DOI: https://doi.org/10.1103/pmrb-qk7j
تاريخ النشر: 2026-05-20
المؤلف: Ya-Nan Wang وآخرون
الموضوع الرئيسي: ميكانيكا الكم والفيزياء غير الهرمية
نظرة عامة
تبحث هذه الدراسة في نموذج أوبري-أندريه-هاربر (AAH) غير الهيرميتي العام، الذي يتميز بالقفز غير المتبادل والجهود الكوازيبيريودية من الشكل \( V(i) = V [\cos(2\pi \beta i)]^p \). تكشف النتائج أن التفاعل بين عدم التبادلية، والكوازيبيريودية، والأس exponent للقوة \( p \) يؤدي إلى انتقالات طور متنوعة وظواهر توطين. في الحالة الهيرميتي، بالنسبة لـ \( p = 1, 2 \)، ينتقل النظام مباشرة من الأطوار الممتدة إلى الأطوار الموضعية، بينما بالنسبة لـ \( p \geq 3 \)، يظهر طور مختلط وسيط، يتميز بحواف الحركة وتعايش الحالات الممتدة والموضعية. يتم وصف مواقع الحالات ذات نسبة المشاركة العكسية العالية (IPR) بدقة بواسطة العلاقة \( x_n = n\beta – \lfloor n\beta \rfloor \).
في النظام غير الهيرميتي، يصبح طيف الطاقة معقدًا، حيث يتماشى انتقال PT مع حدود الطور الممتد إلى الموضع بالنسبة لـ \( p = 1, 2 \). بالنسبة لـ \( p \geq 3 \)، يحدث كسر في تناظر PT عند انتقال الطور من المختلط إلى الموضع. تبرز الدراسة الديناميات الغنية التي تقدمها الجهود الكوازيبيريودية والقفز غير المتبادل، مما يشير إلى آثار كبيرة للبحث المستقبلي في النقل الطوبولوجي والتحكم الكمي ضمن الأنظمة غير الهيرميتي. بالإضافة إلى ذلك، تشير تحليل الأبعاد الفراكتالية إلى أنه مع زيادة قوة الجهد، ينتقل النظام من إظهار الانتشار المكاني إلى التوطين الكامل، مع اقتراب الأبعاد الفراكتالية من الصفر في الطور الموضع.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة توطين أندرسون، وهو ظاهرة في الأنظمة غير المتفاعلة غير المنتظمة حيث يؤدي الاضطراب القوي إلى توطين دوال موجات الجسيمات. في الأنظمة ذات الأبعاد \(d \leq 2\)، يتناقص التوصيل مع زيادة حجم النظام وينتهي في النهاية في الحد الديناميكي الحراري، مما يشير إلى أن جميع الحالات الإلكترونية موضعية. على النقيض من ذلك، تظهر الأنظمة الكوازيبيريودية، مثل نموذج أوبري-أندريه-هاربر (AAH) أحادي البعد، انتقالًا من حالات ممتدة إلى حالات موضعية بسبب ثنائيتها الذاتية. تم تحقيق نموذج AAH تجريبيًا في منصات مختلفة وقد أثار بحثًا واسعًا في أشكاله العامة، التي يمكن أن تظهر حواف حركة تعتمد على الطاقة تفصل بين الحالات الممتدة والموضعية.
تستكشف الورقة أيضًا تقاطع الكوازيبيريودية وعدم الهيرميتية، خاصة في سياق نموذج AAH غير الهيرميتي مع جهد كوازيبيريودي من النوع \(V(i) = V[\cos(2\pi \beta i)]^p\). بالنسبة لـ \(p = 2\)، يظهر النموذج انتقالًا مباشرًا من حالات ممتدة إلى حالات موضعية دون حواف حركة، بينما بالنسبة لـ \(p \geq 3\)، يظهر طور مختلط وسيط، يتميز بتعايش كلا النوعين من الحالات ووجود حواف حركة. من الجدير بالذكر أن الدراسة تجد أن الانتقال من الأطوار الممتدة إلى الموضعية يتزامن مع انتقال PT بالنسبة لـ \(p = 1, 2\)، ولكنه ينحرف بالنسبة لـ \(p \geq 3\)، حيث يحدث انتقال كسر تناظر PT بين الأطوار المختلطة والموضعية. تعزز هذه الرؤى فهم ظواهر التوطين في الأنظمة الكوازيبيريودية وتضع الأساس لمزيد من الاستكشاف في الأقسام اللاحقة من الورقة.
