في السنوات الأخيرة، تم إيلاء اهتمام متزايد لدراسة المعادلات التفاضلية والمعادلات التفاضلية الجزئية التي تتضمن الأس exponent المتغير بشكل عام، والمعادلات غير المتجانسة ذات أوامر اشتقاق مختلفة في اتجاهات مختلفة بشكل خاص. تم تحفيز الاهتمام الرئيسي في دراسة مثل هذه المشاكل من خلال تطبيقاتها المتنوعة في العلوم الفيزيائية والعلوم ذات الصلة. في الواقع، هناك العديد من التطبيقات المتعلقة بمشاكل المرونة غير الخطية، ميكانيكا الاتصال، السوائل الكهروسيولة، الروبوتات، تكنولوجيا الفضاء، معالجة الصور، التدفق في الوسائط المسامية، إلخ. (للمزيد من التفاصيل انظر أنتونتسيف وآخرون [5]، أنتونتسيف ورودريغيز [6]، بير [7]، بوريانو وآخرون [9]، تشين وآخرون [17]، دينينغ [20]، رادوليسكو وريبوفش [43]، روجيكا [44]، سيموندس [47]، ستانواي وآخرون [48]، زهيكوف [49]، والمراجع هناك).

على حد علمنا، لم يتم دراسة المعادلات غير المتجانسة ذات أوامر اشتقاق مختلفة في اتجاهات مختلفة، والتي تتضمن أسسًا متغيرة حرجة من قبل. في الحالة تحت الحرجة، نشير القارئ إلى الأوراق بوريانو وأودريا [11]، بوريانو ورادوليسكو [10]، فان [24]، جي [34]، ميهاليشكو وآخرون [37، 38]، وأورراوي وراغوزا [40].

أحد النقاط الرئيسية في دراسة هذه المعادلات هو تعميم نظرية الغمر المعروفة لسوبوليف غير المتجانس: إذا كان هو مجموعة فرعية من و هو الدالة المتجهة بحيث ، لكل ، فإن هناك تضمين مستمر (أو تضمين مضغوط )، إذا كان الأس يحقق للتضمين المستمر (أو ، للتضمين المضغوط، حيث هو الأس الحرجة لسوبوليف.

نذكر أهم النتائج في هذه المواضيع. عندما تكون منطقة محدودة ذات حدود ناعمة، أثبت ميهاليشكو وآخرون [37] أنه بالنسبة لكل دالة مستمرة تحقق

، حيث ، يمكن تضمينها بشكل مضغوط في . بعد ذلك، أظهر جي [34] أيضًا أنه بالنسبة لكل دالة مستمرة تحقق ، حيث ، فإن الفضاء يمكن تضمينه بشكل مضغوط في .

لاحظ أن النتائج المذكورة، التي يكون فيها الأس الحرجة أو هو أس ثابت، هي مثالية في بيئة فضاءات ليبغ المتجانسة ذات الأس الثابت. في العمل الحالي، سنكون مهتمين بتوسيع هذه النتائج، من خلال إعطاء شروط كافية لـ بحيث يمكن تضمينها في ، حيث هي منطقة محدودة ذات حدود ناعمة و هي مثالية في بيئة فضاءات ليبغ ذات الأس المتغير. نختتم هذه الفقرة بالمشكلة المفتوحة التالية.

المشكلة 1. ما هي الشروط الكافية لـ و ، بحيث أو يمكن تضمينها في ، حيث و .

من ناحية أخرى، عندما يكون أو ثابتًا لكل ، فقد حظيت فئة المعادلات الإهليلجية التي تتضمن نموًا حرجيًا باهتمام كبير بعد العمل الرائد لبريز ونيرنبيرغ [12] في عام 1983 للمعادلات اللابلاسية. منذ ذلك الحين، كانت هناك توسعات لـ [12] في العديد من الاتجاهات، انظر على سبيل المثال، سيرفادي وفالدينوتشي [45، 46].

