تم تطوير طريقة هارتري متعددة التكوينات المعتمدة على الزمن (MCTDH) ومجموعة إعادة تنظيم مصفوفة الكثافة (DMRG) تقريبًا في نفس الوقت في مجالات الديناميات الكمية الجزيئية وفيزياء المادة المكثفة، على التوالي. . لقد أثرت الطريقتان بشكل كبير على مجالهما المعني ولا تزالان تفعلان ذلك. يمكن رؤية ذلك بوضوح من خلال ملاحظة أن MCTDH و DMRG يتم استخدامهما خارج مجالهما البحثي الأول وأصبحا الآن راسخين في مجالات أخرى مثل الهيكل الإلكتروني الجزيئي من البداية [5-8] في حالة DMRG وديناميات الإلكترون في الحقول القوية في حالة MCTDH [9-15]، من بين العديد من الأمثلة الأخرى. في البداية، كانت MCTDH وDMRG تركزان على مجالات وتطبيقات مختلفة تمامًا. تعتمد MCTDH على معادلة شرودنجر الزمنية (TDSE) بينما تعتمد DMRG على معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن (TISE). بعد حوالي 20 عامًا من تأسيسهما، تم توسيع كلا الطريقتين. تم تحسين دالة الموجة الأقل مرونة لـ MCTDH (بالنسبة لـ DMRG)، وهي تحليل تاكر [16]، من خلال تطوير طريقة MCTDH متعددة الطبقات (ML-MCTDH) [17-19]، حيث يتم استخدام حالة شبكة موتر شجرية (TTNS) أو تنسيق تاكر الهرمي [20-26]. بالنسبة لـ DMRG، تم توسيع التركيز على TISE من خلال التمديدات إلى التطور في الزمن الحقيقي [27-30]. علاوة على ذلك، تم لاحقًا توسيع دالة الموجة لـ DMRG، وهي حالة منتج المصفوفات (MPS) [31-35]، والتي هي مجموعة فرعية من TTNSs، إلى TTNSs [36-40]. استلهمت طرق أخرى من DMRG التي توسع TTNSs لتشمل حالات الشبكة التنسورية العامة (TNSs) [41-50]. أدت هذه التطورات الفردية المختلفة إلى لغات رياضية مختلفة تمامًا تُستخدم لوصف DMRG وML-MCTDH وMPSs وTTNSs. في الواقع، وصف DMRG باستخدام MPSs هو مفهوم أكثر حداثة يختلف بشكل كبير عن لغة DMRG الأصلية [35، 51]. هذه الحواجز اللغوية تزداد حدة مع استخدام المزيد والمزيد من أساليب DMRG في أنظمة تُعالج عادةً باستخدام (ML-)MCTDH والعكس صحيح [52-72]. من الصعب جدًا تحليل أوجه التشابه والاختلاف بين الأساليب التي طورتها هاتان الجماعتان، حتى عندما تكون هذه الأساليب مشابهة جدًا أو متطابقة تقريبًا.

هنا، مع التركيز على ML-MCTDH، سنسلط الضوء على الروابط بين ML-MCTDH و DMRG من خلال “ترجمة” تعبيرات MCTDH إلى اللغة التخطيطية التي تُستخدم على نطاق واسع في مجتمع TNS ولكن لم يتم استخدامها بالكامل حتى الآن في مجتمع ML-MCTDH. نأمل أن تُظهر هذه الترجمات الروابط بشكل أوضح بين ML-MCTDH و DMRG و TNSs. سنبرز قوة اللغة التخطيطية من خلال اشتقاق معادلات الحركة لـ ML-MCTDH عبر الرسوم البيانية. سنناقش طريقة بديلة لحل معادلات الحركة لـ ML-MCTDH، والتي تُعطى من خلال أساليب DMRG المعتمدة على الزمن وغير المعتمدة على الزمن. علاوة على ذلك، سنظهر الروابط بين تقدمات DMRG و ML-MCTDH التي يتم توضيحها من خلال موضوعين متقدمين، (1) إثراء الفضاء الفرعي (وظائف الجسيمات الفردية غير المشغولة المثلى، SPFs)، و (2) هياكل TTNS المثلى، والتي تتضمن أيضًا مناقشة حول سبب تفضيل MPSs في بنية الإلكترونيات الجزيئية، مقارنةً بـ TTNSs في الديناميات الكمومية الاهتزازية.

