DOI: https://doi.org/10.3934/nhm.2026019
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Zhi Mao وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه البحث طريقة شبكة متحركة تكيفية لحل المعادلات التفاضلية التكاملية الزمنية الكسرية التي تحكم السوائل النانوية اللزجة. يتم صياغة معادلة الزخم باستخدام علاقة ماكسويل الدستورية ذات المعاملين الكسرين، بينما تعتمد معادلة الطاقة على علاقة توصيل الحرارة العامة لكاتاني. لتعزيز دقة الحل، يتم استخدام دالة مراقبة مستمدة من مبدأ التوزيع المتساوي جنبًا إلى جنب مع استراتيجية إعادة توزيع الشبكة التكيفية. يتم تقريب المشغلين من الدرجة الزمنية الكسرية باستخدام خوارزمية L1 وطريقة فرق غرينوالد الموزونة. تكشف التجارب العددية أن طريقة الشبكة التكيفية تحقق دقة أعلى بنسبة 77.6-88.4% مقارنة بالشبكات الموحدة، خاصة في المحاكاة ذات المدة الطويلة، بينما تظهر أيضًا استقرارًا محسنًا في التقارب.
تشير النتائج الرئيسية إلى أن طريقة الشبكة التكيفية تتفوق بشكل كبير على الشبكات الموحدة من حيث الدقة والاستقرار، خاصة في المناطق ذات التدرجات العالية. كما تسلط الدراسة الضوء على التأثيرات المتعارضة لمرتبة المشتق الكسرية $\alpha$ ومؤشر التكامل الكسرية $\beta$ على ملف السرعة، حيث تؤدي الزيادات في $\alpha$ أو الانخفاضات في $\beta$ إلى طبقات حدود زخم أكثر سمكًا. بالإضافة إلى ذلك، ينتج نموذج ماكسويل الثنائي الكسر طبقة حدود سرعة أكثر سمكًا مقارنة بالنماذج الكلاسيكية، بينما ينتج نموذج كاتاني الكسر طبقة حدود حرارية أرق من نظيره العادي. تشمل اتجاهات البحث المستقبلية تحليلات دقيقة للاستقرار والأخطاء، ودمج خوارزميات سريعة لتعزيز الكفاءة الحسابية، واستكشاف خوارزميات زمنية تكيفية لتحسين الأداء في المحاكاة واسعة النطاق.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية أهمية السوائل اللزجة، وهي مجموعة فرعية من السوائل غير النيوتونية، في تطبيقات صناعية متنوعة، بما في ذلك مستحضرات التجميل وتصنيع البوليمرات. تظهر هذه السوائل سلوكيات ريوولوجية معقدة تتميز بعلاقات إجهاد-انفعال غير خطية. لتصميم سلوكها المعتمد على الذاكرة، تم تعزيز النماذج اللزجة الكلاسيكية باستخدام حساب التفاضل الكسرية، مما أدى إلى تحسين فهم آليات نقل الحرارة والكتلة. تشمل المساهمات البارزة في هذا المجال إنشاء معادلات طبقة الحدود الكسرية والتحقيق في تدفق طبقة الحدود اللامتجانسة باستخدام نماذج ماكسويل الكسرية.
تؤكد الدراسة على أهمية تحسين نقل الحرارة بالحمل، خاصة من خلال التسخين النيوتوني، الذي تم دمجه في تحليل السوائل النانوية. يبرز المؤلفون قيود الطرق العددية الكلاسيكية في حل التدرجات الحادة داخل طبقات الحدود، داعين إلى استخدام طرق الشبكة التكيفية التي تضبط كثافة الشبكة ديناميكيًا لتعزيز الدقة الحسابية. تقدم الورقة خوارزمية شبكة متحركة تكيفية جديدة تعتمد على مبدأ التوزيع المتساوي لحل المعادلات التفاضلية التكاملية الكسرية التي تحكم تدفق السوائل النانوية اللزجة تحت التسخين النيوتوني. تظهر النتائج الرئيسية أن هذا النهج التكيفي يحسن بشكل كبير الدقة والاستقرار مقارنة بالشبكات الموحدة، بينما يكشف أيضًا عن تأثيرات المشتقات الكسرية على ملفات السرعة ويقارن بين نماذج دستورية مختلفة. تمهد الدراسة الطريق لتحليلات نظرية مستقبلية وتطبيقات أوسع تتجاوز تكوين اللوحة الرأسية.
مناقشة
في هذه الدراسة، يستكشف المؤلفون تدفق الحمل الطبيعي ونقل الحرارة لسائل نانوي غير قابل للانضغاط من CuO-water عبر لوحة رأسية لا نهائية تحت التسخين النيوتوني والإشعاع الحراري. يتم اشتقاق المعادلات الحاكمة بناءً على عدة افتراضات، بما في ذلك التوازن الديناميكي الحراري المحلي للجزيئات النانوية والسائل الأساسي، وإهمال تأثيرات التبدد اللزج. يتم صياغة معادلات الزخم والطاقة باستخدام حساب التفاضل الكسرية لالتقاط السلوك اللزج للسوائل النانوية، مع استخدام المشتق الكسرية كابوتو للتوافق مع الشروط الأولية. تقدم الدراسة أيضًا نموذج ماكسويل الثنائي الكسر لوصف الخصائص المعتمدة على الذاكرة للسائل بشكل أفضل.