التحدي الرئيسي في حل المشاكل الإهليلجية المميزة بالنمو الحرجي يكمن في غياب الكثافة عند تضمين مساحات سوبوليف في فضاءات ليبغ ضمن إطار الطرق التغيرية. للتغلب على هذه العقبة، قدم ليونز [36] مبدأ التركيز-الكثافة (CCP) في عام 1985 لتأسيس ما قبل الكثافة لتسلسلات التخفيف أو تسلسلات باليس-سمال (PS). بالنسبة للمجالات المحدودة، تم اشتقاق تكيف الأس المتغير لمبدأ التركيز-الكثافة الخاص بليونز بشكل مستقل من قبل بوندر وسيلفا [8]، وكذلك من قبل فو [29]. منذ ذلك الحين، قام العديد من الباحثين بتطبيق هذه النتائج لمعالجة المشاكل الإهليلجية الحرجة التي تتضمن أسسًا متغيرة، انظر على سبيل المثال، ألفيس وفيريرا [3]، ألفيس وباريرو [1]، شمس الدين وراغوزا [16، 14]، فو وزانغ [30]، هو وسيم [32]، هورتادو وآخرون [33]، والمراجع هناك.

بالنسبة لـ -لابلاس على المجالات المحدودة، تم تأسيس مبدأ CCP في الحالة الخطية بواسطة بالاتوتشي وبيزانت [41] وللثابت بواسطة موسكوني وسكواسينا [39]. تم توسيع مبدأ CCP لمساحات سوبوليف الكسرية ذات الأس المتغير بواسطة هو وكيم [31]. باستخدام مبدأ التركيز-الكثافة، يقدمون شروطًا كافية لوجود حل غير تافه لمشكلة بريز-نيرنبيرغ الكسرية المعممة. من الجدير بالذكر أن الحميدي وراكوتوسون [23] قد وسعوا مبدأ التركيز-الكثافة إلى مساحات سوبوليف غير المتجانسة ذات الأس الثابت عندما تكون جميع دوال ثابتة. هذه التوسعة مهدت الطريق لإثبات تحقيق أفضل ثابت سوبوليف حرجة. بعد ذلك، عالج مؤلفون مختلفون بفعالية مشاكل حرجة تتضمن مشغل -لابلاس، كما يتضح من أعمال ألفيس والحميدي [2] وفيغويريدو وآخرون [26،27].

مؤخراً، وسع تشاكر وآخرون [13] مبدأ التركيز-الكثافة لـ -لابلاس الكسرية من الرتبة المختلطة إلى المجالات غير المحدودة. من خلال دمج الأفكار من الحالة غير المتجانسة كما هو موضح في هذه الورقة، ومن الحالة غير المحلية كما في هو وكيم [31]، ومن المشغل غير المحلي غير المتجانس في [13]، نتوقع أن يسمح لنا هذا النهج المدمج بتوسيع
مبدأ التركيز-الكثافة إلى مساحات سوبوليف من الرتبة الكسرية غير المتجانسة ذات الأس المتغير في المجالات المحدودة في المستقبل. تحمل هذه التوسعة إمكانية تطبيقات في حل مشكلة بريز-نيرنبيرغ الكسرية المعممة غير المتجانسة.

كما ذكر سابقًا، لم تكن هناك نتائج سابقة متاحة للمعادلات الإهليلجية غير الخطية غير المتجانسة ذات النمو الحرجي المتغير حتى هذه المقالة. ومع ذلك، من الجدير بالذكر أن ورقة لاحقة من شمس الدين وآخرون [15]، نشرت بعد هذه المقالة، استخدمت النتائج التي تم الحصول عليها في هذا العمل. لقد طبقوا هذه النتائج على فئة معينة من المعادلات الإهليلجية غير المتجانسة الحرجة من نوع شرويدنجر-كيرشهوف. على الرغم من أن نظرية الغمر الحرجة لسوبوليف تنطبق على سوبوليف غير المتجانس مع الأس المتغير، إلا أننا لا نعرف ما إذا كانت هناك نتائج لتضمين نوع سوبوليف الحرجة لمساحات سوبوليف ذات الأس المتغير المحددة على منطقة محدودة، انظر على سبيل المثال، جي [34]، فان [24]، ميهاليشكو وآخرون [37، 38]، ورادوليسكو وريبوفش [43]. بسبب ذلك، هدفنا الأول هو الحصول على تضمين حرجي من مساحات سوبوليف ذات الأس المتغير غير المتجانس إلى فضاءات ليبغ ذات الأس المتغير. نقدم شروطًا كافية على الأسس المتغيرة، مثل شرط الاستمرارية من نوع لوغ-هولدر على الدالة الدنيا للأسس، للحصول على مثل هذا التضمين الحرجي (انظر النظرية 3). باستخدام هذا التضمين الحرجي، نؤسس توسيع مبدأ التركيز-الكثافة لليونز لمساحات سوبوليف ذات الأس المتغير غير المتجانس، مستلهمين من بوندر وسيلفا [8]، فو [29]، هو وكيم [31]، وليونز [36]، وهو هدفنا الثاني (النظرية 6). كتطبيق لهذه النتائج، نؤسس وجود وتعدد الحلول غير التافهة للفئة التالية من المشاكل الحرجة غير المتجانسة ذات القيم الذاتية

