DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2026.115185
تاريخ النشر: 2026-07-06
المؤلف: Guoqiang Lei وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقليل النماذج والشبكات العصبية
نظرة عامة
تقدم ورقة البحث شبكة عصبية مستنيرة بالفيزياء (DPINN) مدركة للانقطاع تهدف إلى تعزيز دقة المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) التي تتميز بانتقالات مكانية حادة وتغيرات زمنية سريعة. تواجه الشبكات العصبية المستنيرة بالفيزياء التقليدية (PINNs) تحديات مثل التحيز الطيفي وعدم الاستقرار العددي، خاصة عند التعامل مع الانقطاعات. تعالج طريقة DPINN هذه القضايا من خلال عدة مكونات مبتكرة: طبقة تضمين ميزات فورييه التكيفية لتقليل التحيز الطيفي والتقاط التدرجات الحادة بفعالية، شبكة مدركة للانقطاع توسع نظرية تمثيل كولموغوروف لنمذجة موجات الصدمة، تقنيات تحويل الشبكة لتحسين التقارب في الهندسات المعقدة، ولزوجة اصطناعية محلية قابلة للتعلم لاستقرار الحلول بالقرب من الانقطاعات.
تظهر التجارب العددية التي أجريت على معادلة بورجرز غير اللزجة، ومشاكل ريمان، وتدفقات الأجنحة الهوائية تحت الصوتية وفوق الصوتية أن DPINN تتفوق بشكل كبير على الطرق الحالية في حل الانقطاعات بدقة. بينما تظهر الطريقة وعدًا في تحقيق دقة عالية مع عدد أقل من المعلمات، فإنها تقدم أيضًا تحديات تتعلق بالكفاءة الحسابية بسبب العبء الإضافي الناتج عن مصطلح اللزوجة الاصطناعية. ستركز الأعمال المستقبلية على دمج مخططات التقاط الصدمات المعتمدة على الذكاء الاصطناعي وآليات الانتباه لتوسيع قدرات DPINN لتشمل التدفقات غير المستقرة ثلاثية الأبعاد، مما يعزز قابليتها للتطبيق في نمذجة الظواهر الفيزيائية المعقدة.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة التحديات المرتبطة بحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) التي تظهر حلولًا غير متصلة، والتي تكون شائعة في مجالات علمية وهندسية متنوعة، بما في ذلك الديناميكا الهوائية وتدفقات متعددة الطور. تكافح الطرق العددية التقليدية، مثل المخططات الطيفية، مع هذه الانقطاعات، مما يؤدي إلى تذبذبات غير فيزيائية بسبب ظاهرة جيبس. بينما تم تطوير العديد من التقنيات لاستقرار الحلول بالقرب من الانقطاعات – مثل طرق اللزوجة الاصطناعية والمخططات عالية الدقة مثل الأساليب غير التذبذبية الأساسية الموزونة (WENO) – فإن تكاليفها الحسابية العالية تحد من تطبيقها في المهام التي تتطلب تقييمات متعددة للمعلمات، مثل التحسين والتحكم.
لمعالجة هذه التحديات، تقدم الورقة نهجًا جديدًا يسمى شبكة عصبية مستنيرة بالفيزياء مدركة للانقطاع (DPINN). تعزز هذه الطريقة الدقة وتقلل من عدد المعلمات المطلوبة لحسابات الانقطاع من خلال استخدام طبقة تضمين ميزات فورييه التكيفية وشبكة كولموغوروف-أرنولد المدركة للانقطاع (DKAN). تتضمن DPINN أيضًا تقنيات تحويل الشبكة واستراتيجيات لزوجة اصطناعية محلية قابلة للتعلم لتحسين التقارب واستقرار الحلول بالقرب من الانقطاعات. ستفصل الأقسام التالية من الورقة منهجية DPINN، وتظهر أدائها المتفوق من خلال المحاكاة، وتناقش مساهماتها وقيودها.
طرق
تعتبر طريقة DPINN حلاً متقدمًا قائمًا على الذكاء الاصطناعي (AI) مصممًا لمعالجة المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) التي تتميز بحلول غير متصلة. تدمج هذه المنهجية عدة استراتيجيات مبتكرة، بما في ذلك التعديلات على الهيكل، ودوال الخسارة، وعمليات التدريب، والاعتبارات الفيزيائية. يستخدم الهيكل إطار شبكة عصبية مستنيرة بالفيزياء (PINN) يعمل بشكل مستقل عن البيانات السابقة، بينما يتم تقديم طبقة تضمين ميزات فورييه التكيفية لتقليل التحيز الطيفي والتقاط الانتقالات الحادة في الحل بدقة.
بالإضافة إلى ذلك، تتضمن الطريقة هيكل شبكة مدركة للانقطاع (DKAN)، التي تستخدم دوال تنشيط مدركة للانقطاع لنمذجة ظواهر موجات الصدمة بدقة. لتعزيز التقارب في السيناريوهات الهندسية المعقدة، يتم تطبيق تقنيات تحويل الشبكة. علاوة على ذلك، يتم تنفيذ لزوجة اصطناعية محلية قابلة للتعلم، تحديدًا في المناطق المحددة بواسطة مستشعر صدمة، لاستقرار الحلول بالقرب من الانقطاعات. تحسن هذه الاستراتيجيات المدمجة بشكل كبير من أداء طريقة DPINN في حل المعادلات التفاضلية الجزئية الصعبة.
