DOI: https://doi.org/10.1017/jfm.2026.11332
تاريخ النشر: 2026-04-13
المؤلف: Tomas Fullana وآخرون
الموضوع الرئيسي: ديناميكا السوائل والأفلام الرقيقة
نظرة عامة
في هذا البحث، يقدم المؤلفون منطقة الاتصال شرط الحدود العامة لنفييه (CR-GNBC)، وهو تحسين لشرط الحدود العامة لنفييه (GNBC) الذي اقترحه تشيان وآخرون. يستبدل CR-GNBC إجهاد يونغ غير المعوض المنفرد بدالة سلسة تتميز بمعامل فيزيائي $\epsilon > 0$. يسمح هذا التعديل بمعالجة أكثر اتساقًا لنقل زاوية الاتصال، متماشياً مع المبادئ الحركية التي وضعتها فريك، كونه، وبوث. يتم تنفيذ النموذج في حل هندسي لحجم السائل باستخدام طريقة “زاوية حرة”، حيث يتم إعادة بناء زاوية الاتصال الديناميكية من هندسة الواجهة بدلاً من أن تكون محددة مسبقًا. تُظهر الدراسة أن CR-GNBC يؤدي إلى حلول مستقلة عن الشبكة وينظم بشكل فعال التفرد عند خط الاتصال المتحرك، مما يؤكد انحناءً محدودًا وامتثالاً لمعادلة الفيلم الرقيق.
تكشف النتائج أن نموذج CR-GNBC يحقق انتقالًا سلسًا لإجهاد القص إلى الصفر عند خط الاتصال في حالات شبه مستقرة، مما يشير إلى انزلاق ظاهري مثالي. يتحقق المؤلفون من نهجهم من خلال محاكاة عددية، تُظهر أن النموذج يلتزم بقانون GNBC تحت ظروف انتظام C1 عند خط الاتصال. يُقترح العمل المستقبلي لتوسيع CR-GNBC إلى الأسطح غير المستوية والأنظمة العابرة، بالإضافة إلى استكشاف قابليته للتطبيق في الإعدادات الاهتزازية. يؤكد المؤلفون على الأدوار التكميلية لطرق حجم السائل وطرق مجال الطور في نمذجة خط الاتصال، مقترحين أن التحليل المقارن بين هذه الأساليب قد يوفر رؤى إضافية حول ديناميات السوائل عند خط الاتصال.
مقدمة
تناقش المقدمة تعقيدات التبلل الديناميكي وعدم التبلل، مع التركيز على دور خط الاتصال – تقاطع واجهة السائل والسوائل والسطح الصلب. تؤدي النماذج التقليدية، مثل شرط الحدود بدون انزلاق، إلى تفردات في ديناميات السوائل عند خط الاتصال المتحرك، كما لاحظ هاه وسكريفن (1971) لأول مرة. لمعالجة ذلك، تم اقتراح عدة أطر رياضية، بما في ذلك نماذج الواجهة المنتشرة وشرط انزلاق نافييه، الذي يقدم معامل طول انزلاق يخفف جزئيًا من التفرد ولكنه لا يقضي عليه تمامًا. يتم أيضًا استكشاف ديناميات زاوية الاتصال، المميزة بزاوية الاتصال التوازنية $\theta_e$، مع نماذج تجريبية تربط زاوية الاتصال المجهرية $\theta_d$ بسرعة خط الاتصال.
أدخلت التطورات الحديثة، وخاصة شرط الحدود العامة لنفييه (GNBC)، نهجًا أكثر دقة من خلال دمج إجهاد يونغ غير المعوض في المعادلات الحاكمة. يسمح هذا النموذج بتمثيل أكثر دقة لديناميات خط الاتصال، كما تم توضيحه في دراسات مختلفة، بما في ذلك تلك التي أجراها ياماموتو وآخرون (2013، 2014) وآخرون. يقترح العمل الحالي صياغة “حدود حادة، منطقة اتصال GNBC” (CR-GNBC) التي تستبدل توزيع دلتا لخط الاتصال بدالة سلسة، مستقلة عن حجم الشبكة الحسابية. يتم التحقق من صحة هذه الصياغة من خلال طريقة حجم السائل الهندسية، مما يضمن الاتساق مع القوانين الحركية الأساسية ويمكّن من إعادة بناء زاوية الاتصال الديناميكية من مجال الكسر الحجمي بالقرب من خط الاتصال.
طرق
تحدد القسم الخاص بالطرق العددية التقنيات الحسابية المستخدمة لحل النماذج الرياضية المقدمة في الدراسة. يؤكد على أهمية الدقة والكفاءة في المحاكاة، موضحًا الخوارزميات المستخدمة للتكامل العددي والتحسين. تشمل الطرق طرق الفرق المنتهية لتقريب المشتقات وحلول تكرارية للمعادلات الخطية وغير الخطية.
بالإضافة إلى ذلك، يناقش القسم تنفيذ تحليل الخطأ لتقييم موثوقية النتائج العددية. يسلط الضوء على معايير التقارب التي تم وضعها لضمان أن الحلول تقترب من القيم الحقيقية مع تحسين المعلمات الحسابية. بشكل عام، تعتبر الطرق العددية المستخدمة حاسمة للتحقق من التنبؤات النظرية وتعزيز قوة النتائج المقدمة في البحث.
نتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج تطبيق الطريقة العددية لنموذج CR-GNBC على إعداد لوحة سحب، مشابه لذلك الذي وصفه أفخامي وآخرون (2018). تُجرى الدراسة مع نسبة كثافة \( \frac{\rho_1}{\rho_2} = 5 \) ونسبة لزوجة \( \frac{\mu_1}{\mu_2} = 1 \)، مع الحفاظ على طول شعري بلا أبعاد \( l_c = 1 \) ورقم رينولدز يساوي الواحد. يتم تعريف سرعة الجدار على أنها \( \bar{U}_w = \sqrt{Ca} \)، مع تحديد توتر السطح بلا أبعاد إلى \( \sigma = 1 \). تكشف النتائج من محاكاة الحالة المستقرة عن نقطة سكون عند خط الاتصال، مع نقطة سكون إضافية فوق الواجهة في المرحلة الأخف، متأثرة بنسبة اللزوجة.
تتمثل إحدى النتائج الرئيسية في تحديد رقم شعري لانتقال عدم التبلل \( Ca_{tr} \)، الذي يتجاوزها يحدث انزلاق الفيلم السائل، مما يمنع وضع حالة مستقرة لخط الاتصال. يوفر أسلوب CR-GNBC قيمة مستقلة عن الشبكة لـ \( Ca_{tr} \)، تم تحديدها لتكون \( Ca = 0.13 \pm 0.01 \). تشير النتائج إلى أنه بالنسبة لـ \( Ca < 0.12 \)، يتم تحقيق ارتفاع ثابت، بينما بالنسبة لـ \( Ca = 0.14 \)، يستمر الارتفاع في الزيادة. يتم أيضًا مناقشة تأثير إجهاد يونغ على زاوية الاتصال التوازنية \( \theta_e \)، مع تقديم مزيد من التفاصيل في الملحق ب.
مناقشة
في هذا القسم، يستقصي المؤلفون مشكلة الشريط المنسحب كحالة تمثيلية لعمليات عدم التبلل الديناميكية، بناءً على العمل السابق لأفخامي وآخرون (2018). تعرف الدراسة رقم الشعري العالمي، $Ca = \frac{\eta U_w}{\sigma}$، ورقم الشعري لخط الاتصال، $Ca_{cl} = \frac{\eta (-U_{cl})}{\sigma}$، حيث $U_w$ هو سرعة الجدار، $\eta$ هي لزوجة السائل، و$\sigma$ هو توتر السطح. يستنتج المؤلفون معادلة تطور زاوية الاتصال وشرط الحدود العامة لنفييه (GNBC) ضمن إطار حدود حادة، موضحين أن GNBC يعمل كعلاقة إغلاق للتبدد عند واجهة السائل-الصلب وخط الاتصال. يتحققون من طريقتهم العددية من خلال دراسات تحسين الشبكة، مؤكدين التقارب والانحناء المحدود عند خط الاتصال، متناقضين مع نموذج انزلاق نافييه.
يعمل المؤلفون على تطوير نموذج CR-GNBC لمنطقة الاتصال، الذي يستبدل توزيع دلتا لخط الاتصال بدالة سلسة عبر منطقة انتقالية محدودة. يؤدي هذا النموذج إلى توازن قوى يتضمن كل من الانزلاق على الحدود الصلبة وديناميات زاوية الاتصال، مما يحدد علاقة بين سرعة خط الاتصال وزاوية الاتصال. يتم اشتقاق معادلة الفيلم الرقيق CR-GNBC، مما يظهر أنها خالية من التفرد ويمكن اعتبارها نموذج انزلاق نافييه مع انتقال سلس حول خط الاتصال. يختتم القسم بمناقشة طريقة حجم السائل لمحاكاة التدفقات الواجهة، مؤكدًا على أهمية حساب زاوية الاتصال والانحناء بدقة في الإطار العددي.
DOI: https://doi.org/10.1017/jfm.2026.11332
Publication Date: 2026-04-13
Author(s): Tomas Fullana et al.
Primary Topic: Fluid Dynamics and Thin Films
Overview
In this research, the authors introduce the contact region Generalised Navier Boundary Condition (CR-GNBC), an enhancement of the Generalised Navier Boundary Condition (GNBC) proposed by Qian et al. The CR-GNBC replaces the singular uncompensated Young stress with a smooth function characterized by a physical parameter $\epsilon > 0$. This modification allows for a more consistent treatment of the contact angle transport, aligning with the kinematic principles established by Fricke, Köhne, and Bothe. The model is implemented in the Basilisk geometrical volume-of-fluid solver using a ‘free angle’ approach, where the dynamic contact angle is reconstructed from the interface geometry rather than being prescribed. The study demonstrates that the CR-GNBC leads to grid-independent solutions and effectively regularizes the singularity at the moving contact line, confirming finite curvature and compliance with the thin film equation.
