DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2026.115074
تاريخ النشر: 2026-06-12
المؤلف: Xizhang Chen وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقليل النماذج والشبكات العصبية
نظرة عامة
يقدم القسم نظرة عامة على الشبكات العصبية المدعومة بالفيزياء (PINNs) ويقدم JacobiNet، وهو إطار عمل جديد مصمم لتعزيز أداء PINNs في حل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) ضمن مجالات تتميز بحدود غير منتظمة. تواجه PINNs التقليدية تحديات مثل عدم الاستقرار وبطء التقارب بسبب مشكلات مثل عدم تناسق التطبيع، وإنفاذ الحدود غير الدقيقة، وتنافس مصطلحات الخسارة غير المتوازن. بينما يعد تحويل المجال إلى مساحة منتظمة حلاً شائعًا، تعتمد الطرق الحالية غالبًا على الشبكات المحددة للحالات وعقد ثابتة، مما يعقد التكامل مع تقنيات التفاضل التلقائي الحديثة.
يتناول JacobiNet هذه القيود من خلال توفير إطار عمل PINN مع تحويل الإحداثيات قائم على التعلم يدمج بين تحويل المجال وحل PDE بطريقة قابلة للاشتقاق من النهاية إلى النهاية. يسمح هذا النهج بحساب جاكوبيان مباشرة من خلال التفاضل التلقائي، مما يلغي الحاجة إلى الشبكات المحددة للحالات وإعادة صياغة PDE يدويًا. يفصل الإطار بشكل فعال بين النمذجة الفيزيائية والتعقيد الهندسي، مما يحسن من التطبيع، وإنفاذ شروط الحدود، وتوازن مصطلحات الخسارة. تظهر التقييمات التجريبية أن JacobiNet يقلل بشكل كبير من خطأ \(L^2\) من 0.11-0.73 إلى 0.01-0.09، محققًا تحسينًا متوسطًا في الدقة بمقدار 15.6 مرة. بالإضافة إلى ذلك، في المجالات الشبيهة بالأوعية، يسهل JacobiNet استنتاج الخرائط بسرعة للهندسيات غير المرئية، مما يعزز دقة التنبؤ بمعدل متوسط قدره 3.65 مرة ويوفر تسريعًا يزيد عن 10 أضعاف، مما يظهر قوته وكفاءته.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة النهج المبتكر للشبكات العصبية المدعومة بالفيزياء (PINNs) في حل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) من خلال دمج القوانين الفيزيائية مع البيانات الملاحظة. تستخدم PINNs شبكة عصبية للتنبؤ بالكميات الفيزيائية بناءً على الإحداثيات الزمانية المكانية، مما يفرض المعادلات الحاكمة من خلال المتبقيات المستندة إلى الفيزياء المحسوبة عبر التفاضل التلقائي. تقلل هذه الطريقة من الاعتماد على مجموعات بيانات موسومة كبيرة وقد أظهرت نجاحًا عبر مجالات مختلفة، بما في ذلك الميكانيكا الحاسوبية وعلوم المواد. ومع ذلك، تواجه PINNs تحديات كبيرة عند تطبيقها على المجالات الحاسوبية غير المنتظمة، مثل عدم الاستقرار وبطء التقارب، بشكل أساسي بسبب عدم التماثل الهندسي والصعوبات في إنفاذ شروط الحدود.
لمعالجة هذه التحديات، تقترح الورقة JacobiNet-PINN، وهو إطار عمل قابل للاشتقاق من النهاية إلى النهاية يتعلم تحويل الإحداثيات من المجالات الفيزيائية غير المنتظمة إلى المجالات المرجعية المنتظمة. يسمح هذا التحويل بإعادة صياغة PDEs وشروط الحدود، مما يسهل فرض شروط الحدود ديريشليه من خلال دوال التجربة. يعزز الإطار عملية التدريب من خلال ضمان انتقال سلس للتدرجات وإلغاء الحاجة إلى حساب جاكوبيان يدوي، والذي يكون عرضة للأخطاء العددية. تظهر النتائج التجريبية أن JacobiNet يحسن بشكل كبير من دقة وكفاءة تنبؤات PINN مقارنة بالطرق الأساسية والطرق المستندة إلى قاعدة السلسلة، مما يخفف بشكل فعال من المشكلات المتعلقة بالتطبيع، وإنفاذ الحدود، وتنافس مصطلحات الخسارة في الهندسيات المعقدة.