حيث هي منطقة محدودة ذات حدود ليبشيتز و هي بارامترات حقيقية بحيث إيجابية، الدوال و مستمرة على وتحقق بعض الشروط التي سيتم تحديدها أدناه، و هي دالة كاراثيودوري مع الإمكانية الذي يفي ببعض الشروط التي سيتم تحديدها لاحقًا. المشغل التفاضلي تم تقديمه في الأصل بواسطة بوريانو ورادولسكو [10]. هذه المشغل هو نوع أكثر عمومية من مشغل لابلاس. الدوال تمثل المشتقات المستمرة بالنسبة إلى من التخطيط المشار إليه بـ أي، .

في هذه الورقة، سنفترض أن الفرضيات التالية صحيحة لجميع :
يوجد بحيث ، بالنسبة لـ أ.ع. وكل ، حيث الدوال غير السالبة تنتمي إلى ، مع .
توجد ثوابت إيجابية بحيث

الوظائف يرضي ، ل.ع.

الميزة الرئيسية لهذه الورقة هي إثبات وجود وتعدد الحلول غير التافهة للمشكلة (1.1) تحت شرط النمو الحرج. ، حيث
مع (انظر النظرية 1 للوجود والنظرية 2 للتعددية). النتائج الرئيسية لهذه الورقة هي كما يلي (الشروط و سيتم تعريفه في القسم 4).

النظرية 1. افترض أن الافتراضات ( “، و (H) احتفظ. ثم لجميع و المشكلة (1.1) لديها على الأقل حل ضعيف غير تافه واحد.

النظرية الثانية تتعلق بالحالة لجميع .
النظرية 2. افترض أن الافتراضات ( ، و (H) احتفظ. ثم لجميع و المشكلة (1.1) لديها عدد لا نهائي من الحلول الضعيفة.

نقدم بعض الأمثلة، المثيرة من وجهة نظر رياضية ولها مجموعة واسعة من التطبيقات في الفيزياء وحقول أخرى، التي تقع ضمن الفئة العامة من المعادلات التي سندرسها في هذه الورقة، مع افتراضات كافية حول الدوال. .

مثال 1. دع . ثم و تلبية الافتراضات و للجميع . ومن ثم تصبح المعادلة (1.1)

المشغل ما يُسمى بـ -مؤشر لابلاس، عندما للجميع . المشغل هو -مؤشر لابلاس، أي، الذي يتزامن مع المعيار -لابلاسيان عندما ، ومع اللابلاسي عندما .

مثال 2. دع . ثم و تلبية الافتراضات و للجميع . ومن ثم تصبح المعادلة (1.1)

المشغل هو ما يُعرف بمشغل انحناء متوسط متغير غير متجانس.

الورقة منظمة على النحو التالي: في القسم 2 نقدم بعض الخصائص الأولية لمساحات الأسس المتغيرة. في القسم 3 نثبت تمديد مبدأ تركيز-تجميع ليون لمساحات سوبوليف المتغيرة غير المتجانسة. في القسم 4 ندرس فئة من المعادلات البيانية غير الخطية غير المتجانسة ذات النمو الحرج ونثبت وجود وحساب الحلول. في القسم 5 نثبت النتائج الرئيسية (النظريتان 1 و 2).

في هذا القسم، نحدد الرموز ونجمع النتائج الأساسية الضرورية المتعلقة بمساحات الدوال ذات الأسس المتغيرة. ستستخدم هذه النتائج بشكل متكرر في الأقسام اللاحقة من الورقة.

طوال هذه الورقة، نفترض أن هي منطقة محدودة ليبشيتز في . نقدم المجموعة ، يُعرَّف بأنه

نرمز بـ مجموعة الدوال التي تلبي شرط الاستمرارية لوغ-هولدر

لأي نحن نعرف و نقدم أيضًا فضاء ليبج المتغير الأس في

حيث الوظيفة يُعرَف بأنه نحن نمنح الفضاء مع معيار لوكسمبورغ

تؤدي هذه القاعدة إلى كونها فضاء باناش قابل للفصل وذاتي التأمل (انظر، على سبيل المثال، كوفاتشيك وراكوسنيك [35، نظرية 2.5، نتيجة 2.7]). دعونا الآن نعيد النظر في بعض الخصائص الأساسية المرتبطة بمساحات ليبغ.