يتم تحقيق الحل العددي من خلال طريقة الشبكة التكيفية، التي تعزز الدقة في حل هياكل طبقة الحدود مقارنة بالشبكات الموحدة. تشير النتائج إلى أن طريقة الشبكة التكيفية تقلل بشكل كبير من الأخطاء في مجالات السرعة ودرجة الحرارة، خاصة في المناطق ذات التدرجات الحادة. يكشف التحليل البارامتري أن التغيرات في مرتبة المشتقات الكسرية تؤثر على توزيع السرعة ودرجة الحرارة، حيث تؤدي المرتبات الأعلى إلى طبقات حدود أكثر سمكًا. تؤكد النتائج فعالية النماذج الكسرية المقترحة في التقاط السلوك الريولوجي المعقد للسوائل النانوية اللزجة، مما يظهر تفوق الشبكة التكيفية في المحاكاة ذات المدة الطويلة وقدرتها على تحسين الموارد الحسابية.
DOI: https://doi.org/10.3934/nhm.2026019
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Zhi Mao et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research presents an adaptive moving grid method for solving time-fractional integrodifferential equations governing viscoelastic nanofluids. The momentum equation is formulated using a dual-parameter fractional Maxwell constitutive relation, while the energy equation is based on a generalized Cattaneo heat conduction relation. To enhance solution accuracy, a monitor function derived from the equidistribution principle is employed alongside an adaptive mesh redistribution strategy. The temporal fractional-order operators are approximated using the L1 algorithm and the weighted-shifted Grünwald difference method. Numerical experiments reveal that the adaptive grid method achieves 77.6-88.4% higher accuracy compared to uniform grids, particularly in long-duration simulations, while also demonstrating improved stability in convergence.
Key findings indicate that the adaptive grid method significantly outperforms uniform meshes in terms of accuracy and stability, especially in regions with high gradients. The study also highlights the opposing effects of the fractional derivative order $\alpha$ and the fractional integral index $\beta$ on the velocity profile, with increases in $\alpha$ or decreases in $\beta$ leading to thicker momentum boundary layers. Additionally, the dual-fractional Maxwell model results in a thicker velocity boundary layer compared to classical models, while the fractional Cattaneo model produces a thinner thermal boundary layer than its ordinary counterpart. Future research directions include rigorous stability and error analyses, the integration of fast algorithms for enhanced computational efficiency, and the exploration of adaptive temporal algorithms to further optimize performance in large-scale simulations.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the significance of viscoelastic fluids, a subset of non-Newtonian fluids, in various industrial applications, including cosmetics and polymer manufacturing. These fluids exhibit complex rheological behaviors characterized by nonlinear stress-strain relationships. To model their memory-dependent behavior, classical viscoelastic models have been enhanced using fractional calculus, leading to improved understanding of heat and mass transfer mechanisms. Notable contributions in this field include the establishment of fractional boundary layer equations and the investigation of laminar boundary-layer flow using fractional Maxwell models.
The study emphasizes the importance of optimizing convective heat transfer, particularly through Newtonian heating, which has been integrated into the analysis of nanofluids. The authors highlight the limitations of classical numerical methods in resolving sharp gradients within boundary layers, advocating for the use of adaptive grid methods that dynamically adjust mesh density to enhance computational accuracy. The paper presents a novel adaptive moving grid algorithm based on the equidistribution principle to solve fractional integrodifferential equations governing viscoelastic nanofluid flow under Newtonian heating. Key findings demonstrate that this adaptive approach significantly improves accuracy and stability compared to uniform grids, while also revealing the effects of fractional derivatives on velocity profiles and comparing various constitutive models. The study sets the stage for future theoretical analyses and broader applications beyond the vertical plate configuration.
Discussion
In this study, the authors investigate the natural convection flow and heat transfer of an incompressible CuO-water nanofluid past an infinite vertical plate under Newtonian heating and thermal radiation. The governing equations are derived based on several assumptions, including local thermodynamic equilibrium of nanoparticles and the base fluid, and the neglect of viscous dissipation effects. The momentum and energy equations are formulated using fractional calculus to capture the viscoelastic behavior of the nanofluid, with the Caputo fractional derivative employed to align with the initial conditions. The study also introduces a dual-parameter fractional Maxwell model to better describe the memory-dependent characteristics of the fluid.
The numerical solution is achieved through an adaptive grid method, which enhances accuracy in resolving boundary layer structures compared to uniform grids. The results indicate that the adaptive grid method significantly reduces errors in both velocity and temperature fields, particularly in regions with steep gradients. A parametric analysis reveals that variations in the fractional derivative orders influence the velocity and temperature distributions, with higher orders leading to thicker boundary layers. The findings underscore the effectiveness of the proposed fractional models in capturing the complex rheological behavior of viscoelastic nanofluids, demonstrating the adaptive grid’s superiority in long-duration simulations and its ability to optimize computational resources.