تبحث هذه الورقة البحثية في تعدد الحلول لمشكلة إهليلجية غير محلية تتميز بمشغل $p(x)$-لابلاس ضمن فضاءات سوبوليف العامة. تركز الدراسة على مجال محدود $\Omega \subset \mathbb{R}^N$، حيث يتم تمثيل الأسس الحرجة لسوبوليف-هاردي بقيم متميزة $k$، ويحقق الأس $p(x)$ الشرط $1 < p_- \leq p(x) \leq p_+ < N$. تشمل الدوال المعنية دالة حقيقية محدودة $M$…