الاقتراح 1 (كوفاتشيك وراكوسنيك [35، نظرية 2.8]). اعتبر الأسس المتغيرة و ينتمي إلى الفئة وتلبية الشرط داخل المجال تحت هذه الظروف، التضمين مستمر.

علاوة على ذلك، فإن عدم المساواة من نوع هولدر التالية تنطبق على الجميع و

أين هو الفضاء المرافق (أو الفضاء الثنائي الطوبولوجي) لـ ، تم الحصول عليه عن طريق اقتران الأس بشكل نقطي، أي، (انظر، على سبيل المثال، كوفاتشيك وراكوسنيك [35، النظرية 2.1، النتيجة 2.7]). علاوة على ذلك، إذا و ثم لدينا الخصائص التالية (انظر على سبيل المثال فان وزهاو [25، النظرية 1.3، النظرية 1.4]):

نتيجة لذلك، نحصل على

هذا يؤدي إلى نتيجة مهمة وهي أن تقارب النورم وتقارب المودولار متساويان.

ملاحظة 1. الخصائص المذكورة أعلاه للنمط والمعيار تنطبق على الجميع هو دالة حقيقية قابلة للقياس و ، حيث هي مجموعة مفتوحة محدودة، هو مقياس على ، و (للمزيد من التفاصيل انظر، على سبيل المثال، دينينغ وآخرون [21، الفصل 3]).

الآن، دعونا نوجه انتباهنا إلى فضاء سوبوليف (المتساوي الاتجاهات) مع أس exponent متغير. يُشار إلى هذا الفضاء بـ يتكون من وظائف ينتمي إلى مشتقاتها الجزئية ، من أجل ، أيضًا في بالمعنى الضعيف. المعايير لهذه المساحة تُعطى بواسطة

أين يمثل تدرج فضاء سوبوليف بقيم حدودية صفرية، يُشار إليه بـ يتم تعريفه على أنه إغلاق مجموعة الدوال الملساء ذات الدعم المحدود، داخل معيارها يُعطى بواسطة

من الجدير بالذكر أن كلا من و هي فضاءات باناش قابلة للفصل وذاتية، كما تم إثباته في كوفاتشيك وراكوسنيك [35، نظرية 3.1]. بالإضافة إلى ذلك، نقدم مفهوم الأس exponent سوبوليف الحرج، الذي يُرمز له بـ والذي يُعرَّف على النحو التالي

الآن، دعنا نبرز التضمينات الحاسمة في الفضاء .
الاقتراح 2 (دينغ وآخرون [21، نظرية 8.4.2.]، إدموندز وراكوسنيك [22، نظرية 1.1]). اعتبر مُرضٍ ، و مع للجميع تحت هذه الظروف، لدينا تضمين مستمر . علاوة على ذلك، إذا افترضنا أيضًا للجميع ثم تكون هذه التضمين أيضًا مضغوطة.

للاستكشاف الشامل لخصائص فضاءات ليبج-سوبوليف ذات الأسس المتغيرة، نوصي القارئ بالاطلاع على أعمال كروز-أوريبي وفيورينزا [18]، ودينينغ وآخرون [21] وكوفاتشيك وراكوسنيك [35].

الآن، نوسع مناقشتنا لتشمل فضاء سوبوليف غير المتجانس الذي يُشار إليه بـ ، حيث هو دالة متجهة تعرف على أنها ، مع كل مكون مُرضٍ للجميع . بالإضافة إلى ذلك، نحدد ، و
فضاء سوبوليف ذو الأس exponent المتغير غير المتناظر يتكون من وظائف بحيث للجميع يمكن أيضًا تعريف هذه المساحة على أنها

وهو مزود بالمعيار

الفضاء تشكل فضاء باناش انعكاسي، كما أثبت فان [24، النظريتان 2.1 و2.2].

فضاء سوبوليف ذو أس exponent متغير غير متساوي مع قيم حدودية صفرية يُعرَف بأنه إغلاق مع القاعدة . علاوة على ذلك، المساحة يسمح بالعلاج المناسب لوجود الحلول الضعيفة للمشكلة (1.1) ويمكن اعتباره تعميماً طبيعياً لمساحة سوبوليف ذات الأس المتغير. . من ناحية أخرى، الفضاء يمكن أيضًا اعتباره تعميماً طبيعياً لمساحة سوبوليف غير المتجانسة الكلاسيكية ، حيث هو المتجه الثابت .