مقدرات ليو المعدلة الجديدة للتعامل مع التعدد الخطي في نموذج الانحدار بيتا: المحاكاة والتطبيقات New Modified Liu Estimators to Handle the Multicollinearity in the Beta Regression Model: Simulation and Applications

المجلة: Modern Journal of Statistics، المجلد: 1، العدد: 1
DOI: https://doi.org/10.64389/mjs.2025.01111
تاريخ النشر: 2025-07-12

مقالة بحثية

مقدرات ليو المعدلة الجديدة للتعامل مع التعدد الخطي في نموذج الانحدار بيتا: المحاكاة والتطبيقات

علي ت. حماد , إسلام ح. حافظ , عثمان شهزاد , إليف يلدريم , إيهاب م. المتولي , ب. م. جولام كيبريا قسم الرياضيات، كلية العلوم، جامعة طنطا، طنطا 31527، مصر؛ ali.taha@science.tanta.edu.eg قسم المحاسبة، كلية إدارة الأعمال في حوطة بني تميم، جامعة الأمير سطام بن عبد العزيز، حوطة بني تميم 16518، المملكة العربية السعودية؛ e.hafez@psau.edu.sa قسم علوم الإدارة، كلية إدارة الأعمال، جامعة هونان، تشانغشا 410082، الصين؛ usman.stat@yahoo.com قسم الإحصاء ومنسق الجودة، جامعة قونية التقنية، قونية 42250، تركيا؛ elifyildirim3123@gmail.com قسم الرياضيات والإحصاء، كلية العلوم، جامعة الإمام محمد بن سعود الإسلامية (IMSIU)، الرياض 11432، المملكة العربية السعودية؛ emalmetwally@imamu.edu.sa قسم الرياضيات والإحصاء، جامعة فلوريدا الدولية، ميامي، فلوريدا 33199، الولايات المتحدة الأمريكية؛ kibriag@fiu.edu* المراسلة: ali.taha@science.tanta.edu.eg

معلومات المقال

الكلمات المفتاحية:

نموذج الانحدار بيتا
مقدّر ليو المعدل
التعدد الخطي
مقدرات متحيزة
مقدّر ريدج

تصنيف موضوع الرياضيات:

62J05، 62J07، 62J10، 62J12

التواريخ المهمة:

تاريخ الاستلام: 3 يونيو 2025
تاريخ المراجعة: 7 يوليو 2025
تاريخ القبول: 10 يوليو 2025
تاريخ النشر على الإنترنت: 12 يوليو 2025
حقوق الطبع والنشر © 2025 من قبل المؤلفين. منشور بموجب ترخيص المشاع الإبداعي (CC BY).

الملخص

نموذج الانحدار بيتا (BRM) يُستخدم على نطاق واسع لتحليل المتغيرات المستجيبة المحدودة، مثل النسب والنسب المئوية. ومع ذلك، عندما يوجد تعدد خطي بين المتغيرات التفسيرية، يصبح مقدر الاحتمالية القصوى التقليدي (MLE) غير مستقر وغير فعال. لمعالجة هذه المشكلة، نقترح مقدرات ليو المعدلة الجديدة لـ BRM، المصممة لتعزيز دقة التقدير في وجود تعدد خطي مرتفع بين المتنبئين. تمتد المقدرات المقترحة مقدر ليو التقليدي من خلال دمج معلمات تحيز مرنة، مما يوفر بديلاً أكثر قوة لـ MLE. تُظهر المقارنات النظرية تفوق المقدرات الجديدة على الطرق الحالية. بالإضافة إلى ذلك، تُظهر محاكاة مونت كارلو والتطبيقات الواقعية أدائها المحسن من حيث متوسط الخطأ التربيعي (MSE) ومتوسط الخطأ المطلق (MAE). تشير النتائج إلى أن المقدرات المقترحة تقلل بشكل كبير من تحيز التقدير والتباين تحت التعدد الخطي، مما يوفر معاملات انحدار أكثر موثوقية.

1. المقدمة

عندما يتبع المتغير التابع توزيعًا طبيعيًا، فإن نموذج الانحدار الخطي (LRM) هو النهج القياسي للنمذجة. ومع ذلك، إذا تم انتهاك فرضية هذه الطبيعية، مثلما يحدث عندما تتبع البيانات توزيعات عائلية أسية (مثل بيتا، بواسون، غاما، أو ثنائي سالب)، تصبح النماذج الخطية العامة (GLMs) أكثر ملاءمة [16]. من بين هذه النماذج، يُعتبر نموذج الانحدار بيتا (BRM) مفيدًا بشكل خاص للمتغيرات المستجيبة المحدودة (مثل النسب، المعدلات) المقيدة ضمن الفترة (0،1)، مما يجعله قابلًا للتطبيق عبر الهندسة، والعلوم البيئية، والطب، والبحث الاجتماعي [19، 21]. بينما يُستخدم تقدير الاحتمالية القصوى (MLE) عادةً لتقدير معلمات BRM (مقدمًا مزايا على المربعات الصغرى العادية)، غالبًا ما تُستخدم التحويلات التقليدية، مثل لوغيت (الانحدار اللوجستي) أو نماذج بروبيت، لرسم البيانات المقيدة [0،1] على الخط الحقيقي. ومع ذلك، تُدخل هذه الطرق تحديات في التفسير وقد تؤدي إلى استنتاجات متحيزة بسبب التوزيعات غير المتماثلة، خاصة في العينات الصغيرة. وبالتالي، فإن النمذجة المباشرة عبر BRM تتجنب هذه العوائق مع الحفاظ على المقياس الطبيعي للمتغير التابع [10].
يظل التعدد الخطي تحديًا مستمرًا في تحليل الانحدار، خاصة عند فحص العلاقات بين المتنبئين المرتبطين بشدة. يظهر هذا الظاهرة، التي تمت دراستها بشكل منهجي لأول مرة بواسطة فريش [20]، عندما تشترك المتغيرات التفسيرية في تبعيات خطية قوية، مما يؤدي إلى مصفوفة تباين غير مشروطة في MLE. العواقب تكون مشكلة بشكل خاص – تباينات معامل متضخمة تؤثر على كل من الأهمية الإحصائية والتفسير العملي لتقديرات المعلمات. غالبًا ما تكون العلاجات التقليدية مثل جمع ملاحظات إضافية، إعادة تحديد النموذج، أو إزالة المتغيرات المرتبطة غير كافية أو غير عملية [40، 27، 15]. تصبح المشكلة حادة بشكل خاص في نمذجة الانحدار بيتا، التي تحلل الاستجابات من نوع النسبة المقيدة بين 0 و 1. بينما يُعتبر MLE هو النهج القياسي للتقدير، فإن أدائه يتدهور بشدة تحت التعدد الخطي، مما ينتج عنه معاملات غير مستقرة مع أخطاء معيارية مفرطة [6، 17]. وقد أدى ذلك إلى تطوير تقنيات تقدير متحيزة، أبرزها الانحدار ريدج الذي اقترحه هويرل وكينارد [22] ونظيره الأكثر تعقيدًا، مقدر ليو [28]. تقدم هذه الطرق الانكماش، التي تكون ذات قيمة خاصة في التطبيقات الكيميائية والبيولوجية حيث يكون التعدد الخطي شائعًا، تحيزًا محكومًا لتحسين استقرار التقدير بشكل كبير. توفر وظيفة الانكماش الخطية لمقدر ليو مزايا خاصة على الطرق التقليدية للريدج، مما يفسر اعتمادها الواسع وتطويرها المستمر في الممارسة الإحصائية المعاصرة.
شهدت الأدبيات الإحصائية تطورًا كبيرًا في طرق التقدير المتحيزة كبدائل لأساليب الانحدار الخطي التقليدية. من بين هذه الطرق، ظهرت عدة مقدرات بارزة، بما في ذلك مقدر من نوع ليو [29]، ومقدرات من نوع ريدج متنوعة [7، 14، 34]، وتعديلات متخصصة مثل مقدر ريدج المعدل [30] ومقدرات ريدج ذات المعاملين [24]. يمثل مقدر جيمس-شتاين [38] ومقدر كيبريا-لوكمان [25] طرقًا إضافية، إلى جانب متغيرات مقدر ليو بما في ذلك تعديلات ذات معامل واحد [32] ومعاملين [4]. ضمن BRM، وسع الباحثون أيضًا مجموعة أدوات التقدير من خلال مساهمات مهمة. تشمل هذه التطورات من قاسم وآخرون [36]، والتوسعات من أبونازل وتاها [6]، والتحسينات المنهجية من كارلسون وآخرون [23]. تم إحراز تقدم إضافي من خلال عمل الجمال وأبونازل [9]، وأمين وآخرون [12]، وإركوش وآخرون [17]، مع تحسينات إضافية اقترحها كوتش دندر [26]، عبد الفتاح [1]، ولوكمان وآخرون [31].
أظهرت التطورات الأخيرة في تحليل الانحدار اهتمامًا متزايدًا في استخدام مقدرات ذات معاملين كطرق فعالة للتعامل مع مشاكل التعدد الخطي. أبلغت العديد من الدراسات [9، 5، 2] باستمرار
أن هذه المقدرات ذات المعاملين تؤدي أداءً أفضل من البدائل ذات المعامل الواحد. بناءً على هذه الأسس، اقترحت الدراسة الحالية معلمات ليو المعدلة لـ BRM. نقترح مقدر ليو المعدل الجديد ذو المعامل الواحد والمعاملين المصمم خصيصًا لتقليل آثار التعدد الخطي في BRM. نقدم طرقًا منهجية لاختيار المعلمات المثلى ونقوم بإجراء مقارنات أداء مفصلة باستخدام المحاكاة والتطبيقات مع الطرق الحالية، بما في ذلك MLE، ريدج، ومقدرات ليو.
تنظم هذه الورقة على النحو التالي: يقدم القسم 2 توزيع بيتا وإطار الانحدار الخاص به، مع مراجعة المقدرات المتحيزة الحالية، بما في ذلك طرق ريدج وليو. يطور القسم 3 مقدرنا المقترح، ويقدم مقارنات نظرية مع الطرق الحالية، ويستخرج معلمة التحيز المثلى. يتم تفصيل تصميم المحاكاة ومقاييس تقييم الأداء في القسم 4، بينما يوضح القسم 5 الفائدة العملية لطريقتنا من خلال دراسة حالة واقعية. أخيرًا، يلخص القسم 6 النتائج الرئيسية ويناقش آثارها على الممارسة الإحصائية.

2. المنهجية

تحلل BRM [19] الاستجابات المحدودة باستخدام دوال الربط ومعلمة الدقة للتحكم في التشتت [33، 8]. بالنسبة لـ :
حيث , و يدل على دالة غاما. تُعطى اللحظتين الأوليين للتوزيع بواسطة:
اعتبر متغيرات عشوائية مستقلة ، كل منها يتبع توزيع بيتا المحدد في المعادلة (2.1) مع متوسط ومعامل الدقة نموذج الانحدار البيتا يربط الاستجابة المتوسطة بالمتغيرات المرافقة من خلال دالة الربط اللوغاريتمية:
أين يمثل دالة الربط، يدل على متجه المعاملات ذو الأبعاد- يحتوي على متغيرات التنبؤ، و هو المتنبئ الخطي.
يتم تقدير معلمات الانحدار البيتا من خلال تقدير الاحتمالية القصوى. تأخذ دالة اللوغاريتم الاحتمالي الشكل التالي:
دالة الدرجة لـ يتم الحصول عليه من خلال اشتقاق لوغاريتم الاحتمالية:
أين ، و ، مع كونها دالة الديجاما. عادةً ما تستخدم تقديرات المعلمات إما خوارزمية تسجيل فيشر أو المربعات الصغرى المعاد وزنها بشكل تكراري (IRLS)، مع التحديثات المعطاة بواسطة:
أين يمثل مصفوفة معلومات فيشر. يأخذ التقدير الأكثر احتمالاً الشكل:
مع ومصفوفة الوزن أين:
أين ، و تمثل الكميات المقدرة لـ ، و على التوالي، تم تقييمه عند تقدير الاحتمالية القصوى لـ و [19].
دع كن المصفوفة العمودية المكونة من القيم الذاتية لـ مصفوفة، حيث هي مصفوفة التصميم و هو مصفوفة الوزن المقدرة. أداء أي مُقدّر يمكن تقييمه من خلال متوسط الخطأ التربيعي المصفوفي (MMSE) ومتوسط الخطأ التربيعي القياسي (MSE)، المحددين على التوالي كما يلي:
للمقدّر الأقصى للاحتمالية بيتا ، تأخذ هذه المقاييس الأشكال المحددة:
أين هي مصفوفة القيم الذاتية القطرية و يمثل الـ القيمة الذاتية -ث .
لتخفيف مشكلات التعدد الخطي في نماذج الانحدار العام، طور سيغريستيد [37] مقدر ريدج بناءً على العمل الأساسي لهورل وكينارد [22]. في سياق نماذج الانحدار البايزي، حيث تؤثر المتغيرات المرتبطة على استقرار تقدير الاحتمالية القصوى، قدم أبونازل وطه [6] مقدر ريدج متخصص. يتم التعبير عن مقدر ريدج لنماذج الانحدار البايزي (BRRE) بشكل رسمي كما يلي:
أين تشير إلى معامل القمة و يمثل ( ) مصفوفة الهوية. من الجدير بالذكر أنه عندما ، يصبح BRRE هو MLE القياسي. يتميز هذا المقدّر بالخصائص الإحصائية التالية:
يتم قياس دقة BRRE من خلال MMSE الخاص به:
أين يتم الحصول على MSE القياسي من خلال تطبيق مشغل الأثر:
هنا، يمثل متجه المعاملات المحولة.
لمعالجة تحديات التعدد الخطي في نماذج الانحدار المتعدد، اقترح كارلسون وآخرون [23] مقدر بيتا ليو (BLE)، موضحين أدائه المتفوق مقارنةً بنموذج الانحدار التقليدي. يتم تعريف BLE رسميًا على النحو التالي:
أين يمثل معامل الانكماش الذي يتحكم في سلوك المُقدِّر:
  • في ، يصبح تقدير الاحتمال البايزي (BLE) هو تقدير الاحتمال الأقصى (MLE).
  • لـ يُنتج BLE معاملات متقلصة، مما يخفف بشكل فعال من آثار التعدد الخطي.
تتميز الخصائص الإحصائية لـ BLE بـ:
يتم قياس دقة BLE من خلال MMSE الخاص به:
يتم الحصول على MSE القياسي كالتالي:

3. المقترحات المقدمة للمقدرات

في هذا القسم، نقدم مقدرات ليو المعدلة ذات المعامل الواحد والمعاملين لنموذج المخاطر البيئية، ونقدم مقارنة نظرية مع المقدرات الموجودة، ونناقش طرق اختيار المعاملات المثلى للتحيز.

3.1. مُقدِّر ليو المعدل ببارامتر واحد بيتا

استنادًا إلى العمل الأساسي لـ لوكمان وآخرون [32] و [11]، نقدم مقدر ليu المعدل المعزز ذو المعامل الواحد (BMOPLE) لنموذج الانحدار بيتا. يتم تعريف المقدّر المقترح رسميًا على النحو التالي:
أين يمثل هذا المعامل المعدل لبارامتر ليو الذي يتحكم في شدة الانكماش. تُظهر هذه التعديلات أداءً متفوقًا في معالجة التعدد الخطي مقارنةً بأساليب MLE التقليدية وBRRE وBLE، كما يتضح من انخفاض متوسط مربع الخطأ.
تتميز الخصائص الإحصائية لـ BMOPLE بـ:
يتم قياس دقة BMOPLE من خلال MMSE الخاص به:
يتم الحصول على MSE القياسي كالتالي:

3.2. مُقدِّر ليو ذو المعلمتين المعدل بيتا

استنادًا إلى الإطار النظري الذي وضعه أبونازل [3، 4]، نقدم مقدر ليُو المعدل ذو المعاملين (BMTPLE) المحسن لنموذج المخاطر البيئية (BRM). يستخدم هذا المقدر المتقدم معاملين. لتحسين توازن التحيز-التباين في التصاميم متعددة التعددية:
تتميز الخصائص الإحصائية لـ BMTPLE بـ:
تُعطى مقاييس الدقة بواسطة:
تُستخرج معلمات الانكماش المثلى من خلال تقليل متوسط الخطأ التربيعي:

3.3. المقارنة النظرية باستخدام MMSE و MSE القياسي

نقدم ليمتين أساسيتين تدعمان تحليلنا المقارن لأداء المقدرات:
العبارة 1. لأي مصفوفة إيجابية محددة و المتجه ، فإن المت inequality التالية صحيحة إذا وفقط ، حيث يدل على الإيجابية شبه المحددة. هذه النتيجة توسع العمل في [18] حول الأشكال التربيعية في التقدير الإحصائي.
اللمّا 2. اعتبر مقدّرين خطيين اثنين و من متجه المعاملات عندما يكون فرق مصفوفة التغاير إذا كانت إيجابية محددة، فإن المعادلة التالية تنطبق على MMSE إذا كانت الصورة التربيعية ، حيث يمثل متجه التحيز لـ ، و . هذا يعمم نتائج [39] حول كفاءة مقدر المقارنة.
النظرية 1. ، إذا كان ، و لـ و ، حيث .
برهان:
باستخدام اللمّا (2)، MMSE ، إذا كان ، على افتراض أن هي مصفوفة محددة إيجابياً (pd) لذلك إذا ، ويتم تحقيق ذلك عندما لـ و . هذا يعني أن أفضل من إذا وفقط و .
النظرية 2. MMSE ، إذا كان و لـ ، و ، حيث .
برهان:
باستخدام اللمّا (2)، MMS إم إم إس ، إذا كان ، على افتراض أن لذلك إذا ، ويتم تحقيق ذلك عندما لـ , و . هذا يعني أن أفضل من إذا وفقط و لـ ، و .
النظرية 3. MMSE ، إذا كان و لـ ، و ، حيث .
برهان:
باستخدام اللمّا (2)، MMS إم إم إس ، إذا و فقط إذا ، على افتراض أن لذلك ، إذا ويتحقق ذلك عندما لـ ، و . هذا يعني أن أفضل من إذا وفقط و لـ ، و .
نظرية 4. ، إذا كان و لـ ، و ، حيث .
برهان:
باستخدام اللمّا (2)، MMS ، إذا كان ، على افتراض أن لذلك إذا ويتحقق ذلك عندما لـ ، و . هذا يعني أن أفضل من إذا وفقط و لـ ، و .

3.4. اختيار معلمة التحيز

استنادًا إلى قاسم وآخرون [36] وأبونازل وطه [6]، نعتبر عدة معلمات تلال مثلى ( ) التركيبات:
تقدم الأعمال الأخيرة لكارلسون وآخرون [23] ولكمان وآخرون [31] تقديرين مثاليين لمعامل ليو (d):
لمعامل ليو المعدل ذو المعامل الواحد يقترح لوكمان وآخرون [32] وأبونازل وآخرون [5]:
امتدادًا لعمل أبونازل وآخرين [5، 3]، نقدم عدة مقدرات جديدة للمعاملات لمقدّر ليو المعدل ذو المعاملين كما يلي:
مع القيم التالية للمعامل :
أين .

