DOI: https://doi.org/10.1080/03610918.2026.2644579
تاريخ النشر: 2026-03-17
المؤلف: Nikolay Ivanov Nikolov وآخرون
الموضوع الرئيسي: الاحتمالات والبحث الإحصائي
نظرة عامة
تتناول هذه الورقة البحثية تحدي اختبار مساواة $k$ (حيث $k \geq 2$) دوال التوزيع في سياق الترتيب العشوائي. تقدم فئتين من اختبارات الرتبة التي تستخدم إحصائيات التقدم والتجاوز، موسعة المنهجيات المستخدمة في اختبار العينات الثنائية إلى عينات متعددة. بالإضافة إلى ذلك، يقترح المؤلفون فئة جديدة من البدائل بناءً على بديل ليهمان لمشكلة موقع العينات الثنائية، مما يسهل نهجًا أكثر عمومية لتقييم الترتيب العشوائي بين توزيعات متعددة.
تظهر الدراسة أن أي إحصائية اختبار رتبة مشتقة بموجب هذا البديل من نوع ليهمان خالية من التوزيع، مما يعزز قوة الاختبارات المقترحة. علاوة على ذلك، يتم تقييم دوال القوة لهذه العائلات الجديدة من اختبارات الرتبة ومقارنتها باختبار الرتبة المعروف جونكهير-تيربسترا، مما يوفر رؤى حول أدائها النسبي في اكتشاف الترتيب العشوائي بين عينات متعددة.
مقدمة
تتناول مقدمة هذه الورقة البحثية مشكلة اختبار فرضية العينات k، مع التركيز على اختبار تجانس عينات عشوائية مستقلة k ذات دوال توزيع مستمرة تمامًا. تفترض الفرضية الصفرية \( H_0 \) أن جميع التوزيعات متطابقة، بينما تشير الفرضية البديلة \( H_A \) إلى ترتيب صارم بينها. تؤكد الورقة على أهمية المناهج غير المعلمية في هذا السياق، خاصة بسبب التحديات التي تطرحها القيم الشاذة وعمومية التوزيعات البديلة. تستند إلى أعمال سابقة من تيربسترا وجونكهير، الذين اقترحوا اختبارًا غير معلمي يعتمد على إحصائيات مان-ويتني U لمقارنة مجموعات متعددة.
يقدم المؤلفون فئة جديدة من البدائل، موسعين إطار اختبار ليهمان للعينات الثنائية إلى سيناريوهات العينات k. يعرفون دوال توزيع جديدة تعتمد على إحصائيات الترتيب، والتي تحافظ على الترتيب العشوائي المتأصل في الفرضية البديلة. تهدف الورقة إلى التحقيق في اختبارات الرتبة باستخدام إحصائيات التقدم والتجاوز، مقترحة عائلتين من الإحصائيات التي تكون خالية من التوزيع بموجب البدائل الجديدة من نوع ليهمان. تشير المقدمة أيضًا إلى أبحاث سابقة هامة في هذا المجال، مبرزة تطور اختبارات الرتبة وتطبيقها على الاختبارات غير المعلمية متعددة العينات. ستفصل الأقسام اللاحقة من الورقة اشتقاق التوزيعات بموجب هذه البدائل، والاختبارات المقترحة للرتبة، ومقارنات دوال القوة الخاصة بها.
نقاش
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون توزيع الملاحظات المرتبة بموجب بدائل من نوع ليهمان، مؤكدين العلاقة بين إحصائيات الترتيب والرتب من عينات مستقلة. يعرفون متجه رتبة مرتبط بالملاحظات من $k$ عينات مستقلة، مؤكدين أن الرتب تتحدد بشكل فريد بواسطة الملاحظات عندما تكون الروابط غائبة. يقدم المؤلفون نظرية توفر احتمال ملاحظة ترتيب رتبة محدد بموجب فرضية البديل من نوع ليهمان، موضحين أن هذا الاحتمال مستقل عن التوزيع الأساسي، معتمدًا فقط على تبديل الرتب.
