DOI: https://doi.org/10.1007/s11082-023-06233-2
تاريخ النشر: 2024-02-03
المؤلف: Emad A. Az-Zo’bi وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه القسم تحليلًا لنظام p المختلط ذو الفراكتل الزمني من قوانين الحفظ، باستخدام طريقة جبرية مباشرة موسعة جديدة. يركز البحث على نظام p يتميز بتدفق فان der Waals مكعب عام، ذو صلة بالتطبيقات في السوائل القابلة للضغط ذات اللزوجة-السحب المتساوي الحرارة، وخاصة في وصف الحركة الطولية المتساوية الحرارة في القضبان أو السوائل المرنة. ينجح البحث في استخراج هياكل سوليطون متنوعة، بما في ذلك السوليطونات الدورية، والنتوءات، والسوليطونات الفردية، ويظهر سلوكياتها الديناميكية ثلاثية الأبعاد وملفاتها الملامسية.
بالإضافة إلى ذلك، يناقش البحث التأثيرات الفراكتلية من خلال أطر مشغلات بيتا، ومشغلات M-truncated، ومشغلات ريمان-ليوفييل المعدلة. تؤكد النتائج على بساطة الطريقة وموثوقيتها وكفاءتها في معالجة الظواهر الفيزيائية المعقدة التي يتم نمذجتها بواسطة معادلات تفاضلية جزئية غير خطية، مما يساهم في تقديم رؤى قيمة في هذا المجال.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث أهمية المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية (NPDEs) عبر مجالات علمية متنوعة، بما في ذلك الفيزياء الرياضية، وميكانيكا السوائل، وعلم الأحياء. يبرز المؤلفون الاهتمام المتزايد في اكتشاف حلول جديدة لأشكال غير خطية متطورة (NLEEs)، والتي تعتبر ضرورية لفهم الظواهر المعقدة في العالم الحقيقي. يلخصون التقدمات الأخيرة في المنهجيات لحل هذه المعادلات، مثل طريقة المعادلة المساعدة الجديدة، وطريقة المعادلة الفرعية المعدلة Sardar، وطريقة رسم المعادلة العامة Ricatti، من بين أمور أخرى.
تتناول الورقة بشكل خاص ديناميات أنظمة السوائل، وخاصة الأنظمة المختلطة ذات الطابع الزمني-الإهليلجي التي نمذج انتقالات الطور في ديناميات المواد الصلبة وتدفق السوائل. يقدم المؤلفون نموذج سائل قابل للضغط ذو لزوجة-سحب منتظم أحادي البعد، المعروف باسم نظام p، الذي يوضح انتقالات الطور بين السائل والغاز. يشيرون إلى الطبيعة الحرجة للصدمات في الأنظمة المختلطة غير الخطية ويستشهدون بالدراسات السابقة حول حلول الموجات المتنقلة. تهدف الدراسة الحالية إلى استكشاف نموذج ضغط فان der Waals مكعب عام، لم يتم التحقيق فيه سابقًا، باستخدام الطريقة الجبرية المباشرة الموسعة الجديدة (NEDAM). يتم توضيح هيكل الورقة، مع تفاصيل الأقسام التي ستغطي تطبيق NEDAM، وتحليل حلول سوليطون الموجات، واستكشاف المشتقات الفراكتلية المتعلقة بالنموذج.
مناقشة
تقدم قسم المناقشة في الورقة الطريقة الجبرية المباشرة الموسعة الجديدة (NEDAM)، وهي نهج جديد لحل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية (NPDEs) ذات غير الخطية متعددة الحدود. تقوم هذه الطريقة بتحويل NPDEs بشكل فعال إلى معادلات تفاضلية عادية غير خطية (NODEs) من خلال استخدام حلول الموجات المتنقلة، مما يمكّن من اشتقاق حلول دقيقة لمجموعة متنوعة من NPDEs، بما في ذلك تلك التي تحتوي على مشتقات صحيحة وفراكتلية. يبرز المؤلفون مرونة NEDAM من خلال إظهار تطبيقها على عدة معادلات هامة في ديناميات السوائل ونظرية الموجات غير الخطية، مثل معادلة شرودنجر غير الخطية المتناغمة ومعادلة كادومتسيف-بيتفيشفيلي.
