DOI: https://doi.org/10.15673/pigc.v19i1.3307
تاريخ النشر: 2026-05-17
المؤلف: Mykola V. Pratsiovytyi وآخرون
الموضوع الرئيسي: الديناميات الرياضية والكسور
نظرة عامة
يوفر هذا القسم نظرة عامة على المفاهيم الرياضية المتعلقة بالمجموعات ذات عدد محدود من التمثيلات، مع الإشارة بشكل خاص إلى مجموعة كانتور وأبعاد هاوسدورف-بيسيكوفيتش. مجموعة كانتور هي مثال كلاسيكي في نظرية المجموعات يوضح خصائص مجموعة لا يمكن عدها ولكن لها قياس صفر. بعد هاوسدورف-بيسيكوفيتش يوسع مفهوم البعد إلى ما وراء الأعداد الصحيحة، مما يسمح بتمييز المجموعات الكسرية، مثل مجموعة كانتور، التي تمتلك أبعاد غير صحيحة. هذا الإطار ضروري لفهم التعقيد والبنية لمختلف الكائنات الرياضية في الطوبولوجيا ونظرية القياس.
نقاش
في هذا القسم، يبحث المؤلفون في خصائص نظام عددي يتميز بقاعدة طبيعية \( s \geq 2 \) وأبجدية زائدة \( A_r = \{0, 1, \ldots, r\} \)، حيث \( s \leq r \leq 2s – 2 \). يضعون معيارًا لفرادة تمثيلات الأعداد في هذا النظام ويظهرون أن بعد هاوسدورف-بيسيكوفيتش لمجموعة الأعداد ذات التمثيلات الفريدة يُعطى بالصيغة \( \frac{\ln(2s – r – 1)}{\ln s} \). كما يحلل المؤلفون الأعداد ذات التمثيلات الدورية البحتة ويظهرون أن تلك التي لها فترة بسيطة يمكن أن تحتوي على تمثيل فريد أو مجموعة مستمرة من التمثيلات المتميزة، اعتمادًا على ظروف معينة تتعلق بأرقامها.
علاوة على ذلك، يستنتج المؤلفون أن مجموعة الأعداد التي تمتلك مجموعة مستمرة من التمثيلات المتميزة لها قياس ليبغ الكامل داخل الفترة \( [0, r s^{-1}] \). يقدمون شروطًا صريحة بموجبها ينتمي عدد إلى هذه المجموعة، مؤكدين على تداعيات الزيادة في نظام العد. تسهم النتائج في فهم الخصائص الطوبولوجية والمترية والكسرية لتمثيلات الأعداد في أنظمة العد الزائدة، والتي لها تطبيقات في مجالات رياضية متنوعة، بما في ذلك نظرية الاحتمالات والأنظمة الديناميكية.
DOI: https://doi.org/10.15673/pigc.v19i1.3307
Publication Date: 2026-05-17
Author(s): Mykola V. Pratsiovytyi et al.
Primary Topic: Mathematical Dynamics and Fractals
Overview
The section provides an overview of mathematical concepts related to sets with a finite number of representations, specifically referencing the Cantor set and the Hausdorff-Besicovitch dimension. The Cantor set is a classic example in set theory that illustrates the properties of a set that is uncountably infinite yet has a measure of zero. The Hausdorff-Besicovitch dimension extends the notion of dimension beyond integers, allowing for the characterization of fractal sets, such as the Cantor set, which possess non-integer dimensions. This framework is essential for understanding the complexity and structure of various mathematical objects in topology and measure theory.
Discussion
In this section, the authors investigate the properties of a numeral system characterized by a natural base \( s \geq 2 \) and a redundant alphabet \( A_r = \{0, 1, \ldots, r\} \), where \( s \leq r \leq 2s – 2 \). They establish a criterion for the uniqueness of number representations in this system and demonstrate that the Hausdorff-Besicovitch dimension of the set of numbers with unique representations is given by the formula \( \frac{\ln(2s – r – 1)}{\ln s} \). The authors also analyze numbers with purely periodic representations and show that those with a simple period can have either a unique representation or a continuum of distinct representations, depending on specific conditions related to their digits.
Furthermore, the authors conclude that the set of numbers possessing a continuum of distinct representations has full Lebesgue measure within the interval \( [0, r s^{-1}] \). They provide explicit conditions under which a number belongs to this set, emphasizing the implications of redundancy in the numeral system. The findings contribute to the understanding of topological, metric, and fractal properties of number representations in redundant numeral systems, which have applications in various mathematical fields, including probability theory and dynamical systems.