a) and for and ,
(b) and for each and ,
(c) is a (PS)-sequence for if and only if is a (PS)-sequence for .
(d) is a critical point of if and only if is a critical point of . Moreover, the corresponding values of and coincide and

3 Autonomous problem

We will draw upon the techniques of the limit problem to help us to prove the main result. To this end, in this section we need to study the existence and some properties of the ground state solutions for the constant coefficient system.
Let , we start by considering the autonomous problem:
It is well known that the solutions of problem (3.1) are precisely critical points of the energy functional defined by
Similar to the previous section, we define the associated generalized Nehari manifold
and the ground state energy value
Employing the same arguments used in the previous section, we can know that for every , the set is a singleton set, and the element of this set is the unique global maximum of , that is, there exists a unique pair and such that
Accordingly, we can define the maps
and the inverse of is
Meanwhile, we consider the reduction functional and the restriction
We would like to clarify that, using same discussions explored in Section 2, all related conclusions and properties in Section 2 remain for , and , respectively. Here we omit the details of proof.
Moreover, we also have a minimax characterization for ground state energy value
We now state the existence result of ground state solution for the autonomous problem (3.1).
Lemma 3.1. Assume that and hold, then problem (3.1) possesses a ground state solution such that .
Proof. First, it follows from Lemma 2.4 that . We observe that if satisfies , then from Lemma 2.9 we can see that
This shows that is a minimizer of , and hence a critical point of , so that is a critical point of by Lemma 2.9.
Thereby, it remains to prove that there exists a minimizer such that . In fact, using Ekeland’s variational principle [26], there exists a sequence such that and as . Let for all . Then Lemma 2.9 shows that and . On account of Lemma 2.7, it is easy to see that is bounded in and hence in for some after passing to a subsequence.
Let be a sequence satisfying
Using the fact that and are invariant under translations, we may assume that is bounded in . If
then, Lions’ concentration compactness principle [26, Lemma 2.1] yields that in for any . From (2.5) we can conclude that
and it follows that
This is impossible since , and it follows that (3.2) cannot hold.
Let us define , then we directly obtain and
Moreover, there holds
Therefore, we can find a such that in in for all , and a.e. on . From (3.3) and (3.4) we can infer that .
Finally, we will show that . Exploiting Fatou’s lemma and (2.6), we can derive that
which implies that . The reverse inequality follows from the definition of since . So, is a ground state solution of problem (3.1), completing the proof.
As a byproduct of Lemma 3.1, we obtain the conclusion involving the monotonicity and continuity of .
Lemma 3.2. The function is strictly increasing and continuous on ( ).
Proof. In what follows, let and be as ground state solution of and . Assume that . First of all, we prove that the function is increasing. By Lemma 2.6, there exist and such that
then it follows that
Since , it is easy to see that
This shows that the function is strictly increasing on ( ). Next we will take two cases to complete the proof of the continuity of .
Case 1: Let be a sequence such that and .
Claim: as .
Indeed, let be the ground state solution of problem (3.1). In view of Lemma 2.6, we can find that there exist and such that
Computing directly, we have
which yields that . From Lemma 2.5, there exists such that
According to the monotonicity of , we immediately obtain
which together with (3.5), yields that . Therefore, is bounded in . Then, we can derive that
On the other hand, since for all , then we show that
Case 2: Let be a sequence such that and .
Claim: as .
Indeed, let be the ground state solution of problem (3.1) with , then there exist and such that
Similar to the previous argument, we can easily obtain that the sequence is bounded. Moreover, we can find that there exist and such that for each , we have
If not, using Lions’ concentration compactness principle we have in for all . Then we can check that
Thereby, it follows that
which shows that since , contradicting the fact . So, (3.6) holds.
Setting , one can check that is bounded, up to a subsequence, in . Denote , hence is bounded and the sequence does not weakly converge to zero in . Then using Lemma 2.5, there exists such that for every , we obtain
Let us define , we have
Gathering (3.7) and (3.8), we know for all , then , which implies that the sequence is bounded in . Then it follows that
Combining this with the fact that for all , we show that
This completes the proof.
Finally, in order to conclude this section, we establish a compactness result which will be useful in our analysis.
Lemma 3.3. Let be a Palais-Smale sequence at level for with in . Then, we have the following conclusions:
(a) in ; or
(b) there exists with such that the sequence is strongly convergent to in for some .