مخططنا كالتالي: الأقسام II و III تستعرض بإيجاز لغات ML-MCTDH وشبكات التنسور، على التوالي. الأقسام IV و V “تترجم” التعبيرات القياسية (ML-)MCTDH ومعادلات الحركة ML-MCTDH، على التوالي. القسم VI يستخرج بالكامل معادلات الحركة ML-MCTDH باستخدام الرسوم البيانية فقط. القسم VII يستعرض إجراءات التوحيد/التعامد TTNS وعمليات المسح النموذجية لـ DMRG. يتم استعراض نهج DMRG المعتمد على الزمن والذي يمكن اعتباره نظيرًا لمعادلات ML-MCTDH في القسم VIII ويستخدم لوصف DMRG المستقل عن الزمن.

في القسم التاسع. يتناول القسمان العاشر والحادي عشر موضوعين متقدمين حول SPFs غير المشغولة وتحسينات هيكل الشجرة. نختتم في القسم الثاني عشر.

لحل معادلة شرودنجر، فإن الطريقة القياسية للتفاعل الكامل (FCI) هي فرضية ريتز-غاليركين [26،77]، حيث أن دالة الموجة ذات الأبعاد – تمثل بواسطة حاصل ضرب مباشر لـ “أسس بدائية” ذو حجم محدود في كل بُعد :

هنا، نستخدم تدوين ديراك [78، 79] ونفترض وجود قاعدة أولية متعامدة. علاوة على ذلك، سنناقش فقط حالة الجسيمات القابلة للتمييز (أو تحويل مناسب للجسيمات غير القابلة للتمييز، مثل تحويل جوردان-ويجنر) وبالتالي لا نفترض أي تناظر (أو عدم تناظر) في موتر المعاملات ذو القيم الحقيقية أو المعقدة. التي سيتم تحديد مدخلاتها بعد ذلك.

في معظم تطبيقات الديناميات الكمية الجزيئية، تكون القاعدة الأولية هي قاعدة شبكية طيفية أو شبه طيفية تُعطى بواسطة تمثيل المتغيرات المنفصلة (DVR) [80-85]، والتي تُعرف، من بين أمور أخرى، أيضًا بطريقة شبكة لاغرانج [86] في بعض الأدبيات الفيزيائية وكقاعدة كاردينال في بعض الأدبيات الرياضية التطبيقية [84، 87]. لاحظ أن القواعد غير الخطية، وخاصة القواعد الغاوسية، ممكنة أيضًا [88، 89].

الافتراض FCI في المعادلة (1) دقيق في فضاء الأساس البدائي (بافتراض عدم وجود تقريبات إضافية على هاميلتونيان) ولكن عدد المدخلات في موتر المعامل يتناسب كـ ، حيث هو المتوسط الهندسي لأحجام الأساس لتجنب هذا التوسع المفرط، يقوم نموذج (ML-)MCTDH بتقريب المعادلة (1) عن طريق التوسع في قاعدة متعامدة أخرى، تُسمى دوال الجسيم الفردي (SPFs) الفرق بين الأساس البدائي وأساس SPF هو أن الأخير يتم تحسينه بطريقة تباينية وبالتالي يتطلب عددًا أقل من دوال الأساس. ثم يأخذ اقتراح (ML-)MCTDH الشكل التالي

لاحظ أن SPFs قد تكون متعددة الأبعاد (لذا ); انظر أدناه. الرقم العلوي 1 في وفي تشير إلى الطبقة في ML-MCTDH. بالنسبة لتطور الزمن، كلا من موتر بُعدي وتم تحسين دوال الحالة الذاتية وفقًا لمبدأ التباين الزمني المعتمد على ديراك-فرينكل-ماكلخلان (TDVP) [90-94].