4. محاكاة مونت كارلو

لتقييم أداء المقدرات بدقة، قمنا بإجراء محاكاة مونت كارلو شاملة لمقارنة BMTPLE وMOPLE المقترحين مع البدائل المعتمدة: MLE القياسي، MRRE، وBLE. تم تنفيذ جميع المحاكاة في R باستخدام حزمة betareg، مما يضمن إمكانية إعادة الإنتاج والتوافق مع الممارسات الإحصائية القياسية.
تصميم المحاكاة يكرر بعناية السيناريوهات الشائعة في العالم الحقيقي حيث يتم تطبيق إدارة علاقات الأعمال. لكل ملاحظة نحن نولد المتغير الاستجابي من توزيع بيتا ، حيث يمثل المعامل المتوسط المرتبط بالمتغيرات من خلال الدالة اللوجستية:
معامل الدقة تأخذ قيمًا في لفحص سيناريوهات التشتت المختلفة. المتجه الحقيقي للمعاملات تم بناؤه بمعاملات متساوية تم تطبيعها لتلبية تمثل تكوين حجم تأثير موحد.
يتم توليد المتغيرات المرافقة لإحداث تعدد خطي مسيطر عليه:
أين هي متغيرات طبيعية معيارية مستقلة و تحكم هيكل الارتباط الثنائي بين المتنبئين. نحن نفحص تصميمًا عاملاً شاملاً يتضمن ظروفًا تجريبية متنوعة، بما في ذلك أحجام العينات. أبعاد المتنبئ مستويات الارتباط ، ومعلمات التشتت .
تُستخدم MSE و MAE المحاكية كمقياس رئيسي لأدائنا، ويتم حسابهما على التوالي كالتالي
أين يشير إلى تقدير المعامل من -ث النسخ، يمثل متجه المعاملات الحقيقي، و هو عدد النسخ، يساوي 2000.
الجدول 1. قيم MSE المحاكاة لتقديرات التحيز في BRM عندما و .
ن BRRE BLE بي إم أو بي إل إي BMTPLE
MLE
0.80 30 0.59865 0.54371 0.49854 0.56211 0.39102 0.39102 0.37994 0.33192 0.20262 0.34711 0.28845
75 0.19933 0.19256 0.18632 0.19933 0.17260 0.17260 0.16869 0.15986 0.09519 0.16513 0.15060
150 0.11661 0.11402 0.11265 0.11661 0.10658 0.10658 0.10331 0.09981 0.08418 0.10228 0.09610
٢٠٠ 0.11329 0.11116 0.10977 0.11329 0.10491 0.10491 0.10251 0.09944 0.07102 0.10162 0.09612
٣٠٠ 0.09902 0.09755 0.09668 0.09902 0.09322 0.09322 0.09092 0.08876 0.06318 0.09028 0.08641
٤٠٠ 0.06504 0.06430 0.06370 0.06504 0.06210 0.06210 0.06054 0.05951 0.05806 0.06027 0.05837
0.85 30 0.84338 0.76349 0.71370 0.73158 0.52125 0.52125 0.49182 0.42789 0.24850 0.43504 0.36954
75 0.30541 0.29075 0.27662 0.30094 0.24410 0.24410 0.23899 0.22051 0.13431 0.23153 0.20178
150 0.20878 0.20105 0.19498 0.20878 0.17764 0.17764 0.17393 0.16354 0.09076 0.17027 0.15263
٢٠٠ 0.12849 0.12535 0.12227 0.12849 0.11648 0.11648 0.11359 0.10901 0.06146 0.11215 0.10409
٣٠٠ 0.11050 0.10836 0.10621 0.11050 0.10211 0.10211 0.09953 0.09637 0.05833 0.09861 0.09294
٤٠٠ 0.10401 0.10245 0.10122 0.10401 0.09716 0.09716 0.09518 0.09275 0.06649 0.09466 0.09009
0.90 30 0.97613 0.85885 0.74545 0.71295 0.50368 0.50368 0.48818 0.40588 0.42283 0.42927 0.33484
75 0.44011 0.40812 0.37435 0.42929 0.30917 0.30917 0.30259 0.26617 0.17612 0.28607 0.23098
150 0.25209 0.24082 0.23379 0.25209 0.20571 0.20571 0.20091 0.18573 0.10259 0.19494 0.17021
٢٠٠ 0.15451 0.14963 0.14485 0.15451 0.13449 0.13449 0.13113 0.12405 0.04949 0.12798 0.11656
٣٠٠ 0.17619 0.17159 0.16822 0.17619 0.15751 0.15751 0.15411 0.14728 0.08178 0.15207 0.13996
٤٠٠ 0.12033 0.11756 0.11509 0.12033 0.10948 0.10948 0.10656 0.10225 0.05919 0.10534 0.09764
0.95 30 1.95145 1.61153 1.33847 0.74971 0.63125 0.63125 0.60304 0.46309 0.75117 0.46704 0.36082
75 0.77058 0.68403 0.59467 0.67190 0.40887 0.40887 0.39664 0.32293 0.29066 0.34976 0.25791
150 0.65448 0.61273 0.57333 0.46494 0.40631 0.40631 0.39867 0.35792 0.26362 0.37198 0.31806
٢٠٠ 0.46969 0.44678 0.43155 0.39893 0.33836 0.33836 0.33232 0.30280 0.20512 0.31955 0.27328
٣٠٠ 0.30380 0.28634 0.26932 0.30325 0.23318 0.23318 0.22857 0.20623 0.09539 0.21881 0.18363
٤٠٠ 0.24916 0.23768 0.22492 0.24784 0.20084 0.20084 0.19702 0.18129 0.09088 0.19109 0.16502
0.99 30 ١٤.١٤٤٤٤ 10.76913 9.79942 1.91565 0.41671 0.41671 0.38925 0.27750 ٢.٣١٢١٨ 0.16890 0.22069
75 3.78885 ٣.٠٢٧٣٧ 2.62939 0.37407 0.53995 0.53995 0.50980 0.34694 1.03086 0.26050 0.24739
150 ٢.٢٩٢٧٤ 1.84316 1.52954 0.57198 0.48478 0.48478 0.45777 0.30119 0.79692 0.29312 0.19747
٢٠٠ 1.70053 1.41316 1.18927 0.70098 0.49920 0.49920 0.47538 0.33489 0.64845 0.35025 0.23149
٣٠٠ 1.34593 1.15361 0.98523 0.75240 0.48773 0.48773 0.46838 0.34919 0.63455 0.38140 0.25647
٤٠٠ 1.06164 0.90709 0.76542 0.74014 0.42958 0.42958 0.41236 0.30474 0.42084 0.33755 0.21832
تظهر دراستنا المحاكاة أن تقدير BMTPLE يتفوق باستمرار على الطرق التقليدية (MLE، BRRE، BLE، BMOPLE) في جميع الظروف المختبرة، كما هو موضح في الجداول 1-8. يوفر نهج الانكماش ثنائي المعاملات تحسينات كبيرة، لا سيما في سيناريوهات التعدد الخطي العالي. وأحجام عينات معتدلة . الـ تخفيض المعاملات يقلل من MAE بـ و MSE بواسطة بالنسبة لمعايير تقدير الاحتمالات القصوى.
زيادة مستويات الارتباط تكشف عن قوة BMTPLE، مما يحد من زيادات MAE إلى ضد لـ MLE. الـ التكوين يظهر فعالية خاصة في التوازي الشديد )، مما يؤكد ميزة انكماش ريدج-ليو المشترك.
بينما تستفيد جميع التقديرات من عينات أكبر )، تحافظ BMTPLE على أداء متفوق طوال الوقت. تحدث التحسينات الأكثر ملحوظًا عند ( تقليل MAE)، مع مزايا مستمرة ( تقليل MSE) حتى في .
يتسع الفجوة في الأداء بشكل كبير في الأبعاد الأعلى مقابل )، حيث تحقق BMTPLE انخفاض MAE مقارنة بـ MLE. يظهر BRRE التقليدي عدم استقرار خاص عندما و .
يظهر BMTPLE استقرارًا أكبر عبر مستويات التشتت مقابل 1.5 )، مع MAE أصغر
الجدول 2. قيم MSE المحاكاة لتقديرات التحيز في BRM عندما و .
ن BRRE BLE بي إم أو بي إل إي BMTPLE
MLE
0.80 30 0.64750 0.52111 0.42427 0.45862 0.45128 0.40733 0.41213 0.38837 0.16780 0.38943 0.35503
75 0.15702 0.14471 0.13449 0.15652 0.14051 0.13388 0.12976 0.12605 0.06906 0.12810 0.12061
150 0.09021 0.08601 0.08350 0.09021 0.08440 0.08332 0.07876 0.07751 0.07712 0.07827 0.07564
٢٠٠ 0.08276 0.07930 0.07664 0.08276 0.07808 0.07656 0.07295 0.07186 0.05689 0.07260 0.07017
٣٠٠ 0.07660 0.07372 0.07153 0.07660 0.07262 0.07149 0.06802 0.06704 0.04608 0.06769 0.06554
٤٠٠ 0.04074 0.03973 0.03887 0.04074 0.03938 0.03885 0.03680 0.03649 0.04957 0.03668 0.03601
0.85 30 0.56840 0.44911 0.38988 0.42134 0.38533 0.37133 0.32529 0.30210 0.12344 0.29520 0.27365
75 0.21368 0.18830 0.16699 0.20885 0.17881 0.16503 0.16601 0.15803 0.05910 0.16179 0.14713
150 0.15136 0.13888 0.12834 0.14881 0.13404 0.12771 0.12515 0.12109 0.05286 0.12348 0.11523
٢٠٠ 0.09343 0.08869 0.08489 0.09343 0.08696 0.08478 0.08055 0.07892 0.04151 0.07996 0.07648
٣٠٠ 0.08379 0.07984 0.07630 0.08379 0.07835 0.07620 0.07292 0.07153 0.03097 0.07235 0.06944
٤٠٠ 0.06466 0.06230 0.06021 0.06466 0.06149 0.06016 0.05690 0.05612 0.03517 0.05666 0.05490
0.90 30 0.83745 0.61988 0.46531 0.46258 0.48474 0.42572 0.43904 0.39826 0.17644 0.39233 0.35028
75 0.39174 0.32949 0.27112 0.33751 0.29292 0.26584 0.27448 0.25572 0.09356 0.26294 0.23160
150 0.17707 0.15849 0.14698 0.17696 0.15092 0.14570 0.13695 0.13083 0.04159 0.13374 0.12243
٢٠٠ 0.12556 0.11622 0.10920 0.12541 0.11262 0.10893 0.10354 0.10031 0.03265 0.10212 0.09563
٣٠٠ 0.09785 0.09181 0.08699 0.09785 0.08955 0.08680 0.08262 0.08047 0.02875 0.08167 0.07733
٤٠٠ 0.08634 0.08165 0.07753 0.08634 0.07989 0.07738 0.07356 0.07187 0.02584 0.07289 0.06935
0.95 30 1.68443 1.09561 0.77204 0.48652 0.68062 0.62751 0.57881 0.50033 0.32582 0.44611 0.42852
75 0.73111 0.54663 0.39375 0.47995 0.43239 0.36634 0.39682 0.35168 0.12190 0.35665 0.30196
150 0.37054 0.30386 0.24197 0.31657 0.26622 0.23681 0.24696 0.22742 0.07983 0.23379 0.20314
٢٠٠ 0.27551 0.23754 0.21064 0.26342 0.21795 0.20874 0.19910 0.18651 0.05127 0.19220 0.17011
٣٠٠ 0.25655 0.22332 0.19001 0.24689 0.20769 0.18726 0.19444 0.18341 0.04651 0.18890 0.16850
٤٠٠ 0.18348 0.16438 0.14629 0.17802 0.15497 0.14527 0.14403 0.13731 0.03603 0.14085 0.12803
0.99 30 6.93854 2.90235 ٢.٢٦٣٨٤ 0.86870 0.32289 0.31842 0.21776 0.15566 0.44098 0.16182 0.13505
75 ٢.٩١٤٢٤ 1.59392 1.11270 0.18493 0.51965 0.49462 0.41557 0.30699 0.41887 0.19873 0.24476
150 ٢.١٦٣٧٥ 1.39194 1.02453 0.29387 0.57347 0.52891 0.48072 0.37903 0.35615 0.30998 0.30361
٢٠٠ 1.52260 1.01553 0.71168 0.39518 0.54538 0.49432 0.47786 0.39059 0.31249 0.36324 0.31620
٣٠٠ 1.28047 0.88479 0.59777 0.48224 0.54690 0.48200 0.48736 0.40500 0.25899 0.39680 0.33012
٤٠٠ 0.98168 0.69490 0.48538 0.47849 0.47422 0.41223 0.42778 0.36201 0.18815 0.36141 0.29878
يزيد عن البدائل. تختلف المعلمات المثلى حسب الحالة: لـ لـ .
ال و تظهر المعلمات كخيارات مثالية، حيث تُظهر أداءً متسقًا مع تباين minimal. هذه الموثوقية، جنبًا إلى جنب مع متطلبات حسابية معتدلة، تجعل BMTPLE مناسبة بشكل خاص للتطبيقات العملية.
يمثل BMTPLE بديلاً قويًا لـ BRM. تشير الأداء المتسق للطريقة عبر ظروف متنوعة إلى إمكانياتها كنهج تقدير افتراضي لـ BRM.

5. التطبيقات

نحن نوضح الفائدة العملية لمقدّر BMTPLE المقترح من خلال تطبيقين جوهريين من مجالات مختلفة. هذه التحقيقات التجريبية تهدف إلى التحقق من نتائج المحاكاة وتوضيح فعالية الطريقة في سيناريوهات البيانات الحقيقية التي تتسم بالتعدد الخطي.
الجدول 3. قيم MSE المحاكاة لتقديرات التحيز في BRM عندما و .
ن BRRE BLE BMTPLE
MLE بي إم أو بي إل إي
0.80 30 2.64169 2.40458 ٢.١٠٦٥٠ 1.77960 1.33606 1.33567 1.29169 1.14548 0.45200 0.99216 0.80629
75 1.10480 1.07215 1.04870 0.65330 0.64745 0.64745 0.60047 0.56443 0.16792 0.51434 0.46595
150 0.47603 0.46338 0.45160 0.46713 0.41723 0.41720 0.39379 0.37521 0.11558 0.37783 0.32299
٢٠٠ 0.33721 0.33028 0.32274 0.33721 0.30710 0.30710 0.28923 0.27844 0.07285 0.28030 0.24701
٣٠٠ 0.31110 0.30516 0.30200 0.28159 0.27915 0.27915 0.25681 0.24986 0.08806 0.24978 0.22903
٤٠٠ 0.28495 0.28147 0.27930 0.28080 0.26548 0.26548 0.25224 0.24652 0.08035 0.24759 0.22935
0.85 30 2.87692 2.63193 2.33615 1.87831 1.31017 1.30979 1.24291 1.08697 0.40597 0.92900 0.73996
75 1.08265 1.03854 0.99123 0.91909 0.78523 0.78523 0.75382 0.70133 0.14955 0.67579 0.56095
150 0.53274 0.51535 0.50001 0.53274 0.45060 0.45060 0.42550 0.40029 0.10548 0.40236 0.33068
٢٠٠ 0.39951 0.38841 0.37884 0.39951 0.35090 0.35090 0.32722 0.31093 0.06772 0.31213 0.26458
٣٠٠ 0.44089 0.43337 0.42737 0.39901 0.38634 0.38634 0.36734 0.35644 0.09867 0.35664 0.32423
٤٠٠ 0.24624 0.24185 0.23885 0.24624 0.22792 0.22792 0.21241 0.20523 0.04804 0.20649 0.18411
0.90 30 ٤.٤٨٤٦٢ 3.90853 3.34183 1.76829 1.52439 1.52439 1.48083 1.25481 0.83019 0.89733 0.82254
75 1.57276 1.47943 1.32581 1.50402 1.06089 1.06089 1.02829 0.92375 0.28273 0.89047 0.66320
150 0.76350 0.72929 0.69584 0.76350 0.59480 0.59480 0.56200 0.51623 0.10481 0.51124 0.39543
٢٠٠ 0.66836 0.64669 0.62930 0.61539 0.54225 0.54225 0.50468 0.47474 0.08066 0.46773 0.39156
٣٠٠ 0.65632 0.64172 0.62826 0.59069 0.54129 0.54129 0.51659 0.49443 0.13431 0.49182 0.43091
٤٠٠ 0.40050 0.39055 0.38242 0.40050 0.35514 0.35514 0.33309 0.31729 0.05772 0.31926 0.27206
0.95 30 8.66006 7.30329 6.04024 1.49363 1.63259 1.63259 1.59365 1.31432 0.98935 0.56670 0.81276
75 ٢.٤٣٢٣٨ ٢.٢٢٣٤٤ 1.93829 2.07747 1.24529 1.24529 1.21509 1.04092 0.39006 0.90334 0.65857
150 1.79797 1.66360 1.47969 1.71622 1.06254 1.06254 1.03175 0.89822 0.29090 0.82312 0.58913
٢٠٠ 1.26987 1.19753 1.09461 1.24894 0.88111 0.88111 0.84936 0.76029 0.15425 0.73623 0.53766
٣٠٠ 0.87923 0.83916 0.79237 0.86756 0.66557 0.66557 0.63796 0.58192 0.11254 0.57548 0.43693
٤٠٠ ٢.٤٠٣٣٣ ٢.٣٤١٧٢ ٢.٣٠٦٥١ 1.08319 0.98300 0.98300 0.91888 0.86690 0.11773 0.75832 0.72395
0.99 30 ٤٦.٥٣٢٦٧ ٣٩.١٣٦٥٣ 33.84793 ٤.٥٦٣٦٥ 1.02191 1.02191 1.00490 0.82855 3.30725 ٢.٥٣٣٥٢ 0.53972
75 14.31168 12.59060 10.78966 1.09636 1.51731 1.51731 1.49352 1.19007 1.50903 0.26156 0.65130
150 8.56375 7.60768 6.50498 1.79189 1.48829 1.48829 1.46132 1.15434 1.17424 0.45137 0.61263
٢٠٠ 5.91519 5.27114 ٤.٤٧٠٠٢ 2.37686 1.52570 1.52570 1.50343 1.19409 0.65663 0.65281 0.60015
٣٠٠ ٤.٥٢٥٩٥ ٤.٠٨٠٠٥ 3.41682 2.63069 1.53344 1.53327 1.58315 1.23394 0.75394 0.87444 0.67794
٤٠٠ 5.78554 5.40341 ٤.٨٩١٢٤ ٢.٧٦٠٢٦ 1.70205 1.70205 1.67444 1.41825 0.64502 0.98075 0.88845
الشكل 1. هيستوغرام المتغير الاستجابي في مجموعة بيانات الدهون في الجسم.
الشكل 2. هيستوغرام المتغير الاستجابي في مجموعة بيانات تعادل القوة الشرائية.
الجدول 4. قيم MSE المحاكاة لتقديرات التحيز في BRM عندما و .
ن BRRE BLE BMTPLE
MLE بي إم أو بي إل إي
0.80 30 1.83877 1.44699 1.06422 1.18693 1.14327 0.97437 1.01112 0.92170 0.30634 0.77951 0.71436
75 0.57997 0.53073 0.47991 0.54481 0.49251 0.46933 0.44340 0.42461 0.09565 0.41621 0.36792
150 0.30259 0.28380 0.26640 0.30167 0.27454 0.26559 0.24252 0.23418 0.06719 0.23253 0.20836
٢٠٠ 0.22476 0.21404 0.20312 0.22476 0.20937 0.20280 0.18487 0.18010 0.05297 0.17933 0.16465
٣٠٠ 0.21275 0.20346 0.19590 0.21275 0.19948 0.19574 0.17411 0.16995 0.04857 0.16944 0.15625
٤٠٠ 0.14582 0.14092 0.13678 0.14582 0.13892 0.13671 0.12238 0.12012 0.04721 0.12006 0.11256
0.85 30 1.82500 1.45547 1.07658 1.18792 1.12901 1.00693 1.01537 0.92390 0.29687 0.78769 0.71469
75 0.65561 0.58562 0.51427 0.64153 0.53991 0.50876 0.47695 0.45069 0.08164 0.43515 0.37568
150 0.42016 0.38795 0.35740 0.41946 0.37053 0.35598 0.32902 0.31539 0.07141 0.31158 0.27418
٢٠٠ 0.37313 0.34939 0.32569 0.36966 0.33489 0.32380 0.29477 0.28452 0.04316 0.28121 0.25220
٣٠٠ 0.23383 0.22290 0.21314 0.23383 0.21750 0.21286 0.19323 0.18803 0.04010 0.18735 0.17127
٤٠٠ 0.21292 0.20401 0.19618 0.21292 0.19981 0.19603 0.17672 0.17250 0.03321 0.17197 0.15862
0.90 30 ٤.٢٦٤٨٨ ٣.٠٢٣٨٩ 2.07686 1.13010 1.65646 1.52159 1.42122 1.27032 0.71327 0.84827 0.97675
75 0.96233 0.82457 0.64968 0.85692 0.70945 0.62838 0.64029 0.58953 0.13196 0.55113 0.46057
150 0.68256 0.61024 0.53307 0.67437 0.56186 0.52849 0.50150 0.47141 0.07558 0.45728 0.38752
٢٠٠ 0.48817 0.45086 0.41836 0.45866 0.41998 0.40534 0.37401 0.35828 0.04965 0.35098 0.31104
٣٠٠ 0.33067 0.30821 0.28691 0.33067 0.29656 0.28614 0.26091 0.25065 0.03357 0.24815 0.21923
٤٠٠ 0.32034 0.30122 0.28391 0.32034 0.28935 0.28271 0.25730 0.24801 0.03325 0.24654 0.21915
0.95 30 7.49130 5.17984 ٣.٥٩٢٦٢ 0.82873 1.99582 1.93539 1.71198 1.50775 0.71993 0.63689 1.14818
75 1.85635 1.47272 1.06156 1.24485 1.05443 0.96045 0.96265 0.85110 0.19345 0.69663 0.61571
150 1.52308 1.26653 0.97146 1.18191 0.98375 0.89465 0.89512 0.80985 0.15599 0.70891 0.60865
٢٠٠ 1.15016 1.01552 0.84704 0.93563 0.82545 0.75061 0.75308 0.70096 0.09803 0.65054 0.56469
٣٠٠ 0.76535 0.67981 0.57337 0.75647 0.61234 0.56729 0.55279 0.51534 0.05813 0.49717 0.41425
٤٠٠ 0.59861 0.53845 0.47632 0.59506 0.49941 0.47339 0.44629 0.42078 0.04042 0.40916 0.34876
0.99 30 ٣٤.٧٢٣٢٤ 22.88346 16.87703 7.82112 1.20571 1.20513 1.11674 0.95281 1.61605 2.77552 0.74712
75 10.10960 6.90541 ٤.٥٥٠٢٦ 0.43189 1.59396 1.58933 ١.٤٤٤٤٧ 1.18678 0.72038 0.21227 0.80404
150 5.68694 3.97307 ٢.٦١٨٦٩ 0.85581 1.38724 1.35887 1.26837 1.02548 0.47350 0.33012 0.66594
٢٠٠ 5.18955 3.97351 ٢.٧٨٣٦٤ 1.22267 1.64480 1.59475 1.51056 1.27291 0.33539 0.61082 0.86192
٣٠٠ 5.04496 ٤.١٩٩٨٧ 3.30905 1.48063 1.82360 1.74464 1.71323 1.50816 0.32844 0.92600 1.11495
٤٠٠ ٣.٠٠٣٨٦ 2.30031 1.54180 1.42011 1.31878 1.24651 1.21399 1.03222 0.25264 0.70063 0.68973

