DOI: https://doi.org/10.46793/kgjmat2605.827s
تاريخ النشر: 2026-06-16
المؤلف: DJAZIA SAADI وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية المجموعات الضبابية والناعمة
نظرة عامة
توسع هذه الورقة المفاهيم الأساسية للعلاقات الضبابية، والشبكات الضبابية، والعلاقات الضبابية الحدسية، والشبكات الضبابية الحدسية في سياق مجموعات الصورة الضبابية. تفحص هيكل مجموعة \( D^* \) من قيم العضوية المرتبطة بمجموعات الصورة الضبابية، وتناقش خصائصها الأساسية. يقدم المؤلفون مفاهيم مرشحات الصورة الضبابية ضمن الشبكات الواضحة، بالإضافة إلى المرشحات الواضحة في الشبكات الضبابية، ويستكشفون خصائصها واختلافاتها. بالإضافة إلى ذلك، يقدمون توصيفات لمرشحات الصورة الضبابية في الشبكات الضبابية ويحددون الشروط اللازمة والكافية لتأهل مجموعة فرعية ضبابية كمرشح رئيسي للصورة الضبابية.
في الختام، يحدد المؤلفون اتجاهات بحثهم المستقبلية، والتي تشمل تحسين القوانين المرتبطة بـ \( D^* \) لضمان تشكيلها لشبكة كاملة والتحقيق في الهيكل الجبري لـ \( D^* \). يخططون لتوصيف مرشحات الصورة الضبابية الرئيسية والمثل العليا للصورة الضبابية ضمن الشبكات الضبابية، وتقديم مفاهيم التحويلات المتجانسة للصورة الضبابية والتجانس، وتطوير النظريات ذات الصلة. علاوة على ذلك، يهدفون إلى دراسة الشبكات الضبابية t، وهي الشبكات الضبابية بالنسبة لمعيار مثلثي، واستكشاف مرشحات الصورة الضبابية t.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على ضرورة وجود أدوات رياضية متقدمة لمعالجة عدم اليقين السائد في سيناريوهات الحياة الواقعية المختلفة. كانت الطرق التقليدية، مثل المجموعات الضبابية والمجموعات الضبابية الحدسية، أساسية في هذا المجال، مع مساهمات كبيرة من رواد مثل زاده وأتاناسوف. لقد تم دراسة هذه الأدوات بشكل مكثف، خاصة فيما يتعلق بالشبكات الضبابية والمرشحات، والتي تعتبر ضرورية في الجبر والمنطق. ومع ذلك، غالبًا ما تفشل النماذج الحالية في التقاط تعقيدات بعض المشاكل، مثل سيناريوهات التصويت حيث يمكن تصنيف القرارات إلى ثلاثة أنواع متميزة: نعم، لا، وامتناع.
لمعالجة هذه القيود، قدم كوانغ وكراينوفيتش مفهوم “مجموعات الصورة الضبابية” في عام 2013، والذي يوسع نطاق المجموعات الضبابية والمجموعات الضبابية الحدسية من خلال دمج درجات العضوية الإيجابية والسلبية والمحايدة التي تجمع إلى واحد أو أقل. لا يمتلك هذا الإطار المبتكر هيكلًا رياضيًا قويًا فحسب، بل يظهر أيضًا مرونة عبر تطبيقات متنوعة، بما في ذلك اتخاذ القرار والتشخيص الطبي. توضح الورقة هيكلها، مشيرة إلى أن الأقسام التالية ستتعمق في المفاهيم الأساسية المتعلقة بالمجموعات الضبابية ومجموعات الصورة الضبابية، وتستكشف خصائص العلاقات الضبابية، وتوسع النظريات الحالية إلى الشبكات الضبابية والمرشحات، مما يسهم في فهم أكثر شمولاً لعدم اليقين في النمذجة الرياضية.
مناقشة
تتناول قسم المناقشة في الورقة المفاهيم الأساسية للمجموعات الضبابية، والمجموعات الضبابية الحدسية، ومجموعات الصورة الضبابية. تُعرف المجموعة الضبابية بأنها \( E = \{(x, \mu_E(x)) | x \in X\} \)، حيث \( \mu_E: X \to [0, 1] \) تشير إلى درجة العضوية. تمد المجموعة الضبابية الحدسية هذا من خلال دمج درجة عدم العضوية \( \nu_E(x) \)، بحيث تحقق \( \mu_E(x) + \nu_E(x) \leq 1 \). تعمم مجموعات الصورة الضبابية هذه المفاهيم من خلال تقديم درجة العضوية المحايدة \( \eta_E(x) \)، مما يؤدي إلى الشرط \( \mu_E(x) + \eta_E(x) + \nu_E(x) \leq 1 \). يناقش القسم أيضًا الإطار الرياضي للعمليات على هذه المجموعات، بما في ذلك إنشاء علاقات الترتيب وخصائص العلاقات الضبابية، والتي تُعرف بأنها \( R: X \times X \to D^* \) مع شروط العضوية.