بعض الملاحظات حول الرموز المستخدمة هنا: من أجل التناسق مع النص الرئيسي للأدبيات المتعلقة بـ ML-MCTDH، نتبع هنا عن كثب ولكن ليس حصريًا الرموز المستخدمة من قبل مانثي [19، 95]. إنها تختلف بشكل طفيف فقط عن تلك المستخدمة من قبل ماير وفيندرل [96]، ولكن هناك بعض الاختلافات عن الرموز المستخدمة من قبل وانغ وثوس (على سبيل المثال، يختلف عد الطبقات) [18، 97]. ومن الجدير بالذكر أن جميع هذه الرموز تستند إلى الصيغ الأصلية لـ MCTDH [1،2]. توجد رموز مختلفة في مجتمع الرياضيات [98-102]. يتم تقديم مقارنة غير شاملة للرموز المستخدمة في مجتمعات MCTDH والرياضيات وشبكات التنسور في الجدول I.

الافتراض في المعادلة (2) مرن جداً وهناك ثلاث realizations رئيسية له: (1) في أبسط افتراض MCTDH، تكون الدوال الأساسية الذاتية أحادية البعد و ثم يتم تمثيل SPFs بنفس الأساس البدائي المستقل عن الزمن المستخدم في فرضية FCI، المعادلة (1). وبالتالي، فإن MCTDH له نفس التوسع الأسي مثل فرضية FCI، ولكن القاعدة تقل حيث يتم تحسين SPFs وبالتالي يحتاج عدد أقل منها، مقارنة بالأساس البدائي.
(2) بالنسبة لـ MCTDH مع مجموعة الأوضاع [103]، ويتم التعبير عن SPFs من حيث متعدد الأبعاد ( أساس) متعدد الأبعاد. عادةً ما يكون هذا الأساس أساسًا من نوع المنتج المباشر، ولكنه يمكن أن يكون أيضًا أساسًا غير منتج مباشر [104-106]. يتم الإشارة إلى درجات الحرية متعددة الأبعاد التي تصف SPFs متعددة الأبعاد على أنها “منطقية”. يعتبر دمج الأوضاع مفيدًا لوصف درجات الحرية المرتبطة بقوة. بالنسبة للأنظمة التي تحتوي على غالبًا ما يؤدي دمج الأوضاع إلى كفاءة أفضل من طريقة MCTDH العادية. في سياق بنية الجزيئات الإلكترونية، فإن طريقة MCTDH المضادة للتناظر مع دمج الأوضاع تعادل خوارزمية المجال الذاتي المتسق النشط الكامل المعتمد على الزمن (TD-CASSCF) [107-111]. يُطلق على هذا أيضًا اسم هارتري-فوك متعدد التكوين المعتمد على الزمن، MCTDHF [9-15]. في TD-CASSCF،

ستسمى الدوال الثلاثية الأبعاد التي تصف إلكترونًا واحدًا بالأوربيتال الجزيئي، وستسمى الدوال الأساسية البدائية بالأوربيتال الذري.
(3) بالنسبة لـ ML-MCTDH، يظل كذلك، لكن يتم توسيع SPFs ذات الأبعاد في المعادلة (2) بشكل متكرر باستخدام نفس فرضية MCTDH، أي أن

ثم يتم وصفها إما بواسطة الأساس البدائي (ربما مع دمج الوضع) أو يتم توسيعها مرة أخرى باستخدام فرضية MCTDH. يتم تكرار ذلك بشكل متكرر حتى الطبقة الأخيرة. تم الوصول إلى.

