DOI: https://doi.org/10.15559/26-vmsta302
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Rohini Bhagwanrao Pote وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل نظرية الطوابير المتقدمة
نظرة عامة
في هذه الدراسة، يقوم المؤلفون بالتحقيق في نوع من طابور إيرلانغ، يُطلق عليه طابور إيرلانغ المختلط المتغير زمنياً، والذي يتضمن وقت الوصول الأول لمشغل مستقر مختلط كآلية لتغيير الزمن. يستخرجون نظاماً من المعادلات التفاضلية الكسرية التي تصف احتمالات الحالة لهذا الطابور. يتم تقديم تعبيرات صريحة لهذه الاحتمالات وحساب تحويل لابلاس لها، بالإضافة إلى تمثيل مكافئ للمرحلة للطابور.
بالإضافة إلى ذلك، تستكشف الأبحاث خصائص توزيع مختلفة لطابور إيرلانغ المختلط المتغير زمنياً، بما في ذلك توزيعات أوقات الوصول المتتالية، وأوقات المراحل المتتالية، وأوقات الخدمة، والفترة المشغولة. كما يقوم المؤلفون بتحليل وقت الانتظار الشرطي ويقدمون محاكاة توضح مسارات عينة من سلوك الطابور، مما يساهم في تقديم رؤى قيمة حول خصائص أدائه.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة طابور إيرلانغ، وهو نموذج طابور يتميز بعمليات وصول بواسون وأوقات خدمة موزعة وفق توزيع إيرلانغ. بشكل محدد، توضح معلمات النظام، بما في ذلك معدل الوصول $\lambda$، ومعامل الشكل $k$، ومعدل الخدمة المتوسط $1/\mu$. يعتبر طابور إيرلانغ ذا صلة خاصة في مجال الاتصالات، مثل مراكز الاتصال لتوقع عدد الوكلاء المطلوبين لإدارة المكالمات الواردة. تشير هذه القسم إلى دراسات مختلفة استكشفت جوانب مختلفة من نظرية الطابور، بما في ذلك الحلول العابرة، والتعميمات الكسرية، وتأثير الأحداث الكارثية على ديناميات الطابور.
يقدم المؤلفون نوعاً جديداً من طابور إيرلانغ، يُطلق عليه طابور إيرلانغ المختلط المتغير زمنياً، والذي يتضمن مكوناً متغيراً زمنياً يعتمد على وقت الوصول الأول لمشغل مستقر مختلط. تتيح هذه الطريقة نمذجة الأنظمة ذات الديناميات الكسرية ذات التوزيع، والتي قد لا تلتقطها الطرق التقليدية بشكل كاف. توضح الورقة هيكل الدراسة، الذي يتضمن تعريفات أولية، واستخراج المعادلات التفاضلية الكسرية الحاكمة للاحتمالات الحالة، وتحويل لابلاس لهذه الاحتمالات. بالإضافة إلى ذلك، تهدف إلى تقديم تعبيرات صريحة لطول الطابور المتوسط والتوزيعات المتعلقة بأوقات الوصول وأوقات الخدمة، جنباً إلى جنب مع المحاكاة لتوضيح سلوك النموذج.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الأسس النظرية والنتائج ذات الصلة بطابور إيرلانغ المختلط المتغير زمنياً، الذي يتضمن دالة ميتاغ-ليفلر ذات الثلاثة معلمات ومشتقات كابوتو الكسرية. تُعرف دالة ميتاغ-ليفلر، الممثلة بـ \( E_{\gamma, \alpha, \beta}(t) \)، من خلال سلسلة تتضمن دالة غاما، وتُستخدم خصائصها في سياق المشغلين المستقرين وعكسهم. يستخرج المؤلفون نظاماً من المعادلات التفاضلية الكسرية التي تحكم احتمالات الحالة لطابور إيرلانغ المختلط المتغير زمنياً، مع تسليط الضوء على الاعتماد على معلمين كسرين، \( \alpha_1 \) و \( \alpha_2 \)، اللذين يؤثران على تأثيرات الذاكرة لعملية الطابور.