يمتد النقاش إلى أنواع مختلفة من بدائل ليهمان، بما في ذلك تعميم سافاج، الذي يؤدي إلى نظريات وتوابع إضافية تفصل توزيع إحصائيات الرتبة بموجب هذه البدائل. يقترح المؤلفون إطار اختبار غير معلمي يعتمد على متجهات الرتبة الملاحظة، والذي يتضمن بناء مقياس مسافة بين التبديلات لتقييم الفرضية الصفرية مقابل الفرضية البديلة. يقدمون فئتين من اختبارات الرتبة—اختبارات من نوع M واختبارات من نوع Šidák—مصممة لتقليل تأثير القيم الشاذة، ويقارنون أدائها مع اختبار جونكهير-تيربسترا. يختتم القسم بمناقشة حول قوة هذه الاختبارات بموجب بدائل من نوع ليهمان، مدعومة بمحاكاة مونت كارلو لتقييم فعاليتها في التطبيقات العملية.
DOI: https://doi.org/10.1080/03610918.2026.2644579
Publication Date: 2026-03-17
Author(s): Nikolay Ivanov Nikolov et al.
Primary Topic: Probability and Statistical Research
Overview
This paper addresses the challenge of testing the equality of $k$ (where $k \geq 2$) distribution functions in the context of stochastic ordering. It introduces two classes of rank tests that utilize precedence and exceedance statistics, extending the methodologies used in two-sample testing to multiple samples. Additionally, the authors propose a new subclass of alternatives based on the Lehmann alternative for the two-sample location problem, which facilitates a more generalized approach to assessing stochastic order among multiple distributions.
The study demonstrates that any rank test statistic derived under this new Lehmann-type alternative is distribution-free, enhancing the robustness of the proposed tests. Furthermore, the power functions of these new rank test families are evaluated and compared to the established Jonckheere-Terpstra rank test, providing insights into their relative performance in detecting stochastic ordering among multiple samples.
Introduction
The introduction of this research paper addresses the k-sample hypothesis testing problem, focusing on testing the homogeneity of k independent random samples with absolutely continuous distribution functions. The null hypothesis \( H_0 \) posits that all distributions are identical, while the alternative hypothesis \( H_A \) suggests a strict ordering among them. The paper emphasizes the importance of nonparametric approaches in this context, particularly due to the challenges posed by outliers and the generality of the alternative distributions. It builds upon earlier work by Terpstra and Jonckheere, who proposed a nonparametric test based on Mann-Whitney U-statistics for comparing multiple groups.
The authors introduce a subclass of alternatives, extending Lehmann’s two-sample testing framework to k-sample scenarios. They define new distribution functions based on order statistics, which maintain the stochastic ordering inherent in the alternative hypothesis. The paper aims to investigate rank tests utilizing precedence and exceedance statistics, proposing two families of statistics that are distribution-free under the new Lehmann-type alternatives. The introduction also references significant prior research in the field, highlighting the evolution of rank tests and their application to multi-sample nonparametric testing. The subsequent sections of the paper will detail the derivation of distributions under these alternatives, the proposed rank tests, and comparisons of their power functions.
Discussion
In this section, the authors explore the distribution of ordered observations under Lehmann-type alternatives, emphasizing the relationship between order statistics and ranks from independent samples. They define a rank vector associated with observations from $k$ independent samples, establishing that the ranks are uniquely determined by the observations when ties are absent. The authors present a theorem that provides the probability of observing a specific rank order under the Lehmann-type alternative hypothesis, demonstrating that this probability is independent of the underlying distribution, relying solely on the rank permutation.
The discussion extends to various types of Lehmann alternatives, including Savage’s generalization, which leads to additional theorems and corollaries detailing the distribution of rank statistics under these alternatives. The authors propose a nonparametric testing framework based on observed rank vectors, which involves constructing a distance metric between permutations to assess the null hypothesis against an alternative hypothesis. They introduce two classes of rank tests—M-type and Šidák-type tests—designed to reduce the influence of outliers, and compare their performance with the Jonckheere-Terpstra test. The section concludes with a discussion on the power of these tests under Lehmann-type alternatives, supported by Monte Carlo simulations to evaluate their effectiveness in practical applications.