DOI: https://doi.org/10.35316/alifmatika.2026.v8i1.135-162
تاريخ النشر: 2026-06-25
المؤلف: Muhammad Razali وآخرون
الموضوع الرئيسي: تعليم الرياضيات وطرائق التدريس
نظرة عامة
تستكشف هذه الدراسة تطوير قدرات الطلاب في التمثيل الرياضي عبر خمسة مستويات أداء من عادات التفكير أثناء حل مشكلات التشابه والتطابق. باستخدام نهج نوعي وصفي، تم جمع البيانات من 30 طالبًا في الصف التاسع من خلال اختبار قدرة التمثيل الرياضي، واستبيان عادات التفكير، ومقابلات شبه منظمة. توضح النتائج خمسة مسارات متميزة: (1) **مبتدئ** – يتميز بتمثيلات مجزأة وتقليدية مع فهم محدود؛ (2) **محدود** – حيث ينتج الطلاب تمثيلات جزئية تفتقر إلى المعنى الرياضي؛ (3) **قيد التطوير** – تظهر اتصالات ذات معنى لكنها لا تزال عرضة للأخطاء؛ (4) **متمكن** – تظهر تمثيلات منظمة لكنها تحتاج إلى تحسين في الشرح اللفظي؛ و (5) **متفوق** – تظهر قدرات تمثيل متماسكة ومرنة إلى جانب عادات تفكير قوية.
استنتاج مهم من الدراسة هو أن هذه المسارات لا تتبع تقدمًا خطيًا صارمًا، حيث قد يظهر الطلاب خصائص مستويات أعلى حتى وهم مصنفون في مستويات أدنى. وهذا يشير إلى أنه يجب النظر إلى مستويات الأداء كاستمرارية بدلاً من فئات منفصلة. تقدم الدراسة تداعيات عملية للمعلمين، موصية باستخدام خريطة المسار ذات الخمسة مستويات كأداة تشخيصية لتخصيص الدعم للطلاب على مستويات مختلفة. يتم تشجيع الأبحاث المستقبلية لاستكشاف هذه المسارات عبر سياقات رياضية مختلفة والتحقيق في تأثير تدخلات تعليمية محددة على قدرات تمثيل الطلاب.
مقدمة
تؤكد مقدمة ورقة البحث على الدور الحاسم للتمثيل الرياضي في تعليم الرياضيات، متماشية مع إطار المنهج المستقل ومعايير المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات (NCTM). تبرز أن التمثيل يمكّن الطلاب من التعبير عن الأفكار الرياضية، وتحويل المشكلات إلى أشكال رياضية، والتواصل بأفكارهم بشكل فعال. يتم التأكيد على الحاجة الملحة لتعزيز مهارات التمثيل الرياضي من خلال نتائج برنامج تقييم الطلاب الدوليين (PISA) لعام 2022، التي تكشف أن الطلاب الإندونيسيين حصلوا على درجات أقل بكثير في الرياضيات مقارنة بالسنوات السابقة، حيث كان أكثر من 60% منهم يؤدون في المستوى 1 أو أقل. وهذا يشير إلى تحدٍ أساسي في كل من الحساب الإجرائي والتمثيل، خاصة في تفسير وبناء التعبيرات الرياضية.
تحدد الورقة التمثيل الرياضي على أنه يشمل الأشكال البصرية واللفظية والرمزية، والتي تعتبر ضرورية لفهم وحل المشكلات، خاصة في مواضيع مثل التشابه والتطابق. تناقش الصعوبات التي يواجهها الطلاب في تحويل المعلومات اللفظية إلى تمثيلات تصويرية ورمزية ذات معنى، مشيرة إلى أن هذه التحديات مرتبطة بعادات تفكيرهم أو “عادات العقل”. يجادل المؤلفون بأن هذه العادات تؤثر بشكل كبير على كفاءة تمثيل الطلاب الرياضي وقدراتهم على حل المشكلات. ومن الجدير بالذكر أن الدراسة تهدف إلى سد فجوة بحثية من خلال رسم مسارات تمثيل الطلاب عبر خمسة مستويات أداء في عادات التفكير، مما يوفر رؤى حول كيفية تطور هذه التمثيلات وتداخلها. من المتوقع أن تساعد هذه الخريطة المعلمين في تحديد صعوبات الطلاب وتخصيص الدعم التعليمي وفقًا لذلك.
الطرق
استخدمت الدراسة نهجًا نوعيًا وصفيًا لاستكشاف مسارات تمثيل الطلاب في الصف التاسع في حل مشكلات التشابه والتطابق، مع التركيز على ثلاثة مؤشرات: التمثيلات التصويرية، الرمزية، واللفظية. تم اختيار 30 طالبًا، تم اختيارهم من خلال العينة الهادفة بناءً على معرفتهم السابقة ذات الصلة، وتم تصنيفهم إلى خمسة مستويات أداء – مبتدئ، محدود، قيد التطوير، متمكن، ومتفوق – باستخدام استبيان عادات التفكير. من أجل التحليل النوعي المتعمق، تم اختيار طالب واحد من كل مستوى أداء لتحليل الاختبار الكتابي والمقابلات شبه المنظمة.