5.1. مجموعة بيانات نسبة الدهون في الجسم

تستخدم تطبيقنا التجريبي الأول مجموعة بيانات نسبة الدهون في الجسم من بينروز، التي تم تطويرها في الأصل بواسطة [35] وتم تحليلها لاحقًا بواسطة [12]. تحتوي هذه المجموعة الشاملة من البيانات على قياسات أنثروبومترية من 252 رجل بالغ، وتتميز بمتغير استجابة (نسبة الدهون في الجسم المقاسة من خلال الوزن الهيدروستاتيكي) وثلاثة عشر متغيرًا موحدًا. تشمل المتغيرات التفسيرية العمر والوزن والطول وعشر قياسات محيط الجسم (الرقبة والصدر والبطن والورك والفخذ والركبة والكاحل والعضلة ذات الرأسين والساعد والمعصم)، جميعها تم إعادة قياسها بعامل 100. أصبحت هذه المجموعة من البيانات ذات قيمة خاصة للبحث المنهجي بسبب أنماط التعدد الخطي المعروفة جيدًا بين القياسات الفسيولوجية، مما يجعلها حالة اختبار مثالية لتقييم تقنيات الانحدار في الإعدادات عالية الأبعاد مع المتغيرات المرتبطة.
التحليل يركز على نسبة الدهون في الجسم ، تم قياسها عبر الوزن الهيدروستاتيكي كمتغير استجابة. تتكون مجموعة المتنبئين من ثلاثة عشر قياسًا أنثروبومتريًا: العمر بالسنوات ( )، الوزن بالجنيه ( )، الارتفاع بالبوصات ( )، وعشر قياسات محيط موحدة بالسنتيمترات (الرقبة صدر البطن ورك فخذ ركبة الكاحل عضلات البايسبس الساعد و المعصم تتيح هذه المجموعة الشاملة من المتغيرات الفسيولوجية فحصًا دقيقًا لعوامل تكوين الجسم من خلال نمذجة الانحدار.
الجدول 5. قيم MAE المحاكاة لمقدرات التحيز في BRM عندما و .
ن BRRE BLE بيموبل BMTPLE
MLE
0.80 30 1.26890 1.21011 1.16031 1.20732 1.03130 1.03130 1.01514 0.95288 0.76332 0.97479 0.89002
75 0.77041 0.75887 0.74864 0.75442 0.71742 0.71742 0.70911 0.69288 0.49775 0.70035 0.67491
150 0.56644 0.56054 0.55783 0.56644 0.54263 0.54263 0.53418 0.52629 0.47117 0.53091 0.51789
٢٠٠ 0.52310 0.51826 0.51524 0.52310 0.50332 0.50332 0.49575 0.48843 0.41674 0.49314 0.48034
٣٠٠ 0.43000 0.42691 0.42524 0.43000 0.41782 0.41782 0.41142 0.40756 0.40672 0.41009 0.40343
٤٠٠ 0.38469 0.38281 0.38136 0.38469 0.37719 0.37719 0.37225 0.36990 0.38241 0.37145 0.36739
0.85 30 1.30810 1.24576 1.20842 1.24582 1.04219 1.04219 1.00798 0.93671 0.71812 0.95073 0.86658
75 0.83302 0.81311 0.79574 0.83276 0.75189 0.75189 0.74226 0.71360 0.50549 0.72905 0.68296
150 0.68893 0.67727 0.66926 0.68264 0.63840 0.63840 0.63076 0.61395 0.48316 0.62444 0.59557
٢٠٠ 0.54907 0.54235 0.53621 0.54907 0.52213 0.52213 0.51180 0.50194 0.35977 0.50785 0.49111
٣٠٠ 0.55313 0.54809 0.54369 0.54569 0.52959 0.52959 0.52149 0.51393 0.38609 0.51844 0.50570
٤٠٠ 0.42353 0.42048 0.41842 0.42353 0.41147 0.41147 0.40400 0.39959 0.35302 0.40234 0.39473
0.90 30 1.50798 1.41596 1.32717 1.38089 1.13144 1.13144 1.11369 1.01769 0.90307 1.04158 0.92667
75 1.07544 1.03594 0.99610 1.05919 0.90533 0.90533 0.89427 0.84024 0.58383 0.86522 0.78462
150 0.73651 0.72044 0.71134 0.73478 0.67191 0.67191 0.65957 0.63608 0.45720 0.64867 0.61132
٢٠٠ 0.64727 0.63728 0.62742 0.64727 0.60640 0.60640 0.59650 0.58102 0.41143 0.59072 0.56409
٣٠٠ 0.57866 0.57122 0.56644 0.57866 0.54915 0.54915 0.53948 0.52791 0.36816 0.53474 0.51542
٤٠٠ 0.48391 0.47819 0.47374 0.48391 0.46099 0.46099 0.45213 0.44319 0.32209 0.44841 0.43341
0.95 30 ٢.٢١٤٤٦ 2.01660 1.86012 1.45822 1.30063 1.30063 1.27175 1.10764 1.26915 1.10171 0.96908
75 1.35220 1.27356 1.19147 1.27807 1.01037 1.01037 0.99433 0.89924 0.76877 0.93379 0.80541
150 1.04495 1.00075 0.95115 1.02642 0.85214 0.85214 0.84115 0.77941 0.55689 0.80644 0.71580
٢٠٠ 0.92189 0.89427 0.87577 0.91667 0.80368 0.80368 0.79104 0.75017 0.48922 0.77079 0.70707
٣٠٠ 0.85298 0.83027 0.80871 0.84762 0.75570 0.75570 0.74545 0.71122 0.49074 0.72970 0.67501
٤٠٠ 0.79826 0.78059 0.76236 0.79611 0.72201 0.72201 0.71300 0.68549 0.42665 0.70069 0.65556
0.99 30 ٤.٩٨٢٣٧ ٤.٠٢٦٧٠ 3.65209 1.20783 0.95493 0.95493 0.90750 0.70453 1.96597 0.65548 0.62437
75 2.66201 ٢.٢٩٣٨١ 2.06339 0.97448 1.04133 1.04133 1.00287 0.76464 1.32552 0.67422 0.60921
150 ٢.١٦٩٨٩ 1.91179 1.70775 1.22874 1.04703 1.04703 1.01357 0.79476 1.19352 0.79766 0.62365
٢٠٠ 2.00388 1.81862 1.65616 1.37323 1.12428 1.12428 1.09644 0.90877 1.10854 0.92943 0.74470
٣٠٠ 1.76347 1.61660 1.47441 1.39948 1.08422 1.08422 1.06010 0.89471 0.99288 0.93438 0.74544
٤٠٠ 1.43292 1.32006 1.20648 1.26329 0.94104 0.94104 0.92157 0.78702 0.87413 0.83422 0.66296
تمثل المتغير الاستجابة نسبة محدودة ضمن الفترة مما يجعله مناسبًا لـ BRM كما تم تأكيده بصريًا من خلال الخصائص التوزيعية الموضحة في الشكل 1. تكشف التحليلات التشخيصية عن مخاوف كبيرة من التعدد الخطي، كما يتضح من رقم الحالة البالغ 582.994، والذي يتجاوز بشكل كبير العتبة التقليدية البالغة 100 التي تشير إلى التعدد الخطي الشديد. الهيكل الارتباطي المقدم في الشكل 3 يدعم هذه النتائج بشكل أكبر، حيث يظهر ارتباطات قوية بين المتغيرات التنبؤية. تؤكد هذه النتائج التشخيصية مجتمعة على ضرورة استخدام تقنيات تقدير متخصصة تأخذ في الاعتبار التعدد الخطي العالي عند تحليل هذه المجموعة من البيانات.
تظهر الجدول 9 نتائج تحليل مجموعة بيانات نسبة الدهون في الجسم. توضح النتائج بوضوح أن مقدر BMTPLE المقترح يعمل بشكل أفضل بكثير من الطرق التقليدية. على سبيل المثال، انخفض MSE من 2056.14 (مع MLE) إلى 205.37265 (مع BMOPLE و BLE) و 194.08 (مع BMTPLE باستخدام )، وهو انخفاض في خطأ التنبؤ. هذا يُظهر أن BMTPLE فعّالة جداً في التعامل مع التعدد الخطي الشديد.
عند النظر إلى المعاملات المقدرة، فإن طريقة BMTPLE تعطي قيمًا مطلقة أصغر بكثير من MLE (على سبيل المثال، مقابل -0.50 )، مما يعني أنه يقلل من التضخم الناتج عن التعدد الخطي. من بين جميع إصدارات BMTPLE، الإصدار الذي يستخدم يقدم أقل متوسط خطأ مربع (194.08)، يليه عن كثب
الجدول 6. قيم MAE المحاكاة لمقدرات التحيز في BRM عندما و .
ن BRRE BLE بي إم أو بي إل إي BMTPLE
MLE
0.80 30 1.20102 1.07942 0.98547 1.08296 1.02293 0.96531 0.97588 0.94226 0.62152 0.94757 0.89928
75 0.62847 0.60414 0.58393 0.62730 0.59557 0.58287 0.57232 0.56453 0.37666 0.56788 0.55293
150 0.51808 0.50642 0.49982 0.51759 0.50141 0.49922 0.48011 0.47635 0.42131 0.47791 0.47063
٢٠٠ 0.43898 0.43010 0.42358 0.43898 0.42707 0.42339 0.40950 0.40650 0.35109 0.40813 0.40193
٣٠٠ 0.40067 0.39413 0.38952 0.40067 0.39183 0.38941 0.37596 0.37389 0.34327 0.37495 0.37065
٤٠٠ 0.35227 0.34725 0.34287 0.35227 0.34530 0.34281 0.33175 0.33033 0.34379 0.33117 0.32812
0.85 30 1.29082 1.14369 1.06572 1.12278 1.06996 1.04902 0.97668 0.94023 0.61021 0.93130 0.89322
75 0.77078 0.72884 0.68939 0.75566 0.71008 0.68611 0.68414 0.66958 0.41418 0.67628 0.64902
150 0.59981 0.57739 0.55954 0.59750 0.56842 0.55842 0.54543 0.53721 0.35768 0.54114 0.52513
٢٠٠ 0.47472 0.46222 0.45158 0.47472 0.45728 0.45126 0.43833 0.43380 0.28064 0.43616 0.42688
٣٠٠ 0.46021 0.45001 0.44109 0.46021 0.44611 0.44082 0.42718 0.42331 0.28716 0.42543 0.41763
٤٠٠ 0.38468 0.37836 0.37286 0.38468 0.37614 0.37272 0.35942 0.35713 0.31092 0.35839 0.35365
0.90 30 1.30178 1.10559 0.96340 1.07195 1.00405 0.92915 0.94412 0.88769 0.58647 0.88698 0.82756
75 0.96578 0.88232 0.80354 0.92726 0.84532 0.79315 0.81235 0.78363 0.41246 0.79397 0.74563
150 0.63534 0.60321 0.58304 0.63420 0.58954 0.58125 0.56047 0.54819 0.31942 0.55370 0.53116
٢٠٠ 0.60767 0.58567 0.56800 0.60640 0.57645 0.56731 0.55273 0.54439 0.30102 0.54871 0.53203
٣٠٠ 0.47539 0.46180 0.45121 0.47506 0.45638 0.45070 0.43631 0.43145 0.26779 0.43399 0.42409
٤٠٠ 0.47170 0.45928 0.44790 0.47170 0.45459 0.44747 0.43534 0.43064 0.23023 0.43299 0.42350
0.95 30 1.83005 1.45630 1.23577 1.11463 1.20225 1.11250 1.10589 1.01648 0.81747 0.97654 0.94343
75 1.22700 1.06302 0.91647 1.04476 0.96104 0.88208 0.91804 0.86359 0.51272 0.87100 0.80155
150 0.95041 0.86043 0.77576 0.88779 0.80639 0.76242 0.77515 0.74219 0.36077 0.75068 0.69980
٢٠٠ 0.76013 0.70537 0.66685 0.75018 0.68067 0.66416 0.64638 0.62588 0.31795 0.63473 0.59833
٣٠٠ 0.71381 0.66860 0.62383 0.70786 0.64736 0.61985 0.62263 0.60483 0.30424 0.61284 0.58049
٤٠٠ 0.61864 0.58643 0.55712 0.61486 0.57235 0.55512 0.54826 0.53551 0.26198 0.54147 0.51749
0.99 30 ٤.٢٤٦٥٩ 2.70318 2.33588 1.38630 1.02027 1.00096 0.80996 0.69668 1.06858 0.66460 0.65892
75 ٢.٤٩٥٧٦ 1.77818 1.42915 0.72584 1.10011 1.04701 0.96446 0.79525 0.85047 0.63058 0.70803
150 1.85836 1.37046 1.05028 0.87711 1.00082 0.91331 0.90461 0.76735 0.67982 0.70980 0.67580
٢٠٠ 1.52931 1.17794 0.91059 1.00260 0.94180 0.82212 0.86911 0.75558 0.56272 0.74145 0.66780
٣٠٠ 1.53819 1.24739 1.00811 1.06542 1.02429 0.91281 0.96187 0.86691 0.55260 0.85668 0.77820
٤٠٠ 1.34894 1.11942 0.91973 1.01351 0.95024 0.86294 0.89853 0.82166 0.52176 0.82139 0.74386
(196.21)، مما يدل على أن هذه الإعدادات تعمل بشكل جيد بشكل خاص. البطن ( ) وفخذ ( تتميز المتغيرات ) بوجود معاملات كبيرة باستمرار في جميع الطرق، مما يؤكد أهميتها المعروفة في تقدير نسبة الدهون في الجسم. متغير المعصم ( يظهر انكماشًا قويًا (من -8.70 إلى -0.50)، على الأرجح لأنه مرتبط ارتباطًا وثيقًا بقياسات الجسم الأخرى.
بشكل عام، يُظهر الانخفاض الكبير في MSE أن BMTPLE مفيد في دراسات تكوين الجسم. إن نتائجه المتسقة عبر خيارات المعلمات المختلفة تُظهر أنه موثوق. كما أن قيم المعاملات تتطابق مع الحقائق البيولوجية المعروفة، مما يدعم مصداقية الطريقة. تشير هذه النتائج بقوة إلى أن BMTPLE هو خيار جيد لتوقع نسبة الدهون في الجسم، خاصة عند استخدام قياسات غالبًا ما تكون مرتبطة ارتباطًا وثيقًا.

