DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-024-03801-y
تاريخ النشر: 2024-01-30
المؤلف: Kaihong Zhao
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذا البحث، نحقق في قابلية الحل والاستقرار العام لـ Ulam-Hyers (UH) لنظام غير خطي من نوع Atangana-Baleanu-Caputo (ABC) الذي يتضمن مشغل لابلاس ونبضات. في البداية، يتم تحويل النظام إلى شكل غير نبضي، مما يسمح لنا بإثبات وجود وحيدة الحلول من خلال مشغل F-contractive ونظرية النقطة الثابتة ضمن فضاء متري. بالإضافة إلى ذلك، نوضح الاستقرار العام لـ UH باستخدام طرق تحليلية غير خطية. تم تقديم خوارزمية محاكاة عددية جديدة، وتم تقديم مثال توضيحي للتحقق من نتائجنا النظرية.
لقد أظهر نموذج ABC-التفاضلي الكسري أداءً متفوقًا في معالجة مشاكل متنوعة في الفيزياء والهندسة مقارنةً بأنظمة التفاضل التقليدية ذات الترتيب الصحيح. على الرغم من الدراسات الموجودة حول أنواع معينة من معادلات ABC-التفاضلية الكسري، هناك غياب ملحوظ للبحث في أنظمة التفاضل الكسري غير الخطية المرتبطة بمشغلات لابلاس ونبضات. تهدف هذه الورقة إلى سد هذه الفجوة من خلال دراسة النظام المحدد في (1.1). تشير نتائجنا إلى أن الوجود، والوحيدة، والاستقرار للحلول مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمعلمات مثل معلمات لابلاس $p_1$، $p_2$، أوامر المشتقات الكسري $\mu_i$، $\nu_i$ (لـ $i = 1، 2$)، متغيرات النبض $\xi_{ik}$، $\zeta_{ik}$ (لـ $i = 1، 2؛ k = 1، 2، \ldots، n$)، والظروف الأولية. ستركز الأبحاث المستقبلية على أنظمة التفاعل والانتشار وديناميات السكان التي تتضمن مشتقات كسري.
مقدمة
في المقدمة، يناقش المؤلفون ظهور المشتق الكسري ABC الذي اقترحه أتانغانا وباليانو في عام 2016، والذي يستخدم دالة ميتاج-ليفلي ك kernel تكامل لتجنب التفردات، مما يتناقض مع مشتقات ريمان-ليوفييل ومشتقات كابوتو. لقد أثارت هذه الابتكار اهتمامًا كبيرًا في أنظمة التفاضل الكسري ABC، مما أدى إلى استكشافات نظرية وتطبيقات متنوعة، بما في ذلك دراسات حول القابلية للحل، والاستقرار، وتحليل الفوضى. كما تسلط الورقة الضوء على أهمية معادلة التفاضل p-Laplacian، التي قدمها ليبينسون في عام 1983، كنموذج أساسي للاضطراب في الوسائط المسامية، وتلاحظ الاهتمام المتزايد في أنظمة التفاضل الكسري p-Laplacian غير الخطية.
يهدف المؤلفون إلى التحقيق في وجود واستقرار UH العام للحلول لنظام غير خطي جديد نبضي من نوع ABC-التفاضلي الكسري يتميز بمشغل (p₁، p₂)-Laplacian. يؤكدون على تعقيد نظامهم، الذي يتضمن مشتقات كسري متعددة وتأثيرات نبضية، مما يمثل انحرافًا عن الدراسات السابقة. تتضمن المنهجية تحويل النظام النبضي إلى نظام غير نبضي، وتطبيق نظرية نقطة ثابتة جديدة لإثبات وجود وحيدة الحلول، واقتراح خوارزمية محاكاة عددية للتحقق من نتائجهم النظرية. تم هيكلة الورقة لمراجعة حساب التفاضل الكسري ABC أولاً، تليها اشتقاق شروط كافية للحلول، وتحليل الاستقرار، والمحاكاة العددية، مما يؤدي إلى استنتاج موجز.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون وجود وحيدة الحلول لنظام من معادلات التفاضل الكسري النبضي، مع التركيز بشكل خاص على تحويل النظام النبضي إلى نظام غير نبضي. يستخدمون التعريفات والليمات المتعلقة بالتكاملات والمشتقات الكسري ABC، بالإضافة إلى خصائص مشغل p-Laplacian، لتأسيس الإطار لتحليلهم. يوضح المؤلفون أن قابلية الحل للنظام النبضي تعادل تلك الخاصة بالنظام غير النبضي، مما يسمح لهم بتطبيق نظرية النقطة الثابتة لإثبات وجود حلول فريدة.