نتائج
تقيّم قسم النتائج فعالية الطريقة المقترحة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) التي تتميز بانتقالات مكانية حادة وتغيرات زمنية سريعة. يتم تقييم أداء الطريقة مقارنة بأحدث التقنيات من حيث الدقة وعدد المعلمات عبر معادلات وأبعاد مختلفة. تركز الاختبارات الأولية على معادلة بورجرز غير اللزجة أحادية البعد القياسية، تليها تطبيقات على تدفق تحت الصوت حول جناح هوائي مع صدمات طبيعية، وتقييمات إضافية لتدفق الجناح الهوائي فوق الصوتي، والتي تشمل تعقيدات مثل صدمات القوس المنفصلة في المقدمة وصدمات مائلة في الحافة الخلفية.
لتحديد دقة الحلول، يتم استخدام ثلاثة مقاييس خطأ: \( R_1 = \frac{\| u_{\text{true}} – u \|_1}{\| u_{\text{true}} \|_1} \)، \( R_2 = \frac{\| u_{\text{true}} – u \|_2}{\| u_{\text{true}} \|_2} \)، و\( R_{\text{front}} = \frac{\| x_{\text{front,true}} – x_{\text{front}} \|_2}{\| x_{\text{front,true}} \|_2} \). هنا، \( \| \cdot \|_1 \) و \( \| \cdot \|_2 \) تشير إلى معايير L1 و L2، على التوالي، بينما يقيس \( R_{\text{front}} \) خطأ الموضع النسبي لجبهة الصدمة بين الحل الدقيق والحل المقترح. تظهر النتائج قدرة الطريقة على التعامل بفعالية مع سيناريوهات التدفق المعقدة.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون التقدم في الشبكات العصبية المستنيرة بالفيزياء (PINNs) لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs)، مع التركيز بشكل خاص على دمج تقنيات متنوعة لتعزيز الدقة والكفاءة. يقوم إطار PINN بتحسين معلمات الشبكة العصبية لتقليل دالة خسارة تتضمن خسائر PDE، والخسائر الأولية، وخسائر شروط الحدود، مما يسمح بحلول تقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية. يقدم المؤلفون تضمين ميزات فورييه التكيفية لمعالجة التحيز الطيفي للشبكات العصبية القياسية، التي تكافح مع المكونات عالية التردد. يتم تحقيق ذلك من خلال طبقة ميزات فورييه عشوائية (RFF) وشبكة فورييه كولموغوروف-أرنولد (KAF) التي تلتقط ميزات متعددة التردد بشكل تكيفي.
كما يقدم القسم شبكة كولموغوروف-أرنولد المدركة للانقطاع (DKAN)، المصممة لتقريب الدوال غير المتصلة بشكل أكثر فعالية من الشبكات متعددة الطبقات التقليدية (MLPs). تستخدم DKAN دوال تنشيط مدركة للانقطاع قابلة للتعلم، مما يعزز قدرة الشبكة على نمذجة الانتقالات الحادة. بالإضافة إلى ذلك، يقترح المؤلفون طريقة لزوجة اصطناعية محلية قابلة للتعلم (AV) لاستقرار عملية التدريب وتحسين التقاط الصدمات في محاكيات الديناميكا الهوائية. يتم إثبات فعالية هذه الطرق من خلال تجارب عددية متنوعة، بما في ذلك معادلة بورجرز غير اللزجة وتدفقات تحت الصوت حول جناح هوائي، حيث تتفوق DPINN المقترحة على الطرق التقليدية من حيث الدقة والكفاءة الحسابية، محققة تحسينات كبيرة في التقاط الانقطاعات مع الحاجة إلى عدد أقل من المعلمات.
DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2026.115185
Publication Date: 2026-07-06
Author(s): Guoqiang Lei et al.
Primary Topic: Model Reduction and Neural Networks
Overview
The research paper introduces a discontinuity-aware physics-informed neural network (DPINN) aimed at enhancing the resolution of partial differential equations (PDEs) characterized by sharp spatial transitions and rapid temporal changes. Traditional physics-informed neural networks (PINNs) face challenges such as spectral bias and numerical instability, particularly when dealing with discontinuities. The DPINN method addresses these issues through several innovative components: an adaptive Fourier-feature embedding layer to reduce spectral bias and effectively capture steep gradients, a discontinuity-aware network that extends the Kolmogorov representation theorem for shockwave modeling, mesh transformation techniques for improved convergence in complex geometries, and learnable local artificial viscosity to stabilize solutions near discontinuities.
