DOI: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2026.105761
تاريخ النشر: 2026-01-09
المؤلف: Rafael Azuaje وآخرون
الموضوع الرئيسي: أبحاث الهندسة التفاضلية المتقدمة
نظرة عامة
تستكشف هذه الورقة مفاهيم التحولات الكانونية والكانونية في سياق ميكانيكا هاملتونية المطبقة على المانيفولدات السمبليكتية المتوافقة محليًا. تتناول الديناميات المستقلة عن الزمن والديناميات المعتمدة على الزمن، مقدمة إطارًا شاملاً لفهم هذه التحولات.
بالإضافة إلى ذلك، يقوم المؤلفون بصياغة وإثبات نظريات شبيهة بنظرية نوثر التي تربط بين مجموعات التحولات ذات المعامل الواحد مع كل من التناظرات الكانونية وغير الكانونية. يتم توضيح هذه النظريات بشكل أكبر من خلال أمثلة أساسية، مما يوضح قابليتها للتطبيق وأهميتها ضمن الإطار النظري الم discussed.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية المفاهيم الراسخة للتحولات الكانونية في الميكانيكا الكلاسيكية وتقدم الفكرة الأقل استكشافًا للتحولات الكانونية، التي تعتبر مهمة بسبب ارتباطها بالهياكل ثنائية هاملتون. تم تقديم التحولات الكانونية، التي تم تقديمها لأول مرة في دراسات سابقة، في سياق الديناميات الهاملتونية على المانيفولدات بواسون والاتصال. كما تسلط الورقة الضوء على أهمية المانيفولدات السمبليكتية المتوافقة محليًا (LCS)، التي تم دراستها بشكل مكثف وتعتبر ذات صلة بأنظمة ميكانيكية متنوعة، بما في ذلك الديناميات الإيزوكينيتية الغاوسية وديناميات نوز-هوفر.
الهدف الرئيسي من هذه الورقة هو توسيع مفاهيم التحولات الكانونية والكانونية إلى ميكانيكا هاملتونية على المانيفولدات LCS. تقترح تعريفات لهذه التحولات وتستكشف تناظراتها المرتبطة، بما في ذلك التناظرات الكانونية التي تعمل كمولدات لانهائية لمجموعات التحولات الكانونية ذات المعامل الواحد، والتناظرات غير الكانونية المتعلقة بالتحولات الكانونية. من الجدير بالذكر أن الورقة تؤسس فئة خاصة من التناظرات الكانونية، التي تُسمى تناظرات نوثر، والتي ترتبط بالكميات المبددة وتحافظ على عدم تغير هاملتوني. يتم توضيح تنظيم الورقة، مع تفاصيل استكشاف المانيفولدات LCS، والأنظمة الهاملتونية، وخصائص كل من التحولات الكانونية والكانونية عبر الديناميات المستقلة عن الزمن والديناميات المعتمدة على الزمن.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون ميكانيكا هاملتونية على المانيفولدات السمبليكتية المتوافقة محليًا (LCS)، مقدمة تعريفات وأطر لكل من الديناميات المستقلة عن الزمن والديناميات المعتمدة على الزمن. يتميز المانيفولد LCS بشكل 2 غير متدهور $\Omega$ وشكل 1 مغلق $\theta$ بحيث $d\Omega = \theta \wedge \Omega$. يقوم المؤلفون بتعريف مجالات المتجهات الهاملتونية على هذه المانيفولدات، مؤكدين الشروط التي يكون فيها مجال المتجه هاملتونيًا أو هاملتونيًا محليًا. يستخلصون معادلات هاملتونية LCS الصريحة التي تحكم ديناميات النظام، مع التأكيد على دور الدالة الهاملتونية $H$.
يستكشف القسم أيضًا الديناميات المعتمدة على الزمن، مقدماً دالة هاملتونية معتمدة على الزمن ويعرف مجالات المتجهات الهاملتونية المقابلة على فضاء الطور الممتد $R \times M$. كما يقدم المؤلفون مفهوم التحولات الكانونية، التي تحافظ على هيكل LCS، ويمددون هذا المفهوم إلى التحولات الكانونية، التي تتعلق بالديناميات الهاملتونية على المانيفولدات LCS. يت culminate النقاش في تقديم التناظرات القابلة للتغيير، وهي تحولات محددة تعيد قياس ديناميات النظام، ويقدم المؤلفون الشروط التي توجد بموجبها هذه التناظرات وآثارها على الهيكل الهاملتوني.
DOI: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2026.105761
Publication Date: 2026-01-09
Author(s): Rafael Azuaje et al.
Primary Topic: Advanced Differential Geometry Research
Overview
This paper explores the concepts of canonical and canonoid transformations in the context of Hamiltonian Mechanics applied to locally conformal symplectic manifolds. It addresses both time-independent and time-dependent dynamics, providing a comprehensive framework for understanding these transformations.
Additionally, the authors formulate and prove Noether-like theorems that connect one-parameter groups of transformations with both canonical and noncanonical symmetries. These theorems are further elucidated through elementary examples, demonstrating their applicability and significance within the discussed theoretical framework.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the established concepts of canonical transformations in Classical Mechanics and introduces the less-explored notion of canonoid transformations, which are significant due to their connection to bi-Hamiltonian structures. Canonoid transformations, first introduced in prior studies, have been examined in the context of Hamiltonian dynamics on Poisson and contact manifolds. The paper also highlights the importance of locally conformal symplectic (LCS) manifolds, which have been studied extensively and are relevant to various mechanical systems, including Gaussian isokinetic and Nosé-Hoover dynamics.
The primary aim of this paper is to extend the notions of canonical and canonoid transformations to Hamiltonian Mechanics on LCS manifolds. It proposes definitions for these transformations and explores their associated symmetries, including canonical symmetries that act as infinitesimal generators of one-parameter groups of canonical transformations, and noncanonical scaling symmetries related to canonoid transformations. Notably, the paper establishes a special class of canonical symmetries, termed Noether symmetries, which are linked to dissipated quantities and maintain Hamiltonian invariance. The organization of the paper is outlined, detailing the exploration of LCS manifolds, Hamiltonian systems, and the properties of both canonical and canonoid transformations across time-independent and time-dependent dynamics.
Discussion
In this section, the authors discuss Hamiltonian mechanics on locally conformal symplectic (LCS) manifolds, providing definitions and frameworks for both time-independent and time-dependent dynamics. An LCS manifold is characterized by a non-degenerate 2-form $\Omega$ and a closed 1-form $\theta$ such that $d\Omega = \theta \wedge \Omega$. The authors define Hamiltonian vector fields on these manifolds, establishing the conditions under which a vector field is Hamiltonian or locally Hamiltonian. They derive explicit LCS Hamilton equations that govern the dynamics of the system, emphasizing the role of the Hamiltonian function $H$.
The section further explores time-dependent dynamics, introducing a time-dependent Hamiltonian and defining the corresponding Hamiltonian vector fields on the extended phase space $R \times M$. The authors also present the concept of canonical transformations, which preserve the LCS structure, and extend this notion to canonoid transformations, which relate to the Hamiltonian dynamics on LCS manifolds. The discussion culminates in the introduction of scaling symmetries, which are specific transformations that rescale the dynamics of the system, and the authors provide conditions under which these symmetries exist and their implications for the Hamiltonian structure.