5.2. مجموعة بيانات تعادل القوة الشرائية

التطبيق التجريبي الثاني يستخدم مجموعة بيانات تعادل القوة الشرائية، وقد تم الحصول على هذه البيانات في الأصل من Coakley وآخرين [13]. تركز مجموعة البيانات على تحليل تعادل القوة الشرائية وغيرها من العلاقات الأساسية في الاقتصاد الدولي. وتتكون من لوحة تضم 104 ملاحظة ربع سنوية.
الجدول 7. قيم MAE المحاكاة لمقدرات التحيز في BRM عندما و .
ن BRRE BLE BMTPLE
MLE بي إم أو بي إل إي
0.80 30 ٣.٢٤٧٩٩ 3.08053 2.85583 2.94721 ٢.٤١٠٨٧ ٢.٤١٠٧٠ ٢.٣٥٧٤٢ ٢.١٨٨٦١ 1.33807 2.05595 1.76812
75 1.74786 1.71512 1.68389 1.74414 1.59687 1.59687 1.54989 1.49964 0.79421 1.49936 1.35277
150 1.40415 1.38557 1.37019 1.40415 1.32853 1.32827 1.28713 1.25726 0.72518 1.26156 1.16980
٢٠٠ 1.22838 1.21521 1.20215 1.22838 1.17186 1.17186 1.13117 1.10977 0.56402 1.11263 1.04520
٣٠٠ 1.13470 1.12453 1.11817 1.13470 1.09200 1.09200 1.05431 1.03685 0.60762 1.04026 0.98387
٤٠٠ 1.06166 1.05424 1.04908 1.06166 1.02848 1.02848 0.99503 0.98221 0.64253 0.98517 0.94380
0.85 30 3.32003 ٣.١٥٤٢٣ ٢.٩٣٦٥٣ ٣.٠١٩٧٦ ٢.٤٥٦٠٣ ٢.٤٥٦٠٣ ٢.٤٠٩٩٥ ٢.٢٤١١٨ 1.44773 ٢.١١١٩٨ 1.82642
75 1.94119 1.89526 1.84847 1.93804 1.71866 1.71866 1.67016 1.60078 0.75255 1.59290 1.40111
150 1.57452 1.54828 1.52645 1.57118 1.45563 1.45563 1.40841 1.36681 0.71037 1.36927 1.24424
٢٠٠ 1.46038 1.44062 1.42239 1.46002 1.37123 1.37123 1.32778 1.29490 0.63052 1.29809 1.19841
٣٠٠ 1.36833 1.35463 1.34384 1.36639 1.30397 1.30397 1.26249 1.23829 0.60330 1.24184 1.16469
٤٠٠ 1.18628 1.17595 1.16843 1.17376 1.13376 1.13376 1.09659 1.07906 0.54197 1.08061 1.02623
0.90 30 ٤.٩٥١١١ ٤.٥٩٨١٩ ٤.٢١٤٢٦ ٣.٠٤٢٢٤ 2.77626 2.77626 2.70271 ٢.٤٦٦٢٨ 2.03762 ٢.٠٥٧١٠ 1.95137
75 ٢.٥٢٤٤٣ ٢.٤٤٢٣٣ ٢.٣٢٧٤٨ 2.46072 2.08021 2.08021 2.02783 1.91455 0.96594 1.86849 1.60415
150 1.95810 1.91313 1.86840 1.95810 1.74215 1.74215 1.69180 1.61906 0.74618 1.61312 1.41014
٢٠٠ 1.68183 1.65411 1.63239 1.63469 1.53720 1.53720 1.49094 1.44564 0.64937 1.44350 1.31198
٣٠٠ 1.41144 1.39030 1.37342 1.41144 1.32072 1.32072 1.27195 1.23629 0.52391 1.23893 1.13070
٤٠٠ 1.36814 1.35116 1.33877 1.34238 1.27888 1.27888 1.23284 1.20340 0.54546 1.20130 1.11532
0.95 30 6.36047 5.86540 5.30170 ٢.٧٠٤٩٠ 2.85906 2.85906 2.82608 ٢.٥٤٠٧٤ ٢.٢٣٦٩١ 1.72164 1.93672
75 ٣.٤٧٥١٥ 3.31046 3.08062 ٣.١٩٧٦٤ 2.48206 2.48206 ٢.٤٤٨١٤ ٢.٢٤٦١٥ 1.33838 ٢.٠٩٣٨١ 1.73250
150 2.83382 ٢.٧١٨٦٦ ٢.٥٦٥٨٣ 2.79501 2.20403 2.20403 2.16392 2.00662 1.06873 1.92546 1.58642
٢٠٠ 2.33735 2.26664 ٢.١٧٤٩٦ 2.32031 1.95612 1.95612 1.90973 1.80133 0.82688 1.77198 1.49797
٣٠٠ ٢.١٥٦٤٧ ٢.١٠٥٦٥ ٢.٠٥٠٠٤ ٢.١٠٥١٢ 1.86854 1.86854 1.82478 1.74034 0.79401 1.73157 1.50232
٤٠٠ 1.93583 1.89494 1.85675 1.90890 1.72115 1.72115 1.67443 1.60643 0.63354 1.59843 1.40904
0.99 30 ٢٩.٤٣٠٣٢ 28.09644 ٢٧.١٥٩٧٨ 20.76124 15.21159 15.21159 15.19198 14.96431 19.92645 16.52488 14.55843
75 7.76743 7.19508 6.52711 2.27509 2.61244 2.61244 ٢.٥٨٨٩٦ ٢.٢٦٦٠٨ 2.66858 1.09297 1.59797
150 6.01823 5.59398 5.08032 ٢.٩٨٥٩٠ 2.63256 2.63256 ٢.٦٠٥٢٢ ٢.٢٧١٤٢ ٢.١٤١٥١ 1.40223 1.54772
٢٠٠ ٤.٩٤٢٩٢ ٤.٦٢٥٩٧ ٤.١٧٠٣٣ 3.45573 ٢.٥٨٨٢٥ ٢.٥٨٨٢٥ ٢.٥٦٣٧١ ٢.٢٣٩٦٣ 1.68152 1.67689 1.49666
٣٠٠ ٤.٤٣١٩٤ ٤.١٨١٥٩ ٣.٧٩٨٥٥ ٣.٥٦٦٤٥ ٢.٥٨٩٨٧ ٢.٥٨٩٨٧ ٢.٥٦٧٥٩ 2.27986 1.53233 1.89905 1.57876
٤٠٠ ٤.٢٩٤٥٨ ٤.٠٧٦٦٨ 3.75254 3.49893 ٢.٥٥١٠٤ ٢.٥٥١٠٤ ٢.٥٢٩٤٨ 2.26805 1.56940 1.94286 1.64311
الشكل 3. مصفوفة الارتباط في مجموعة بيانات الدهون الجسمية.
الشكل 4. مصفوفة الارتباط في مجموعة بيانات تعادل القوة الشرائية.
يغطي الفترة من الربع الأول من عام 1973 إلى الربع الرابع من عام 1998. يحتوي إطار البيانات على
الجدول 8. قيم MAE المحاكاة لمقدرات التحيز في BRM عندما و .
ن BRRE BLE بي إم أو بي إل إي BMTPLE
MLE
0.80 30 3.06977 2.72208 ٢.٣٢٣٢٢ ٢.٥١٢٥٦ ٢.٤٤١٧٥ ٢.٢٥٤٨٠ ٢.٢٩٢٨٨ 2.18688 1.26524 2.01780 1.92012
75 1.57188 1.50419 1.43823 1.54891 1.45953 1.42610 1.37602 1.34568 0.66671 1.33135 1.25154
150 1.30434 1.26314 1.22484 1.29827 1.24182 1.22186 1.16635 1.14668 0.58363 1.14197 1.08269
٢٠٠ 1.03715 1.01275 0.98776 1.03715 1.00252 0.98699 0.93771 0.92620 0.47825 0.92366 0.88828
٣٠٠ 0.99708 0.97614 0.96036 0.99708 0.96754 0.96001 0.90607 0.89593 0.48873 0.89442 0.86216
٤٠٠ 0.87160 0.85688 0.84511 0.87160 0.85074 0.84493 0.79452 0.78734 0.43387 0.78637 0.76252
0.85 30 ٢.٩٠٤٣٥ ٢.٥٦٢٣٩ 2.18665 2.38330 ٢.٢٨٢٥٢ 2.12291 2.14391 2.03302 1.17625 1.86955 1.76835
75 1.73006 1.63230 1.53148 1.72512 1.57511 1.52278 1.47539 1.43195 0.62651 1.40889 1.30368
150 1.39073 1.33514 1.28574 1.39045 1.30903 1.28313 1.22629 1.19995 0.60049 1.19266 1.11768
٢٠٠ 1.24848 1.20602 1.16657 1.24848 1.18600 1.16512 1.10558 1.08479 0.45033 1.07969 1.01813
٣٠٠ 1.08720 1.06112 1.03884 1.08720 1.04963 1.03814 0.98558 0.97213 0.45184 0.97010 0.92826
٤٠٠ 1.00853 0.98690 0.96856 1.00853 0.97740 0.96817 0.91253 0.90169 0.38289 0.89992 0.86499
0.90 30 ٤.٣٤٢٧٩ ٣.٦١٥٢٣ 2.96063 2.29236 2.72079 ٢.٥٦٦٦٥ ٢.٤٩٧٦٣ 2.32644 1.72486 1.89891 1.99297
75 ٢.١٢١٠٠ 1.96053 1.75115 ٢.٠٥٧٢٦ 1.83769 1.72841 1.73237 1.66074 0.75384 1.60597 1.46614
150 1.74714 1.65273 1.55347 1.74350 1.59258 1.54585 1.50225 1.45622 0.62532 1.43514 1.32198
٢٠٠ 1.38030 1.32186 1.26899 1.37549 1.28803 1.26605 1.20208 1.17288 0.43788 1.16279 1.08291
٣٠٠ 1.32476 1.27876 1.23515 1.32183 1.25351 1.23243 1.16974 1.14657 0.40274 1.13974 1.07289
٤٠٠ 1.19504 1.15883 1.12855 1.19504 1.14095 1.12769 1.06501 1.04635 0.38924 1.04202 0.98588
0.95 30 5.57959 ٤.٥٣٢٠٥ ٣.٦١٣٨٧ ٢.١٠٩٦٤ 2.92063 2.82975 2.72637 ٢.٥٠٦٦٠ 1.82752 1.63808 2.13143
75 ٢.٩٣٧٦٨ ٢.٦٠٣٧١ ٢.٢٠٥٤٠ ٢.٤٨٣٨٤ 2.23810 ٢.١١٢٩٧ ٢.١٢٤٦٦ 1.99064 0.93469 1.80039 1.68141
150 2.51183 ٢.٢٧٦٣٧ 1.97316 ٢.٣٤٢٣٤ 2.05272 1.93463 1.95548 1.85165 0.82805 1.74688 1.59046
٢٠٠ 1.96269 1.82300 1.63962 1.94234 1.72016 1.62159 1.62541 1.55737 0.58400 1.51475 1.37070
٣٠٠ 1.97183 1.85416 1.71607 1.94011 1.76216 1.69858 1.66093 1.60387 0.49759 1.57106 1.43882
٤٠٠ 1.76146 1.67260 1.57910 1.74739 1.60797 1.57130 1.51682 1.47074 0.46672 1.45135 1.33393
0.99 30 12.90898 10.07630 8.50341 5.17374 2.60617 2.60192 ٢.٤٨١٦٣ 2.28355 2.81291 ٣.٩٣١٣٢ ٢.٠٢٥٨٩
75 6.78525 ٥.٥٥٩٨٥ ٤.٤٧٤٩٩ 1.51568 2.66866 2.64585 ٢.٥٤٣٧٠ 2.26573 1.81811 0.96967 1.84240
150 5.14398 ٤.٢١٣٦٤ 3.32341 2.07371 ٢.٥٦٤٢٤ ٢.٥٢٨٤٦ ٢.٤٤١٢٩ 2.16676 1.47741 1.21890 1.73253
٢٠٠ ٤.٦٣٨١٩ 3.93703 ٣.١٠٨٠٣ ٢.٤٩١٤٥ 2.68109 2.63082 ٢.٥٦٦٥٧ 2.31891 1.14649 1.61297 1.85509
٣٠٠ ٤.٠٦٣٩٤ ٣.٥١٧٥٥ 2.84436 2.71097 2.62946 ٢.٥٣٦١٥ ٢.٥٢٧٠٦ 2.31097 1.07647 1.83945 1.87378
٤٠٠ ٣.٥١٨٨٨ ٣.٠٣٥٤٨ ٢.٤٣٢٥٦ ٢.٦٤٩٦٠ 2.37764 ٢.٢٧٢٥٤ ٢.٢٨٥٢٢ 2.08469 1.05807 1.73566 1.68070
الجدول 9. معاملات ومتوسط مربع الخطأ لمقدرات التحيز لنموذج BRM باستخدام مجموعة بيانات نسبة الدهون في الجسم.
المعاملات BRRE BLE بي إم أو بي إل إي BMTPLE
MLE
اعتراض -6.04713 -5.86905 -3.84281 -3.59520 -3.63024 -3.59520 -3.48789 -3.51856 -3.44050 -3.52981 -3.51647
0.59196 0.49288 0.37621 0.38519 0.38814 0.38519 0.37614 0.37872 0.37214 0.37967 0.37855
-1.01820 -0.95353 -0.21128 -0.09924 -0.11237 -0.09924 -0.05902 -0.07052 -0.04126 -0.07473 -0.06973
0.41960 0.16398 -1.16384 -1.31217 -1.28742 -1.31217 -1.38796 -1.36629 -1.42143 -1.35835 -1.36777
-3.61075 -3.66336 -1.80205 -1.60011 -1.62885 -1.60011 -1.51211 -1.53727 -1.47325 -1.54648 -1.53555
0.49157 0.45852 0.27813 0.27368 0.27680 0.27368 0.26414 0.26687 0.25993 0.26787 0.26668
6.32854 6.26187 ٤.٨١٨٢٤ ٤.٥٢٦٤٨ ٤.٥٥٢٢٣ ٤.٥٢٦٤٨ ٤.٤٤٧٦١ ٤.٤٧٠١٥ ٤.٤١٢٧٨ ٤.٤٧٨٤١ ٤.٤٦٨٦١
-2.21088 -2.22225 -1.65262 -1.52966 -1.53939 -1.52966 -1.49984 -1.50837 -1.48668 -1.51149 -1.50778
٣.٥٧٥٦٩ 3.38767 1.56409 1.31407 1.34639 1.31407 1.21508 1.24338 1.17137 1.25375 1.24145
1.71547 1.41875 0.05445 -0.06435 -0.03892 -0.06435 -0.14225 -0.11998 -0.17665 -0.11182 -0.12150
1.39685 0.72461 -0.44090 -0.48343 -0.45656 -0.48343 -0.56573 -0.54220 -0.60207 -0.53358 -0.54380
0.94867 0.90375 0.32248 0.22955 0.23982 0.22955 0.19807 0.20707 0.18417 0.21037 0.20646
٤.١٤٤٦٣ 3.35558 0.75473 0.54565 0.59709 0.54565 0.38814 0.43316 0.31858 0.44966 0.43010
-8.70369 -4.96782 -1.11736 -0.98425 -1.09458 -0.98425 -0.64639 -0.74297 -0.49719 -0.77836 -0.73639
MSE 2056.13905 1111.12601 229.31655 205.37265 209.67093 205.37265 196.20629 198.21173 194.07602 199.06978 198.05940
1,768 ملاحظة إجمالية عبر متغيرات متعددة، مما يوفر رؤية شاملة لأسعار الصرف، ومستويات الأسعار، وفروق أسعار الفائدة. تشمل المتغيرات الرئيسية أسعار الفائدة الأمريكية طويلة الأجل (y)، اللوغاريتم الفوري لـ
معدلات التغيير مقابل الدولار الأمريكي (x1)، مستويات الأسعار اللوغاريتمية (x2)، ومعدلات الفائدة القصيرة الأجل (x3) والطويلة الأجل (x4). بالإضافة إلى ذلك، تحتوي مجموعة البيانات على الفروقات السعرية اللوغاريتمية مقارنة بالولايات المتحدة (x5) ومعدلات الفائدة القصيرة الأجل في الولايات المتحدة (x6)، مما يسمح بإجراء فحص متعمق للديناميات المالية الدولية.
المتغير الاستجابي هو نسبة تتراوح بين 0 و 1، مما يجعله مناسبًا لنمذجة الانحدار البايزي، كما هو موضح في الشكل 2. تشير نتائج التشخيص إلى وجود تعدد خطي خطير، مع رقم حالة يبلغ 236.55، وهو أعلى بكثير من العتبة المعتادة البالغة 100. كما يظهر مخطط الارتباط في الشكل 4 علاقات قوية بين المتغيرات التنبؤية. تسلط هذه النتائج الضوء على الحاجة إلى طرق تقدير يمكنها التعامل مع التعدد الخطي العالي في هذه المجموعة من البيانات.
الجدول 10. معاملات ومتوسط مربع الخطأ لمقدرات التحيز لنموذج BRM باستخدام مجموعة بيانات تعادل القوة الشرائية.
المعاملات BRRE BLE بي إم أو بي إل إي BMTPLE
MLE
اعتراض -3.75619 -3.75044 -3.34645 -3.73475 -3.73753 -3.36101 -3.20130 -3.24421 -2.78289 -3.24745 -3.24348
0.25804 0.25828 0.27220 0.25891 0.25880 0.27414 0.28064 0.27890 0.29769 0.27876 0.27892
0.17325 0.17224 0.10060 0.16950 0.16999 0.10425 0.07637 0.08386 0.00331 0.08442 0.08373
-0.03786 -0.02717 0.49916 0.00141 -0.00369 0.68604 0.97860 0.90001 1.74507 0.89408 0.90134
2.13191 ٢.١١٩٦٣ 1.51439 2.08689 ٢.٠٩٢٧٣ 1.30198 0.96657 1.05667 0.08783 1.06347 1.05514
-0.42388 -0.42320 -0.36898 -0.42133 -0.42166 -0.37694 -0.35797 -0.36307 -0.30827 -0.36345 -0.36298
٥.٠٣٧٦٧ 5.02138 ٣.٨٨٥٦٤ ٤.٩٧٦٨٩ ٤.٩٨٤٧٨ 3.91712 ٣.٤٦٤٢٦ ٣.٥٨٥٩٢ ٢.٢٧٧٨٢ ٣.٥٩٥١٠ ٣.٥٨٣٨٦
MSE ٣٥.١٤٥٢٥ ٣٤.٦٥٢٧٦ 17.09468 ٣٣.٣٦٢٣٨ ٣٣.٥٨٩٥٩ 14.04834 12.58487 12.57863 ٢٨.٠٢٩٢٢ 12.59006 12.57629
تكشف النتائج التجريبية من مجموعة بيانات تعادل القوة الشرائية في العالم الحقيقي عن عدة أنماط ملحوظة تتعلق بأداء تقنيات التقدير المنحازة المختلفة. كما هو موضح في الجدول 10، فإن BMTPLE مع يظهر أداءً متفوقًا، محققًا أدنى متوسط ​​مربعات الخطأ بين جميع المقدرين. هذا يمثل شيئًا ملحوظًا تقليل في خطأ التنبؤ مقارنةً بقاعدة الحد الأقصى للاحتمالية .
تشير الأداء المتفوق لـ BMTPLE إلى أن آلية الانكماش ذات المعاملين لديها تتعامل بفعالية مع التعدد الخطي بينما تحافظ على كفاءة التقدير. ما يلفت الانتباه بشكل خاص هو قدرتها على تعديل المعاملات بشكل كبير لمتغيرات سعر الفائدة. و )، حيث تنتج الطرق التقليدية تقديرات غير مستقرة. يظهر BMOPLE أداءً تنافسياً (MSE )، مما يشير إلى أن نهج القيود الإيجابية قد يقدم فوائد بديلة في بعض السياقات الاقتصاد القياسي.
تتمتع هذه النتائج بتداعيات هامة على البحث التجريبي في المالية الدولية، حيث أن التعدد الخطي بين أسعار الصرف والفروق في أسعار الفائدة غالبًا ما يعقد تقدير المعلمات. تدعم النتائج بقوة نتائج المحاكاة، مما يوضح أن المقدّر المقترح يتفوق على البدائل في التعامل مع التعدد الخطي العالي في هذه المجموعة من البيانات.