Proof. We start the proof by showing that if , then conclusion (a) is valid. Indeed, if is a Palais-Smale sequence at level for , then it is easy to see that . If , it follows that and
Following some ideas of proof [11, Lemma 6.7], we can check that
This, together with (3.9), yields that and . Using the fact that the zero function 0 is an isolated critical point of , we conclude that in .
Now we are going to verify that if , then conclusion (b) holds. In fact, if , arguing as the previous result, we can find that there exist and such that
Since in , it is not difficult to see that is an unbounded sequence. Setting , then and . It follows that is also a Palais-Smale sequence at level for with in and , that is, . Repeating the above arguments explored in (a), we can deduce that in , completing the proof.

4 Proof of Theorem 1.1

In the section, we establish some important results and give the proof of the multiplicity result of semiclassical solutions for system (1.1).
To prove the main results, we will use some conclusions of limit problem. To do this, we consider the following limit system:
For convenience, next we will use the notations , and to denote the associated energy functional, ground state energy value, and Nehari manifold of system (4.1), respectively.
Next, we introduce the relationship of the ground state energy value between system (2.1) and limit system (4.1), and this is very crucial in our following arguments.
Lemma 4.1. We have the limit .
Proof. Let as . Clearly, using Lemma 3.2 we know that for all , and so .
On the other hand, from Lemma 3.1 we can see that system (4.1) has a ground state solution . Then using Lemma 2.6 we can find that there exist and such that and
Similar to the previous arguments, we can know that is bounded in . Thus, we may assume that and in . Thereby, using (2.7) and (2.9) and applying the weakly lower semicontinuity of the norm and Fatou’s lemma we obtain
Evidently, we can obtain
and we complete the proof.
As a byproduct of Lemma 4.1, we can directly obtain the following result.
Lemma 4.2. Assume that condition ( ) holds, then there is such that for .
Proof. According to condition we know that . Then using Lemma 3.2 we have . It follows from Lemma 4.1 that there is small enough such that for all .
From and we observe that , then . Next we establish compactness criteria for the functional , which is crucial in our approach.
Lemma 4.3. The functional satisfies the compactness condition for , where .
Proof. Let be a Palais-Smale sequence at level for with . From Lemma 2.9, is a Palais-Smale sequence at level for functional . Then, is bounded in , and passing to a subsequence, we may assume that in and a.e. in .
Setting , then similar to the proof of [34, Lemma 5.2], we obtain the following results:
Observe that since , we obtain . Moreover, using (2.6) we can deduce that
This, together with (4.2), yields that
Evidently, is a Palais-Smale sequence at level for with .
Claim: for each fixed, there holds
If Claim is true, then making use of the Lions concentration compactness principle, we can know that in for any . From the facts that the orthogonal projection of on and is continuous in , we have and in for any . Thus, it follows from (2.5) that
Using (4.3) and (4.6) we can obtain
Therefore, we can see that , that is, in .
In what follows, we will show that Claim is true. In fact, if Claim does not hold, there exist and such that
This ensures that is an unbounded sequence since . Setting , then is bounded in . By (4.7) we have
Thereby, we can find that there exists such that in and a.e. in .
On the other hand, according to the fact that for all , we can check that for all , which shows that is a nontrivial critical point of . It then follows that
This, together with the definition of , yields that . Clearly, we obtain a contradiction since (see Lemma 3.2), completing the proof.
Below let us fix such that
  • for and ;
  • ;
  • .
Furthermore, we define the barycenter map by
where is given by
Following the arguments in [2], we can prove the following important lemma, which is very useful to obtain sequences for .
Lemma 4.4. There exist and such that if and , then for all .
Proof. Assume by contradiction that there exist , and such that
By Lemma 2.6, there exist and such that . Then, for we have
which follows that
From Ekeland’s variational principle, we can assume that . Hence, we can see that satisfies
Making use of Lemma 3.3, there are two cases that need to be analyzed.
(a) in ; or
(b) there exists with such that the sequence is strongly convergent to in for some .
Evidently, if (a) holds, then we have in since is a homeomorphism from to . But, if
(b) holds, then we have in . Next we will use the following relation:
Case (a): Thanks to the conclusion in , then applying the Lebesgue’s dominated convergence theorem we can deduce that
This shows that for large enough, and we obtain a contradiction.
Case (b): Setting , and . Here there are two possibilities that need to be discussed: and for some .
If the case that does occur, in view of Lemma 2.6 we find that and such that ; it follows from in that
which contradicts with the fact , where for all .