يمكن تمثيل الهيكل التكراري لأسلوب ML-MCTDH باستخدام مخططات شجرية كما هو موضح في الشكل 1، الذي يقدم أيضًا مثالًا على بعض رموز ML-MCTDH. في سياق ML-MCTDH، تُستخدم هذه المخططات تقريبًا بشكل حصري لتصوير الهيكل الشجري لوظيفة موجية معينة من ML-MCTDH. فقط مؤخرًا تم استخدامها لتمثيل بعض الكميات الأخرى المتعلقة بـ MCTDH. كما سنظهر أدناه في القسم الثالث، هناك ارتباط مباشر بين هذه المخططات الخاصة بـ ML-MCTDH ومخططات الشبكة التنسيلية المستخدمة في أدبيات DMRG. من بين أمور أخرى، سنظهر كيف يمكن استخدام هذه المخططات لاشتقاق معادلات الحركة لـ ML-MCTDH.

في التدوين المستخدم بشكل شائع، SPFs بُعدية من الطبقة يتم الإشارة إليها بـ . الرموز الإضافية، حدد الموقع الدقيق لنقاط SPF في الشجرة. المؤشرات تُحدد من خلال استكشاف الشجرة باستخدام البحث المتعمق بدءًا من . خلال التنقل، كانت الوضعية الأفقية للمسار عبر الشجرة المتخذ في الطبقة يتم إعطاؤه بواسطة .

لتجنب التعامل مع التدوين المزدحم المستخدم في فهرسة وتحديد مواقع التنسورات والدوال في

شجرة، غالبًا ما يبسط مطورو MCTDH الرموز من خلال تعريف الفهرس المركب ، الذي يحدد مدخلات الموترات اعتمادًا على السياق، يمكن أيضًا تحديد فهرس مفكك مع نطاق مع

نقوم بتبسيط الرموز أكثر من خلال تعريف المؤشرات المركبة ، و يحدد الطبقة والموقع ل SPF، و ذلك الخاص بمؤشر SPF. تؤدي هذه الصياغة المبسطة إلى وصف أكثر اختصارًا للـ SPFs على أنها

أين

هي التكوينات.
مسلحين بهذه التدوين المبسط، نقدم نظير SPFs، وظائف الثقب الواحد والتي يتم تعريفها من خلال إسقاط SPFs المقابلة إلى حالة ML-MCTDH أي،

باستخدام شروط التوافقية للأشكال الأساسية المتعامدة، يمكننا وصف كنتيجة لمجموع حاصل ضرب SHFs و SPFs،

تعتبر SHFs مفيدة لتعريف المشغلين الفعالين، كما هو موضح أدناه في القسم V A.
في لغة DMRG التقليدية [4، 35، 51]، المعادلة (8) تت correspond إلى استخدام DMRG لموقع واحد وتوسيع الحالة من حيث كتلة النظام، وكتلة البيئة، :

حيث يتم تمثيل كتلة النظام في تدوين MCTDH بواسطة SHFs وكتلة البيئة يتم تمثيلها بواسطة SPFs.

نمط الانكماش التنسوري الكامل لاسترجاع حالة ML-MCTDH الكاملة/TTNS الممثلة بواسطة الأساس البدائي من التنسورات/تمثيلات SPF يتم تقديم ذلك فعليًا من خلال الرسم البياني الموضح في الشكل 1. هذا ممكن من خلال إدخال وسيلة لترجمة هذه الأنواع من مخططات الشبكات التنسورية إلى معادلات رياضية. منذ القرن التاسع عشر، وصف العلماء جبر التنسور باستخدام الرموز الرسومية [117-119]؛ انظر المرجع [120] للحصول على نظرة عامة. تم استخدام مخططات الشبكات التنسورية لأول مرة من قبل بينروز في الخمسينيات [121] ويمكن أن تكون مفيدة للغاية ليس فقط لتصورها ولكن أيضًا لاشتقاق التعبيرات الرياضية [30، 35، 47، 48، 122، 123]. تؤدي فكرة الشبكات التنسورية إلى TNSs. في مخطط الشبكة التنسورية، يتم تمثيل كل تنسور كعقدة ويتم تمثيل كل من مؤشرات التنسور كحواف أو “روابط؛” انظر الشكل 2 للحصول على مثال تمثيلي. غالبًا ما يتم تقديم بعض التعريفات الإضافية. في ما يلي، تشير النجمة فوق العقدة إلى المرافق المعقد. النقطة تشير إلى المشتق الزمني لتنسور وخط قطري يشير إلى التنسورات القطرية، كما هو موضح في الشكل 2. نظرًا لأن TTNS هو فرضية دالة الموجة لطريقة ML-MCTDH، سيتم استخدام مصطلحي TTNS و ML-MCTDH state بالتبادل في ما يلي.