يتناول القسم أيضاً تحويلات لابلاس للاحتمالات الحالة واحتمالات الحالة الصفرية، مقدماً تعبيرات صريحة لهذه التحويلات. يثبت المؤلفون أن احتمالات الحالة تلبي نظاماً من المعادلات التفاضلية، والتي يمكن حلها للحصول على احتمالات حالات مختلفة في الطابور. بالإضافة إلى ذلك، يقدمون عملية طول الطابور وطول الطابور المتوسط، موضحين أن طول الطابور المتوسط يحكمه معادلة تفاضلية كسرية. تشير النتائج إلى أن طابور إيرلانغ المختلط المتغير زمنياً يظهر ديناميات معقدة تتأثر بالمعلمات الكسرية، مما يميزه عن طوابير إيرلانغ الكلاسيكية، التي تعتمد على معلمة كسرية واحدة. بشكل عام، يضع هذا النقاش الأساس لفهم سلوك طابور إيرلانغ المختلط المتغير زمنياً تحت ظروف مختلفة.
DOI: https://doi.org/10.15559/26-vmsta302
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Rohini Bhagwanrao Pote et al.
Primary Topic: Advanced Queuing Theory Analysis
Overview
In this study, the authors investigate a variant of the Erlang queue, termed the mixed time-changed Erlang queue, which incorporates the first hitting time of a mixed stable subordinator as its time-changing mechanism. They derive a system of fractional differential equations that describes the state probabilities of this queue. Explicit expressions for these state probabilities and their Laplace transform are provided, along with an equivalent phase representation of the queue.
Additionally, the research explores various distributional properties of the mixed time-changed Erlang queue, including the distributions of inter-arrival times, inter-phase times, service times, and the busy period. The authors also analyze the conditional waiting time and present simulations that illustrate sample paths of the queue’s behavior, contributing valuable insights into its performance characteristics.
Introduction
The introduction of the paper discusses the Erlang queue, a queueing model characterized by Poisson arrival processes and Erlang-distributed service times. Specifically, it outlines the system’s parameters, including the arrival rate $\lambda$, the shape parameter $k$, and the mean service rate $1/\mu$. The Erlang queue is particularly relevant in telecommunications, such as in call centers for predicting the number of agents needed to manage incoming calls. The section references various studies that have explored different aspects of queueing theory, including transient solutions, fractional generalizations, and the impact of catastrophic events on queue dynamics.
The authors introduce a novel variant of the Erlang queue, termed the mixed time-changed Erlang queue, which incorporates a time-changing component based on the first hitting time of a mixed stable subordinator. This approach allows for modeling systems with distributed-order fractional dynamics, which traditional methods may not adequately capture. The paper outlines the structure of the study, which includes preliminary definitions, derivation of governing fractional differential equations for state probabilities, and the Laplace transform of these probabilities. Additionally, it aims to provide explicit expressions for mean queue length and distributions related to inter-arrival and service times, along with simulations to illustrate the model’s behavior.
Discussion
In this section, the authors discuss the theoretical foundations and results relevant to the mixed time-changed Erlang queue, which incorporates the three-parameter Mittag-Leffler function and Caputo fractional derivatives. The Mittag-Leffler function, denoted as \( E_{\gamma, \alpha, \beta}(t) \), is defined through a series involving the gamma function, and its properties are leveraged in the context of stable subordinators and their inverses. The authors derive a system of fractional differential equations that govern the state probabilities of the mixed time-changed Erlang queue, highlighting the dependence on two fractional parameters, \( \alpha_1 \) and \( \alpha_2 \), which influence the memory effects of the queueing process.
The section further elaborates on the Laplace transforms of the state probabilities and zero state probabilities, providing explicit expressions for these transforms. The authors establish that the state probabilities satisfy a system of differential equations, which can be solved to yield the probabilities of various states in the queue. Additionally, they introduce the queue length process and the mean queue length, demonstrating that the mean queue length is governed by a fractional differential equation. The results indicate that the mixed time-changed Erlang queue exhibits complex dynamics influenced by the fractional parameters, distinguishing it from classical Erlang queues, which depend on a single fractional parameter. Overall, this discussion lays the groundwork for understanding the behavior of the mixed time-changed Erlang queue under various conditions.