If the case that for some does occur. Using a similar argument we can show that and . On the other hand, if , we deduce from Lemma 3.2 that , which is a contradiction. Hence, according to we have and for some . Moreover, we can obtain
This shows that for large enough, which is absurd. We complete the proof.
From now on, we will use the following notations:
and the numbers
Lemma 4.5. There exists such that
for all , where .
Proof. Let be a ground state solution of limit system (4.1), then and . Setting . Then by Lemma 2.9 we have
For and , let us define the function . Evidently, . Letting . We prove the following conclusion holds
Indeed, since for some and , using a simple changing variable we can obtain
Similarly, using the previous comments we can see that is bounded in , and so, we may assume that and as . Therefore, following the proof of Lemma 4.1, we obtain
for all . Obviously, it follows that (4.8) holds.
Once as , it shows that for small enough
for some . Thus, there exists such that
Then, decreasing if necessary,
showing the first inequality.
In order to prove the second inequality, we recall that if , then
leading to . Therefore, using Lemma 4.4 we know that there exists such that
from where it follows that
Evidently, from (4.9) and (4.10) we can infer that
where . This ends the proof of lemma.
Finally, we are going to prove Theorem 1.1.
Proof of Theorem 1.1 (completed). According to Lemma 4.5, there exists such that
Arguing as in [1, Theorem 1.1], we can apply the Ekeland’s variational principle to obtain a sequence for . Lemma 4.5 yields that , then by Lemma 4.3 there is such that in . Therefore, we have
Observe that, since
we derive that for with . Thus, possess at least nontrivial critical points for all on . Taking advantage of Lemma 2.9 we know that possess at least nontrivial critical points for all on . Going back to system (1.1) with the variable substitution , then we see that system (1.1) has at least semiclassical solutions for each , completing the proof of Theorem 1.1.
Acknowledgements: This work was supported by the National Natural Science Foundation of China (12271152), the Natural Science Foundation of Hunan Province (2022JJ30200), and the Key project of Scientific Research Project of Department of Education of Hunan Province (22A0461, 23A0478).
Conflict of interest: The authors declare that they have no competing interests.
Data availability statement: Data sharing is not applicable to this article as no datasets were generated or analyzed during the current study.

References

[1] C. O. Alves, On existence of multiple normalized solutions to a class of elliptic problems in whole , Z. Angew. Math. Phys. 73 (2022), 97.
[2] C. O. Alves, R. N. de Lima, and A. B. Nóbrega, Existence and multiplicity of solutions for a class of Dirac equations, J. Differential Equations 370 (2023), 66-100.
[3] A. I. Ávila and J. Yang, On the existence and shape of least energy solutions for some elliptic systems, J. Differential Equations 191 (2003), 348-376.
[4] T. Bartsch and Y. Ding, Deformation theorems on non-metrizable vector spaces and applications to critical point theory, Math. Nach. 279 (2006), 1267-1288.
[5] V. Benci and P. Rabinowitz, Critical point theorems for indefinite functionals, Invent. Math. 52 (1979), 241-273.
[6] D. Bonheure, E. dos Santos, and H. Tavares, Hamiltonian elliptic systems: a guide to variational frameworks, Port. Math. 71 (2014), 301-395.
[7] D. Bonheure, E. dos Santos, and M. Ramos, Ground state and non-ground state solutions of some strongly coupled elliptic systems, Trans. Am. Math. Soc. 364 (2012), 447-491.
[8] D. G. De Figueiredo, J. M. do Ó, and B. Ruf, An Orlicz-space approach to superlinear elliptic systems, J. Funct. Anal. 224 (2005), 471-496.
[9] D. G. De Figueiredo and Y. Ding, Strongly indefinite functions and multiple solutions of elliptic systems, Trans. Am. Math. Soc. 355 (2003), 2973-2989.
[10] D. G. De Figueiredo and P. L. Felmer, On superquadiatic elliptic systems, Trans. Am. Math. Soc. 343 (1994), 97-116.
[11] Y. Ding, Variational Methods for Strongly Indefinite Problems, Interdisciplinary Mathematical Sciences, vol. 7, World Scientific Publications, Singapore, 2007.
[12] Y. Ding, C. Lee, and F. Zhao, Semiclassical limits of ground state solutions to Schrödinger systems, Calc. Var. 51 (2014), 725-760.
[13] J. Hulshof and R. C. A. M. De Vorst, Differential systems with strongly variational structure, J. Funct. Anal. 113 (1993), 32-58.
[14] W. Kryszewki and A. Szulkin, Generalized linking theorem with an application to semilinear Schrödinger equation, Adv. Differential Equations 3 (1998), 441-472.