6. الخاتمة

تقدم هذه الدراسة مقدرات ليو المعدلة الجديدة المصممة لمعالجة مشكلات التعدد الخطي في نماذج الانحدار. يثبت التحليل النظري أن مقدرات ليو المعدلة المقترحة تظهر كفاءة متفوقة مقارنة بالمقدرات المنحازة الحالية، بما في ذلك تقدير الاحتمالات القصوى التقليدي، وتقدير الانحدار المعتمد على التحيز، وتقدير الاحتمالات القصوى. للتحقق تجريبيًا من هذه النتائج النظرية، قمنا بإجراء محاكاة شاملة باستخدام مونت كارلو لمقارنة أداء مقدرات ليو المعدلة مع تقدير الاحتمالات القصوى وطرق التقدير المنحازة البديلة. تظهر نتائج المحاكاة باستمرار أن مقدرات ليو المعدلة تحقق مقاييس أداء أفضل بشكل ملحوظ، لا سيما في السيناريوهات التي تتميز بوجود ارتباطات عالية إلى قوية بين المتغيرات.
تتأكد الفائدة العملية لمقدّر ليو المعدل من خلال تطبيقين تجريبيين، حيث أنتج باستمرار قيم MSE أقل مقارنةً بأساليب MLE وBRRE وBLE. تشير هذه النتائج مجتمعة إلى أن مقدّر TPBR يمثل حلاً فعالاً لتحليل الانحدار الذي يتضمن متنبئين متداخلين، مما يوفر دقة تقدير محسّنة عبر كل من مجموعات البيانات المحاكية والواقعية.

مساهمات المؤلفين

لقد عمل جميع المؤلفين بشكل متساوٍ لكتابة ومراجعة المخطوطة.

بيان توفر البيانات

البيانات التي تدعم نتائج هذه الدراسة متاحة ضمن المقال.

تعارض المصالح

يعلن المؤلفون عدم وجود أي تضارب في المصالح.

References

1.Abdel-Fattah, M. A. (2024). Improved liu-ridge-type estimates for the beta regression model. Journal of Statistical Computation and Simulation, 94(16):3533-3554.
2.Abdelwahab, M. M., Abonazel, M. R., Hammad, A. T., and El-Masry, A. M. (2024). Modified twoparameter liu estimator for addressing multicollinearity in the poisson regression model. Axioms, 13(1):46.
3.Abonazel, M. R. (2023). New modified two-parameter liu estimator for the conway-maxwell poisson regression model. Journal of Statistical Computation and Simulation, 93(12):1976-1996.
4.Abonazel, M. R. (2025). A new biased estimation class to combat the multicollinearity in regression models: Modified two-parameter liu estimator. Computational Journal of Mathematical and Statistical Sciences, 4(1):316-347.
5.Abonazel, M. R., Awwad, F. A., Tag Eldin, E., Kibria, B. M. G., and Khattab, I. G. (2023). Developing a two-parameter liu estimator for the com-poisson regression model: Application and simulation. Frontiers in Applied Mathematics and Statistics, 9:956963.
6.Abonazel, M. R. and Taha, I. M. (2023). Beta ridge regression estimators: simulation and application. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 52(9):4280-4292.
7.Akhtar, N. and Alharthi, M. F. (2024). A comparative study of the performance of new ridge estimators for multicollinearity: Insights from simulation and real data application. AIP Advances, 14(11).
8.Algamal, Z. Y. (2019). A particle swarm optimization method for variable selection in beta regression model. Electronic Journal of Applied Statistical Analysis, 12(2).
9.Algamal, Z. Y. and Abonazel, M. R. (2022). Developing a liu-type estimator in beta regression model. Concurrency and Computation: Practice and Experience, 34(5):e6685.
10.Allenbrand, C. and Sherwood, B. (2023). Model selection uncertainty and stability in beta regression models: A study of bootstrap-based model averaging with an empirical application to clickstream data. The Annals of Applied Statistics, 17(1):680-710.
11.Amin, M., Akram, M. N., and Kibria, B. M. G. (2021). A new adjusted liu estimator for the poisson regression model. Concurrency and computation: Practice and experience, 33(20):e6340.
12.Amin, M., Ashraf, H., Bakouch, H. S., and Qarmalah, N. (2023). James stein estimator for the beta regression model with application to heat-treating test and body fat datasets. Axioms, 12(6):526.
13.Coakley, J., Fuertes, A., and Smith, R. (2006). Unobserved heterogeneity in panel time series models. Computational Statistics & Data Analysis, 50(9):2361-2380.
14.Dawoud, I. and Kibria, B. M. G. (2020). A new biased estimator to combat the multicollinearity of the gaussian linear regression model. Stats, 3(4):526-541.
15.Dertli, H. I., Hayes, D. B., and Zorn, T. G. (2024). Effects of multicollinearity and data granularity on regression models of stream temperature. Journal of Hydrology, 639:131572.
16.Dobson, A. J. and Barnett, A. G. (2018). An introduction to generalized linear models. Chapman and Hall/CRC.
17.Erkoç, A., Ertan, E., Algamal, Z. Y., and Akay, K. U. (2023). The beta liu-type estimator: simulation and application. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 52(3):828-840.
18.Farebrother, R. W. (1976). Further results on the mean square error of ridge regression. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), pages 248-250.
19.Ferrari, S. and Cribari-Neto, F. (2004). Beta regression for modelling rates and proportions. Journal of applied statistics, 31(7):799-815.
20.Frisch, R. (1997). Statistical confluence analysis by means of complete regression systems (1934). The Foundations of Econometric Analysis, page 271.
21.Geissinger, E. A., Khoo, C. L. L., Richmond, I. C., Faulkner, S. J. M., and Schneider, D. C. (2022). A case for beta regression in the natural sciences. Ecosphere, 13(2):e3940.
22.Hoerl, A. E. and Kennard, R. W. (1970). Ridge regression: Biased estimation for nonorthogonal problems. Technometrics, 12(1):55-67.
23. Karlsson, P., Månsson, K., and Kibria, B. M. G. (2020). A liu estimator for the beta regression model and its application to chemical data. Journal of Chemometrics, 34(10):e3300.
24.Khan, M. S., Ali, A., Suhail, M., Awwad, F. A., Ismail, E. A. A., and Ahmad, H. (2023). On the performance of two-parameter ridge estimators for handling multicollinearity problem in linear regression: Simulation and application. AIP Advances, 13(11).
25.Kibria, B. M. G. and Lukman, A. F. et al. (2020). A new ridge-type estimator for the linear regression model: Simulations and applications. Scientifica, 2020.
26.Koç, T. and Dünder, E. (2024). Jackknife kibria-lukman estimator for the beta regression model. Communications in Statistics-Theory and Methods, 53(21):7789-7805.
27.Kyriazos, T. and Poga, M. (2023). Dealing with multicollinearity in factor analysis: the problem, detections, and solutions. Open Journal of Statistics, 13(3):404-424.
28.Liu, K. (1993). A new class of biased estimate in linear regression. Communications in Statistics-Theory and Methods, 22(2):393-402.
29.Liu, K. (2003). Using liu-type estimator to combat collinearity. Communications in Statistics-Theory and Methods, 32(5):1009-1020.
30.Lukman, A. F., Ayinde, K., Binuomote, S., and Clement, O. A. (2019). Modified ridge-type estimator to combat multicollinearity: Application to chemical data. Journal of Chemometrics, 33(5):e3125.
31.Lukman, A. F., Ayinde, K., Kibria, B. M. G., and Adewuyi, E. T. (2022). Modified ridge-type estimator for the gamma regression model. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 51(9):50095023.
32.Lukman, A. F., Kibria, B. M. G., Ayinde, K., and Jegede, S. L. (2020). Modified one-parameter liu estimator for the linear regression model. Modelling and Simulation in Engineering, 2020:1-17.
33.Mahmood, S. W., Seyala, N. N., and Algamal, Z. Y. (2020). Adjusted r2-type measures for beta regression model. Electron J Appl Stat Anal, 13(2):350-357.
34.Özkale, M. R. and Kaciranlar, S. (2007). The restricted and unrestricted two-parameter estimators. Communications in Statistics-Theory and Methods, 36(15):2707-2725.
35.Penrose, K. W., Nelson, A. G., and Fisher, A. G. (1985). Generalized body composition prediction equation for men using simple measurement techniques. Medicine & Science in Sports E Exercise, 17(2):189.
36.Qasim, M., Månsson, K., and Kibria, B. M. G. (2021). On some beta ridge regression estimators: method, simulation and application. Journal of Statistical Computation and Simulation, 91(9):1699-1712.
37.Segerstedt, B. (1992). On ordinary ridge regression in generalized linear models. Communications in Statistics-Theory and Methods, 21(8):2227-2246.
38.Stein, C. (1956). Inadmissibility of the usual estimator for the mean of a multivariate normal distribution. Technical report, Stanford University, Stanford, CA, USA.
39.Trenkler, G. and Toutenburg, H. (1990). Mean squared error matrix comparisons between biased esti-mators-an overview of recent results. Statistical papers, 31(1):165-179.
40.Tsagris, M. and Pandis, N. (2021). Multicollinearity. American journal of orthodontics and dentofacial orthopedics, 159(5):695-696.
© 2025 by the authors. Disclaimer/Publisher’s Note: The content in all publications reflects the views, opinions, and data of the respective individual author(s) and contributor(s), and not those of Sphinx Scientific Press (SSP) or the editor(s). SSP and/or the editor(s) explicitly state that they are not liable for any harm to individuals or property arising from the ideas, methods, instructions, or products mentioned in the content.

Journal: Modern Journal of Statistics, Volume: 1, Issue: 1
DOI: https://doi.org/10.64389/mjs.2025.01111
Publication Date: 2025-07-12

Research article

New Modified Liu Estimators to Handle the Multicollinearity in the Beta Regression Model: Simulation and Applications

Ali T. Hammad , Eslam H. Hafez , Usman Shahzad , Elif Yıldırım , Ehab M. Almetwally , B. M. Golam Kibria Department of Mathematics, Faculty of Science, Tanta University, Tanta 31527, Egypt; ali.taha@science.tanta.edu.eg Department of Accounting, College of Business Administration in Hawtat Bani Tamim, Prince Sattam bin Abdulaziz University, Hawtat Bani Tamim 16518, Saudi Arabia; e.hafez@psau.edu.sa Department of Management Science, College of Business Administration, Hunan University, Changsha 410082, China;usman.stat@yahoo.com Department of Statistics and Quality Coordinator, Konya Technical University, Konya 42250., Turkey; elifyildirim3123@gmail.com Department of Mathematics and Statistics, College of Science, Imam Mohammad Ibn Saud Islamic University (IMSIU), Riyadh 11432, Saudi Arabia; emalmetwally @imamu.edu.sa Department of Mathematics and Statistics, Florida International University, Miami, FL 33199, USA; kibriag @ fiu.edu* Correspondence: ali.taha@science.tanta.edu.eg

ARTICLE INFO

Keywords:

Beta regression model
Modified Liu estimator
Multicollinearity
Biased estimators
Ridge estimator

Mathematics Subject Classification:

62J05, 62J07, 62J10, 62J12

Important Dates:

Received: 3 June 2025
Revised: 7 July 2025
Accepted: 10 July 2025
Online: 12 July 2025
Copyright © 2025 by the authors. Published under Creative Commons Attribution (CC BY) license.

Abstract

The beta regression model (BRM) is widely used for analyzing bounded response variables, such as proportions, percentages. However, when multicollinearity exists among explanatory variables, the conventional maximum likelihood estimator (MLE) becomes unstable and inefficient. To address this issue, we propose new modified Liu estimators for the BRM, designed to enhance estimation accuracy in the presence of high multicollinearity among predictors. The proposed estimators extend the traditional Liu estimator by incorporating flexible biasing parameters, offering a more robust alternative to the MLE. Theoretical comparisons demonstrate the superiority of the new estimators over existing methods. Additionally, Monte Carlo simulations and real-world applications evidence their improved performance in terms of mean squared error (MSE) and mean absolute error (MAE). The results indicate that the proposed estimators significantly reduce estimation bias and variance under multicollinearity, providing more reliable regression coefficients.

1. Introduction

When the dependent variable follows a normal distribution, the linear regression model (LRM) is the standard modeling approach. However, if this normality assumption is violated, such as when the data follow exponential family distributions (e.g., beta, Poisson, gamma, or negative binomial), generalized linear models (GLMs) become more appropriate [16]. Among these, the beta regression model (BRM) is particularly useful for bounded response variables (e.g., proportions, rates) constrained within the interval ( 0,1 ), making it applicable across engineering, environmental sciences, medicine, and social research [19, 21]. While maximum likelihood estimation (MLE) is typically employed for BRM parameter estimation (offering advantages over ordinary least squares), conventional transformations, such as logit (logistic regression) or probit models, are often used to map [ 0,1 ]-bounded data onto the real line. Yet, these methods introduce interpretability challenges and may yield biased inferences due to asymmetrical distributions, especially in small samples. Thus, direct modeling via BRM avoids these pitfalls while preserving the natural scale of the dependent variable [10].
Multicollinearity remains a persistent challenge in regression analysis, particularly when examining relationships between highly correlated predictors. This phenomenon, first systematically studied by Frisch [20], manifests when explanatory variables share strong linear dependencies, leading to an ill-conditioned covariance matrix in MLE. The consequences are particularly problematic – inflated coefficient variances that compromise both the statistical significance and practical interpretation of parameter estimates. Traditional remedies like collecting additional observations, model respecification, or eliminating correlated variables often prove inadequate or impractical [40, 27, 15]. The issue becomes especially acute in beta regression modeling, which analyzes proportion-type responses bounded between 0 and 1 . While MLE serves as the standard estimation approach, its performance degrades severely under multicollinearity, producing unstable coefficients with excessive standard errors [6,17]. This has spurred the development of biased estimation techniques, most notably ridge regression proposed by Hoerl and Kennard [22] and its more sophisticated counterpart, the Liu estimator [28]. These shrinkage methods, particularly valuable in chemical and biological applications where collinearity is endemic, introduce controlled bias to improve estimation stability dramatically. The Liu estimator’s linear shrinkage function offers particular advantages over traditional ridge approaches, explaining its widespread adoption and continued refinement in contemporary statistical practice.
The statistical literature has seen significant development of biased estimation methods as alternatives to traditional linear regression approaches. Among these, several notable estimators have emerged, including the Liu-type estimator [29], various ridge-type estimators [7, 14, 34], and specialized modifications like the modified ridge-type [30] and two-parameter ridge estimators [24]. The James-Stein estimator [38] and Kibria-Lukman estimator [25] represent additional approaches, along with Liu estimator variants including both one-parameter [32] and two-parameter [4] modifications. Within BRM, researchers have similarly expanded the estimation toolkit through important contributions. These include developments by Qasim et al. [36], extensions by Abonazel and Taha [6], and methodological improvements by Karlsson et al. [23]. Further advancements have been made through the work of Algamal and Abonazel [9], Amin et al. [12], and Erkoç et al. [17], with additional refinements proposed by Koç Dünder [26], Abdel-Fattah [1], and Lukman et al. [31].
Recent developments in regression analysis have shown increasing interest in using two-parameter estimators as effective methods to handle multicollinearity problems. Many studies [9, 5, 2] have consistently
reported that these two-parameter estimators perform better than single-parameter alternatives. Building on this foundation, the present study proposed modified Liu parameters for BRM. We propose a new modified one and two-parameter Liu estimator specifically designed to reduce the effects of multicollinearity in BRM. We present systematic methods for selecting the optimal parameters and conduct detailed performance comparisons using simulation and applications with existing methods, including MLE, ridge, and Liu estimators.
This paper is organized as follows: Section 2 introduces the beta distribution and its regression framework, reviewing existing biased estimators, including ridge and Liu approaches. Section 3 develops our proposed estimator, provides theoretical comparisons with existing methods, and derives the optimal biasing parameter. The simulation design and performance evaluation metrics are detailed in Section 4, while Section 5 demonstrates the practical utility of our method through a real-world case study. Finally, Section 6 summarizes key findings and discusses their implications for statistical practice.

2. Methodology

The BRM [19] analyzes bounded responses using link functions and precision parameter for dispersion control [33, 8]. For :
where , and denotes the gamma function. The distribution’s first two moments are given by:
Consider independent random variables , each following the beta distribution specified in Equation (2.1) with mean and precision parameter . The beta regression model relates the mean response to covariates through the logit link function:
where represents the link function, denotes the -dimensional parameter vector, contains the predictor variables, and is the linear predictor.
The beta regression parameters are estimated via MLE. The log-likelihood function takes the form:
The score function for is obtained by differentiating the log-likelihood:
where , and , with being the digamma function. Parameter estimation typically employs either the Fisher scoring algorithm or iteratively reweighted least squares (IRLS), with updates given by:
where represents the Fisher information matrix. The MLE takes the form:
with , and weight matrix where:
where , and represent the estimated quantities of , and respectively, evaluated at the MLE of and [19].
Let be the orthogonal matrix composed of eigenvectors of the matrix, where is the design matrix and is the estimated weight matrix. The performance of any estimator can be evaluated through its matrix mean squared error (MMSE) and scalar mean squared error (MSE), defined respectively as:
For the Beta Maximum Likelihood estimator , these metrics take the specific forms:
where is the diagonal matrix of eigenvalues and represents the -th eigenvalue of .
To mitigate multicollinearity issues in GLMs, Segerstedt [37] developed a Ridge estimator building upon the foundational work of Hoerl and Kennard [22]. In the context of BRM, where correlated predictors compromise the stability of MLE, Abonazel and Taha [6] introduced a specialized ridge estimator. The BRM ridge estimator (BRRE) is formally expressed as:
where denotes the ridge parameter and represents the ( ) identity matrix. Notably, when , the BRRE reduces to the standard MLE. The statistical properties of this estimator are characterized by:
The precision of the BRRE is quantified through its MMSE:
where . The scalar MSE is obtained by applying the trace operator:
Here, represents the transformed parameter vector.
To address multicollinearity challenges in BRM, Karlsson et al. [23] proposed the Beta Liu Estimator (BLE), demonstrating superior performance compared to traditional BRRE. The BLE is formally defined as:
where represents the shrinkage parameter that governs the estimator’s behavior:
  • At , the BLE simplifies to the MLE.
  • For , the BLE produces shrunken coefficients, effectively mitigating multicollinearity effects.
The statistical properties of the BLE are characterized by:
The precision of the BLE is quantified through its MMSE:
The scalar MSE is obtained as:

3. Proposed Estimators

In this section, we present modified one- and two-parameter Liu estimators for BRM, provide a theoretical comparison with existing estimators, and discuss methods for selecting optimal biasing parameters.

