DOI: https://doi.org/10.21468/scipostphys.20.3.077
تاريخ النشر: 2026-03-09
المؤلف: Ken Inayoshi وآخرون
الموضوع الرئيسي: أنظمة الكم ذات الجسيمات المتعددة
نظرة عامة
في هذه الدراسة، نقدم خوارزمية قائمة على السببية مصممة لحسابات دالة غرين غير التوازنية (NEGF) باستخدام شبكات التنسور الكمومية (QTT). تعزز هذه الطريقة المبتكرة الاستقرار والكفاءة في تمديد نطاق الزمن المحاكى، لا سيما في سياق نظرية الحقل الديناميكي غير المتوازن (DMFT) لديناميات التبريد في المراحل المكسورة التناظر. تشير نتائجنا إلى أن الخوارزمية تسمح بتمديدات كبيرة لنطاق الزمن – من $t_{\text{max}} = 128$ إلى حوالي $t_{\text{max}} = 300$ – دون تكبد زيادات كبيرة في تكاليف التخزين أو عدم الاستقرار، مما يتيح التقاط ديناميات الاسترخاء البطيء المميزة لهذه المراحل بشكل فعال.
نحلل أيضًا سلوك التقارب لدوال غرين، مما يكشف أنه حتى مع تخمين أولي جيد، هناك حاجة إلى العديد من التكرارات لتحقيق التقارب، لا سيما على مقاييس زمنية أطول. تسهل طريقة التقسيم والتغلب تمديدًا تدريجيًا لنطاق الزمن مع الحفاظ على استقرار التقارب. يتم اقتراح تحسينات مستقبلية، بما في ذلك تحسين التخمين الأولي لدالة غرين وتنقيح استراتيجية تمديد نطاق الزمن. بالإضافة إلى ذلك، نبرز الحاجة إلى تقدم في ضغط الزمن والزخم والاعتماد على المدارات لدوال غرين لتعزيز قابلية تطبيق طريقتنا في المحاكاة الواقعية من البداية. بشكل عام، تؤكد أعمالنا على فعالية النهج القائم على السببية في دراسة الديناميات طويلة الأمد في الحالات المرتبة وتضع الأساس لمزيد من البحث في هذا المجال.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث طريقة دالة غرين غير التوازنية (NEGF)، وهي تقنية بارزة لتحليل الظواهر غير المتوازنة في أنظمة الجسيمات الكمومية. تسهل طريقة NEGF حساب مختلف الملاحظات الفيزيائية، لكنها تواجه تحديات حسابية كبيرة بسبب تعقيد حل معادلة دايسون غير المتوازنة، التي تتوسع مع $O(N_k N_t^2)$ للذاكرة و$O(N_t^3)$ للحساب، حيث $N_t$ هو عدد خطوات الزمن و$N_k$ هو عدد نقاط الزخم. لمعالجة هذه التحديات، تم اقتراح عدة استراتيجيات، بما في ذلك فرضية كادانوف-بايم العامة (GKBA) وطرق تقليم الذاكرة، التي تقلل بشكل كبير من التكاليف الحسابية.
لقد أدت التقدمات الأخيرة، مثل الطريقة الهرمية ذات الرتبة المنخفضة غير القطرية وطرق الشبكات التنسورية مثل شبكات التنسور الكمومية (QTT)، إلى تحسين حسابات NEGF من خلال ضغط البيانات وتحسين الكفاءة. ومع ذلك، فإن التطبيقات الحالية المعتمدة على QTT لا تستفيد بالكامل من سببية دوال غرين، مما يؤدي إلى عدم الكفاءة في المحاكاة طويلة الأمد. تقترح هذه الورقة خوارزمية تقسيم وتغلب لحسابات QTT-NEGF التي تتضمن السببية، مما يعزز التقارب ويسمح بتمديد المحاكاة دون متطلبات ذاكرة مفرطة. تشمل تنظيم الورقة مراجعة لطريقة QTT-NEGF، وتقديم الخوارزمية الجديدة، وتطبيقات على نظرية الحقل الديناميكي غير المتوازن (DMFT) للحالات المكسورة التناظر.