توضح الورقة الخطوات المنهجية المتبعة في تطبيق NEDAM، بما في ذلك افتراض سرعة الموجة، وصياغة الحلول متعددة الحدود، واستخراج حلول سوليطون من خلال أنظمة جبرية. يقدم المؤلفون نظرة شاملة على أنواع حلول السوليطون التي تم الحصول عليها، بما في ذلك السوليطونات الدورية، والفردية، والمختلطة، ويؤكدون على قدرة الطريقة على التعامل مع مجموعات معلمات متنوعة تؤدي إلى عائلات حلول متنوعة. بالإضافة إلى ذلك، تتناول المناقشة آثار حساب التفاضل الفراكتلي في نمذجة الظواهر الفيزيائية، مما يظهر الإمكانية للبحث المستقبلي في هذا المجال. يتم تمثيل النتائج بصريًا من خلال أشكال توضح السلوك الديناميكي لحجم الغاز وتأثيرات المشتقات الفراكتلية، مما يبرز استقرار وملاءمة الحلول المستمدة.
DOI: https://doi.org/10.1007/s11082-023-06233-2
Publication Date: 2024-02-03
Author(s): Emad A. Az-Zo’bi et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This section presents an analysis of the time-fractional mixed hyperbolic-elliptic p-system of conservation laws, utilizing a novel extended direct algebraic method. The focus is on a p-system characterized by a generalized cubic van der Waals flux, relevant to applications in compressible isothermal viscosity-capillarity fluids, particularly in describing longitudinal isothermal motion in elastic bars or fluids. The study successfully extracts various soliton structures, including periodic, kink, and singular solitons, and illustrates their 3D dynamical behaviors and contour profiles.
Additionally, the research discusses the fractional effects through the frameworks of Beta, M-truncated, and modified Riemann-Liouville operators. The findings underscore the method’s straightforwardness, reliability, and efficiency in addressing complex physical phenomena modeled by nonlinear partial differential equations, thereby contributing valuable insights to the field.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the significance of nonlinear partial differential equations (NPDEs) across various scientific fields, including mathematical physics, fluid mechanics, and biology. The authors highlight the growing interest in discovering novel solutions to nonlinear evolved forms (NLEEs), which are essential for understanding complex real-world phenomena. They summarize recent advancements in methodologies for solving these equations, such as the new auxiliary equation method, modified Sardar sub-equation method, and the generalized Ricatti equation mapping method, among others.
The paper specifically addresses the dynamics of fluid systems, particularly the mixed hyperbolic-elliptic systems that model phase transitions in solid dynamics and fluid flow. The authors introduce a one-dimensional regular viscos-capillarity compressible fluid model, known as the p-system, which illustrates liquid-gas phase transitions. They note the critical nature of shocks in nonlinear mixed-type systems and reference previous studies on traveling wave solutions. The current study aims to explore a generalized cubic van der Waals pressure model, which has not been previously investigated, using the newly developed extended direct algebraic method (NEDAM). The structure of the paper is outlined, detailing the sections that will cover the application of NEDAM, the analysis of wave soliton solutions, and the exploration of fractional derivatives related to the model.
Discussion
The discussion section of the paper presents the New Extended Direct Algebraic Method (NEDAM), a novel approach for solving nonlinear partial differential equations (NPDEs) with polynomial nonlinearity. This method effectively transforms NPDEs into nonlinear ordinary differential equations (NODEs) through the use of traveling wave solutions, enabling the derivation of exact solutions for a variety of NPDEs, including those with integer and fractional derivatives. The authors highlight the versatility of NEDAM by demonstrating its application to several significant equations in fluid dynamics and nonlinear wave theory, such as the Kerr-resonant nonlinear Schrödinger equation and the Kadomtsev-Petviashvili equation.
The paper details the systematic steps involved in applying NEDAM, including the assumption of wave speed, the formulation of polynomial solutions, and the extraction of soliton solutions through algebraic systems. The authors provide a comprehensive overview of the types of soliton solutions obtained, including periodic, singular, and mixed solitons, and emphasize the method’s capability to handle various parameter sets leading to diverse solution families. Additionally, the discussion touches on the implications of fractional calculus in modeling physical phenomena, showcasing the potential for future research in this area. The results are visually represented through figures illustrating the dynamical behavior of gas volume and the effects of fractional derivatives, underscoring the stability and physical relevance of the solutions derived.