DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-43272-7
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41888216
تاريخ النشر: 2026-03-26
المؤلف: Aamna Amer وآخرون
الموضوع الرئيسي: الموجات غير الخطية والسوليتونات
نظرة عامة
تقدم هذه المقالة البحثية حلول سوليطون بصرية جديدة لإصدار كسري من معادلة شرودنجر غير الخطية التربيعية-المكعبية (NLSE)، والتي تتعلق بنقل النبضات الضوئية في أنظمة الألياف الضوئية المتقدمة. باستخدام طريقة المعادلة الفرعية المعدلة ساردار وطريقة (1)، يقوم المؤلفون بتحويل النموذج إلى معادلة تفاضلية جزئية غير خطية كسريّة باستخدام المشتق القابل للتوافق. يسمح هذا التحويل بإدخال متغير جديد، مما يسهل تحويل المعادلة إلى واحدة بمشتقات عادية. تتضمن الدراسة تحليلًا مقارنًا للحلول، حيث يتم فحص كيفية تأثير التغيرات في قيم المعاملات الكسرية على سلوكها.
تتمثل المساهمات الرئيسية للورقة في تحديد حلول سوليطون جديدة، والتي تشمل حلول الموجات المتعرجة، الساطعة، الدورية، المظلمة-الساطعة، الفردية، والمظلمة-الفردية، جميعها موضحة من خلال تمثيلات رسومية ثلاثية وثنائية الأبعاد متنوعة. للتحقق من دقة هذه الحلول التحليلية، يستخدم المؤلفون طريقة التحويل التفاضلي، مما يوضح فعالية أساليبهم. تؤكد النتائج على إمكانيات هذه الأساليب في معالجة معادلات تفاضلية جزئية غير خطية أخرى تواجهها العلوم الطبيعية، مما يبرز تعقيد وتنوع حلول السوليطون الضوئية المستمدة من إطار عمل NLSE الكسري.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة البحثية أهمية الظواهر غير الخطية في الأنظمة الطبيعية، مع التأكيد على دور المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) في تحليل هذه السلوكيات. تركز الدراسة على المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية (NLPDEs)، وخاصة تلك من الرتبة الكسرية، وتبرز طرقًا متنوعة لاشتقاق حلول الموجات المتنقلة الدقيقة والتقريبية. تشير الورقة إلى أهمية هذه الحلول عبر مجالات متعددة، بما في ذلك الكيمياء والهندسة وعلم الأحياء، وتوضح التقنيات التحليلية الحالية المستخدمة لحل معادلة شرودنجر غير الخطية (NLSE)، والتي تعتبر محورية في ميكانيكا الكم.
يشير المؤلفون إلى أنه على الرغم من إجراء أبحاث واسعة حول حلول السوليطون، إلا أن تأثير الحدود الكسرية القابلة للتوافق على تنوع حلول السوليطون لا يزال غير مستكشف بشكل كافٍ. يقدمون طريقة المعادلة الفرعية المعدلة ساردار (MSSM) وطريقة $(1/\phi(\zeta), \phi'(\zeta)/\phi(\zeta))$ كأدوات للتحقيق في أشكال الحلول المعقدة التي تمكنها المعاملات الكسرية. تهدف الدراسة إلى تعزيز الفهم لمعادلة شرودنجر غير الخطية الكسرية المرتبطة بالكم (QC-FNLSE) في وسائط غير خطية عالية، وخاصة في سياق انتشار النبضات الضوئية في الألياف. يتم تقديم QC-FNLSE مع صيغتها الرياضية، التي تتضمن مشتقات كسرية تسمح بديناميات سوليطون معقدة تتجاوز النماذج التقليدية المكعبة.
