DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-45062-7
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41975189
تاريخ النشر: 2026-04-13
المؤلف: Galal M. Moatimid وآخرون
الموضوع الرئيسي: الاهتزاز والتحليل الديناميكي
نظرة عامة
تدرس هذه الدراسة ديناميات مذبذبات فان دير بول ورايلي مع تأثيرات التأخير الزمني، مع التركيز على استقرارها، وتفرعاتها، وخصائصها الديناميكية الفريدة. من خلال استخدام نهج غير مضطرب، تحول البحث المذبذبات غير الخطية الضعيفة الموصوفة بمعادلات تفاضلية عادية إلى أشكال خطية، مما يسمح بتحليل شامل لكل من السعات الاهتزازية الصغيرة والكبيرة دون قيود توسيع المعلمات الصغيرة. تكشف النتائج عن علاقة قوية بين التنبؤات التحليلية والنماذج غير الخطية الأصلية، مما يؤكد قوة الإطار المقترح. يبرز تحليل الاستقرار، الذي تم إجراؤه من خلال محاكاة عددية تشمل صور الطور ومخططات التفرع، الأداءات الاستقرارية المتناقضة لأنواع المذبذبات، مما يبرز الأدوار الحاسمة للتخميد غير الخطي، وسعة الإثارة، والتردد الطبيعي، وتأخير الزمن في تشكيل الاستجابة الديناميكية للنظام.
تؤكد الاستنتاجات المستخلصة من هذا العمل على التأثير الكبير لتأخير الزمن والإثارة غير الخطية على مشهد الاستقرار لمذبذب ماثيو غير الخطي. تحلل الدراسة بشكل منهجي خصائص الاستقرار لكلا تكوينات المذبذبات، كاشفة أن زيادة التردد الطبيعي تعزز الاستقرار في مذبذب فان دير بول بينما تؤدي إلى عدم استقراره من خلال التخميد غير الخطي. على العكس، يستفيد مذبذب رايلي من مصطلح تخميد غير خطي مكعب مستقر، على الرغم من أن الترددات الطبيعية الأعلى تقلل من نطاق تشغيله المستقر. كما تحقق الدراسة من نتائجها التحليلية مقابل المحاكاة العددية، مستخدمة أدوات تشخيصية متنوعة لاستكشاف الانتقالات بين السلوكيات الدورية، شبه الدورية، والفوضوية. في النهاية، يكشف هذا العمل عن انتقالات استقرار جديدة وآليات عدم الاستقرار الناتجة عن التأخير، مما يوفر رؤى قيمة لتصميم وتحليل الأنظمة الاهتزازية التي تتحكم فيها التأخيرات في التطبيقات الهندسية.
طرق
تُوضح منهجية NPA بشكل منهجي من خلال مخطط انسيابي مصمم لتعزيز الوضوح وقابلية التكرار في العملية التحليلية. يوضح هذا النهج المنظم التسلسل المنطقي للمنهجية، خاصة كيف يعيد صياغة معادلة تفاضلية عادية غير خطية (ODE) إلى معادلة خطية مكافئة. تبدأ العملية بتقديم حل تجريبي مناسب، والذي يشكل الأساس للتحويل التحليلي. يتم استخدام محاكاة عددية لاحقة للتحقق من اتساق النموذج المعاد صياغته مع النظام غير الخطي الأصلي.
تُنظم النتائج الرئيسية في شكل جداول، مما يسهل تقييمًا شفافًا لدقة وخصائص الاستقرار. لا يعالج هذا الإطار التحليلي-العددي فقط قيود طرق الاضطراب التقليدية، بل يوسع أيضًا التغطية التحليلية لمساحة المعلمات، كما تؤكده المحاكاة العددية عبر أنظمة مختلفة. من منظور عملي، تثبت منهجية NPA فعاليتها وقوتها في التنبؤ والتحكم في الاستجابات الديناميكية المعقدة في الأنظمة غير الخطية، مثل تخفيف الاهتزازات مع أحواض الطاقة غير الخطية، وأجهزة MEMS/NEMS، وأنظمة حصاد الطاقة، والمذبذبات المتصلة، حيث تعتبر غير الخطيات القوية وحساسية المعلمات عوامل حاسمة.
نتائج
في هذا القسم، يتحقق المؤلفون من نتائجهم التحليلية من خلال سلسلة من المحاكاة العددية، إلى جانب مقارنات جدولية ورسومية. تخدم هذه الطرق لتأكيد دقة وقوة الإطار غير المضطرب المقترح. بالإضافة إلى ذلك، تُقارن النتائج مع الدراسات الحالية، مما يعزز مصداقية النتائج التي تم الحصول عليها. يضمن هذا النهج الشامل أن الاستنتاجات المستخلصة مدعومة جيدًا وموثوقة في سياق البحث.
مناقشة
يقدم قسم المناقشة في الورقة نموذج ديناميكي غير خطي لمذبذب ذو درجة حرية واحدة (1DOF)، مع التركيز على قدرته على التقاط سلوكيات اهتزازية معقدة بسبب التخميد غير الخطي، والإثارة المعلمية، والقوى الخارجية. يتضمن النموذج آلية تغذية راجعة بتأخير زمني، تتميز بعامل كسب $g_1$ وتأخير زمني $\tau$، والذي يؤثر بشكل كبير على ديناميات النظام. عندما يتم تعيين $g_1$ إلى الصفر، ينخفض النظام إلى حالة غير خاضعة للتحكم، بينما يسمح تغيير $g_1$ و$\tau$ بتحليل شامل لخصائص الاستقرار والاستجابة. يتم اشتقاق المعادلة التفاضلية العادية غير الخطية غير البعدية الحاكمة من أعمال سابقة، مما يمكّن من مقارنة مباشرة بين الأساليب التحليلية المعتمدة على الاضطراب وغير المضطربة.