[15] Q. Li, J. Nie, and W. Zhang, Existence and asymptotics of normalized ground states for a Sobolev critical Kirchhoff equation, J. Geom. Anal. 33 (2023), 126.
[16] G. Li and J. Yang, Asymptotically linear elliptic systems, Commun. Part. Differ. Equ. 29 (2004), 925-954.
[17] F. Liao and W. Zhang, New asymptotically quadratic conditions for Hamiltonian elliptic systems, Adv. Nonlinear Anal. 11 (2022), 469-481.
[18] J. L. Lions, Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1971.
[19] M. Nagasawa, Schröinger Equations and Diffusion Theory, Birkhäser, Boston, 1993.
[20] A. Pankov, Periodic nonlinear Schrödinger equation with application to photonic crystals, Milan J. Math. 73 (2005), 259-287.
[21] D. Qin, X. Tang, and J. Zhang, Ground states for planar Hamiltonian elliptic systems with critical exponential growth, J. Differential Equations 308 (2022), 130-159.
[22] M. Ramos and H. Tavares, Solutions with multiple spike patterns for an elliptic system, Calc. Var. 31 (2008), 1-25.
[23] M. Ramos and S. H. Soares, On the concentration of solutions of singularly perturbed Hamiltonian systems in , Port. Math. 63 (2006), 157-171.
[24] B. Sirakov and S. H. Soares, Soliton solutions to systems of coupled Schröinger equations of Hamiltonian type, Trans. Am. Math. Soc. 362 (2010), 5729-5744.
[25] A. Szulkin and T. Weth, Ground state solutions for some indefinite variational problems, J. Funct. Anal. 257 (2009), 3802-3822.
[26] M. Willem, Minimax Theorems, Birkhäuser, Boston, 1996.
[27] M. Yang, W. Chen, and Y. Ding, Solutions of a class of Hamiltonian elliptic systems in , J. Math. Anal. Appl. 352 (2010), 338-349.
[28] J. Zhang, J. Chen, Q. Li, and W. Zhang, Concentration behavior of semiclassical solutions for Hamiltonian elliptic system, Adv. Nonlinear Anal. 10 (2021), 233-260.
[29] F. Zhao and Y. Ding, On Hamiltonian elliptic systems with periodic or non-periodic potentials, J. Differential Equations 249 (2010), 2964-2985.
[30] F. Zhao, L. Zhao, and Y. Ding, Multiple solutions for asympototically linear elliptic systems, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 15 (2008), 673-688.
[31] F. Zhao, L. Zhao, and Y. Ding, Multiple solution for a superlinear and periodic elliptic system on , Z. Angew. Math. Phys. 62 (2011), 495-511.
[32] J. Zhang and W. Zhang, Existence and decay property of ground state solutions for Hamiltonian elliptic system, Comm. Pure Appl. Anal. 18 (2019), 2433-2455.
[33] J. Zhang and W. Zhang, Semiclassical states for coupled nonlinear Schrödinger system with competing potentials, J. Geom. Anal. 32 (2022), 114.
[34] W. Zhang, J. Zhang, and H. Mi, Ground states and multiple solutions for Hamiltonian elliptic system with gradient term, Adv. Nonlinear Anal. 10 (2021), 331-352.
[35] J. Zhang, X. Tang, and W. Zhang, On semiclassical ground state solutions for Hamiltonian elliptic systems, Appl. Anal. 94 (2015), 1380-1396.
[36] J. Zhang, W. Zhang, and X. Tang, Ground state solutions for Hamiltonian elliptic system with inverse square potential, Discrete Contin. Dyn. Syst. 37 (2017), 4565-4583.
[37] J. Zhang, W. Zhang, and X. Xie, Existence and concentration of semiclassical solutions for Hamiltonian elliptic system, Comm. Pure Appl. Anal., 15 (2016), 599-622.
[38] C. Zhang and X. Zhang, Semi-classical states for elliptic system near saddle points of potentials, Nonlinearity 36 (2023), 3125-3157.
    • Corresponding author: Jian Zhang, College of Science, Hunan University of Technology and Business, 410205 Changsha, Hunan, China, e-mail: zhangjian@hutb.edu.cn
      Huitao Zhou: College of Science, Hunan University of Technology and Business, 410205 Changsha, Hunan, China, e-mail: zhouhuitao141@163.com
      Heilong Mi: College of Science, Hunan University of Technology and Business, 410205 Changsha, Hunan, China, e-mail: miheilong@126.com