شملت أدوات البحث اختبار قدرة التمثيل الرياضي، واستبيان عادات التفكير المعدل من كوستا وكاليك، ودليل المقابلة شبه المنظمة. خضعت هذه الأدوات للتحقق من الصحة من قبل الخبراء لضمان صلاحية المحتوى وتوافقها مع أهداف البحث. تم جمع البيانات على ثلاث مراحل: إجراء استبيان عادات التفكير، إجراء اختبار قدرة التمثيل الرياضي، وإجراء المقابلات شبه المنظمة. شمل التحليل النوعي تقليل البيانات، وعرضها، واستخلاص النتائج، مع استخدام التثليث لتعزيز مصداقية النتائج من خلال مقارنة النتائج عبر مصادر البيانات المختلفة.
النتائج
تم تقييم نتائج الدراسة حول مستويات أداء عادات التفكير باستخدام استبيان معدل مستمد من معهد عادات التفكير (2014)، والذي يتضمن مؤشرات وضعتها كوستا وكاليك (2008). ركز التحليل على قدرات الطلاب في التمثيل الرياضي، مع التركيز بشكل خاص على خمسة طلاب مختارين تم تقييمهم بشكل إضافي من خلال المقابلات.
توضح النتائج، المفصلة في الجدول 4، أداء الطلاب عبر ثلاثة مؤشرات متوافقة مع المستويات الخمسة لعادات التفكير. يسمح هذا النهج المنظم بفهم شامل لكيفية تأثير هذه العادات المعرفية على مهارات التمثيل الرياضي بين المشاركين.
المناقشة
تحلل قسم المناقشة في ورقة البحث قدرات التمثيل الرياضي للطلاب عبر مستويات الأداء المختلفة، مع تسليط الضوء على النتائج المهمة المتعلقة بفهمهم للمفاهيم، واستراتيجيات حل المشكلات، ومهارات التمثيل. يظهر الطالب R22، المصنف كمبتدئ، نقصًا في الفهم في كل من التمثيلات التصويرية والرمزية، وغالبًا ما يعتمد على تقليد الأقران بدلاً من التفكير المستقل. يكافح هذا الطالب لتفسير المشكلات ونقل الأفكار الرياضية بشكل فعال، مما يشير إلى ضعف أساسي في فهم التشابه والعمليات الحسابية الأساسية. تكشف المقابلات أن اندفاع R22 ونقص التركيز تعيق عملية تعلمه.
على النقيض من ذلك، يظهر الطلاب في الفئة المحدودة، مثل R10، بعض القدرة على إنشاء تمثيلات تصويرية لكن لا تزال تفتقر إلى الوضوح والملاءمة في إجاباتهم. على الرغم من أن R10 يظهر مهارات حسابية أساسية، إلا أن فهمه للمفاهيم الرياضية لا يزال سطحيًا، مما يؤدي إلى حل المشكلات بشكل غير دقيق. تعكس الفئة قيد التطوير، الممثلة بـ R17، نهجًا أكثر نظامية، حيث يبدأ الطلاب في التعبير عن تفكيرهم وربط التمثيلات بالمفاهيم الرياضية، على الرغم من أنهم لا يزالون بحاجة إلى تحسين في فهمهم وتنفيذهم.
على المستوى المتمكن، الذي يمثله R5، يظهر الطلاب نهجًا منظمًا في حل المشكلات، مستخدمين التمثيلات التصويرية والرمزية بشكل فعال، ومع ذلك لا يزال لديهم فجوات في الفهم المفهومي، خاصة فيما يتعلق بالتشابه. أخيرًا، يدمج R7، المصنف كمتفوق، التمثيلات التصويرية والرمزية واللفظية بشكل متماسك، مما يظهر استراتيجيات متقدمة في حل المشكلات وفهم عميق للمفاهيم الرياضية. بشكل عام، تشير التحليلات إلى أنه بينما تكون قدرات الطلاب في التمثيل الرمزي عمومًا أقوى، فإن تمثيلاتهم التصويرية واللفظية غالبًا ما تتخلف، مما يشير إلى الحاجة إلى استراتيجيات تعليمية مستهدفة لتعزيز فهمهم العام للرياضيات ومهارات التمثيل.
DOI: https://doi.org/10.35316/alifmatika.2026.v8i1.135-162
Publication Date: 2026-06-25
Author(s): Muhammad Razali et al.
Primary Topic: Mathematics Education and Pedagogy
Overview
This study investigates the development of students’ mathematical representation abilities across five performance levels of Habits of Mind while solving similarity and congruence problems. Utilizing a descriptive qualitative approach, data were gathered from 30 ninth-grade students through a mathematical representation ability test, a Habits of Mind questionnaire, and semi-structured interviews. The findings delineate five distinct trajectories: (1) **Beginner** – characterized by fragmented and imitative representations with limited understanding; (2) **Limited** – where students produce partial representations that lack mathematical meaning; (3) **Developing** – showing meaningful connections but still prone to errors; (4) **Proficient** – demonstrating structured representations yet needing refinement in verbal explanations; and (5) **Superior** – exhibiting coherent and flexible representation abilities alongside strong Habits of Mind.
