DOI: https://doi.org/10.7494/opmath.2024.44.6.789
تاريخ النشر: 2024-01-01
المؤلف: Augusto César dos Reis Costa وآخرون
الموضوع الرئيسي: المعادلات التفاضلية ومشاكل الحدود
نظرة عامة
تبحث هذه الورقة البحثية في تعدد الحلول لمشكلة إهليلجية غير محلية تتميز بمشغل $p(x)$-لابلاس ضمن فضاءات سوبوليف العامة. تركز الدراسة على مجال محدود $\Omega \subset \mathbb{R}^N$، حيث يتم تمثيل الأسس الحرجة لسوبوليف-هاردي بقيم متميزة $k$، ويحقق الأس $p(x)$ الشرط $1 < p_- \leq p(x) \leq p_+ < N$. تشمل الدوال المعنية دالة حقيقية محدودة $M$ وعدة دوال $h_i$ (لـ $i = 1, \ldots, k$) و $f$، والتي سيتم تفصيل خصائصها المحددة لاحقًا في الورقة. لتأسيس تعدد الحلول، يستخدم المؤلفون مبدأ تركيز-تجميع ليون المصمم للأسس الحرجة لسوبوليف-هاردي في الفضاء $W^{1,p(x)}_0(\Omega)$، كما طوره يو، فو، ولي. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام نظرية النافورة لدعم نتائجهم، مما يشير إلى هيكل غني من الحلول تحت الظروف المحددة.
مقدمة
في هذه الورقة، يبحث المؤلفون في فئة من معادلات $p(x)$-لابلاس التي تخضع لظروف حدود ديريشليه المتجانسة. يتم صياغة المعادلات كما يلي:
\[
M(\psi(u))(-\Delta_{p(x)} u + |u|^{p(x)-2} u) = \sum_{i=1}^{k} h_i(x) |u|^{p^*_i(x)-2} u |x|^{s_i(x)} + f(x, u) \quad \text{في } \Omega، \quad u = 0 \text{ على } \partial \Omega،
\]
حيث $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ هو مجال محدود مع $0 \in \Omega$. الأس المتغير $p(x)$ مستمر ليبشيتز ومتماثل شعاعيًا، مقيد بشرط النمو $1 < p_- \leq p(x) \leq p_+ < N$. الدوال $s_i(x)$ أيضًا مستمرة ليبشيتز ومتماثلة شعاعيًا، وتحقق $0 \leq s_i(x) \ll p(x)$ لجميع $i$. يتم تعريف الأس الحرجة لسوبوليف-هاردي لكل $i$ على أنه $p^*_i(x) = p(x) \cdot \frac{(N - s_i(x))}{N - p(x)}$، مع $p^*_0(x) = p^*(x)$ كونه الأس الحرجة لسوبوليف. يتم تعريف مشغل $p(x)$-لابلاس على أنه $\Delta_{p(x)} u := \text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2} \nabla u)$، موسعًا مشغل $p$-لابلاس الكلاسيكي. يتم تعريف الدالة $\psi(u)$ بواسطة التكامل $\psi(u) = \int_{\Omega} \frac{1}{p(x)} (|\nabla u|^{p(x)} + |u|^{p(x)}) \, dx$، و $M: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ هي دالة مستمرة مقيدة بشروط النمو. الدوال $h_i(x)$ مستمرة وتظهر سلوكًا محددًا بالقرب من الأصل، مع مثال نموذجي هو $h_i(x) = \frac{1}{|\ln |x||}$ لـ $x \neq 0$.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الفرضيات والنتائج الأساسية المتعلقة بالدالة \( f: \Omega \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) في سياق مشكلة ديريشليه غير المحلية \( p(x) \)-لابلاس. يُطلب من الدالة \( f \) أن تحقق عدة شروط، بما في ذلك شرط كاراثيودوري وقيود نمو محددة تتميز بثوابت \( c_1 \) و \( c_2 \). يبني المؤلفون على الأعمال السابقة التي قام بها يو، فو، ولي، والتي أسست مبدأ تركيز-تجميع للأسس الحرجة لسوبوليف-هاردي، مما يسهل تحليل المشاكل الفردية التي تتضمن فضاءات الأس المتغير.