3.1. Beta modified one-parameter Liu estimator

Building upon the foundational work of Lukman et al. [32] and [11], we introduce an enhanced Beta modified one-parameter Liu estimator (BMOPLE) for the beta regression model. The proposed estimator is formally defined as:
where represents the modified Liu parameter that controls the shrinkage intensity. This modification demonstrates superior performance in addressing multicollinearity compared to conventional MLE, BRRE, and BLE approaches, as evidenced by reduced mean squared error.
The statistical properties of BMOPLE are characterized by:
The precision of BMOPLE is quantified through its MMSE:
The scalar MSE is obtained as:

3.2. Beta modified two-parameter Liu estimator

Building upon the theoretical framework established by Abonazel [3, 4], we introduce an enhanced Beta modified two-parameter Liu estimator (BMTPLE) for the BRM. This advanced estimator employs a two-parameter to optimize the bias-variance tradeoff in multicollinear designs:
The statistical properties of the BMTPLE are characterized by:
The precision metrics are given by:
The optimal shrinkage parameters are derived through minimization of the MSE:

3.3. Theoretical comparison using MMSE and scalar MSE

We present two fundamental lemmas that underpin our comparative analysis of estimator performance:
Lemma 1. For any positive definite matrix and vector , the following inequality holds iff , where denotes positive semidefiniteness. This result extends the work of [18] on quadratic forms in statistical estimation.
Lemma 2. Consider two linear estimators and of parameter vector . When the covariance matrix difference is positive definite, the following equivalence holds for their MMSE MMSE , iff the quadratic form , where denotes the bias vector of , and . This generalizes the results of [39] on comparative estimator efficiency.
Theorem 1. , iff , and for and , where .
Proof:
Using Lemma(2), MMSE , iff , under the assumption that is a positive definite (pd) matrix ( ). Therefor , if , and this is achieved when for and . This means that is better than iff and .
Theorem 2. MMSE , iff and for , and , where .
Proof:
Using Lemma(2), MMS MMS , iff , under the assumption that . Therefor , if , and this is achieved when for , and . This means that is better than iff and for , and .
Theorem 3. MMSE , iff and for , and , where .
Proof:
Using Lemma(2), MMS MMS , iff , under the assumption that . Therefor , if and this is achieved when for , and . This means that is better than iff and for , and .
Theorem 4. , iff and for , and , where .
Proof:
Using Lemma(2), MMS , iff , under the assumption that . Therefor , if and this is achieved when for , and . This means that is better than iff and for , and .

3.4. Selection of biasing parameter

Building upon Qasim et al. [36] and Abonazel and Taha [6], we consider several optimal ridge parameter ( ) formulations:
Recent work by Karlsson et al. [23] and Lukman et al. [31] provides two optimal Liu parameter (d) estimators:
For the modified one-parameter Liu parameter , Lukman et al. [32] and Abonazel et al. [5] propose:
Extending the work of Abonazel et al. [5, 3], we introduce several novel parameter estimators for the modified two-parameter Liu estimator as follows:
with the following values of the parameter :
where .

4. Monte Carlo Simulation

To rigorously evaluate estimator performance, we conducted an extensive Monte Carlo simulation comparing our proposed BMTPLE and MOPLE against established alternatives: the standard MLE, MRRE, and BLE. All simulations were implemented in R using the betareg package, ensuring reproducibility and alignment with standard statistical practice.
The simulation design carefully replicates common real-world scenarios where BRM is applied. For each observation , we generate the response variable from a beta distribution , where represents the mean parameter linked to covariates through the logistic function:
The precision parameter takes values in to examine different dispersion scenarios. The true parameter vector is constructed with equal coefficients normalized to satisfy , representing a standardized effect size configuration.
Covariates are generated to induce controlled multicollinearity:
where are independent standard normal variates and governs the pairwise correlation structure among predictors. We examine a comprehensive factorial design that incorporates various experimental conditions, including sample sizes , predictor dimensions , correlation levels , and dispersion parameters .
The simulated MSE and MAE serve as our primary performance metric, computed respectively as
where denotes the parameter estimate from the -th replication, represents the true parameter vector, and is the number of replicates, equal to 2000.
Table 1. Simulated MSE values for biasing estimators in BRM when and .
n BRRE BLE BMOPLE BMTPLE
MLE
0.80 30 0.59865 0.54371 0.49854 0.56211 0.39102 0.39102 0.37994 0.33192 0.20262 0.34711 0.28845
75 0.19933 0.19256 0.18632 0.19933 0.17260 0.17260 0.16869 0.15986 0.09519 0.16513 0.15060
150 0.11661 0.11402 0.11265 0.11661 0.10658 0.10658 0.10331 0.09981 0.08418 0.10228 0.09610
200 0.11329 0.11116 0.10977 0.11329 0.10491 0.10491 0.10251 0.09944 0.07102 0.10162 0.09612
300 0.09902 0.09755 0.09668 0.09902 0.09322 0.09322 0.09092 0.08876 0.06318 0.09028 0.08641
400 0.06504 0.06430 0.06370 0.06504 0.06210 0.06210 0.06054 0.05951 0.05806 0.06027 0.05837
0.85 30 0.84338 0.76349 0.71370 0.73158 0.52125 0.52125 0.49182 0.42789 0.24850 0.43504 0.36954
75 0.30541 0.29075 0.27662 0.30094 0.24410 0.24410 0.23899 0.22051 0.13431 0.23153 0.20178
150 0.20878 0.20105 0.19498 0.20878 0.17764 0.17764 0.17393 0.16354 0.09076 0.17027 0.15263
200 0.12849 0.12535 0.12227 0.12849 0.11648 0.11648 0.11359 0.10901 0.06146 0.11215 0.10409
300 0.11050 0.10836 0.10621 0.11050 0.10211 0.10211 0.09953 0.09637 0.05833 0.09861 0.09294
400 0.10401 0.10245 0.10122 0.10401 0.09716 0.09716 0.09518 0.09275 0.06649 0.09466 0.09009
0.90 30 0.97613 0.85885 0.74545 0.71295 0.50368 0.50368 0.48818 0.40588 0.42283 0.42927 0.33484
75 0.44011 0.40812 0.37435 0.42929 0.30917 0.30917 0.30259 0.26617 0.17612 0.28607 0.23098
150 0.25209 0.24082 0.23379 0.25209 0.20571 0.20571 0.20091 0.18573 0.10259 0.19494 0.17021
200 0.15451 0.14963 0.14485 0.15451 0.13449 0.13449 0.13113 0.12405 0.04949 0.12798 0.11656
300 0.17619 0.17159 0.16822 0.17619 0.15751 0.15751 0.15411 0.14728 0.08178 0.15207 0.13996
400 0.12033 0.11756 0.11509 0.12033 0.10948 0.10948 0.10656 0.10225 0.05919 0.10534 0.09764
0.95 30 1.95145 1.61153 1.33847 0.74971 0.63125 0.63125 0.60304 0.46309 0.75117 0.46704 0.36082
75 0.77058 0.68403 0.59467 0.67190 0.40887 0.40887 0.39664 0.32293 0.29066 0.34976 0.25791
150 0.65448 0.61273 0.57333 0.46494 0.40631 0.40631 0.39867 0.35792 0.26362 0.37198 0.31806
200 0.46969 0.44678 0.43155 0.39893 0.33836 0.33836 0.33232 0.30280 0.20512 0.31955 0.27328
300 0.30380 0.28634 0.26932 0.30325 0.23318 0.23318 0.22857 0.20623 0.09539 0.21881 0.18363
400 0.24916 0.23768 0.22492 0.24784 0.20084 0.20084 0.19702 0.18129 0.09088 0.19109 0.16502
0.99 30 14.14444 10.76913 9.79942 1.91565 0.41671 0.41671 0.38925 0.27750 2.31218 0.16890 0.22069
75 3.78885 3.02737 2.62939 0.37407 0.53995 0.53995 0.50980 0.34694 1.03086 0.26050 0.24739
150 2.29274 1.84316 1.52954 0.57198 0.48478 0.48478 0.45777 0.30119 0.79692 0.29312 0.19747
200 1.70053 1.41316 1.18927 0.70098 0.49920 0.49920 0.47538 0.33489 0.64845 0.35025 0.23149
300 1.34593 1.15361 0.98523 0.75240 0.48773 0.48773 0.46838 0.34919 0.63455 0.38140 0.25647
400 1.06164 0.90709 0.76542 0.74014 0.42958 0.42958 0.41236 0.30474 0.42084 0.33755 0.21832
Our simulation study demonstrates the BMTPLE estimator’s consistent superiority over conventional methods (MLE, BRRE, BLE, BMOPLE) across all tested conditions, as shown in Tables 1-8. The dualparameter shrinkage approach yields significant improvements, particularly in high-multicollinearity scenarios and moderate sample sizes . The parameterization reduces MAE by and MSE by relative to MLE benchmarks.
Increasing correlation levels reveal BMTPLE’s robustness, limiting MAE increases to versus for MLE. The configuration shows particular effectiveness in extreme collinearity ( ), confirming the advantage of combined ridge-Liu shrinkage.
While all estimators benefit from larger samples ( ), BMTPLE maintains superior performance throughout. Most notable improvements occur at ( MAE reduction), with persistent advantages ( MSE reduction) even at .
The performance gap widens substantially in higher dimensions ( vs ), where BMTPLE achieves lower MAE compared to MLE. Traditional BRRE shows particular instability when and .
BMTPLE exhibits greater stability across dispersion levels ( vs 1.5 ), with smaller MAE
Table 2. Simulated MSE values for biasing estimators in BRM when and .
n BRRE BLE BMOPLE BMTPLE
MLE
0.80 30 0.64750 0.52111 0.42427 0.45862 0.45128 0.40733 0.41213 0.38837 0.16780 0.38943 0.35503
75 0.15702 0.14471 0.13449 0.15652 0.14051 0.13388 0.12976 0.12605 0.06906 0.12810 0.12061
150 0.09021 0.08601 0.08350 0.09021 0.08440 0.08332 0.07876 0.07751 0.07712 0.07827 0.07564
200 0.08276 0.07930 0.07664 0.08276 0.07808 0.07656 0.07295 0.07186 0.05689 0.07260 0.07017
300 0.07660 0.07372 0.07153 0.07660 0.07262 0.07149 0.06802 0.06704 0.04608 0.06769 0.06554
400 0.04074 0.03973 0.03887 0.04074 0.03938 0.03885 0.03680 0.03649 0.04957 0.03668 0.03601
0.85 30 0.56840 0.44911 0.38988 0.42134 0.38533 0.37133 0.32529 0.30210 0.12344 0.29520 0.27365
75 0.21368 0.18830 0.16699 0.20885 0.17881 0.16503 0.16601 0.15803 0.05910 0.16179 0.14713
150 0.15136 0.13888 0.12834 0.14881 0.13404 0.12771 0.12515 0.12109 0.05286 0.12348 0.11523
200 0.09343 0.08869 0.08489 0.09343 0.08696 0.08478 0.08055 0.07892 0.04151 0.07996 0.07648
300 0.08379 0.07984 0.07630 0.08379 0.07835 0.07620 0.07292 0.07153 0.03097 0.07235 0.06944
400 0.06466 0.06230 0.06021 0.06466 0.06149 0.06016 0.05690 0.05612 0.03517 0.05666 0.05490
0.90 30 0.83745 0.61988 0.46531 0.46258 0.48474 0.42572 0.43904 0.39826 0.17644 0.39233 0.35028
75 0.39174 0.32949 0.27112 0.33751 0.29292 0.26584 0.27448 0.25572 0.09356 0.26294 0.23160
150 0.17707 0.15849 0.14698 0.17696 0.15092 0.14570 0.13695 0.13083 0.04159 0.13374 0.12243
200 0.12556 0.11622 0.10920 0.12541 0.11262 0.10893 0.10354 0.10031 0.03265 0.10212 0.09563
300 0.09785 0.09181 0.08699 0.09785 0.08955 0.08680 0.08262 0.08047 0.02875 0.08167 0.07733
400 0.08634 0.08165 0.07753 0.08634 0.07989 0.07738 0.07356 0.07187 0.02584 0.07289 0.06935
0.95 30 1.68443 1.09561 0.77204 0.48652 0.68062 0.62751 0.57881 0.50033 0.32582 0.44611 0.42852
75 0.73111 0.54663 0.39375 0.47995 0.43239 0.36634 0.39682 0.35168 0.12190 0.35665 0.30196
150 0.37054 0.30386 0.24197 0.31657 0.26622 0.23681 0.24696 0.22742 0.07983 0.23379 0.20314
200 0.27551 0.23754 0.21064 0.26342 0.21795 0.20874 0.19910 0.18651 0.05127 0.19220 0.17011
300 0.25655 0.22332 0.19001 0.24689 0.20769 0.18726 0.19444 0.18341 0.04651 0.18890 0.16850
400 0.18348 0.16438 0.14629 0.17802 0.15497 0.14527 0.14403 0.13731 0.03603 0.14085 0.12803
0.99 30 6.93854 2.90235 2.26384 0.86870 0.32289 0.31842 0.21776 0.15566 0.44098 0.16182 0.13505
75 2.91424 1.59392 1.11270 0.18493 0.51965 0.49462 0.41557 0.30699 0.41887 0.19873 0.24476
150 2.16375 1.39194 1.02453 0.29387 0.57347 0.52891 0.48072 0.37903 0.35615 0.30998 0.30361
200 1.52260 1.01553 0.71168 0.39518 0.54538 0.49432 0.47786 0.39059 0.31249 0.36324 0.31620
300 1.28047 0.88479 0.59777 0.48224 0.54690 0.48200 0.48736 0.40500 0.25899 0.39680 0.33012
400 0.98168 0.69490 0.48538 0.47849 0.47422 0.41223 0.42778 0.36201 0.18815 0.36141 0.29878
increases than alternatives. Optimal parameterization varies by condition: for for .
The and parameterizations emerge as optimal choices, showing consistent performance with minimal variability. This reliability, combined with modest computational requirements, makes BMTPLE particularly suitable for practical applications.
BMTPLE represents a robust alternative for BRM. The method’s consistent performance across diverse conditions suggests its potential as a default estimation approach for BRM.

5. Applications

We demonstrate the practical utility of our proposed BMTPLE estimator through two substantive applications from distinct domains. These empirical investigations serve to validate the simulation findings and illustrate the method’s effectiveness in real-data scenarios with inherent multicollinearity.
Table 3. Simulated MSE values for biasing estimators in BRM when and .
n BRRE BLE BMTPLE
MLE BMOPLE
0.80 30 2.64169 2.40458 2.10650 1.77960 1.33606 1.33567 1.29169 1.14548 0.45200 0.99216 0.80629
75 1.10480 1.07215 1.04870 0.65330 0.64745 0.64745 0.60047 0.56443 0.16792 0.51434 0.46595
150 0.47603 0.46338 0.45160 0.46713 0.41723 0.41720 0.39379 0.37521 0.11558 0.37783 0.32299
200 0.33721 0.33028 0.32274 0.33721 0.30710 0.30710 0.28923 0.27844 0.07285 0.28030 0.24701
300 0.31110 0.30516 0.30200 0.28159 0.27915 0.27915 0.25681 0.24986 0.08806 0.24978 0.22903
400 0.28495 0.28147 0.27930 0.28080 0.26548 0.26548 0.25224 0.24652 0.08035 0.24759 0.22935
0.85 30 2.87692 2.63193 2.33615 1.87831 1.31017 1.30979 1.24291 1.08697 0.40597 0.92900 0.73996
75 1.08265 1.03854 0.99123 0.91909 0.78523 0.78523 0.75382 0.70133 0.14955 0.67579 0.56095
150 0.53274 0.51535 0.50001 0.53274 0.45060 0.45060 0.42550 0.40029 0.10548 0.40236 0.33068
200 0.39951 0.38841 0.37884 0.39951 0.35090 0.35090 0.32722 0.31093 0.06772 0.31213 0.26458
300 0.44089 0.43337 0.42737 0.39901 0.38634 0.38634 0.36734 0.35644 0.09867 0.35664 0.32423
400 0.24624 0.24185 0.23885 0.24624 0.22792 0.22792 0.21241 0.20523 0.04804 0.20649 0.18411
0.90 30 4.48462 3.90853 3.34183 1.76829 1.52439 1.52439 1.48083 1.25481 0.83019 0.89733 0.82254
75 1.57276 1.47943 1.32581 1.50402 1.06089 1.06089 1.02829 0.92375 0.28273 0.89047 0.66320
150 0.76350 0.72929 0.69584 0.76350 0.59480 0.59480 0.56200 0.51623 0.10481 0.51124 0.39543
200 0.66836 0.64669 0.62930 0.61539 0.54225 0.54225 0.50468 0.47474 0.08066 0.46773 0.39156
300 0.65632 0.64172 0.62826 0.59069 0.54129 0.54129 0.51659 0.49443 0.13431 0.49182 0.43091
400 0.40050 0.39055 0.38242 0.40050 0.35514 0.35514 0.33309 0.31729 0.05772 0.31926 0.27206
0.95 30 8.66006 7.30329 6.04024 1.49363 1.63259 1.63259 1.59365 1.31432 0.98935 0.56670 0.81276
75 2.43238 2.22344 1.93829 2.07747 1.24529 1.24529 1.21509 1.04092 0.39006 0.90334 0.65857
150 1.79797 1.66360 1.47969 1.71622 1.06254 1.06254 1.03175 0.89822 0.29090 0.82312 0.58913
200 1.26987 1.19753 1.09461 1.24894 0.88111 0.88111 0.84936 0.76029 0.15425 0.73623 0.53766
300 0.87923 0.83916 0.79237 0.86756 0.66557 0.66557 0.63796 0.58192 0.11254 0.57548 0.43693
400 2.40333 2.34172 2.30651 1.08319 0.98300 0.98300 0.91888 0.86690 0.11773 0.75832 0.72395
0.99 30 46.53267 39.13653 33.84793 4.56365 1.02191 1.02191 1.00490 0.82855 3.30725 2.53352 0.53972
75 14.31168 12.59060 10.78966 1.09636 1.51731 1.51731 1.49352 1.19007 1.50903 0.26156 0.65130
150 8.56375 7.60768 6.50498 1.79189 1.48829 1.48829 1.46132 1.15434 1.17424 0.45137 0.61263
200 5.91519 5.27114 4.47002 2.37686 1.52570 1.52570 1.50343 1.19409 0.65663 0.65281 0.60015
300 4.52595 4.08005 3.41682 2.63069 1.53344 1.53327 1.58315 1.23394 0.75394 0.87444 0.67794
400 5.78554 5.40341 4.89124 2.76026 1.70205 1.70205 1.67444 1.41825 0.64502 0.98075 0.88845
Figure 1. Histogram of the response variable in the body fat dataset.
Figure 2. Histogram of the response variable in purchasing power parity dataset.
Table 4. Simulated MSE values for biasing estimators in BRM when and .
n BRRE BLE BMTPLE
MLE BMOPLE
0.80 30 1.83877 1.44699 1.06422 1.18693 1.14327 0.97437 1.01112 0.92170 0.30634 0.77951 0.71436
75 0.57997 0.53073 0.47991 0.54481 0.49251 0.46933 0.44340 0.42461 0.09565 0.41621 0.36792
150 0.30259 0.28380 0.26640 0.30167 0.27454 0.26559 0.24252 0.23418 0.06719 0.23253 0.20836
200 0.22476 0.21404 0.20312 0.22476 0.20937 0.20280 0.18487 0.18010 0.05297 0.17933 0.16465
300 0.21275 0.20346 0.19590 0.21275 0.19948 0.19574 0.17411 0.16995 0.04857 0.16944 0.15625
400 0.14582 0.14092 0.13678 0.14582 0.13892 0.13671 0.12238 0.12012 0.04721 0.12006 0.11256
0.85 30 1.82500 1.45547 1.07658 1.18792 1.12901 1.00693 1.01537 0.92390 0.29687 0.78769 0.71469
75 0.65561 0.58562 0.51427 0.64153 0.53991 0.50876 0.47695 0.45069 0.08164 0.43515 0.37568
150 0.42016 0.38795 0.35740 0.41946 0.37053 0.35598 0.32902 0.31539 0.07141 0.31158 0.27418
200 0.37313 0.34939 0.32569 0.36966 0.33489 0.32380 0.29477 0.28452 0.04316 0.28121 0.25220
300 0.23383 0.22290 0.21314 0.23383 0.21750 0.21286 0.19323 0.18803 0.04010 0.18735 0.17127
400 0.21292 0.20401 0.19618 0.21292 0.19981 0.19603 0.17672 0.17250 0.03321 0.17197 0.15862
0.90 30 4.26488 3.02389 2.07686 1.13010 1.65646 1.52159 1.42122 1.27032 0.71327 0.84827 0.97675
75 0.96233 0.82457 0.64968 0.85692 0.70945 0.62838 0.64029 0.58953 0.13196 0.55113 0.46057
150 0.68256 0.61024 0.53307 0.67437 0.56186 0.52849 0.50150 0.47141 0.07558 0.45728 0.38752
200 0.48817 0.45086 0.41836 0.45866 0.41998 0.40534 0.37401 0.35828 0.04965 0.35098 0.31104
300 0.33067 0.30821 0.28691 0.33067 0.29656 0.28614 0.26091 0.25065 0.03357 0.24815 0.21923
400 0.32034 0.30122 0.28391 0.32034 0.28935 0.28271 0.25730 0.24801 0.03325 0.24654 0.21915
0.95 30 7.49130 5.17984 3.59262 0.82873 1.99582 1.93539 1.71198 1.50775 0.71993 0.63689 1.14818
75 1.85635 1.47272 1.06156 1.24485 1.05443 0.96045 0.96265 0.85110 0.19345 0.69663 0.61571
150 1.52308 1.26653 0.97146 1.18191 0.98375 0.89465 0.89512 0.80985 0.15599 0.70891 0.60865
200 1.15016 1.01552 0.84704 0.93563 0.82545 0.75061 0.75308 0.70096 0.09803 0.65054 0.56469
300 0.76535 0.67981 0.57337 0.75647 0.61234 0.56729 0.55279 0.51534 0.05813 0.49717 0.41425
400 0.59861 0.53845 0.47632 0.59506 0.49941 0.47339 0.44629 0.42078 0.04042 0.40916 0.34876
0.99 30 34.72324 22.88346 16.87703 7.82112 1.20571 1.20513 1.11674 0.95281 1.61605 2.77552 0.74712
75 10.10960 6.90541 4.55026 0.43189 1.59396 1.58933 1.44447 1.18678 0.72038 0.21227 0.80404
150 5.68694 3.97307 2.61869 0.85581 1.38724 1.35887 1.26837 1.02548 0.47350 0.33012 0.66594
200 5.18955 3.97351 2.78364 1.22267 1.64480 1.59475 1.51056 1.27291 0.33539 0.61082 0.86192
300 5.04496 4.19987 3.30905 1.48063 1.82360 1.74464 1.71323 1.50816 0.32844 0.92600 1.11495
400 3.00386 2.30031 1.54180 1.42011 1.31878 1.24651 1.21399 1.03222 0.25264 0.70063 0.68973

