في هذا القسم، يبني المؤلفون على الاستفسارات الأخيرة التي طرحها ناثانسون لإظهار أنه بالنسبة لأي مجموعة أبدية لانهائية \( G \) ومجموعة من الأعداد الصحيحة \( m_1, \ldots, m_H \)، من الممكن العثور على مجموعات فرعية نهائية \( A \) و \( B \) داخل \( G \) بحيث يحقق الفرق في أوامر المجموعات الفرعية…

يتناول هذا القسم مفهوم الحد الأدنى من الدرجة الموجبة في الرسوم البيانية غير الفارغة من النوع r، والذي يُرمز له بـ $\delta^{+}_{r-1}(H)$، والذي يُعرف بأنه أكبر عدد صحيح $k$ بحيث أن أي مجموعة فرعية $S \subset V(H)$ بحجم $r-1$ تحتوي على الأقل على حافة r واحدة من $H$ تحتوي أيضًا على الأقل على $k$ حواف…