النتيجة الرئيسية المقدمة هي النظرية 1.1، التي تؤكد وجود تسلسل من الحلول \( (u_n) \) في فضاء سوبوليف \( W^{1,p(x)}_0(\Omega) \) بحيث يتباعد الدالة الطاقية نحو اللانهاية مع اقتراب \( n \) من اللانهاية. يشير هذا إلى وجود عدد لا نهائي من الحلول للمشكلة المعنية. كما يبرز المؤلفون أهمية نتائجهم في تطبيقات متنوعة، بما في ذلك ميكانيكا المواد غير الخطية والنماذج الديناميكية للسوائل الكهروهيدروليكية، مما يبرز الآثار الأوسع لأبحاثهم في كل من السياقات الرياضية والفيزيائية. يختتم القسم بتحديد هيكل الورقة، مشيرًا إلى أن الأقسام التالية ستتناول فضاءات سوبوليف-ليبغ واثبات النظرية الرئيسية.
DOI: https://doi.org/10.7494/opmath.2024.44.6.789
Publication Date: 2024-01-01
Author(s): Augusto César dos Reis Costa et al.
Primary Topic: Differential Equations and Boundary Problems
Overview
This research paper investigates the multiplicity of solutions for a non-local elliptic problem characterized by a $p(x)$-Laplace operator within generalized Sobolev spaces. The study focuses on a bounded domain $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, where the critical Sobolev-Hardy exponents are represented by $k$ distinct values, and the exponent $p(x)$ satisfies the condition $1 < p_- \leq p(x) \leq p_+ < N$. The functions involved include a bounded real function $M$ and several functions $h_i$ (for $i = 1, \ldots, k$) and $f$, whose specific properties will be detailed later in the paper. To establish the multiplicity of solutions, the authors employ Lions' concentration-compactness principle tailored for critical Sobolev-Hardy exponents in the space $W^{1,p(x)}_0(\Omega)$, as developed by Yu, Fu, and Li. Additionally, the Fountain Theorem is utilized to support their findings, indicating a rich structure of solutions under the specified conditions.
Introduction
In this paper, the authors investigate a class of $p(x)$-Laplacian equations subject to homogeneous Dirichlet boundary conditions. The equations are formulated as follows:
\[
M(\psi(u))(-\Delta_{p(x)} u + |u|^{p(x)-2} u) = \sum_{i=1}^{k} h_i(x) |u|^{p^*_i(x)-2} u |x|^{s_i(x)} + f(x, u) \quad \text{in } \Omega, \quad u = 0 \text{ on } \partial \Omega,
\]
where $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ is a bounded domain with $0 \in \Omega$. The variable exponent $p(x)$ is Lipschitz continuous and radially symmetric, constrained by the growth condition $1 < p_- \leq p(x) \leq p_+ < N$. The functions $s_i(x)$ are also Lipschitz continuous and radially symmetric, satisfying $0 \leq s_i(x) \ll p(x)$ for all $i$. The critical Sobolev-Hardy exponent for each $i$ is defined as $p^*_i(x) = p(x) \cdot \frac{(N - s_i(x))}{N - p(x)}$, with $p^*_0(x) = p^*(x)$ being the critical Sobolev exponent. The $p(x)$-Laplacian operator is defined as $\Delta_{p(x)} u := \text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2} \nabla u)$, extending the classical $p$-Laplacian operator. The function $\psi(u)$ is defined by the integral $\psi(u) = \int_{\Omega} \frac{1}{p(x)} (|\nabla u|^{p(x)} + |u|^{p(x)}) \, dx$, and $M: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ is a continuous function constrained by growth conditions. The functions $h_i(x)$ are continuous and exhibit specific behavior near the origin, with a typical example being $h_i(x) = \frac{1}{|\ln |x||}$ for $x \neq 0$.
Discussion
In this section, the authors discuss the hypotheses and foundational results related to the function \( f: \Omega \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) within the context of a nonlocal \( p(x) \)-Laplacian Dirichlet problem. The function \( f \) is required to satisfy several conditions, including the Carathéodory condition and specific growth constraints characterized by constants \( c_1 \) and \( c_2 \). The authors build on previous work by Yu, Fu, and Li, which established a concentration-compactness principle for critical Sobolev-Hardy exponents, facilitating the analysis of singular problems involving variable exponent spaces.
The main result presented is Theorem 1.1, which asserts the existence of a sequence of solutions \( (u_n) \) in the Sobolev space \( W^{1,p(x)}_0(\Omega) \) such that the energy functional diverges to infinity as \( n \) approaches infinity. This indicates the presence of infinitely many solutions to the problem under consideration. The authors also highlight the relevance of their findings to various applications, including nonlinear elastic mechanics and dynamic models of electrorheological fluids, thereby underscoring the broader implications of their research in both mathematical and physical contexts. The section concludes by outlining the structure of the paper, indicating that subsequent sections will delve into Sobolev-Lebesgue spaces and the proof of the main theorem.