النتائج
في هذا القسم، يتم تقييم تقارب الحلقة الذاتية المتسقة لحساب دالة غرين ماتسوبارا باستخدام أخطاء تقارب محددة تم تعريفها لكل من الزمن التخيلي والواقعي. يتم اشتقاق خطأ التقارب الكلي، $\epsilon_{\text{conv}}$، من الحد الأقصى للأخطاء الفردية، مع تعيين معلمة قطع مستهدفة عند $\epsilon_{\text{cutoff}} = 10^{-20}$. تحقق الدراسة مستوى تقارب قدره $\epsilon_{\text{conv}} \sim 10^{-9}$، مع بعد رباط أقصى يبلغ حوالي 10. تشير المقارنات مع النتائج من مكتبة NESSi التقليدية إلى أنه بينما تتطلب طريقة التحديث العالمية عددًا كبيرًا من التكرارات لتحقيق التقارب، فإنها تتماشى في النهاية بشكل وثيق مع بيانات المرجع بعد حوالي 600 تكرار.
تظهر طريقة خطوة الزمن الكتلية، المعتمدة على خوارزمية التقسيم والتغلب، كل من الدقة والكفاءة في تمديد نطاق الزمن. تظهر النتائج توافقًا جيدًا مع بيانات المرجع للملاحظات الفيزيائية، مع الحفاظ على الحفاظ على العدد الإجمالي للجسيمات والطاقة ضمن هوامش خطأ مقبولة. على الرغم من أن الدقة تتناقص مع زيادة تمديدات نطاق الزمن، فإن نهج QTT-NEGF يقلل بشكل كبير من حجم البيانات مقارنة بالطرق التقليدية، مما يبقيها مستقرة حتى مع توسع نطاق الزمن. على الرغم من أن التنفيذ الحالي أبطأ من الأكواد المحسّنة مثل NESSi، إلا أنه يظهر كفاءة تخزين متفوقة، مع إمكانية تحسين الوقت الحسابي في المستقبل من خلال تحسين انكماش التنسور وتقنيات حل المعادلات الخطية.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون طريقة دالة غرين غير التوازنية (NEGF) المعتمدة على QTT، مع التركيز على تطبيقها على نموذج هوبارد نصف المملوء على شبكة بيث. يسمح تمثيل QTT بحساب فعال لدوال غرين من خلال تفكيك محاور الزمن وتقريب البيانات الناتجة كشبكات تنسورية، مما يقلل بشكل كبير من حجم البيانات عندما يكون بعد الرباط صغيرًا. يوضح المؤلفون العمليات الأساسية في حسابات NEGF، مثل الجمع والتكاملات الالتفافية، التي يمكن تنفيذها بكفاءة في إطار QTT. كما يقدمون حلاً لمعادلة خطية لمعادلة دايسون، مما يمكّن من حسابات ذاتية الاتساق لدوال غرين.
تقوم خوارزمية التقسيم والتغلب المقترحة بتمديد نطاق الزمن من خلال تقسيمه إلى كتل، مما يسمح بتحديثات مستقرة لدوال غرين مع الحفاظ على السببية. يوضح المؤلفون فعالية طريقتهم من خلال محاكاة ديناميات التبريد في الحالات المضادة للمغناطيسية، مما يظهر أن طريقة QTT-NEGF توفر نتائج دقيقة تتماشى بشكل جيد مع الأساليب التقليدية. تؤكد الدراسة على أهمية معايير التقارب والسيطرة المنهجية على الأخطاء في الملاحظات الفيزيائية، مما يبرز إمكانيات طريقة QTT-NEGF لدراسة الظواهر غير المتوازنة في أنظمة الجسيمات الكمومية.
DOI: https://doi.org/10.21468/scipostphys.20.3.077
Publication Date: 2026-03-09
Author(s): Ken Inayoshi et al.
Primary Topic: Quantum many-body systems
Overview
In this study, we introduce a causality-based divide-and-conquer algorithm designed for nonequilibrium Green’s function (NEGF) calculations using quantum tensor trains (QTT). This innovative approach enhances the stability and efficiency of extending the simulated time domain, particularly within the context of nonequilibrium dynamical mean-field theory (DMFT) for quench dynamics in symmetry-broken phases. Our findings indicate that the algorithm allows for significant extensions of the time domain—from $t_{\text{max}} = 128$ to approximately $t_{\text{max}} = 300$—without incurring substantial increases in storage costs or instabilities, thereby effectively capturing the slow relaxation dynamics characteristic of these phases.