تستكشف الورقة شكلين من التخميد غير الخطي: مذبذب فان دير بول، الذي يتميز بتخميد يعتمد على السعة، ومذبذب رايلي، الذي يتميز بتخميد يعتمد على السرعة. يؤدي كل آلية تخميد إلى أداء ديناميكي متميز عند دمجها مع الإثارة المعلمية وتغذية راجعة بتأخير زمني. يتم استخدام الإطار التحليلي، الذي يُطلق عليه تحليل غير مضطرب (NPA)، لاشتقاق شروط الاستقرار وحلول تقريبية لكلا المذبذبات. يتم التحقق من النتائج من خلال مقارنات عددية، مما يوضح فعالية NPA في التقاط ديناميات النظام غير الخطية بدقة وتأثير التأخيرات الزمنية. تسلط النتائج الضوء على الدور الحاسم لنوع التخميد وتأخير الزمن في تشكيل استجابة المذبذب، واستقراره، وآليات نقل الطاقة، مما يوفر رؤى ذات صلة للتطبيقات الهندسية العملية التي تتضمن أنظمة تغذية راجعة مؤجلة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-45062-7
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41975189
Publication Date: 2026-04-13
Author(s): Galal M. Moatimid et al.
Primary Topic: Vibration and Dynamic Analysis
Overview
This study investigates the dynamics of van der Pol and Rayleigh oscillators with time-delayed effects, focusing on their stability, bifurcations, and unique dynamical properties. By employing a non-perturbative approach, the research transforms weakly nonlinear oscillators described by ordinary differential equations into linear forms, allowing for a comprehensive analysis of both small and large oscillatory amplitudes without the limitations of small parameter expansions. The findings reveal a strong correlation between the analytical predictions and the original nonlinear models, confirming the robustness of the proposed framework. The stability analysis, conducted through numerical simulations including phase portraits and bifurcation diagrams, highlights the contrasting stability performances of the two oscillator types, emphasizing the critical roles of nonlinear damping, excitation amplitude, natural frequency, and time delay in shaping the system’s dynamic response.
The conclusions drawn from this work underscore the significant impact of time delay and nonlinear excitation on the stability landscape of the nonlinear Mathieu oscillator. The study systematically analyzes the stability characteristics for both oscillator configurations, revealing that increasing natural frequency enhances stability in the van der Pol oscillator while destabilizing it through nonlinear damping. Conversely, the Rayleigh oscillator benefits from a stabilizing cubic nonlinear damping term, although higher natural frequencies reduce its stable operating domain. The research further validates its analytical findings against numerical simulations, employing various diagnostic tools to explore transitions between periodic, quasi-periodic, and chaotic behaviors. Ultimately, this work uncovers new stability transitions and delay-induced instability mechanisms, providing valuable insights for the design and analysis of delay-controlled oscillatory systems in engineering applications.
Methods
The NPA methodology is systematically outlined through a flowchart designed to enhance clarity and reproducibility in the analytical process. This structured approach illustrates the logical sequence of the methodology, particularly how it reformulates a nonlinear ordinary differential equation (ODE) into a linear equivalent. The process begins with the introduction of a suitable trial solution, which forms the basis for the analytical transformation. Subsequent numerical simulations are employed to validate the consistency of the reformulated model with the original nonlinear system.
Key findings are organized in tabulated form, facilitating a transparent assessment of accuracy and stability characteristics. This combined analytical-numerical framework not only addresses the limitations of traditional perturbation methods but also extends the analytical coverage of the parameter space, as confirmed by numerical simulations across various regimes. From a practical standpoint, the NPA methodology proves efficient and robust for predicting and controlling complex dynamical responses in nonlinear systems, such as vibration mitigation with nonlinear energy sinks, MEMS/NEMS devices, energy harvesting systems, and coupled oscillators, where strong nonlinearities and parameter sensitivity are critical factors.
Results
In this section, the authors validate their analytical results through a series of numerical simulations, alongside tabular and graphical comparisons. These methods serve to confirm the accuracy and robustness of the proposed non-perturbative framework. Additionally, the findings are juxtaposed with existing studies, further reinforcing the credibility of the results obtained. This comprehensive approach ensures that the conclusions drawn are well-supported and reliable within the context of the research.
Discussion
The discussion section of the paper presents a nonlinear dynamic model of a single-degree-of-freedom (1DOF) oscillator, emphasizing its ability to capture complex oscillatory behaviors due to nonlinear damping, parametric excitation, and external forcing. The model incorporates a time-delayed feedback mechanism, characterized by a gain factor $g_1$ and a time delay $\tau$, which significantly influences the system’s dynamics. When $g_1$ is set to zero, the system reduces to an uncontrolled state, while varying $g_1$ and $\tau$ allows for a comprehensive analysis of stability and response characteristics. The governing dimensionless nonlinear ordinary differential equation (ODE) is derived from previous work, enabling a direct comparison between perturbation-based and non-perturbative analytical approaches.
The paper explores two forms of nonlinear damping: the van der Pol oscillator, which features amplitude-dependent damping, and the Rayleigh oscillator, characterized by velocity-dependent damping. Each damping mechanism leads to distinct dynamical performances when combined with parametric excitation and time-delayed feedback. The analytical framework, termed Non-Perturbative Analysis (NPA), is employed to derive stability conditions and approximate solutions for both oscillators. The results are validated through numerical comparisons, demonstrating the NPA’s effectiveness in accurately capturing the system’s nonlinear dynamics and the impact of time delays. The findings highlight the critical role of damping type and time delay in shaping the oscillator’s response, stability, and energy transfer mechanisms, providing insights relevant for practical engineering applications involving delayed feedback systems.