يقدم المؤلفون دالة واردوفسكي وتعيينات F-contraction لتسهيل تحليلهم. يحددون الشروط التي يظهر فيها النظام استقرار UH العام، مما يشير إلى أن الاضطرابات الصغيرة في الظروف الأولية تؤدي إلى انحرافات صغيرة في الحلول. تدعم النتائج ببرهان رياضي صارم، مما يظهر أنه تحت افتراضات معينة، يمتلك النظام حلاً فريدًا غير صفري. يضع هذا القسم الأساس لاستكشاف المزيد حول الاستقرار وسلوك الحلول لمعادلات التفاضل الكسري النبضي المقدمة في الدراسة.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-024-03801-y
Publication Date: 2024-01-30
Author(s): Kaihong Zhao
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this research, we investigate the solvability and generalized Ulam-Hyers (UH) stability of a nonlinear Atangana-Baleanu-Caputo (ABC) fractional coupled system that incorporates a Laplacian operator and impulses. Initially, the system is transformed into a nonimpulsive form, allowing us to establish the existence and uniqueness of solutions through an F-contractive operator and a fixed-point theorem within a metric space. Additionally, we demonstrate the generalized UH-stability using nonlinear analytical methods. A novel numerical simulation algorithm is introduced, and an illustrative example is provided to validate our theoretical findings.
The ABC-fractional differential model has shown superior performance in addressing various problems in physics and engineering compared to traditional integer-order differential systems. Despite existing studies on specific types of ABC-fractional differential equations, there is a notable absence of research on nonlinear ABC-fractional differential coupled systems with Laplacian operators and impulses. This paper aims to bridge that gap by examining the system defined in (1.1). Our results indicate that the existence, uniqueness, and stability of solutions are intricately linked to parameters such as Laplace parameters $p_1$, $p_2$, fractional derivative orders $\mu_i$, $\nu_i$ (for $i = 1, 2$), impulse variables $\xi_{ik}$, $\zeta_{ik}$ (for $i = 1, 2; k = 1, 2, \ldots, n$), and initial conditions. Future research will focus on reaction-diffusion and population dynamics systems that involve fractional derivatives.
Introduction
In the introduction, the authors discuss the emergence of the ABC-fractional derivative proposed by Atangana and Baleanu in 2016, which utilizes a Mittag-Leffler function as its integral kernel to avoid singularities, contrasting with the Riemann-Liouville and Caputo derivatives. This innovation has spurred significant interest in ABC-fractional differential systems, leading to various theoretical explorations and applications, including studies on solvability, stability, and chaos analysis. The paper also highlights the relevance of the p-Laplacian differential equation, initially introduced by Leibenson in 1983, as a foundational model for turbulence in porous media, and notes the growing interest in nonlinear p-Laplacian fractional differential systems.
The authors aim to investigate the existence and generalized UH-stability of solutions for a novel nonlinear impulsive ABC-fractional coupled system characterized by a (p₁, p₂)-Laplacian operator. They emphasize the complexity of their system, which incorporates multiple fractional derivatives and impulsive effects, marking a departure from previous studies. The methodology involves transforming the impulsive system into a nonimpulsive one, applying a new fixed-point theorem to establish solution existence and uniqueness, and proposing a numerical simulation algorithm to validate their theoretical findings. The paper is structured to first review ABC-fractional calculus, followed by the derivation of sufficient conditions for solutions, stability analysis, and numerical simulations, culminating in a concise conclusion.
Discussion
In this section, the authors discuss the existence and uniqueness of solutions to a system of impulsive fractional differential equations, specifically focusing on the transformation of the impulsive system into a non-impulsive one. They utilize definitions and lemmas related to ABC-fractional integrals and derivatives, as well as properties of the p-Laplacian operator, to establish the framework for their analysis. The authors demonstrate that the solvability of the impulsive system is equivalent to that of the non-impulsive system, allowing them to apply fixed-point theory to prove the existence of unique solutions.
The authors introduce the Wardowski function and F-contraction mappings to facilitate their analysis. They establish conditions under which the system exhibits generalized UH-stability, indicating that small perturbations in the initial conditions lead to small deviations in the solutions. The results are supported by rigorous mathematical proofs, showing that under certain assumptions, the system has a unique non-zero solution. This section lays the groundwork for further exploration of the stability and behavior of solutions to the impulsive fractional differential equations presented in the study.