طرق
في هذا القسم، يقارن المؤلفون JacobiNet المقترح مع شبكة عصبية مدعومة بالفيزياء (PINN) الأساسية والعديد من المنهجيات المتقدمة، بما في ذلك تطبيع التدرجات (Grad Norm)، ودمج ميزات فورييه العشوائية (RFF)، وأخذ العينات التكيفية المستندة إلى المتبقيات (RAR-D)، و∆-PINN. يتم إجراء التقييم باستخدام معادلات نافير-ستوكس في مجالات أنبوبية شبيهة بالأوعية، حيث يظهر JacobiNet تحسينات كبيرة في الدقة، لا سيما عند أرقام رينولدز الأعلى (Re > 100). على وجه التحديد، يحقق JacobiNet أخطاء نسبية أقل بمقدار 2.83× و4.46× لتنبؤات السرعة والضغط مقارنة بـ PINN الأساسي، ويتفوق على أفضل طريقة حديثة (∆-PINN) بعوامل 1.37× و1.72×، على التوالي. من الجدير بالذكر أن JacobiNet يستخدم إطار تحويل إحداثيات مدفوع بالبيانات، مما يلغي الحاجة إلى الحسابات المعتمدة على الشبكات، مما يعزز كفاءته ودقته.
كما يستكشف المؤلفون تأثير عدم توازن مصطلحات الخسارة في الهندسيات المعقدة من خلال تجارب عددية محكومة. يقومون بتحليل نسبة الخسارة ونسبة تدرج النور خلال التدريب عبر مجالات مختلفة، كاشفين أنه مع زيادة تعقيد الحدود، يتدهور التوازن بين خسارة المتبقيات PDE وخسارة شروط الحدود، مما يؤدي إلى زيادة الأخطاء. توضح الدراسة أيضًا التكوينات التجريبية، بما في ذلك هيكل JacobiNet واختيار المعلمات الفائقة لطرق المقارنة. تشير النتائج إلى أن JacobiNet يقلل باستمرار من أخطاء التنبؤ عبر دوال تنشيط مختلفة ويظهر قوة ضد التغيرات في تهيئة الوزن، محققًا أخطاء نسبية أقل ومتوسطات انحراف معياري أصغر مقارنة بـ PINN الأساسي.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الصياغة الرياضية وتنفيذ JacobiNet، وهو إطار عمل جديد يدمج تحويل الإحداثيات والشبكات العصبية المدعومة بالفيزياء (PINNs) لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs). تم تصميم الإطار للتعامل مع الهندسيات المعقدة من خلال تعلم تحويل سلس من المجالات الفيزيائية غير المنتظمة إلى مساحة مرجعية منتظمة، مما يتجنب الحاجة إلى توليد الشبكات وإعادة صياغة PDE يدويًا. يستخدم الهيكل وحدات متعددة الطبقات متصلة بالكامل (MLPs) مع دالة تنشيط تانجنت هايبروليك، وتقلل عملية التدريب من دالة خسارة مركبة تأخذ في الاعتبار المتبقيات PDE، وشروط الحدود، وإشراف البيانات الاختياري. يؤكد المؤلفون على أهمية محدد جاكوبيان في ضمان الحقن المحلي وفعالية التفاضل التلقائي في حساب جاكوبيان لعمليات تحرير الهندسة.
يقدم المؤلفون تجارب عددية توضح قدرات JacobiNet عبر مجموعة متنوعة من مشكلات PDE المرجعية، بما في ذلك معادلات لابلاس، بواسون، هيلمهولتز، ونافير-ستوكس. تشير النتائج إلى أن JacobiNet يتفوق بشكل كبير على PINNs الأساسية والطرق الحديثة، محققًا دقة عالية في نمذجة الهندسيات الوعائية المعقدة والديناميات السائلة. كما يتم تسليط الضوء على قدرة الإطار على التعميم عبر عائلة من الهندسيات، مما يظهر إمكاناته للتطبيقات في الوقت الحقيقي في التصوير الطبي والتخطيط الجراحي. بشكل عام، يمثل JacobiNet تقدمًا كبيرًا في دمج التعلم الآلي مع النمذجة التقليدية المستندة إلى الفيزياء، مما يوفر حلاً قويًا للمعادلات التفاضلية الجزئية المعقدة في المجالات غير المنتظمة.
DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2026.115074
Publication Date: 2026-06-12
Author(s): Xizhang Chen et al.
Primary Topic: Model Reduction and Neural Networks
Overview
The section presents an overview of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) and introduces JacobiNet, a novel framework designed to enhance the performance of PINNs in solving partial differential equations (PDEs) within domains characterized by irregular boundaries. Traditional PINNs face challenges such as instability and slow convergence due to issues like inconsistent normalization, inaccurate boundary enforcement, and imbalanced loss term competition. While mapping the domain to a regular space is a common solution, existing methods often rely on case-specific meshes and fixed nodes, which complicate integration with modern automatic differentiation techniques.