النتائج
في هذا القسم، يوضح المؤلفون المنهجية العددية المستخدمة لاشتقاق حلول الموجات للمعادلة المقدمة في (32)، باستخدام نتائج من طريقة السيمبلكس المعدلة (MSSM) مع قيم معاملات محددة. لمحاكاة السوليطون الساطع الموصوف بالمعادلة (36)، يتم تثبيت المعاملات كما يلي: $\eta = 3$، $\lambda = -1$، $\tau = 1$، $\omega_1 = 1$، $\pi = -1$، و$\omega = 3$. وبالتالي، تبسط المعادلة (32) إلى الشكل $-\mu” – 2\mu – 3\mu^2 – \mu^3 = 0$ (70).
يتم اشتقاق الحل لهذه المعادلة، بالنظر إلى الشروط الأولية، كالتالي: $\mu(\zeta) = \sqrt{2} \, \text{sech}(\zeta + 1) – 1$ (71)، حيث $\zeta = (x \gamma + \rho t \gamma) \gamma$. يتم تحديد القيم الأولية كالتالي: $\mu(0) = \sqrt{2} \, \text{sech}(1) – 1$ (72) و$\mu'(0) = -\sqrt{2} \, \text{tanh}(1) \, \text{sech}(1)$. من خلال تطبيق طريقة التحويل التفاضلي (DTM) على المعادلة (70)، يصل المؤلفون إلى المعادلة المحولة $-(j + 1)(j + 2)H(j + 2) – 2H(j) – 3F(j) – G(j) = 0$ (73)، والتي تضع الأساس لمزيد من تحليل حلول الموجات.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون تطبيق المشتقات الكسرية القابلة للتوافق على معادلة شرودنجر غير الخطية العامة (QC-FNLSE)، مع التأكيد على أهمية المعامل $\gamma$ في التحكم في خصائص النبضات في الوسائط الضوئية. من خلال استخدام تحويل موجي معقد وطريقة المعادلة البسيطة المعدلة (MSSM)، يستنتج المؤلفون مجموعة متنوعة من حلول السوليطون، بما في ذلك الساطعة، المظلمة، الدورية، من نوع التعرج، والمختلطة. يتم استكشاف تأثير الرتبة الكسرية $\gamma$ على السعة، العرض، والتوضع لهذه الحلول، مع تسليط الضوء على دور تأثيرات الذاكرة في الأنظمة الضوئية الكسرية.
توضح الورقة منهجية منهجية، بدءًا من التعريفات الأساسية للمشتقات الكسرية القابلة للتوافق، تليها شرح مفصل للتقنيات المستخدمة لتحويل المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية إلى معادلات تفاضلية عادية. يقدم المؤلفون سلسلة من الحلول الدقيقة المستمدة من هذه التحويلات، مما يوضح فعالية نهجهم مقارنة بالأساليب الحالية. بالإضافة إلى ذلك، يتم إجراء تحقق عددي من خلال طريقة التحويل التفاضلي (DTM)، مما يؤكد دقة وتوافق الحلول التحليلية. تسهم النتائج في فهم أعمق لظواهر الموجات غير الخطية ولها تطبيقات محتملة في مجالات متنوعة، بما في ذلك البصريات غير الخطية وفيزياء البلازما.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-43272-7
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41888216
Publication Date: 2026-03-26
Author(s): Aamna Amer et al.
Primary Topic: Nonlinear Waves and Solitons
Overview
This research article presents novel optical soliton solutions for a fractional version of the quadratic-cubic nonlinear Schrödinger equation (NLSE), which is pertinent to the transmission of optical pulses in advanced fiber optic systems. Utilizing the modified Sardar sub-equation method and the (1) method, the authors transform the model into a nonlinear fractional partial differential equation employing the conformable derivative. This transformation allows for the introduction of a new variable, facilitating the conversion of the equation into one with ordinary derivatives. The study includes a comparative analysis of the solutions, examining how variations in fractional parameter values influence their behavior.