A significant conclusion of the study is that these trajectories do not follow a strictly linear progression, as students may exhibit characteristics of higher levels even while classified at lower levels. This suggests that the performance levels should be viewed as a continuum rather than discrete categories. The study offers practical implications for educators, recommending the use of the five-level trajectory map as a diagnostic tool to tailor support for students at various levels. Future research is encouraged to explore these trajectories across different mathematical contexts and to investigate the impact of specific instructional interventions on students’ representation abilities.
Introduction
The introduction of the research paper emphasizes the critical role of mathematical representation in mathematics education, aligning with the independent curriculum framework and the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) standards. It highlights that representation enables students to express mathematical ideas, translate problems into mathematical forms, and communicate their reasoning effectively. The urgency for enhancing mathematical representation skills is underscored by the 2022 Program for International Student Assessment (PISA) results, which reveal that Indonesian students scored significantly lower in mathematics compared to previous years, with over 60% performing at Level 1 or below. This indicates a fundamental challenge in both procedural computation and representation, particularly in interpreting and constructing mathematical expressions.
The paper identifies mathematical representation as encompassing visual, verbal, and symbolic forms, which are essential for understanding and solving problems, especially in topics like similarity and congruence. It discusses the difficulties students face in transforming verbal information into meaningful pictorial and symbolic representations, suggesting that these challenges are linked to their thinking habits or “habits of mind.” The authors argue that these habits significantly influence students’ mathematical representation competence and problem-solving abilities. Notably, the study aims to fill a research gap by mapping students’ representation trajectories across five performance levels in habits of mind, providing insights into how these representations develop and intersect. This mapping is expected to aid educators in identifying students’ difficulties and tailoring instructional support accordingly.
Methods
The study employed a descriptive qualitative approach to explore ninth-grade students’ mathematical representation trajectories in solving similarity and congruence problems, focusing on three indicators: pictorial, symbolic, and verbal representations. A total of 30 students, selected through purposive sampling for their relevant prior knowledge, were classified into five performance levels—beginner, limited, developing, proficient, and superior—using a Habits of Mind questionnaire. For in-depth qualitative analysis, one student from each performance level was chosen for written test analysis and semi-structured interviews.
The research instruments included a mathematical representation ability test, a Habits of Mind questionnaire adapted from Costa and Kallick, and a semi-structured interview guide. These instruments underwent validation by experts to ensure content validity and alignment with the research objectives. Data collection occurred in three stages: administering the Habits of Mind questionnaire, conducting the mathematical representation ability test, and performing semi-structured interviews. Qualitative analysis involved data reduction, display, and conclusion drawing, with triangulation employed to enhance the credibility of findings by comparing results across the different data sources.
Results
The results of the study on the performance levels of Habits of Mind were assessed using a modified questionnaire derived from The Institute for Habits of Mind (2014), which incorporates indicators established by Costa and Kallick (2008). The analysis focused on students’ mathematical representation abilities, with a specific emphasis on five selected students who were further evaluated through interviews.
The findings, detailed in Table 4, illustrate the students’ performance across three indicators aligned with the five levels of Habits of Mind. This structured approach allows for a comprehensive understanding of how these cognitive habits influence mathematical representation skills among the participants.
Discussion
The discussion section of the research paper analyzes the mathematical representation abilities of students across various performance levels, highlighting significant findings related to their understanding of concepts, problem-solving strategies, and representational skills. Student R22, categorized as a beginner, demonstrates a lack of comprehension in both pictorial and symbolic representations, often relying on peer imitation rather than independent reasoning. This student struggles to interpret problems and convey mathematical ideas effectively, indicating a foundational weakness in understanding similarity and basic arithmetic operations. Interviews reveal that R22’s impulsivity and lack of focus further hinder their learning process.
In contrast, students in the limited category, such as R10, show some ability to create pictorial representations but still lack clarity and relevance in their answers. Although R10 exhibits basic arithmetic skills, their understanding of mathematical concepts remains superficial, leading to careless problem-solving. The developing category, represented by R17, reflects a more systematic approach, with students beginning to articulate their reasoning and connect representations to mathematical concepts, although they still require refinement in their understanding and execution.
At the proficient level, exemplified by R5, students demonstrate a structured approach to problem-solving, utilizing pictorial and symbolic representations effectively, yet they still exhibit gaps in conceptual understanding, particularly regarding similarity. Finally, R7, categorized as superior, integrates pictorial, symbolic, and verbal representations cohesively, showcasing advanced problem-solving strategies and a deep understanding of mathematical concepts. Overall, the analysis indicates that while students’ symbolic representation abilities are generally stronger, their pictorial and verbal representations often lag behind, suggesting a need for targeted instructional strategies to enhance their overall mathematical comprehension and representation skills.