DOI: https://doi.org/10.15672/hujms.1820742
تاريخ النشر: 2026-03-12
المؤلف: Manoj Chacko وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقدير التوزيع الإحصائي وتطبيقاته
نظرة عامة
في هذا البحث، يقوم المؤلفون بالتحقيق في خصائص الإكستروبي الموزونة لعينات المجموعات المرتبة (RSS) عندما يكون الترتيب غير كامل. يستخرجون التعبير عن الإكستروبي الموزونة للإحصائيات المرتبطة، مما يؤدي إلى صياغة الإكستروبي الموزونة للمتغير المدروس \( Y \) بناءً على متغير مساعد \( X \). تفترض هذه التحليل أن الزوج \( (X, Y) \) يتبع عائلة توزيعات مورغنشتيرن (MFD). يحدد البحث الحدود العليا والدنيا للإكستروبي الموزونة لـ RSS ويناقش حالات محددة، بما في ذلك توزيعات مورغنشتيرن الثنائية الموحدة والأسية. بالإضافة إلى ذلك، يستخرج المؤلفون معلومات التمييز الموزونة بين توزيع الإحصاء من الرتبة \( r \) والتوزيع الأصلي.
تشير النتائج إلى أن الإكستروبي الموزونة للمتغيرات المرتبطة بالإحصائيات المرتبطة يمكن استخدامها بفعالية لاشتقاق الإكستروبي الموزونة لـ RSS، حيث يتم ترتيب الوحدات بناءً على المتغير المساعد \( X \) الذي يرتبط بـ \( Y \). تكشف النتائج أنه بالنسبة لتوزيع مورغنشتيرن الثنائي الموحد (MTBUD) وتوزيع مورغنشتيرن الثنائي الأسّي (MTBED)، فإن الإكستروبي الموزونة لـ \( Y [RSS] \) تزداد مع حجم العينة \( n \) بينما تنخفض مع زيادة المعامل \( \alpha \) (لـ \( \alpha > 0 \)). علاوة على ذلك، يتم إجراء تحليل مقارن بين الإكستروبي الموزونة لـ RSS وأخذ العينات العشوائية البسيطة (SRS)، مما يبرز مزايا استخدام RSS في الاستدلال الإحصائي.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة أخذ العينات من المجموعات المرتبة (RSS)، وهي طريقة مصممة لتحسين كفاءة أخذ العينات عندما يكون قياس متغير معين مكلفًا أو يستغرق وقتًا طويلاً. تتضمن عملية RSS اختيار مجموعات من الوحدات عشوائيًا من مجموعة سكانية، وترتيبها بناءً على متغير مساعد يمكن الحصول عليه بسهولة، ثم قياس المتغير المدروس للوحدات المختارة. هذه الطريقة مفيدة بشكل خاص عندما يكون حجم العينة صغيرًا ويمكن إجراء الترتيب من خلال الحكم أو القياسات المساعدة. تسلط الورقة الضوء على أهمية استخدام المتغيرات المساعدة للترتيب، كما يتضح في مثال يتعلق بتلوث النفط في مياه البحر، حيث تعتبر رواسب القار معيار ترتيب أكثر عملية من الحكم البصري.
علاوة على ذلك، تتناول الورقة مفهوم المتغيرات المرتبطة بالإحصائيات المرتبطة، والذي يتعلق بالعلاقة بين المتغير المساعد المرتب والمتغير المدروس. تقدم فكرة الإكستروبي، وهو مقياس لعدم اليقين يكمل الإنتروبيا، وتناقش تطبيقه في سياق RSS. يهدف المؤلفون إلى استكشاف خصائص الإكستروبي الموزونة للمتغيرات المرتبطة بالإحصائيات المرتبطة عندما تتبع التوزيعات الأساسية عائلة مورغنشتيرن. توضح الورقة هيكلها، مشيرة إلى أن الأقسام التالية ستتناول اشتقاق الإكستروبي الموزونة، والحدود، ومقاييس التمييز المتعلقة بإطار عمل RSS.
نقاش
في هذا القسم، تناقش الورقة الإكستروبي الموزونة للمتغيرات المرتبطة بالإحصائيات المرتبطة المستمدة من عائلة توزيعات مورغنشتيرن (MFD). يتم إنشاء دالة كثافة الاحتمال (pdf) للمتغير المرتبط بالإحصاء من الرتبة r، الممثل بـ $Y_{[r:n]}$، ويتم التعبير عن الإكستروبي الموزونة من حيث pdf ودالة التوزيع التراكمي (cdf) لـ $Y$. توضح النظرية المقدمة أن الإكستروبي الموزونة يمكن تفكيكها إلى مكونات تتضمن الإكستروبي الموزونة للمتغير الأصلي $Y$ وتوقعات التحولات لـ cdf. من الجدير بالذكر أنه يتم أيضًا اشتقاق حالات محددة للإحصائيات من الرتبة الأولى والأكبر، مما يكشف أن الإكستروبي الموزونة تظل متسقة تحت ظروف معينة، مثل عندما تكون المتغيرات مستقلة.