مماثل لاتفاقية جمع آينشتاين [124]، يتم تعريف انقباضات التنسورات (الجمع على المؤشرات المشتركة) من خلال ربط الروابط المشتركة (الحواف) لتلك العقد التي يجب أن يتم انقباض مؤشراتهم المقابلة. الشكل 3 يوضح مثالين.

رسوم الشبكات التنسورية ليست مفيدة فقط لتصور انقباضات التنسور، بل يمكن استخدامها أيضًا لاشتقاق المعادلات وللدلالة على خصائص معينة. الشكل 4 يظهر مثالاً على حساب مشتقة شبكة تنسورية من خلال رسم.

بهدف مقارنة لغة MCTDH مع مخططات التنسور، نقدم هنا ترجمة للتعبيرات الشائعة الاستخدام في MCTDH. سنستخدم حالة ML-MCTDH / TTNS الموضحة في الشكل 5 كمثال. لاحظ أنه، نظرًا لمرونة TTNSs من حيث هيكلها، فإن معادلات TTNS يتم تمثيلها بشكل أفضل بمساعدة أشجار الأمثلة. التعميمات إلى هياكل شجرية أخرى بسيطة. هذا يختلف عن MPSs أو حالات الأزواج المتشابكة المتوقعة، حيث أن تلك TNSs لها هياكل أبسط (شبكات أحادية أو ثنائية الأبعاد، على التوالي).

في مخطط TTNS، تُسمى المؤشرات التي تمثل الروابط الحرة “المعلقة”، أي التي لا تتصل بعقدة أخرى، بالفيزيائية. في مخططات الشبكة التنسورية، تُسمى جميع الروابط الأخرى في TTNS بالافتراضية. لا يمكن دائمًا تمييز الروابط الفيزيائية والافتراضية مباشرة في التعبيرات التخطيطية الأكثر عمومية ويجب استنتاجها من TTNS الأولي. لتبسيط ذلك، في المخططات التالية، سنقوم دائمًا بتلوين الروابط الفيزيائية باللون البرتقالي والروابط الافتراضية باللون الأسود. هنا، لكل موتر لونه المحدد، كما هو موضح في الشكل 5. في مخططات الشبكة التنسورية، عدد SPFs، يتوافق مع بعد السند ومن ثم يُطلق عليه أيضًا بعد السند (أحيانًا أيضًا مرتبة في الرياضيات أو عدد الحالات المحتفظ بها، ، بلغة DMRG التقليدية؛ قارن مع الجدول الأول). في ما يلي سنستخدم عند الإشارة إلى بُعد الرابطة/عدد الدوال الموجية الأساسية بشكل عام و عند الإشارة إلى عقدة معينة. يتم إعطاء أبعاد الروابط الفيزيائية كما هي في الأساس البدائي.