طرق
في هذا القسم، يحدد المؤلفون الطرق المستخدمة لتحليل ظواهر التوطين في الأنظمة غير المتفاعلة غير المنتظمة، مميزين بين الأطوار الممتدة والموضعية. في الطور الممتد، تكون دوال الموجات غير موضعية، مع توزيع مكاني يتميز بـ \(|\psi(x_i)|^2 \sim 1/L\)، مما يشير إلى احتمال موحد عبر الشبكة. على العكس، في الطور الموضع، تتلاشى دوال الموجات بشكل أسي كما \(|\psi(x_i)| \sim \exp(-|x_i – x_0|/\xi)\)، حيث \(\xi\) هو طول التوطين. تعتبر نسبة المشاركة العكسية (IPR) مقياسًا حاسمًا للتوطين، تُعرف بـ \(\text{IPR}(m) = \sum_{i=1}^{L} |\psi(m)_i|^4\). بالنسبة للحالات الممتدة، تتناقص IPR مع زيادة حجم النظام، بينما بالنسبة للحالات الموضعية، تقترب من قيمة نهائية.
تم تقديم نسبة المشاركة المعنوية (NPR) أيضًا، حيث تظهر سلوكًا معكوسًا لـ IPR، مع قيم نهائية للحالات الممتدة وتتناقص إلى الصفر للحالات الموضعية. يتم اشتقاق البعد الفراكتالي \(D_q\) من مقياس IPR العام، \(\text{IPR}(m)_q \sim L^{-\tau_q}\)، حيث يتعلق \(\tau_q\) بـ \(D_q\) عبر \(\tau_q = D_q(q – 1)\). بالإضافة إلى ذلك، يتم اقتراح المعامل \(\zeta = \log_{10}(\text{IPR} \times \text{NPR})\) لتحديد الطور الوسيط، مع سلوكيات مقياس مميزة في الأنظمة الممتدة والموضعية. يختتم القسم بمناقشة الأنظمة غير الهيرميتي، مع التركيز على دور تناظر PT والانتقال بين الأطوار المتناظرة PT والمكسورة PT، والتي تتميز بكثافة الحالات (DOS) المعرفة بـ \(\text{DOS} = \frac{N(\text{Im}(E) \neq 0)}{L}\).
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج تحقيقهم في نموذج أوبري-أندريه-هاربر (AAH) العام، باستخدام صيغة بوغوليوبوف-دي غينيس (BdG). يتم التعبير عن هاميلتونيان كـ \( \hat{H} = \mathbf{c}^\dagger H \mathbf{c} \)، حيث \( \mathbf{c} = (c_1, c_2, \ldots, c_L)^T \) يمثل متجه مشغلات تدمير الفيرميون على شبكة، و\( H \) هو مصفوفة هاميلتونيان لجسيم واحد بحجم \( L \times L \). تتضمن الشكل الصريح لمصفوفة الهاميلتونيان مصطلحات تأخذ في الاعتبار الجهد \( V(i) \)، وسعات النفق \( t \)، ومعامل التعديل \( g \)، مع تطبيق شروط الحدود الدورية.
تؤدي عملية القطر لمصفوفة الهاميلتونيان إلى الحصول على طيف الطاقة الكامل والحالات الذاتية المقابلة، والتي تعتبر حاسمة لتحليل انتقالات الطور ضمن نموذج AAH العام. توفر النتائج من هذا التحليل رؤى حول سلوك النظام تحت معلمات متغيرة، مما يبرز طبيعة انتقالات الطور التي تحدث في هذا الإطار الميكانيكي الكمي.
مناقشة
في هذه الدراسة، نستكشف نموذج أوبري-أندريه-هاربر (AAH) أحادي البعد العام، الذي يتميز بالقفز غير المتبادل وجهد كوازيبيريودي من النوع. يتضمن الهاميلتونيان سعات قفز غير متبادلة للجيران الأقرب وجهد كوازيبيريودي معرف بـ $V(i) = V [\cos(2\pi \beta i)]^p$، حيث $\beta$ هو عدد غير نسبي مستمد من سلسلة فيبوناتشي. يظهر النموذج انتقال طور عند النقطة الحرجة $V = 2t$، حيث تنتقل الحالات من الممتدة إلى الموضعية. من الجدير بالذكر أنه بالنسبة لـ $p \geq 3$، يظهر طور مختلط وسيط، يتميز بتعايش الحالات الممتدة والموضعية، مع توافق النقطة الحرجة لانتقال الطور مع انتقال PT.