علاوة على ذلك، تستكشف الورقة تداعيات أخذ العينات من المجموعات المرتبة (RSS) وتحدد الحدود للإكستروبي الموزونة لـ RSS مقارنة بأخذ العينات العشوائية البسيطة (SRS). تشير النتائج إلى أن الإكستروبي الموزونة لـ RSS تزداد مع حجم العينة $n$ وتنخفض مع زيادة معامل الارتباط $\alpha$. تقدم الورقة أيضًا أمثلة لكل من توزيعات مورغنشتيرن الثنائية الموحدة والأسية، موضحة التعبيرات المستخرجة للإكستروبي الموزونة في هذه السياقات. تساهم النتائج في فهم أعمق للعلاقات بين الإحصائيات المرتبة، وطرق أخذ العينات، ومقاييس الإكستروبي الخاصة بها، مما يبرز فائدة الإكستروبي الموزونة في التحليل الإحصائي للمتغيرات المرتبطة.
DOI: https://doi.org/10.15672/hujms.1820742
Publication Date: 2026-03-12
Author(s): Manoj Chacko et al.
Primary Topic: Statistical Distribution Estimation and Applications
Overview
In this research, the authors investigate the weighted extropy properties of ranked set samples (RSS) when the ranking is imperfect. They derive the expression for the weighted extropy of concomitant order statistics, leading to the formulation of weighted extropy for the study variable \( Y \) based on an auxiliary variable \( X \). This analysis assumes that the pair \( (X, Y) \) follows the Morgenstern family of distributions (MFD). The study establishes upper and lower bounds for the weighted extropy of RSS and discusses specific cases, including the Morgenstern type bivariate uniform and exponential distributions. Additionally, the authors derive weighted discrimination information between the distribution of the \( r \)-th order statistic and the parent distribution.
The findings indicate that the weighted extropy of concomitants of order statistics can be effectively utilized to derive the weighted extropy of RSS, where units are ranked based on the auxiliary variable \( X \) that is correlated with \( Y \). The results reveal that for the Morgenstern type bivariate uniform distribution (MTBUD) and the Morgenstern type bivariate exponential distribution (MTBED), the weighted extropy of \( Y [RSS] \) increases with sample size \( n \) while decreasing as the parameter \( \alpha \) increases (for \( \alpha > 0 \)). Furthermore, a comparative analysis between the weighted extropy of RSS and simple random sampling (SRS) is conducted, highlighting the advantages of using RSS in statistical inference.
Introduction
The introduction of the paper discusses ranked set sampling (RSS), a method designed to optimize sampling efficiency when measuring a variable of interest is costly or time-consuming. The RSS process involves randomly selecting sets of units from a population, ranking them based on an easily obtainable auxiliary variable, and then measuring the study variable for the selected units. This approach is particularly beneficial when the sample size is small and ranking can be performed through judgment or auxiliary measurements. The paper highlights the importance of using auxiliary variables for ranking, as demonstrated in an example involving oil pollution in seawater, where tar deposits serve as a more practical ranking criterion than visual judgment.
Furthermore, the paper delves into the concept of concomitant of order statistics, which relates to the relationship between the ranked auxiliary variable and the study variable. It introduces the notion of extropy, a measure of uncertainty complementary to entropy, and discusses its application in the context of RSS. The authors aim to explore the properties of weighted extropy for the concomitant of order statistics when the underlying distributions follow the Morgenstern family. The paper outlines its structure, indicating that subsequent sections will cover the derivation of weighted extropy, bounds, and discrimination measures related to the RSS framework.
Discussion
In this section, the paper discusses the weighted extropy of concomitants of order statistics derived from the Morgenstern family of distributions (MFD). The probability density function (pdf) of the concomitant of the rth order statistic, denoted as $Y_{[r:n]}$, is established, and the weighted extropy is expressed in terms of the pdf and cumulative distribution function (cdf) of $Y$. The theorem presented outlines that the weighted extropy can be decomposed into components involving the weighted extropy of the original variable $Y$ and expectations of transformations of the cdf. Notably, specific cases for the first and largest order statistics are also derived, revealing that the weighted extropy remains consistent under certain conditions, such as when the variables are independent.
Further, the paper explores the implications of ranked set sampling (RSS) and establishes bounds for the weighted extropy of RSS compared to simple random sampling (SRS). The results indicate that the weighted extropy of RSS increases with sample size $n$ and decreases with increasing correlation parameter $\alpha$. The paper also provides examples for both Morgenstern type bivariate uniform and exponential distributions, illustrating the derived expressions for weighted extropy in these contexts. The findings contribute to a deeper understanding of the relationships between order statistics, sampling methods, and their respective extropy measures, emphasizing the utility of weighted extropy in statistical analysis of correlated variables.