على عكس TTNS الكامل، فإن الوظائف مثل SPFs أو SHFs تحتوي على روابط افتراضية حرة. يجب أن تحتوي أي وظيفة على رابط مادي واحد أو أكثر، وعادةً ما تحتوي على رابط افتراضي حر واحد فقط يدل على رقم الوظيفة (على سبيل المثال، في ). تشير الروابط الفيزيائية بعد ذلك إلى قيم الدالة. غالبًا ما يتم تصوير الأورثونورمالية إما باستخدام الأسهم بدلاً من الروابط أو باستخدام رموز خاصة للعقد مثل المثلثات. هنا، نتبع الاتفاقية من ML-MCTDH وبعض الأدبيات الرياضية [23،26،98] ونصور الأورثونورمالية من خلال اتجاه الروابط الافتراضية. إذا كانت الرابطة الافتراضية تشير إلى الأعلى (نحو الطبقة 1، بعيدًا عن الروابط الفيزيائية)، فإن الدالة/التي tensor تكون أورثونورمالية. لاحظ أنه يوجد دائمًا رابطة افتراضية واحدة فقط تشير إلى الأعلى. إذا كانت الرابطة الافتراضية تشير إلى الأسفل (نحو الروابط الفيزيائية/الطبقة الأخيرة)، فإن الدالة/التي tensor تكون غير أورثونورمالية.

مثال على تكوين (مجموعة من SPFs/العقد) موضح في الشكل 6 مع انكماش التكوينات باستخدام موتر معامل، مما يؤدي إلى SPF. أمثلة على SPFs مقارنةً بموتيرات معامل فردية موضحة في الشكل 7. موتر معامل هو مجرد عقدة واحدة وروابطها المتصلة. قيم يمكن الحصول عليه من صناديق الاستثمار الخاصة

عن طريق إسقاط جميع SPFs المتصلة بـ على قارن مع المعادلتين (5) و(6). لاحظ أنه بالنسبة للطبقة الأخيرة في الشجرة، يمكن تفسير العقدة إما كموتر أو كـ SPF، انظر الشكل 7 (ج) و(د). يعتمد التفسير المستخدم على السياق. يسمى موتر الجذر والعقدة المقابلة تسمى عقدة الجذر.

غالبًا ما يكون من المفيد إعادة تشكيل (وتبديل) موتر إلى مصفوفة، وهو ما يُسمى التماتُر (أو التسطيح أو نشر المصفوفة) [23]. على سبيل المثال، موتر بحجم يمكن أن يتم إعادة ترتيبها وإعادة تشكيلها في مصفوفة باستخدام الخريطة أين هو مؤشر مركب . هذا مفيد لتحقيق علاقات التعامد الطبيعي، على سبيل المثال، أو بشكل أكثر وضوحًا، و، بشكل مكافئ، الشكل 8 يقدم مثالاً على علاقات المصفوفة والعمودية في الرسوم البيانية.

في ML-MCTDH، تعني الأرتونورمالية لـ SPFs أن كل من التنسورات يمكن تحويل ما تم استخدامه لبناء SPFs في الرسم البياني إلى مصفوفات متعامدة. بحجم ، حيث هو الحجم الكلي لجميع الروابط الموجهة لأسفل، كما هو محدد في المعادلة (4). في هذه الحالة، يتم تنفيذ الماتريز باستخدام المؤشر المركب (المقابلة للرابطة الموجهة نحو الأسفل، نحو الروابط الفيزيائية) في كمؤشر صف ومؤشر SPF (السند يشير لأعلى نحو العقدة الجذرية) كمؤشر عمود؛ وبالتالي . هذا يؤدي إلى تبسيطات مفيدة للغاية للرسوم البيانية. على سبيل المثال، المعيار المربع لحالة ML-MCTDH، ببساطة يُعطى بواسطة موتر معامل عقدة الجذر، يوضح ذلك بشكل بياني في الشكل 9.