تستكشف الورقة أيضًا هيكل الشبكات الضبابية والمرشحات، موسعة التعريفات الكلاسيكية لتناسب تعقيدات مجموعات الصورة الضبابية. تُميز الشبكة الضبابية بوجود حدود عليا دنيا وحدود دنيا عظمى لأي عنصرين، بينما تُعرف المرشحات الضبابية بشروط محددة على درجات العضوية. يقدم المؤلفون عدة اقتراحات ونظريات تحدد العلاقات بين المرشحات الضبابية، تقاطعاتها، وخصائصها، مع التأكيد على تفرد الحدود العليا الدنيا والحدود الدنيا العظمى في سياق التماثل المثالي. يختتم القسم بمناقشة حول المرشحات الضبابية الرئيسية، مع تسليط الضوء على أهميتها في الإطار الأوسع للشبكات الضبابية.
DOI: https://doi.org/10.46793/kgjmat2605.827s
Publication Date: 2026-06-16
Author(s): DJAZIA SAADI et al.
Primary Topic: Fuzzy and Soft Set Theory
Overview
This paper extends fundamental concepts of fuzzy relations, fuzzy lattices, intuitionistic fuzzy relations, and intuitionistic fuzzy lattices to the context of picture fuzzy sets. It examines the structure of the set \( D^* \) of membership values associated with picture fuzzy sets, discussing its basic properties. The authors introduce the concepts of picture fuzzy filters within crisp lattices, as well as crisp filters in picture fuzzy lattices, and explore their properties and distinctions. Additionally, they provide characterizations of picture fuzzy filters in picture fuzzy lattices and establish the necessary and sufficient conditions for a picture fuzzy subset to qualify as a picture fuzzy prime filter.
In the conclusion, the authors outline their future research directions, which include refining the laws associated with \( D^* \) to ensure it forms a complete lattice and investigating the algebraic structure of \( D^* \). They plan to characterize principal picture fuzzy filters and picture fuzzy ideals within picture fuzzy lattices, introduce notions of picture fuzzy homomorphism and isomorphism, and develop related theorems. Furthermore, they aim to study t-picture fuzzy lattices, which are picture fuzzy lattices with respect to a triangular norm, and explore picture fuzzy t-filters.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the necessity for advanced mathematical tools to address uncertainties prevalent in various real-life scenarios. Traditional methods, such as fuzzy sets and intuitionistic fuzzy sets, have been foundational in this domain, with significant contributions from pioneers like Zadeh and Atanassov. These tools have been extensively studied, particularly in relation to fuzzy lattices and filters, which are essential in algebra and logic. However, existing models often fall short in capturing the complexities of certain problems, such as voting scenarios where decisions can be categorized into three distinct types: yes, no, and abstain.
To address these limitations, Cuong and Kreinovich introduced the concept of “picture fuzzy sets” in 2013, which expands upon fuzzy and intuitionistic fuzzy sets by incorporating positive, negative, and neutral membership degrees that sum to one or less. This innovative framework not only possesses a robust mathematical structure but also demonstrates versatility across various applications, including decision-making and medical diagnosis. The paper outlines its structure, indicating that subsequent sections will delve into essential concepts related to fuzzy and picture fuzzy sets, explore the properties of picture fuzzy relations, and extend existing theories to picture fuzzy lattices and filters, ultimately contributing to a more comprehensive understanding of uncertainty in mathematical modeling.
Discussion
The discussion section of the paper elaborates on the foundational concepts of fuzzy sets, intuitionistic fuzzy sets, and picture fuzzy sets. A fuzzy set is defined as \( E = \{(x, \mu_E(x)) | x \in X\} \), where \( \mu_E: X \to [0, 1] \) indicates the degree of membership. An intuitionistic fuzzy set extends this by incorporating a degree of non-membership \( \nu_E(x) \), satisfying \( \mu_E(x) + \nu_E(x) \leq 1 \). Picture fuzzy sets further generalize these concepts by introducing a degree of neutral membership \( \eta_E(x) \), leading to the condition \( \mu_E(x) + \eta_E(x) + \nu_E(x) \leq 1 \). The section also discusses the mathematical framework for operations on these sets, including the establishment of order relations and the properties of picture fuzzy relations, which are defined as \( R: X \times X \to D^* \) with membership conditions.
The paper further explores the structure of picture fuzzy lattices and filters, extending classical definitions to accommodate the complexities of picture fuzzy sets. A picture fuzzy lattice is characterized by the existence of least upper bounds and greatest lower bounds for any two elements, while picture fuzzy filters are defined by specific conditions on membership degrees. The authors present several propositions and theorems that establish the relationships between picture fuzzy filters, their intersections, and their properties, emphasizing the uniqueness of least upper and greatest lower bounds in the context of perfect antisymmetry. The section concludes with a discussion on picture fuzzy prime filters, highlighting their significance in the broader framework of picture fuzzy lattices.