5.1. Body fat dataset

Our first empirical application utilizes the Penrose body fat dataset, originally developed by [35] and subsequently analyzed by [12]. This comprehensive dataset contains anthropometric measurements from 252 adult males, featuring a response variable (percentage body fat measured through hydrostatic weighing) and thirteen standardized predictors. The explanatory variables include age, weight, height, and ten body circumference measurements (neck, chest, abdomen, hip, thigh, knee, ankle, biceps, forearm, and wrist), all rescaled by a factor of 100 . This dataset has become particularly valuable for methodological research due to its well-documented multicollinearity patterns among physiological measurements, making it an ideal test case for evaluating regression techniques in high-dimensional settings with correlated predictors.
The analysis focuses on body fat percentage , measured via hydrostatic weighing as the response variable. The predictor set comprises thirteen anthropometric measurements: age in years ( ), weight in pounds ( ), height in inches ( ), and ten standardized circumference measurements in centimeters (neck , chest , abdomen , hip , thigh , knee , ankle , biceps , forearm , and wrist ). This comprehensive collection of physiological variables enables rigorous examination of body composition determinants through regression modeling.
Table 5. Simulated MAE values for biasing estimators in BRM when and .
n BRRE BLE BMOPLE BMTPLE
MLE
0.80 30 1.26890 1.21011 1.16031 1.20732 1.03130 1.03130 1.01514 0.95288 0.76332 0.97479 0.89002
75 0.77041 0.75887 0.74864 0.75442 0.71742 0.71742 0.70911 0.69288 0.49775 0.70035 0.67491
150 0.56644 0.56054 0.55783 0.56644 0.54263 0.54263 0.53418 0.52629 0.47117 0.53091 0.51789
200 0.52310 0.51826 0.51524 0.52310 0.50332 0.50332 0.49575 0.48843 0.41674 0.49314 0.48034
300 0.43000 0.42691 0.42524 0.43000 0.41782 0.41782 0.41142 0.40756 0.40672 0.41009 0.40343
400 0.38469 0.38281 0.38136 0.38469 0.37719 0.37719 0.37225 0.36990 0.38241 0.37145 0.36739
0.85 30 1.30810 1.24576 1.20842 1.24582 1.04219 1.04219 1.00798 0.93671 0.71812 0.95073 0.86658
75 0.83302 0.81311 0.79574 0.83276 0.75189 0.75189 0.74226 0.71360 0.50549 0.72905 0.68296
150 0.68893 0.67727 0.66926 0.68264 0.63840 0.63840 0.63076 0.61395 0.48316 0.62444 0.59557
200 0.54907 0.54235 0.53621 0.54907 0.52213 0.52213 0.51180 0.50194 0.35977 0.50785 0.49111
300 0.55313 0.54809 0.54369 0.54569 0.52959 0.52959 0.52149 0.51393 0.38609 0.51844 0.50570
400 0.42353 0.42048 0.41842 0.42353 0.41147 0.41147 0.40400 0.39959 0.35302 0.40234 0.39473
0.90 30 1.50798 1.41596 1.32717 1.38089 1.13144 1.13144 1.11369 1.01769 0.90307 1.04158 0.92667
75 1.07544 1.03594 0.99610 1.05919 0.90533 0.90533 0.89427 0.84024 0.58383 0.86522 0.78462
150 0.73651 0.72044 0.71134 0.73478 0.67191 0.67191 0.65957 0.63608 0.45720 0.64867 0.61132
200 0.64727 0.63728 0.62742 0.64727 0.60640 0.60640 0.59650 0.58102 0.41143 0.59072 0.56409
300 0.57866 0.57122 0.56644 0.57866 0.54915 0.54915 0.53948 0.52791 0.36816 0.53474 0.51542
400 0.48391 0.47819 0.47374 0.48391 0.46099 0.46099 0.45213 0.44319 0.32209 0.44841 0.43341
0.95 30 2.21446 2.01660 1.86012 1.45822 1.30063 1.30063 1.27175 1.10764 1.26915 1.10171 0.96908
75 1.35220 1.27356 1.19147 1.27807 1.01037 1.01037 0.99433 0.89924 0.76877 0.93379 0.80541
150 1.04495 1.00075 0.95115 1.02642 0.85214 0.85214 0.84115 0.77941 0.55689 0.80644 0.71580
200 0.92189 0.89427 0.87577 0.91667 0.80368 0.80368 0.79104 0.75017 0.48922 0.77079 0.70707
300 0.85298 0.83027 0.80871 0.84762 0.75570 0.75570 0.74545 0.71122 0.49074 0.72970 0.67501
400 0.79826 0.78059 0.76236 0.79611 0.72201 0.72201 0.71300 0.68549 0.42665 0.70069 0.65556
0.99 30 4.98237 4.02670 3.65209 1.20783 0.95493 0.95493 0.90750 0.70453 1.96597 0.65548 0.62437
75 2.66201 2.29381 2.06339 0.97448 1.04133 1.04133 1.00287 0.76464 1.32552 0.67422 0.60921
150 2.16989 1.91179 1.70775 1.22874 1.04703 1.04703 1.01357 0.79476 1.19352 0.79766 0.62365
200 2.00388 1.81862 1.65616 1.37323 1.12428 1.12428 1.09644 0.90877 1.10854 0.92943 0.74470
300 1.76347 1.61660 1.47441 1.39948 1.08422 1.08422 1.06010 0.89471 0.99288 0.93438 0.74544
400 1.43292 1.32006 1.20648 1.26329 0.94104 0.94104 0.92157 0.78702 0.87413 0.83422 0.66296
The response variable represents a proportion bounded within the interval , rendering it appropriate for BRM as visually confirmed by the distributional characteristics shown in Figure 1. Diagnostic analysis reveals substantial multicollinearity concerns, evidenced by a condition number of 582.994, significantly exceeding the conventional threshold of 100 that indicates severe collinearity. The correlation structure presented in Figure 3 further substantiates these findings, demonstrating strong pairwise associations among predictor variables. These diagnostic results collectively emphasize the necessity of employing specialized estimation techniques that account for high multicollinearity when analyzing this dataset.
Table 9 shows the results from analyzing the body fat dataset. The findings clearly show that the proposed BMTPLE estimator performs much better than traditional methods. For example, the MSE dropped from 2056.14 (with MLE) to 205.37265 (with BMOPLE and BLE) and 194.08 (with BMTPLE using ), which is a decrease in prediction error. This shows that BMTPLE is very effective in dealing with severe multicollinearity.
Looking at the estimated coefficients, the BMTPLE method gives much smaller absolute values than the MLE (for example, vs -0.50 ), meaning it reduces the inflation caused by multicollinearity. Among all versions of BMTPLE, the one using gives the lowest MSE (194.08), followed closely by
Table 6. Simulated MAE values for biasing estimators in BRM when and .
n BRRE BLE BMOPLE BMTPLE
MLE
0.80 30 1.20102 1.07942 0.98547 1.08296 1.02293 0.96531 0.97588 0.94226 0.62152 0.94757 0.89928
75 0.62847 0.60414 0.58393 0.62730 0.59557 0.58287 0.57232 0.56453 0.37666 0.56788 0.55293
150 0.51808 0.50642 0.49982 0.51759 0.50141 0.49922 0.48011 0.47635 0.42131 0.47791 0.47063
200 0.43898 0.43010 0.42358 0.43898 0.42707 0.42339 0.40950 0.40650 0.35109 0.40813 0.40193
300 0.40067 0.39413 0.38952 0.40067 0.39183 0.38941 0.37596 0.37389 0.34327 0.37495 0.37065
400 0.35227 0.34725 0.34287 0.35227 0.34530 0.34281 0.33175 0.33033 0.34379 0.33117 0.32812
0.85 30 1.29082 1.14369 1.06572 1.12278 1.06996 1.04902 0.97668 0.94023 0.61021 0.93130 0.89322
75 0.77078 0.72884 0.68939 0.75566 0.71008 0.68611 0.68414 0.66958 0.41418 0.67628 0.64902
150 0.59981 0.57739 0.55954 0.59750 0.56842 0.55842 0.54543 0.53721 0.35768 0.54114 0.52513
200 0.47472 0.46222 0.45158 0.47472 0.45728 0.45126 0.43833 0.43380 0.28064 0.43616 0.42688
300 0.46021 0.45001 0.44109 0.46021 0.44611 0.44082 0.42718 0.42331 0.28716 0.42543 0.41763
400 0.38468 0.37836 0.37286 0.38468 0.37614 0.37272 0.35942 0.35713 0.31092 0.35839 0.35365
0.90 30 1.30178 1.10559 0.96340 1.07195 1.00405 0.92915 0.94412 0.88769 0.58647 0.88698 0.82756
75 0.96578 0.88232 0.80354 0.92726 0.84532 0.79315 0.81235 0.78363 0.41246 0.79397 0.74563
150 0.63534 0.60321 0.58304 0.63420 0.58954 0.58125 0.56047 0.54819 0.31942 0.55370 0.53116
200 0.60767 0.58567 0.56800 0.60640 0.57645 0.56731 0.55273 0.54439 0.30102 0.54871 0.53203
300 0.47539 0.46180 0.45121 0.47506 0.45638 0.45070 0.43631 0.43145 0.26779 0.43399 0.42409
400 0.47170 0.45928 0.44790 0.47170 0.45459 0.44747 0.43534 0.43064 0.23023 0.43299 0.42350
0.95 30 1.83005 1.45630 1.23577 1.11463 1.20225 1.11250 1.10589 1.01648 0.81747 0.97654 0.94343
75 1.22700 1.06302 0.91647 1.04476 0.96104 0.88208 0.91804 0.86359 0.51272 0.87100 0.80155
150 0.95041 0.86043 0.77576 0.88779 0.80639 0.76242 0.77515 0.74219 0.36077 0.75068 0.69980
200 0.76013 0.70537 0.66685 0.75018 0.68067 0.66416 0.64638 0.62588 0.31795 0.63473 0.59833
300 0.71381 0.66860 0.62383 0.70786 0.64736 0.61985 0.62263 0.60483 0.30424 0.61284 0.58049
400 0.61864 0.58643 0.55712 0.61486 0.57235 0.55512 0.54826 0.53551 0.26198 0.54147 0.51749
0.99 30 4.24659 2.70318 2.33588 1.38630 1.02027 1.00096 0.80996 0.69668 1.06858 0.66460 0.65892
75 2.49576 1.77818 1.42915 0.72584 1.10011 1.04701 0.96446 0.79525 0.85047 0.63058 0.70803
150 1.85836 1.37046 1.05028 0.87711 1.00082 0.91331 0.90461 0.76735 0.67982 0.70980 0.67580
200 1.52931 1.17794 0.91059 1.00260 0.94180 0.82212 0.86911 0.75558 0.56272 0.74145 0.66780
300 1.53819 1.24739 1.00811 1.06542 1.02429 0.91281 0.96187 0.86691 0.55260 0.85668 0.77820
400 1.34894 1.11942 0.91973 1.01351 0.95024 0.86294 0.89853 0.82166 0.52176 0.82139 0.74386
(196.21), which shows that these settings work especially well. The abdomen ( ) and thigh ( ) variables consistently have large coefficients in all methods, confirming their known importance in estimating body fat. The wrist variable ( ) shows strong shrinkage (from -8.70 to -0.50 ), likely because it is highly correlated with other body measurements.
Overall, the large drop in MSE shows that BMTPLE is useful in studies of body composition. Its consistent results across different parameter choices show that it is reliable. The coefficient values also match known biological facts, which supports the method’s credibility. These results strongly suggest that BMTPLE is a good choice for predicting body fat, especially when using measurements that are often closely related.

