DOI: https://doi.org/10.1017/jpr.2026.10087
تاريخ النشر: 2026-04-10
المؤلف: Noah Beelders وآخرون
الموضوع الرئيسي: نماذج الاحتمالات والمخاطر
نظرة عامة
في هذه الورقة، يقوم المؤلفون بتطوير هويات تتعلق بمشاكل الخروج للأعلى والأسفل، بالإضافة إلى الحلول لمشكلة عشوائية تنتقل بين عمليتين ليفي بناءً على موقعها بالنسبة لحاجز \( b \) ووقت وصول بواسون. يتم نمذجة هذا السلوك باستخدام معادلة تفاضلية عشوائية هجينة، والتي يتناول المؤلفون أيضًا وجود حلول لها. يتم التعبير عن الهويات من خلال تعميمات جديدة لدوال المقياس، والتي تعمل كمعادل لتلك الموجودة في نظرية العمليات الليفية.
لإظهار الآثار العملية لنتائجهم، يقوم المؤلفون بتطبيق نتائجهم لحساب احتمال الإفلاس في عملية مخاطر تتميز بتأخيرات في دفع الأرباح. تؤكد هذه التطبيق على أهمية الهويات المستمدة والإطار العشوائي المرتبط بها في معالجة السيناريوهات المالية الواقعية.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة العملية الليفية المنكسرة، وهي حل قوي لمعادلة تفاضلية عشوائية (SDE) تتضمن عملية ليفي سلبية طيفيًا (SNLP) وثوابت إيجابية. لقد حظيت هذه العملية باهتمام كبير، خاصة في سياق نماذج مخاطر التأمين التي تتضمن دفع الأرباح. يبني المؤلفون على الأعمال السابقة من خلال تقديم عملية ليفي منكسرة عامة، والتي تسمح بوجود عمليات ليفي متميزة فوق وتحت عتبة، $b$. تتضمن الصياغة الجديدة معادلة تفاضلية عشوائية هجينة تتغير ديناميكياتها بناءً على أوقات وصول عملية بواسون مستقلة، مما يوسع الإطار القائم.
تهدف الورقة إلى إنشاء هويات تتعلق بمشاكل الخروج ذات الجانبين وقياسات محتملة للعملية العامة، مستفيدة من تعميمات جديدة لدوال المقياس. بالإضافة إلى ذلك، تسلط الضوء على أهمية هذه النتائج في سياق نماذج مخاطر التأمين، مع التركيز بشكل خاص على التأخيرات في دفع الأرباح التي تحدث في الممارسة العملية. يتم توضيح هيكل الورقة، مما يشير إلى أن الأقسام التالية ستتناول الأسس النظرية، ووجود الحلول، وتطبيقات النموذج المقترح في نظرية المخاطر، مما يؤدي في النهاية إلى اشتقاق تعبيرات لاحتمال الإفلاس في السيناريوهات التي تتضمن تأخيرات في الأرباح.
نقاش
تتناول قسم النقاش في الورقة خصائص وآثار عملية ليفي سلبية طيفيًا (SNLP) المعرفة على فضاء احتمالي مفلتر. يقدم مفاهيم رياضية رئيسية مثل الأس exponent لابلاس $\psi(\theta)$، الذي يميز SNLP، ودوال المقياس المرتبطة $W(q)$ و$Z(q)$. هذه الدوال ضرورية لاشتقاق هويات التقلب وفهم سلوك العملية، خاصة فيما يتعلق بانتقالاتها بين ديناميكيات مختلفة تتأثر بعملية بواسون. يؤكد القسم على استمرارية وتقعر الأس exponent لابلاس، بالإضافة إلى وجود دالة عكسية صحيحة $\Phi_q$، والتي تساعد في تحليل سلوك العملية تحت ظروف مختلفة.
علاوة على ذلك، يقدم المؤلفون حلاً مسارياً لمعادلة تفاضلية عشوائية (SDE) التي تحكم ديناميكيات SNLP، مما يظهر خاصية ماركوف القوية للعملية المُنشأة. يتم تعريف آلية التبديل بين SNLPs، $X$ و$Y$، بعناية من خلال أوقات التوقف، مما يضمن بقاء العملية معرفة بشكل جيد ضمن التصفية. ينتهي القسم بنظرية تؤكد وجود حل قوي لـ SDE، مما يبرز تفرد البناء تحت الظروف المحددة. تؤكد النتائج على أهمية آلية بواسون في تبسيط تحليل SNLP، خاصة في السيناريوهات التي قد تواجه فيها النماذج التقليدية تعقيدات بسبب أحداث التبديل اللانهائية.
DOI: https://doi.org/10.1017/jpr.2026.10087
Publication Date: 2026-04-10
Author(s): Noah Beelders et al.
Primary Topic: Probability and Risk Models
Overview
In this paper, the authors develop identities related to the upward and downward exit problems, as well as resolvents for a stochastic process that transitions between two Lévy processes based on its position relative to a barrier \( b \) and a Poissonian arrival time. This behavior is modeled using a hybrid stochastic differential equation, for which the authors also address the existence of solutions. The identities are articulated through new generalizations of scale functions, which serve as counterparts to those found in Lévy process theory.
To demonstrate the practical implications of their findings, the authors apply their results to calculate the probability of ruin in a risk process characterized by delays in dividend payments. This application underscores the relevance of the derived identities and the associated stochastic framework in addressing real-world financial scenarios.
Introduction
The introduction of the paper discusses the refracted Lévy process, a strong solution to a stochastic differential equation (SDE) involving a spectrally negative Lévy process (SNLP) and positive constants. This process has garnered significant interest, particularly in the context of insurance risk models that incorporate dividend payments. The authors build upon previous work by introducing a generalized refracted Lévy process, which allows for distinct Lévy processes above and below a threshold, $b$. The new formulation includes a hybrid SDE that switches dynamics based on the arrival times of an independent Poisson process, thereby extending the existing framework.
The paper aims to establish identities related to two-sided exit problems and potential measures for the generalized process, leveraging new generalizations of scale functions. Additionally, it highlights the relevance of these findings in the context of insurance risk models, particularly addressing the delays in dividend payments that occur in practice. The structure of the paper is outlined, indicating that subsequent sections will delve into the theoretical foundations, existence of solutions, and applications of the proposed model in risk theory, ultimately deriving expressions for the probability of ruin in scenarios involving delayed dividends.
Discussion
The discussion section of the paper elaborates on the properties and implications of a spectrally negative Lévy process (SNLP) defined on a filtered probability space. It introduces key mathematical constructs such as the Laplace exponent $\psi(\theta)$, which characterizes the SNLP, and the associated scale functions $W(q)$ and $Z(q)$. These functions are crucial for deriving fluctuation identities and understanding the behavior of the process, particularly in relation to its transitions between different dynamics influenced by a Poisson process. The section emphasizes the continuity and convexity of the Laplace exponent, as well as the existence of a right-inverse function $\Phi_q$, which aids in analyzing the process’s behavior under various conditions.
Furthermore, the authors present a pathwise solution to a stochastic differential equation (SDE) that governs the dynamics of the SNLP, demonstrating the strong Markov property of the constructed process. The switching mechanism between two SNLPs, $X$ and $Y$, is carefully defined through stopping times, ensuring that the process remains well-defined within the filtration. The section concludes with a theorem asserting the existence of a strong solution to the SDE, highlighting the uniqueness of the construction under the specified conditions. The results underscore the significance of the Poisson mechanism in simplifying the analysis of the SNLP, particularly in scenarios where traditional models may encounter complications due to infinite switching events.