The findings reveal that the CR-GNBC model achieves a smooth transition of shear stress to zero at the contact line in quasi-stationary states, indicating perfect apparent slip. The authors validate their approach through numerical simulations, showing that the model adheres to the GNBC law under conditions of C1-regularity at the contact line. Future work is suggested to extend the CR-GNBC to non-flat surfaces and transient regimes, as well as to explore its applicability in oscillatory setups. The authors emphasize the complementary roles of volume-of-fluid and phase-field methods in contact line modeling, proposing that a comparative analysis between these approaches could yield further insights into fluid dynamics at the contact line.
Introduction
The introduction discusses the complexities of dynamic wetting and dewetting, emphasizing the role of the contact line—the intersection of the liquid-fluid interface and solid surface. Traditional models, such as the no-slip boundary condition, lead to singularities in fluid dynamics at the moving contact line, as first noted by Huh & Scriven (1971). To address this, various mathematical frameworks have been proposed, including diffuse interface models and the Navier slip condition, which introduces a slip length parameter that partially mitigates the singularity but does not eliminate it entirely. The dynamics of the contact angle, characterized by the equilibrium contact angle $\theta_e$, are also explored, with empirical models linking the microscopic contact angle $\theta_d$ to the contact line’s velocity.
Recent advancements, particularly the Generalized Navier Boundary Condition (GNBC), have introduced a more nuanced approach by incorporating the uncompensated Young stress into the governing equations. This model allows for a more accurate representation of the contact line dynamics, as demonstrated in various studies, including those by Yamamoto et al. (2013, 2014) and others. The current work proposes a ‘sharp-interface, contact region GNBC’ (CR-GNBC) formulation that replaces the contact line delta distribution with a smooth function, independent of the computational mesh size. This formulation is validated through a geometrical volume-of-fluid method, ensuring consistency with fundamental kinematic laws and enabling the reconstruction of the dynamic contact angle from the volume fraction field near the contact line.
Methods
The section on numerical methods outlines the computational techniques employed to solve the mathematical models presented in the study. It emphasizes the importance of accuracy and efficiency in simulations, detailing the algorithms used for numerical integration and optimization. The methods include finite difference methods for approximating derivatives and iterative solvers for linear and nonlinear equations.
Additionally, the section discusses the implementation of error analysis to assess the reliability of the numerical results. It highlights the convergence criteria established to ensure that the solutions approach the true values as the computational parameters are refined. Overall, the numerical methods employed are critical for validating the theoretical predictions and enhancing the robustness of the findings presented in the research.
Results
In this section, the authors present the results of applying the numerical method for the CR-GNBC model to a pulling plate setup, similar to that described by Afkhami et al. (2018). The study is conducted with a density ratio of \( \frac{\rho_1}{\rho_2} = 5 \) and a viscosity ratio of \( \frac{\mu_1}{\mu_2} = 1 \), while maintaining a dimensionless capillary length \( l_c = 1 \) and a Reynolds number of unity. The wall velocity is defined as \( \bar{U}_w = \sqrt{Ca} \), with the dimensionless surface tension set to \( \sigma = 1 \). The results from a steady-state simulation reveal a stagnation point at the contact line, with an additional stagnation point above the interface in the lighter phase, influenced by the viscosity ratio.
A key finding is the identification of a de-wetting transition capillary number \( Ca_{tr} \), beyond which liquid film entrainment occurs, preventing a steady-state position for the contact line. The CR-GNBC method yields a grid-independent value for \( Ca_{tr} \), determined to be \( Ca = 0.13 \pm 0.01 \). The results indicate that for \( Ca < 0.12 \), a steady-state height is achieved, while for \( Ca = 0.14 \), the height continues to increase. The influence of Young's stress on the equilibrium contact angle \( \theta_e \) is also discussed, with further details provided in Appendix B.
Discussion
In this section, the authors investigate the withdrawing tape problem as a representative case of dynamic dewetting processes, building upon previous work by Afkhami et al. (2018). The study defines the global capillary number, $Ca = \frac{\eta U_w}{\sigma}$, and the contact line capillary number, $Ca_{cl} = \frac{\eta (-U_{cl})}{\sigma}$, where $U_w$ is the wall speed, $\eta$ is the fluid viscosity, and $\sigma$ is the surface tension. The authors derive the contact angle evolution equation and the generalized Navier boundary condition (GNBC) within a sharp-interface framework, demonstrating that the GNBC serves as a closure relation for dissipation at the liquid-solid interface and the contact line. They validate their numerical method through mesh refinement studies, confirming convergence and the finite curvature at the contact line, contrasting with the Navier slip model.
The authors further develop a contact region GNBC (CR-GNBC) model, which replaces the contact line delta distribution with a smooth function over a finite transition region. This model leads to a force balance that incorporates both slip along the solid boundary and the dynamics of the contact angle, establishing a relationship between the contact line speed and the contact angle. The CR-GNBC thin film equation is derived, demonstrating that it is singularity-free and can be viewed as a Navier slip model with a smoothed transition around the contact line. The section concludes by discussing the volume-of-fluid method for simulating interfacial flows, emphasizing the importance of accurately calculating the contact angle and curvature in the numerical framework.