The paper’s key contributions are the identification of new soliton solutions, which include kink, bright, periodic, dark-bright, singular, and dark-singular wave solutions, all illustrated through various 3D and 2D graphical representations. To validate the accuracy of these analytical solutions, the authors employ the differential transform method, demonstrating the effectiveness of their approaches. The findings underscore the potential of these methods for addressing other nonlinear partial differential equations encountered in the natural sciences, highlighting the complexity and diversity of optical soliton solutions derived from the fractional NLSE framework.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the significance of nonlinear phenomena in natural systems, emphasizing the role of partial differential equations (PDEs) in analyzing these behaviors. The study focuses on nonlinear partial differential equations (NLPDEs), particularly those of fractional order, and highlights various methods for deriving exact and approximate traveling wave solutions. The paper notes the importance of these solutions across multiple disciplines, including chemistry, engineering, and biology, and outlines the existing analytical techniques employed to solve the nonlinear Schrödinger equation (NLSE), which is pivotal in quantum mechanics.
The authors point out that while extensive research has been conducted on soliton solutions, the impact of conformable fractional order terms on the diversity of soliton solutions remains underexplored. They introduce the modified Sardar sub-equation method (MSSM) and the $(1/\phi(\zeta), \phi'(\zeta)/\phi(\zeta))$ method as tools to investigate complex solution morphologies enabled by fractional parameters. The study aims to enhance understanding of the quantum-coupled fractional nonlinear Schrödinger equation (QC-FNLSE) in highly nonlinear media, particularly in the context of optical pulse propagation in fibers. The QC-FNLSE is presented with its mathematical formulation, incorporating fractional derivatives that allow for intricate soliton dynamics beyond traditional cubic models.
Results
In this section, the authors detail the numerical methodology employed to derive wave solutions for the equation presented in (32), utilizing results from the Modified Simplex Method (MSSM) with specified parameter values. For the simulation of the bright soliton described by equation (36), the parameters are fixed as follows: $\eta = 3$, $\lambda = -1$, $\tau = 1$, $\omega_1 = 1$, $\pi = -1$, and $\omega = 3$. Consequently, equation (32) simplifies to the form $-\mu” – 2\mu – 3\mu^2 – \mu^3 = 0$ (70).
The solution to this equation, given the initial conditions, is derived as $\mu(\zeta) = \sqrt{2} \, \text{sech}(\zeta + 1) – 1$ (71), where $\zeta = (x \gamma + \rho t \gamma) \gamma$. The initial values are specified as $\mu(0) = \sqrt{2} \, \text{sech}(1) – 1$ (72) and $\mu'(0) = -\sqrt{2} \, \text{tanh}(1) \, \text{sech}(1)$. By applying the Differential Transform Method (DTM) to equation (70), the authors arrive at the transformed equation $-(j + 1)(j + 2)H(j + 2) – 2H(j) – 3F(j) – G(j) = 0$ (73), which lays the groundwork for further analysis of the wave solutions.
Discussion
In this section, the authors discuss the application of conformable fractional derivatives to the generalized nonlinear Schrödinger equation (QC-FNLSE), emphasizing the significance of the parameter $\gamma$ in controlling pulse characteristics in optical media. By employing a complex wave transformation and the modified simple equation method (MSSM), the authors derive a variety of soliton solutions, including bright, dark, periodic, kink-type, and mixed solitons. The impact of the fractional order $\gamma$ on the amplitude, width, and localization of these solutions is explored, highlighting the role of memory effects in fractional optical systems.
The paper systematically outlines the methodology, beginning with foundational definitions of conformable fractional derivatives, followed by a detailed explanation of the techniques used to transform the fractional partial differential equations into ordinary differential equations. The authors present a series of exact solutions derived from these transformations, demonstrating the effectiveness of their approach compared to existing methods. Additionally, numerical validation through the differential transform method (DTM) is conducted, confirming the accuracy and convergence of the analytical solutions. The findings contribute to a deeper understanding of nonlinear wave phenomena and have potential applications in various fields, including nonlinear optics and plasma physics.