حساب التداخل، ، والمشروطة على فضاء SPF،

موضحة في الشكل 10. بسبب التوافق المتعامد، يقلل إلى . لاحظ أنه على الرغم من أن الدوال الأساسية الذاتية (SPFs) تكون متعامدة بشكل رسمي، إلا أن الدقة المحدودة لمحلل معادلة تفاضلية ML-MCTDH تؤدي إلى أخطاء صغيرة في عدم التعامد للدوال الأساسية الذاتية. في تطبيقات MCTDH، يتم تجاهل هذا الخطأ في عمليات الانكماش التنسوري، ولكن يتم تعديل مشروع الدالة الأساسية الذاتية لأخذ

أخذ الاعتبار للعدم التوافق الزائف من خلال [125]

أين هو مصفوفة التداخل لـ .
مثال على SHF موضح في الشكل 11. على عكس SPF، بالنسبة لـ SHF، فإن مؤشر الوظيفة يتوافق مع رابطة افتراضية موجهة نحو الأسفل (وليس نحو الأعلى) وبالتالي فإن SHF غير متعامدة. ومع ذلك، يمكن جعلها متعامدة؛ انظر القسم V A. العلاقة بين تحليل SHF-SPF في ML-MCTDH وتحليل النظام-البيئة في DMRG التقليدي، المعادلة (9)، موضحة في الشكل 12 (في هذه الحالة نقوم باستثناء ونظهر MPS بدلاً من TTNS من الشكل 5).

يمكن تعميم تعريف SHF ليشمل SHFs ذات الفهرسة المزدوجة المعرفة كما في [19]

حيث قمنا بتسليط الضوء على مؤشري “الثقب” الاثنين و حسب الألوان. يتم عرض مثال في الشكل 13. SHFs ذات الفهرسة المزدوجة

الشكل 12. مقارنة بين مخطط ML-MCTDH ولغة DMRG التقليدية. (أ) تحليل حالة ML-MCTDH / MPS من حيث دالة ثقب مفرد (SHF) ودالة جسيم مفرد (SPF)؛ قارن مع الشكل 11. (ب) إعداد DMRG لموقع مفرد مع كتلة نظام وكتلة بيئة. كتلة النظام (البيئة) تمتد عبر فضاء SHF (SPF)؛ قارن مع المعادلة (9).
يسمح بتعريف تكراري لـ SHFs:

في الرسم البياني، يتم تمثيل SHF ذو الفهرسة المزدوجة ببساطة بواسطة رابطين افتراضيين، أحدهما يشير لأسفل والآخر يشير لأعلى؛ انظر الشكل 13 (ب).

تستند معادلات ML-MCTDH إلى فرضية ML-MCTDH، المعادلة (2)، وTDVP.

أين يدل على التغيرات من الدرجة الأولى لـ فيما يتعلق بمعاييره. في ما يلي، سنقوم بتحديد بالنسبة لاقتراح دالة الموجة ML-MCTDH، يتم حل المعادلة (14) مع مراعاة قيودين: أولاً، شروط التوافق المتعامد للـ SPFs، وثانياً، عدم اعتمادها على القياس.

أين هو بعض مشغل قيود هيرميتي عشوائي و يدل على المشتقة الزمنية لـ تم مناقشة عدم التماثل في القياس بشكل أكبر في القسم السابع. باختصار، التحولات الوحدوية لـ SPFs/SHFs لا تغير لا التوافق المتعامد ولا الحالة. وهذا يؤدي إلى عدم تحديد SPFs الذي يتجلى من خلال عدم التماثل في القياس. يتم تثبيت هذا الغموض بواسطة المعادلة (15). خيارات متنوعة من يوجد وهنا، من أجل البساطة، سنستخدم واحدة من الخيارات الأكثر شيوعًا وسنجعلها ببساطة تساوي صفرًا [1]، أي،

تعميم المعادلات التالية إلى غير الصفر هو مباشر وسيتم مناقشة بعض جوانب استخدام مقياس مختلف في القسم الثامن.