Numerical experiments conducted on the inviscid Burgers’ equation, Riemann problems, and transonic and supersonic airfoil flows demonstrate that DPINN significantly outperforms existing methods in accurately resolving discontinuities. While the method shows promise in achieving high accuracy with fewer parameters, it also presents challenges related to computational efficiency due to the additional overhead from the artificial viscosity term. Future work will focus on integrating AI-based shock-capturing schemes and attention mechanisms to extend the capabilities of DPINN to three-dimensional unsteady flows, thereby enhancing its applicability in modeling complex physical phenomena.
Introduction
The introduction of the paper discusses the challenges associated with solving partial differential equations (PDEs) that exhibit discontinuous solutions, which are common in various scientific and engineering fields, including aerodynamics and multiphase flows. Traditional numerical methods, such as spectral schemes, struggle with these discontinuities, leading to non-physical oscillations due to the Gibbs phenomenon. While numerous techniques have been developed to stabilize solutions near discontinuities—such as artificial viscosity methods and high-resolution schemes like weighted essentially non-oscillatory (WENO) approaches—their high computational costs limit their application in tasks requiring multiple parameter evaluations, such as optimization and control.
To address these challenges, the paper introduces a novel approach called the discontinuity-aware physics-informed neural network (DPINN). This method enhances accuracy and reduces the number of parameters needed for discontinuity calculations by utilizing an adaptive Fourier-feature embedding layer and a discontinuity-aware Kolmogorov-Arnold network (DKAN). The DPINN also incorporates mesh transformation and learnable local artificial viscosity strategies to improve convergence and stabilize solutions near discontinuities. The subsequent sections of the paper will detail the DPINN methodology, demonstrate its superior performance through simulations, and discuss its contributions and limitations.
Methods
The DPINN method is an advanced artificial intelligence (AI)-based solver designed to effectively address partial differential equations (PDEs) characterized by discontinuous solutions. This methodology integrates several innovative strategies, including modifications to the architecture, loss functions, training processes, and physics considerations. The architecture employs a Physics-Informed Neural Network (PINN) framework that operates independently of prior data, while an adaptive Fourier-feature embedding layer is introduced to reduce spectral bias and accurately capture sharp transitions in the solution.
Additionally, the method incorporates the Discontinuity-Knowledge Aware Network (DKAN) architecture, which utilizes discontinuity-aware activation functions to model shock-wave phenomena with precision. To enhance convergence in complex geometrical scenarios, mesh transformation techniques are applied. Furthermore, local learnable artificial viscosity is implemented, specifically in regions identified by a shock sensor, to stabilize the solutions in proximity to discontinuities. These combined strategies significantly improve the performance of the DPINN method in solving challenging PDEs.
Results
The results section evaluates the efficacy of the proposed method for solving partial differential equations (PDEs) characterized by sharp spatial transitions and rapid temporal changes. The method’s performance is benchmarked against state-of-the-art techniques in terms of accuracy and parameter count across various equations and dimensions. Initial tests focus on the standard one-dimensional inviscid Burgers’ equation, followed by applications to transonic flow around an airfoil with normal shocks, and further assessments for supersonic airfoil flow, which includes complexities such as upstream detached bow shocks and trailing-edge oblique shocks.
To quantify the accuracy of the solutions, three error metrics are utilized: \( R_1 = \frac{\| u_{\text{true}} – u \|_1}{\| u_{\text{true}} \|_1} \), \( R_2 = \frac{\| u_{\text{true}} – u \|_2}{\| u_{\text{true}} \|_2} \), and \( R_{\text{front}} = \frac{\| x_{\text{front,true}} – x_{\text{front}} \|_2}{\| x_{\text{front,true}} \|_2} \). Here, \( \| \cdot \|_1 \) and \( \| \cdot \|_2 \) denote the L1 and L2 norms, respectively, while \( R_{\text{front}} \) measures the relative position error of the shock front between the exact and the proposed solution. The results demonstrate the method’s capability to handle complex flow scenarios effectively.
Discussion
In this section, the authors discuss the advancements in Physics-Informed Neural Networks (PINNs) for solving partial differential equations (PDEs), particularly focusing on the integration of various techniques to enhance accuracy and efficiency. The PINN framework optimizes neural network parameters to minimize a loss function that incorporates PDE, initial, and boundary condition losses, allowing for approximate solutions to PDEs. The authors introduce Adaptive Fourier-feature embedding to address the spectral bias of standard neural networks, which struggle with high-frequency components. This is achieved through a Random Fourier-feature (RFF) layer and a Kolmogorov-Arnold Fourier network (KAF) that adaptively captures multi-frequency features.
The section also presents the Discontinuity-aware Kolmogorov-Arnold Network (DKAN), designed to approximate discontinuous functions more effectively than traditional multilayer perceptrons (MLPs). The DKAN employs learnable discontinuous-aware activation functions, which enhance the network’s ability to model sharp transitions. Additionally, the authors propose a learnable local artificial viscosity (AV) method to stabilize the training process and improve shock capturing in fluid dynamics simulations. The effectiveness of these methods is demonstrated through various numerical experiments, including the inviscid Burgers’ equation and transonic flows around an airfoil, where the proposed DPINN outperforms conventional methods in terms of accuracy and computational efficiency, achieving significant improvements in capturing discontinuities while requiring fewer parameters.