We also analyze the convergence behavior of the Green’s functions, revealing that even with a good initial guess, many iterations are necessary to achieve convergence, particularly at longer time scales. The divide-and-conquer method facilitates a gradual extension of the time domain while maintaining convergence stability. Future improvements are suggested, including optimizing the initial guess for the Green’s function and refining the time domain extension strategy. Additionally, we highlight the need for advancements in compressing the time, momentum, and orbital dependencies of Green’s functions to enhance the applicability of our method in realistic ab initio simulations. Overall, our work confirms the efficacy of the causality-based approach in studying long-time dynamics in ordered states and sets the stage for further research in this area.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the nonequilibrium Green’s function (NEGF) method, a prominent technique for analyzing nonequilibrium phenomena in quantum many-body systems. The NEGF method facilitates the computation of various physical observables, but it faces significant computational challenges due to the complexity of solving the nonequilibrium Dyson equation, which scales with $O(N_k N_t^2)$ for memory and $O(N_t^3)$ for computation, where $N_t$ is the number of time steps and $N_k$ is the number of momentum points. To address these challenges, several strategies have been proposed, including the generalized Kadanoff-Baym ansatz (GKBA) and memory truncation methods, which significantly reduce computational costs.
Recent advancements, such as the hierarchical off-diagonal low-rank method and tensor-network approaches like quantics tensor trains (QTT), have further optimized the NEGF calculations by compressing data and improving efficiency. However, existing QTT-based implementations do not fully leverage the causality of Green’s functions, leading to inefficiencies in long-time simulations. This paper proposes a divide-and-conquer algorithm for QTT-NEGF calculations that incorporates causality, enhancing convergence and allowing for extended simulations without excessive memory requirements. The organization of the paper includes a review of the QTT-NEGF method, the introduction of the new algorithm, and applications to nonequilibrium dynamical mean-field theory (DMFT) for symmetry-broken states.
Results
In this section, the convergence of the self-consistent loop for calculating the Matsubara Green’s function is evaluated using specific convergence errors defined for both imaginary and real time. The total convergence error, $\epsilon_{\text{conv}}$, is derived from the maximum of the individual errors, with a target cutoff parameter set at $\epsilon_{\text{cutoff}} = 10^{-20}$. The study achieves a convergence level of $\epsilon_{\text{conv}} \sim 10^{-9}$, with a maximum bond dimension of approximately 10. Comparisons with results from the conventional NESSi library indicate that while the global-update method requires a substantial number of iterations for convergence, it ultimately aligns closely with reference data after around 600 iterations.
The block time stepping method, based on a divide-and-conquer algorithm, demonstrates both accuracy and efficiency in extending the time domain. The results show good agreement with reference data for physical observables, maintaining conservation of total particle number and energy within acceptable error margins. Although the accuracy diminishes with increased time domain extensions, the QTT-NEGF approach significantly reduces data size compared to conventional methods, remaining stable even as the time domain expands. Despite the current implementation being slower than optimized codes like NESSi, it exhibits superior storage efficiency, with potential for future optimization in computational time through improved tensor contractions and linear equation solving techniques.
Discussion
In this section, the authors discuss the QTT-based nonequilibrium Green’s function (NEGF) method, focusing on its application to the half-filled Hubbard model on a Bethe lattice. The QTT representation allows for efficient computation of Green’s functions by discretizing time axes and approximating the resulting data as tensor trains, which significantly reduces the data size when the bond dimension is small. The authors detail the essential operations in NEGF calculations, such as summations and convolution integrals, which can be performed efficiently in the QTT framework. They also introduce a linear equation solver for the Dyson equation, enabling self-consistent calculations of the Green’s functions.
The divide-and-conquer algorithm proposed extends the time domain by partitioning it into blocks, allowing for stable updates of the Green’s functions while maintaining causality. The authors demonstrate the effectiveness of their method through simulations of quench dynamics in antiferromagnetic states, showing that the QTT-NEGF method provides accurate results that align well with conventional approaches. The study emphasizes the importance of convergence criteria and the systematic control of errors in physical observables, highlighting the potential of the QTT-NEGF method for studying nonequilibrium phenomena in quantum many-body systems.