قبل أن نبدأ في تعريف معادلات الحركة، سنقوم بتعريف كميتين إضافيتين وتقديم تعبيرات بيانية لهما. يتم تعريف مصفوفة كثافة “الجسيم الفردي” على أنها

وهو يساوي المصفوفة المنقولة لمصفوفة الكثافة المخفضة لجسيم واحد في نظرية البنية الإلكترونية [111]. بالإضافة إلى ذلك، فإنه مرتبط بمصفوفة غرام. مع الإدخالات من مع المعلمات ، والذي يُستخدم في نظريات مشابهة [23،54،55،57،127،128]. تُبسط خاصية التعامد لـ SPF حساب ومثال على ذلك موضح في الشكل 14. إن تحويله إلى الشكل القطري ينتج عنه دوال شكل طبيعية ودوال شكل عشوائية. القيم الذاتية لـ تُسمى المهن الطبيعية. إن الـ SHFs ذات المهن الطبيعية غير الصفرية تكون متعامدة، ولكنها ليست متعامدة طبيعية.

تُعرّف مشغلات الحقل المتوسط على أنها

حيث قمنا بإدراج التعريفات لـ SHFs في المعادلة الثانية لتسليط الضوء على أن المعادلة (18) لا تزال تعرف مشغلاً وليس عددًا عدديًا. ومن ثم، هي مصفوفة من المشغلين. مثال على رسم بياني يبرز “جزء المشغل” و”جزء المصفوفة” (المؤشرات و ) من المعادلة (18) موضحة في الشكل 15.

باستخدام تعريفات مصفوفات الحقل المتوسط ومصفوفات الكثافة، نقدم الآن تعبيرات مختصرة لمعادلات الحركة في ML-MCTDH. تؤدي المعادلة (14) مع المعادلة (16) إلى المعادلات التالية للحركة للـ SPFs [2]:

لاحظ أنه في الممارسة العملية، مصفوفة كثافة الجسيم الفردي يمكن أن تكون مفردة وعادة ما تحتاج إلى تنظيم [2]، ولكن توجد بدائل. ; انظر أيضًا القسم X. سنجعل المعادلة (19) أكثر وضوحًا من خلال إسقاط التكوينات المقابلة على المعادلة (19) بحيث يتم الحصول على معادلات الحركة لموتر معامل SPF كالتالي

لجذر الموتر في الطبقة الأولى نحصل على معادلات حركة شبيهة بمعادلات ريتز-غاليركين القياسية [26،77] لمعادلة شرويدنجر الزمنية المعتمدة، معبراً عنها في قاعدة محدودة (لكنها تعتمد على الزمن):

أكثر شكل شائع من والمشغلين الآخرين المستخدمين من قبل MCTDH والعديد من الطرق الأخرى هو شكل مجموع المنتجات (SoP)، حيث يتم تحليل الهاميلتوني كمجموع لـ المنتجات المباشرة لمشغلات ذات بعد واحد:

في الجزء الثاني من المعادلة (22) قمنا بامتصاص المعاملات ذات القيم المركبة إلى أحد المشغلين ، من أجل الوضوح. هذه الهاميلتونية لها ميزة أن تطبيقها على حالة ما له تنفيذ بسيط نسبيًا ولكنه يتناسب بشكل جيد [131، 132] استنادًا إلى حلقة واحدة فقط على ضربات المصفوفات المحسّنة جيدًا [133].

النظير لمشغل هاملتونيان في مجتمع DMRG هو مشغل المنتج المصفوفي (MPO) [26،35،134،135]، والذي يُعرف بأنه

الـ MPO هو تعميم للـ MPS إلى مشغل. وبالمثل، يمكن تعريف مشغل شبكة موتر الشجرة كتعميق لـ TTNS إلى مشغل. في مجتمع MCTDH، يُعرف هذا بالنسبة لمشغلات الجهد القطرية بصيغة multilayer potfit، التي لم يتم استكشاف مزاياها وعيوبها بالكامل حتى الآن.

يمكن تمثيل هاملتونيان SoP كـ MPO يكون قطريًا في بعد الربط [138، 139]: تعريف كمؤشر مركب مفكك يمكن تحويل المعادلة (22) إلى المعادلة (23) من خلال العلاقة