5.2. Purchasing power parity dataset

The second empirical application utilizes the purchasing power parity dataset, this data was originally sourced from Coakley et al. [13]. The dataset focuses on the analysis of purchasing power parity and other key parity relationships in international economics. It comprises a panel of 104 quarterly observations,
Table 7. Simulated MAE values for biasing estimators in BRM when and .
n BRRE BLE BMTPLE
MLE BMOPLE
0.80 30 3.24799 3.08053 2.85583 2.94721 2.41087 2.41070 2.35742 2.18861 1.33807 2.05595 1.76812
75 1.74786 1.71512 1.68389 1.74414 1.59687 1.59687 1.54989 1.49964 0.79421 1.49936 1.35277
150 1.40415 1.38557 1.37019 1.40415 1.32853 1.32827 1.28713 1.25726 0.72518 1.26156 1.16980
200 1.22838 1.21521 1.20215 1.22838 1.17186 1.17186 1.13117 1.10977 0.56402 1.11263 1.04520
300 1.13470 1.12453 1.11817 1.13470 1.09200 1.09200 1.05431 1.03685 0.60762 1.04026 0.98387
400 1.06166 1.05424 1.04908 1.06166 1.02848 1.02848 0.99503 0.98221 0.64253 0.98517 0.94380
0.85 30 3.32003 3.15423 2.93653 3.01976 2.45603 2.45603 2.40995 2.24118 1.44773 2.11198 1.82642
75 1.94119 1.89526 1.84847 1.93804 1.71866 1.71866 1.67016 1.60078 0.75255 1.59290 1.40111
150 1.57452 1.54828 1.52645 1.57118 1.45563 1.45563 1.40841 1.36681 0.71037 1.36927 1.24424
200 1.46038 1.44062 1.42239 1.46002 1.37123 1.37123 1.32778 1.29490 0.63052 1.29809 1.19841
300 1.36833 1.35463 1.34384 1.36639 1.30397 1.30397 1.26249 1.23829 0.60330 1.24184 1.16469
400 1.18628 1.17595 1.16843 1.17376 1.13376 1.13376 1.09659 1.07906 0.54197 1.08061 1.02623
0.90 30 4.95111 4.59819 4.21426 3.04224 2.77626 2.77626 2.70271 2.46628 2.03762 2.05710 1.95137
75 2.52443 2.44233 2.32748 2.46072 2.08021 2.08021 2.02783 1.91455 0.96594 1.86849 1.60415
150 1.95810 1.91313 1.86840 1.95810 1.74215 1.74215 1.69180 1.61906 0.74618 1.61312 1.41014
200 1.68183 1.65411 1.63239 1.63469 1.53720 1.53720 1.49094 1.44564 0.64937 1.44350 1.31198
300 1.41144 1.39030 1.37342 1.41144 1.32072 1.32072 1.27195 1.23629 0.52391 1.23893 1.13070
400 1.36814 1.35116 1.33877 1.34238 1.27888 1.27888 1.23284 1.20340 0.54546 1.20130 1.11532
0.95 30 6.36047 5.86540 5.30170 2.70490 2.85906 2.85906 2.82608 2.54074 2.23691 1.72164 1.93672
75 3.47515 3.31046 3.08062 3.19764 2.48206 2.48206 2.44814 2.24615 1.33838 2.09381 1.73250
150 2.83382 2.71866 2.56583 2.79501 2.20403 2.20403 2.16392 2.00662 1.06873 1.92546 1.58642
200 2.33735 2.26664 2.17496 2.32031 1.95612 1.95612 1.90973 1.80133 0.82688 1.77198 1.49797
300 2.15647 2.10565 2.05004 2.10512 1.86854 1.86854 1.82478 1.74034 0.79401 1.73157 1.50232
400 1.93583 1.89494 1.85675 1.90890 1.72115 1.72115 1.67443 1.60643 0.63354 1.59843 1.40904
0.99 30 29.43032 28.09644 27.15978 20.76124 15.21159 15.21159 15.19198 14.96431 19.92645 16.52488 14.55843
75 7.76743 7.19508 6.52711 2.27509 2.61244 2.61244 2.58896 2.26608 2.66858 1.09297 1.59797
150 6.01823 5.59398 5.08032 2.98590 2.63256 2.63256 2.60522 2.27142 2.14151 1.40223 1.54772
200 4.94292 4.62597 4.17033 3.45573 2.58825 2.58825 2.56371 2.23963 1.68152 1.67689 1.49666
300 4.43194 4.18159 3.79855 3.56645 2.58987 2.58987 2.56759 2.27986 1.53233 1.89905 1.57876
400 4.29458 4.07668 3.75254 3.49893 2.55104 2.55104 2.52948 2.26805 1.56940 1.94286 1.64311
Figure 3. Correlation matrix in the body fat dataset.
Figure 4. Correlation matrix in the purchasing power parity dataset.
covering the period from the first quarter of 1973 to the fourth quarter of 1998. The data frame contains
Table 8. Simulated MAE values for biasing estimators in BRM when and .
n BRRE BLE BMOPLE BMTPLE
MLE
0.80 30 3.06977 2.72208 2.32322 2.51256 2.44175 2.25480 2.29288 2.18688 1.26524 2.01780 1.92012
75 1.57188 1.50419 1.43823 1.54891 1.45953 1.42610 1.37602 1.34568 0.66671 1.33135 1.25154
150 1.30434 1.26314 1.22484 1.29827 1.24182 1.22186 1.16635 1.14668 0.58363 1.14197 1.08269
200 1.03715 1.01275 0.98776 1.03715 1.00252 0.98699 0.93771 0.92620 0.47825 0.92366 0.88828
300 0.99708 0.97614 0.96036 0.99708 0.96754 0.96001 0.90607 0.89593 0.48873 0.89442 0.86216
400 0.87160 0.85688 0.84511 0.87160 0.85074 0.84493 0.79452 0.78734 0.43387 0.78637 0.76252
0.85 30 2.90435 2.56239 2.18665 2.38330 2.28252 2.12291 2.14391 2.03302 1.17625 1.86955 1.76835
75 1.73006 1.63230 1.53148 1.72512 1.57511 1.52278 1.47539 1.43195 0.62651 1.40889 1.30368
150 1.39073 1.33514 1.28574 1.39045 1.30903 1.28313 1.22629 1.19995 0.60049 1.19266 1.11768
200 1.24848 1.20602 1.16657 1.24848 1.18600 1.16512 1.10558 1.08479 0.45033 1.07969 1.01813
300 1.08720 1.06112 1.03884 1.08720 1.04963 1.03814 0.98558 0.97213 0.45184 0.97010 0.92826
400 1.00853 0.98690 0.96856 1.00853 0.97740 0.96817 0.91253 0.90169 0.38289 0.89992 0.86499
0.90 30 4.34279 3.61523 2.96063 2.29236 2.72079 2.56665 2.49763 2.32644 1.72486 1.89891 1.99297
75 2.12100 1.96053 1.75115 2.05726 1.83769 1.72841 1.73237 1.66074 0.75384 1.60597 1.46614
150 1.74714 1.65273 1.55347 1.74350 1.59258 1.54585 1.50225 1.45622 0.62532 1.43514 1.32198
200 1.38030 1.32186 1.26899 1.37549 1.28803 1.26605 1.20208 1.17288 0.43788 1.16279 1.08291
300 1.32476 1.27876 1.23515 1.32183 1.25351 1.23243 1.16974 1.14657 0.40274 1.13974 1.07289
400 1.19504 1.15883 1.12855 1.19504 1.14095 1.12769 1.06501 1.04635 0.38924 1.04202 0.98588
0.95 30 5.57959 4.53205 3.61387 2.10964 2.92063 2.82975 2.72637 2.50660 1.82752 1.63808 2.13143
75 2.93768 2.60371 2.20540 2.48384 2.23810 2.11297 2.12466 1.99064 0.93469 1.80039 1.68141
150 2.51183 2.27637 1.97316 2.34234 2.05272 1.93463 1.95548 1.85165 0.82805 1.74688 1.59046
200 1.96269 1.82300 1.63962 1.94234 1.72016 1.62159 1.62541 1.55737 0.58400 1.51475 1.37070
300 1.97183 1.85416 1.71607 1.94011 1.76216 1.69858 1.66093 1.60387 0.49759 1.57106 1.43882
400 1.76146 1.67260 1.57910 1.74739 1.60797 1.57130 1.51682 1.47074 0.46672 1.45135 1.33393
0.99 30 12.90898 10.07630 8.50341 5.17374 2.60617 2.60192 2.48163 2.28355 2.81291 3.93132 2.02589
75 6.78525 5.55985 4.47499 1.51568 2.66866 2.64585 2.54370 2.26573 1.81811 0.96967 1.84240
150 5.14398 4.21364 3.32341 2.07371 2.56424 2.52846 2.44129 2.16676 1.47741 1.21890 1.73253
200 4.63819 3.93703 3.10803 2.49145 2.68109 2.63082 2.56657 2.31891 1.14649 1.61297 1.85509
300 4.06394 3.51755 2.84436 2.71097 2.62946 2.53615 2.52706 2.31097 1.07647 1.83945 1.87378
400 3.51888 3.03548 2.43256 2.64960 2.37764 2.27254 2.28522 2.08469 1.05807 1.73566 1.68070
Table 9. Coefficients and MSE of biasing estimators for the BRM using the body fat dataset.
Coefficients BRRE BLE BMOPLE BMTPLE
MLE
Intercept -6.04713 -5.86905 -3.84281 -3.59520 -3.63024 -3.59520 -3.48789 -3.51856 -3.44050 -3.52981 -3.51647
0.59196 0.49288 0.37621 0.38519 0.38814 0.38519 0.37614 0.37872 0.37214 0.37967 0.37855
-1.01820 -0.95353 -0.21128 -0.09924 -0.11237 -0.09924 -0.05902 -0.07052 -0.04126 -0.07473 -0.06973
0.41960 0.16398 -1.16384 -1.31217 -1.28742 -1.31217 -1.38796 -1.36629 -1.42143 -1.35835 -1.36777
-3.61075 -3.66336 -1.80205 -1.60011 -1.62885 -1.60011 -1.51211 -1.53727 -1.47325 -1.54648 -1.53555
0.49157 0.45852 0.27813 0.27368 0.27680 0.27368 0.26414 0.26687 0.25993 0.26787 0.26668
6.32854 6.26187 4.81824 4.52648 4.55223 4.52648 4.44761 4.47015 4.41278 4.47841 4.46861
-2.21088 -2.22225 -1.65262 -1.52966 -1.53939 -1.52966 -1.49984 -1.50837 -1.48668 -1.51149 -1.50778
3.57569 3.38767 1.56409 1.31407 1.34639 1.31407 1.21508 1.24338 1.17137 1.25375 1.24145
1.71547 1.41875 0.05445 -0.06435 -0.03892 -0.06435 -0.14225 -0.11998 -0.17665 -0.11182 -0.12150
1.39685 0.72461 -0.44090 -0.48343 -0.45656 -0.48343 -0.56573 -0.54220 -0.60207 -0.53358 -0.54380
0.94867 0.90375 0.32248 0.22955 0.23982 0.22955 0.19807 0.20707 0.18417 0.21037 0.20646
4.14463 3.35558 0.75473 0.54565 0.59709 0.54565 0.38814 0.43316 0.31858 0.44966 0.43010
-8.70369 -4.96782 -1.11736 -0.98425 -1.09458 -0.98425 -0.64639 -0.74297 -0.49719 -0.77836 -0.73639
MSE 2056.13905 1111.12601 229.31655 205.37265 209.67093 205.37265 196.20629 198.21173 194.07602 199.06978 198.05940
1,768 total observations across multiple variables, providing a comprehensive view of exchange rates, price levels, and interest rate differentials. Key variables include U.S. long-term interest rates (y), log spot ex-
change rates versus the USD (x1), log price levels (x2), and both short-term (x3) and long-term (x4) interest rates. Additionally, the dataset features log price differentials compared to the U.S. (x5) and U.S. short-term interest rates (x6), allowing for an in-depth examination of international financial dynamics.
The response variable is a proportion between 0 and 1 , making it suitable for BRM, as shown in Figure 2. Diagnostic results indicate serious multicollinearity, with a condition number of 236.55 , which is much higher than the usual threshold of 100. The correlation plot in Figure 4 also shows strong relationships between predictors. These findings highlight the need for estimation methods that can handle high multicollinearity in this dataset.
Table 10. Coefficients and MSE of biasing estimators for the BRM using the purchasing power parity dataset.
Coefficients BRRE BLE BMOPLE BMTPLE
MLE
Intercept -3.75619 -3.75044 -3.34645 -3.73475 -3.73753 -3.36101 -3.20130 -3.24421 -2.78289 -3.24745 -3.24348
0.25804 0.25828 0.27220 0.25891 0.25880 0.27414 0.28064 0.27890 0.29769 0.27876 0.27892
0.17325 0.17224 0.10060 0.16950 0.16999 0.10425 0.07637 0.08386 0.00331 0.08442 0.08373
-0.03786 -0.02717 0.49916 0.00141 -0.00369 0.68604 0.97860 0.90001 1.74507 0.89408 0.90134
2.13191 2.11963 1.51439 2.08689 2.09273 1.30198 0.96657 1.05667 0.08783 1.06347 1.05514
-0.42388 -0.42320 -0.36898 -0.42133 -0.42166 -0.37694 -0.35797 -0.36307 -0.30827 -0.36345 -0.36298
5.03767 5.02138 3.88564 4.97689 4.98478 3.91712 3.46426 3.58592 2.27782 3.59510 3.58386
MSE 35.14525 34.65276 17.09468 33.36238 33.58959 14.04834 12.58487 12.57863 28.02922 12.59006 12.57629
The empirical results from the real-world purchasing power parity dataset reveal several noteworthy patterns regarding the performance of different biased estimation techniques. As shown in Table 10, the BMTPLE with demonstrates superior performance, achieving the lowest MSE among all estimators. This represents a remarkable reduction in prediction error compared to the MLE baseline .
The BMTPLE’s superior performance suggests its dual-parameter shrinkage mechanism effectively handles multicollinearity while maintaining estimation efficiency. Particularly striking is its ability to substantially adjust coefficients for interest rate variables ( and ), where conventional methods produce unstable estimates. The BMOPLE shows competitive performance (MSE ), suggesting positive constraint approaches may offer alternative benefits in certain econometric contexts.
These findings have important implications for empirical research in international finance, where multicollinearity between exchange rates and interest rate differentials frequently complicates parameter estimation. The results strongly support the simulation results, demonstrating that the proposed estimator outperforms alternatives in handling high multicollinearity in this dataset.

6. Conclusion

This study introduces new modified Liu estimators designed to address multicollinearity issues in BRM. Theoretical analysis establishes that the proposed modified Liu estimators demonstrate superior efficiency compared to existing biased estimators, including conventional MLE, BRRE, and MLE. To empirically validate these theoretical findings, we conducted comprehensive Monte Carlo simulations comparing the modified Liu estimators’ performance against MLE and alternative biased estimation approaches. The simulation results consistently demonstrate that the modified Liu estimators achieve significantly better performance metrics, particularly in scenarios characterized by high-to-strong intercorrelations among pre-
dictor variables. The practical utility of the modified Liu estimator is further substantiated through two empirical applications, where it consistently produced lower MSE values compared to MLE, BRRE, and BLE methods. These findings collectively suggest that the TPBR estimator represents an effective solution for regression analysis involving collinear predictors, offering improved estimation accuracy across both simulated and real-world datasets.

Authors’ Contributions

All authors have worked equally to write and review the manuscript.

Data Availability Statement

The data that supports the findings of this study are available within the article.

Conflicts of Interest

The authors declare no conflict of interest.

References

1.Abdel-Fattah, M. A. (2024). Improved liu-ridge-type estimates for the beta regression model. Journal of Statistical Computation and Simulation, 94(16):3533-3554.
2.Abdelwahab, M. M., Abonazel, M. R., Hammad, A. T., and El-Masry, A. M. (2024). Modified twoparameter liu estimator for addressing multicollinearity in the poisson regression model. Axioms, 13(1):46.
3.Abonazel, M. R. (2023). New modified two-parameter liu estimator for the conway-maxwell poisson regression model. Journal of Statistical Computation and Simulation, 93(12):1976-1996.
4.Abonazel, M. R. (2025). A new biased estimation class to combat the multicollinearity in regression models: Modified two-parameter liu estimator. Computational Journal of Mathematical and Statistical Sciences, 4(1):316-347.
5.Abonazel, M. R., Awwad, F. A., Tag Eldin, E., Kibria, B. M. G., and Khattab, I. G. (2023). Developing a two-parameter liu estimator for the com-poisson regression model: Application and simulation. Frontiers in Applied Mathematics and Statistics, 9:956963.
6.Abonazel, M. R. and Taha, I. M. (2023). Beta ridge regression estimators: simulation and application. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 52(9):4280-4292.
7.Akhtar, N. and Alharthi, M. F. (2024). A comparative study of the performance of new ridge estimators for multicollinearity: Insights from simulation and real data application. AIP Advances, 14(11).
8.Algamal, Z. Y. (2019). A particle swarm optimization method for variable selection in beta regression model. Electronic Journal of Applied Statistical Analysis, 12(2).
9.Algamal, Z. Y. and Abonazel, M. R. (2022). Developing a liu-type estimator in beta regression model. Concurrency and Computation: Practice and Experience, 34(5):e6685.
10.Allenbrand, C. and Sherwood, B. (2023). Model selection uncertainty and stability in beta regression models: A study of bootstrap-based model averaging with an empirical application to clickstream data. The Annals of Applied Statistics, 17(1):680-710.
11.Amin, M., Akram, M. N., and Kibria, B. M. G. (2021). A new adjusted liu estimator for the poisson regression model. Concurrency and computation: Practice and experience, 33(20):e6340.
12.Amin, M., Ashraf, H., Bakouch, H. S., and Qarmalah, N. (2023). James stein estimator for the beta regression model with application to heat-treating test and body fat datasets. Axioms, 12(6):526.
13.Coakley, J., Fuertes, A., and Smith, R. (2006). Unobserved heterogeneity in panel time series models. Computational Statistics & Data Analysis, 50(9):2361-2380.
14.Dawoud, I. and Kibria, B. M. G. (2020). A new biased estimator to combat the multicollinearity of the gaussian linear regression model. Stats, 3(4):526-541.
15.Dertli, H. I., Hayes, D. B., and Zorn, T. G. (2024). Effects of multicollinearity and data granularity on regression models of stream temperature. Journal of Hydrology, 639:131572.
16.Dobson, A. J. and Barnett, A. G. (2018). An introduction to generalized linear models. Chapman and Hall/CRC.
17.Erkoç, A., Ertan, E., Algamal, Z. Y., and Akay, K. U. (2023). The beta liu-type estimator: simulation and application. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 52(3):828-840.
18.Farebrother, R. W. (1976). Further results on the mean square error of ridge regression. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), pages 248-250.
19.Ferrari, S. and Cribari-Neto, F. (2004). Beta regression for modelling rates and proportions. Journal of applied statistics, 31(7):799-815.
20.Frisch, R. (1997). Statistical confluence analysis by means of complete regression systems (1934). The Foundations of Econometric Analysis, page 271.
21.Geissinger, E. A., Khoo, C. L. L., Richmond, I. C., Faulkner, S. J. M., and Schneider, D. C. (2022). A case for beta regression in the natural sciences. Ecosphere, 13(2):e3940.
22.Hoerl, A. E. and Kennard, R. W. (1970). Ridge regression: Biased estimation for nonorthogonal problems. Technometrics, 12(1):55-67.
23. Karlsson, P., Månsson, K., and Kibria, B. M. G. (2020). A liu estimator for the beta regression model and its application to chemical data. Journal of Chemometrics, 34(10):e3300.
24.Khan, M. S., Ali, A., Suhail, M., Awwad, F. A., Ismail, E. A. A., and Ahmad, H. (2023). On the performance of two-parameter ridge estimators for handling multicollinearity problem in linear regression: Simulation and application. AIP Advances, 13(11).
25.Kibria, B. M. G. and Lukman, A. F. et al. (2020). A new ridge-type estimator for the linear regression model: Simulations and applications. Scientifica, 2020.
26.Koç, T. and Dünder, E. (2024). Jackknife kibria-lukman estimator for the beta regression model. Communications in Statistics-Theory and Methods, 53(21):7789-7805.
27.Kyriazos, T. and Poga, M. (2023). Dealing with multicollinearity in factor analysis: the problem, detections, and solutions. Open Journal of Statistics, 13(3):404-424.
28.Liu, K. (1993). A new class of biased estimate in linear regression. Communications in Statistics-Theory and Methods, 22(2):393-402.
29.Liu, K. (2003). Using liu-type estimator to combat collinearity. Communications in Statistics-Theory and Methods, 32(5):1009-1020.
30.Lukman, A. F., Ayinde, K., Binuomote, S., and Clement, O. A. (2019). Modified ridge-type estimator to combat multicollinearity: Application to chemical data. Journal of Chemometrics, 33(5):e3125.
31.Lukman, A. F., Ayinde, K., Kibria, B. M. G., and Adewuyi, E. T. (2022). Modified ridge-type estimator for the gamma regression model. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 51(9):50095023.
32.Lukman, A. F., Kibria, B. M. G., Ayinde, K., and Jegede, S. L. (2020). Modified one-parameter liu estimator for the linear regression model. Modelling and Simulation in Engineering, 2020:1-17.
33.Mahmood, S. W., Seyala, N. N., and Algamal, Z. Y. (2020). Adjusted r2-type measures for beta regression model. Electron J Appl Stat Anal, 13(2):350-357.
34.Özkale, M. R. and Kaciranlar, S. (2007). The restricted and unrestricted two-parameter estimators. Communications in Statistics-Theory and Methods, 36(15):2707-2725.
35.Penrose, K. W., Nelson, A. G., and Fisher, A. G. (1985). Generalized body composition prediction equation for men using simple measurement techniques. Medicine & Science in Sports E Exercise, 17(2):189.
36.Qasim, M., Månsson, K., and Kibria, B. M. G. (2021). On some beta ridge regression estimators: method, simulation and application. Journal of Statistical Computation and Simulation, 91(9):1699-1712.
37.Segerstedt, B. (1992). On ordinary ridge regression in generalized linear models. Communications in Statistics-Theory and Methods, 21(8):2227-2246.
38.Stein, C. (1956). Inadmissibility of the usual estimator for the mean of a multivariate normal distribution. Technical report, Stanford University, Stanford, CA, USA.
39.Trenkler, G. and Toutenburg, H. (1990). Mean squared error matrix comparisons between biased esti-mators-an overview of recent results. Statistical papers, 31(1):165-179.
40.Tsagris, M. and Pandis, N. (2021). Multicollinearity. American journal of orthodontics and dentofacial orthopedics, 159(5):695-696.
© 2025 by the authors. Disclaimer/Publisher’s Note: The content in all publications reflects the views, opinions, and data of the respective individual author(s) and contributor(s), and not those of Sphinx Scientific Press (SSP) or the editor(s). SSP and/or the editor(s) explicitly state that they are not liable for any harm to individuals or property arising from the ideas, methods, instructions, or products mentioned in the content.