تكشف التحليلات أنه في الحالة الهيرميتي، يشير البعد الفراكتالي $D_2$ إلى تمييز واضح بين الأطوار الممتدة ($D_2 \approx 1$) والموضعية ($D_2 \approx 0$). في الطور المختلط، تتعايش كلا البعدين، مما يعكس الطبيعة المعقدة لطيف الطاقة. تحدد الدراسة أيضًا حالات ذات نسبة مشاركة عكسية عالية (IPR) عند مستويات طاقة معينة، والتي يتم التنبؤ بها بدقة بواسطة علاقة عالمية. في النظام غير الهيرميتي، يصبح طيف الطاقة للنظام معقدًا، حيث يحدث انتقال PT بين الأطوار المختلطة والموضعية بدلاً من الأطوار الممتدة والموضعية. تبرز هذه الأبحاث التفاعل المعقد بين عدم الهيرميتية والكوازيبيريودية، مما يمهد الطريق لمزيد من التحقيقات في الأطوار الجديدة وظواهر النقل في الأنظمة غير الهيرميتي.
DOI: https://doi.org/10.1103/pmrb-qk7j
Publication Date: 2026-05-20
Author(s): Ya-Nan Wang et al.
Primary Topic: Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics
Overview
This research investigates a generalized non-Hermitian Aubry-André-Harper (AAH) model characterized by non-reciprocal hopping and power-law quasiperiodic potentials of the form \( V(i) = V [\cos(2\pi \beta i)]^p \). The findings reveal that the interplay between non-reciprocity, quasiperiodicity, and the power-law exponent \( p \) leads to diverse phase transitions and localization phenomena. In the Hermitian case, for \( p = 1, 2 \), the system transitions directly from extended to localized phases, while for \( p \geq 3 \), an intermediate mixed phase emerges, featuring mobility edges and the coexistence of extended and localized states. The positions of high-inverse participation ratio (IPR) states are accurately described by the relation \( x_n = n\beta – \lfloor n\beta \rfloor \).
In the non-Hermitian regime, the energy spectrum becomes complex, with the PT transition aligning with the extended-to-localized phase boundary for \( p = 1, 2 \). For \( p \geq 3 \), PT-symmetry breaking occurs at the mixed-to-localized phase transition. The study highlights the rich dynamics introduced by power-law quasiperiodic potentials and non-reciprocal hopping, suggesting significant implications for future research in topological transport and quantum control within non-Hermitian systems. Additionally, the analysis of fractal dimensions indicates that as the potential strength increases, the system transitions from exhibiting spatial diffusion to complete localization, with fractal dimensions approaching zero in the localized phase.
Introduction
The introduction of the paper discusses Anderson localization, a phenomenon in noninteracting disordered systems where strong disorder leads to the localization of particle wavefunctions. In systems with dimensionality \(d \leq 2\), the conductance diminishes with increasing system size and ultimately vanishes in the thermodynamic limit, indicating that all electronic states are localized. In contrast, quasiperiodic systems, such as the one-dimensional Aubry-André-Harper (AAH) model, exhibit a transition from extended to localized states due to their self-duality. The AAH model has been experimentally realized in various platforms and has spurred extensive research into its generalized forms, which can display energy-dependent mobility edges that separate extended and localized states.
The paper further explores the intersection of quasiperiodicity and non-Hermiticity, particularly in the context of the non-Hermitian AAH model with a power-law quasiperiodic potential \(V(i) = V[\cos(2\pi \beta i)]^p\). For \(p = 2\), the model shows a direct transition from extended to localized states without mobility edges, while for \(p \geq 3\), an intermediate mixed phase emerges, characterized by the coexistence of both state types and the presence of mobility edges. Notably, the study finds that the transition from extended to localized phases coincides with the PT transition for \(p = 1, 2\), but diverges for \(p \geq 3\), where the PT symmetry-breaking transition occurs between the mixed and localized phases. These insights enhance the understanding of localization phenomena in quasiperiodic systems and set the stage for further exploration in subsequent sections of the paper.