JacobiNet addresses these limitations by providing a learning-based coordinate-transformed PINN framework that integrates domain mapping and PDE solving in an end-to-end differentiable manner. This approach allows for direct Jacobian computation through automatic differentiation, eliminating the need for case-specific meshing and manual PDE reformulation. The framework effectively separates physical modeling from geometric complexity, thereby improving normalization, enforcing boundary conditions, and balancing loss terms. Empirical evaluations demonstrate that JacobiNet significantly reduces the \(L^2\) error from 0.11-0.73 to 0.01-0.09, achieving an average accuracy improvement of 15.6 times. Additionally, in vessel-like domains, JacobiNet facilitates rapid mapping inference for unseen geometries, enhancing prediction accuracy by an average of 3.65 times and providing over a 10-fold speedup, showcasing its robustness and efficiency.
Introduction
The introduction of the paper discusses the innovative approach of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) in solving partial differential equations (PDEs) by integrating physical laws with observational data. PINNs utilize a neural network to predict physical quantities based on spatial-temporal coordinates, enforcing governing equations through physics-based residuals computed via automatic differentiation. This method reduces dependence on large labeled datasets and has shown success across various fields, including computational mechanics and materials science. However, PINNs face significant challenges when applied to irregular computational domains, such as instability and slow convergence, primarily due to geometric anisotropy and difficulties in boundary condition enforcement.
To address these challenges, the paper proposes JacobiNet-PINN, an end-to-end differentiable framework that learns a coordinate mapping from irregular physical domains to regular reference domains. This transformation allows for the reformulation of PDEs and boundary conditions, facilitating the imposition of Dirichlet boundary conditions through trial functions. The framework enhances the training process by ensuring seamless gradient propagation and eliminating the need for manual Jacobian computation, which is prone to numerical errors. Experimental results demonstrate that JacobiNet significantly improves the accuracy and efficiency of PINN predictions compared to baseline and chain-rule-based approaches, effectively mitigating issues related to normalization, boundary enforcement, and loss-term competition in complex geometries.
Methods
In this section, the authors compare their proposed JacobiNet with a baseline Physics-Informed Neural Network (PINN) and several advanced methodologies, including Gradient Normalization (Grad Norm), Random Fourier Feature (RFF) embedding, Residual-based Adaptive Sampling (RAR-D), and ∆-PINN. The evaluation is conducted using the Navier-Stokes equations in vessel-like tube domains, where JacobiNet shows significant improvements in accuracy, particularly at higher Reynolds numbers (Re > 100). Specifically, JacobiNet achieves 2.83× and 4.46× lower relative $L_2$ errors for velocity and pressure predictions compared to the baseline PINN, and outperforms the best state-of-the-art method (∆-PINN) by factors of 1.37× and 1.72×, respectively. Notably, JacobiNet employs a data-driven coordinate transformation framework, eliminating the need for mesh-based computations, which enhances its efficiency and accuracy.
The authors also investigate the impact of loss-term imbalance in complex geometries through controlled numerical experiments. They analyze the loss ratio and gradient-norm ratio during training across various domains, revealing that as boundary complexity increases, the balance between PDE residual loss and boundary condition loss deteriorates, leading to increased errors. The study further details the experimental configurations, including the architecture of JacobiNet and the selection of hyperparameters for comparison methods. The results indicate that JacobiNet consistently reduces prediction errors across different activation functions and demonstrates robustness against variations in weight initialization, achieving lower mean relative $L$ errors and smaller standard deviations compared to the baseline PINN.
Discussion
In this section, the authors discuss the mathematical formulation and implementation of JacobiNet, a novel framework that integrates coordinate transformation and physics-informed neural networks (PINNs) for solving partial differential equations (PDEs). The framework is designed to handle complex geometries by learning a smooth mapping from irregular physical domains to a regular reference space, thereby avoiding the need for mesh generation and manual PDE reformulation. The architecture employs fully connected multilayer perceptrons (MLPs) with a hyperbolic tangent activation function, and the training process minimizes a composite loss function that accounts for PDE residuals, boundary conditions, and optional data supervision. The authors emphasize the importance of the Jacobian determinant in ensuring local injectivity and the effectiveness of automatic differentiation in computing Jacobians for geometric editing operations.
The authors present numerical experiments demonstrating JacobiNet’s capabilities across various benchmark PDE problems, including the Laplace, Poisson, Helmholtz, and Navier-Stokes equations. Results indicate that JacobiNet significantly outperforms baseline PINNs and state-of-the-art methods, achieving high accuracy in modeling complex vascular geometries and fluid dynamics. The framework’s ability to generalize across a family of geometries is also highlighted, showcasing its potential for real-time applications in medical imaging and surgical planning. Overall, JacobiNet represents a significant advancement in the integration of machine learning with traditional physics-based modeling, offering a robust solution for complex PDEs in irregular domains.