Methods
In this section, the authors outline the methods used to analyze localization phenomena in non-interacting disordered systems, distinguishing between the extended and localized phases. In the extended phase, wavefunctions are delocalized, with a spatial distribution characterized by \(|\psi(x_i)|^2 \sim 1/L\), indicating uniform probability across the lattice. Conversely, in the localized phase, wavefunctions decay exponentially as \(|\psi(x_i)| \sim \exp(-|x_i – x_0|/\xi)\), where \(\xi\) is the localization length. The Inverse Participation Ratio (IPR) serves as a critical measure of localization, defined as \(\text{IPR}(m) = \sum_{i=1}^{L} |\psi(m)_i|^4\). For extended states, the IPR diminishes with increasing system size, while for localized states, it approaches a finite value.
The Normalized Participation Ratio (NPR) is also introduced, exhibiting opposite behavior to the IPR, with finite values for extended states and diminishing to zero for localized states. The fractal dimension \(D_q\) is derived from the scaling of the generalized IPR, \(\text{IPR}(m)_q \sim L^{-\tau_q}\), where \(\tau_q\) relates to \(D_q\) via \(\tau_q = D_q(q – 1)\). Additionally, the parameter \(\zeta = \log_{10}(\text{IPR} \times \text{NPR})\) is proposed to identify the intermediate phase, with distinct scaling behaviors in the extended and localized regimes. The section concludes with a discussion of non-Hermitian systems, emphasizing the role of PT symmetry and the transition between PT-symmetric and PT-broken phases, characterized by the density of states (DOS) defined as \(\text{DOS} = \frac{N(\text{Im}(E) \neq 0)}{L}\).
Results
In this section, the authors present the results of their investigation into the generalized Aubry-André-Harper (AAH) model, utilizing the Bogoliubov-de Gennes (BdG) formalism. The Hamiltonian is expressed as \( \hat{H} = \mathbf{c}^\dagger H \mathbf{c} \), where \( \mathbf{c} = (c_1, c_2, \ldots, c_L)^T \) represents the vector of fermionic annihilation operators on a lattice, and \( H \) is the \( L \times L \) single-particle Hamiltonian matrix. The explicit form of the Hamiltonian matrix \( H \) incorporates terms that account for the potential \( V(i) \), tunneling amplitudes \( t \), and a modulation parameter \( g \), with periodic boundary conditions applied.
The diagonalization of the Hamiltonian matrix yields the complete energy spectrum and corresponding eigenstates, which are critical for analyzing phase transitions within the generalized AAH model. The findings from this analysis provide insights into the behavior of the system under varying parameters, highlighting the nature of the phase transitions that occur in this quantum mechanical framework.
Discussion
In this study, we explore a generalized one-dimensional Aubry-André-Harper (AAH) model characterized by nonreciprocal hopping and a power-law quasiperiodic onsite potential. The Hamiltonian incorporates nonreciprocal nearest-neighbor hopping amplitudes and a quasiperiodic potential defined by $V(i) = V [\cos(2\pi \beta i)]^p$, where $\beta$ is an irrational number derived from the Fibonacci sequence. The model exhibits a phase transition at the critical point $V = 2t$, where states transition from extended to localized. Notably, for $p \geq 3$, an intermediate mixed phase emerges, characterized by the coexistence of extended and localized states, with the critical point of the phase transition aligning with the PT transition.
The analysis reveals that in the Hermitian case, the fractal dimension $D_2$ indicates a clear distinction between extended ($D_2 \approx 1$) and localized ($D_2 \approx 0$) phases. In the mixed phase, both dimensions coexist, reflecting the complex nature of the energy spectrum. The study further identifies high-inverse participation ratio (IPR) states at specific energy levels, which are accurately predicted by a universal relation. In the non-Hermitian regime, the system’s energy spectrum becomes complex, with the PT transition occurring between the mixed and localized phases rather than the extended and localized phases. This research highlights the intricate interplay between non-Hermiticity and quasiperiodicity, paving the way for future investigations into novel phases and transport phenomena in non-Hermitian systems.