DOI: https://doi.org/10.1007/s41808-026-00446-8
تاريخ النشر: 2026-02-26
المؤلف: Eylem Öztürk وآخرون
الموضوع الرئيسي: أداء الميرومورفيك والدوال الكاملة
نظرة عامة
في هذه الدراسة، نحقق في مشاكل المرحلة المزدوجة اللوغاريتمية المميزة بشروط نمو حرجة على الحدود. يتم تأطير المشكلة ضمن مجال محدود $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ (حيث $N \geq 2$) مع حدود ليبشيتز $\partial \Omega$. نعتبر مشغل المرحلة المزدوجة اللوغاريتمية $\text{div} L$، مع معلمات تلبي $1 < p < N$، $p < q < p^* = \frac{(N-1)p}{Np}$، ودالة غير سالبة $\mu \in L^\infty(\Omega)$. الدالة $f: \partial \Omega \times [-K, K] \to \mathbb{R}$ هي دالة كاراثيودوري تظهر سلوكًا محليًا محددًا بالقرب من الأصل. باستخدام تقنيات القطع المناسبة ومشكلة مساعدة، نستنتج معيارًا مكافئًا في فضاء دالتنا، مما يسمح لنا بإثبات وجود تسلسل كامل من الحلول المتغيرة الإشارة لمشكلة المرحلة المزدوجة اللوغاريتمية. ومن الجدير بالذكر أن هذه الحلول تتقارب إلى الصفر في كل من فضاء سوبوليف اللوغاريتمي $W^{1,H \log}(\Omega)$ وفي $L^\infty(\Omega)$. تسهم هذه النتيجة في فهم هيكل الحل في المشاكل التباينية المعقدة التي تتضمن نموًا حرجًا.
مقدمة
في مقدمة هذه الورقة البحثية، يقدم المؤلفون مشغل المرحلة المزدوجة اللوغاريتمية المعرفة كما يلي
\[
\text{div} \left( |\nabla u|^{p-2} \nabla u + \mu(x) \log(e + |\nabla u|) + |\nabla u|^q (e + |\nabla u|) |\nabla u|^{q-2} \nabla u \right),
\]
حيث ينتمي \( u \) إلى فضاء سوبوليف اللوغاريتمي \( W^{1,H_{\log}}_0(\Omega) \). تم تقديم هذا المشغل لنمذجة الانتقال بين النمو المتعدد الحدود القياسي والسلوك شبه الخطي، مع تضمين عامل لوغاريتمي يعزز النمو قليلاً بما يتجاوز النمو النقي \( q \) مع الحفاظ على إطار تبايني. يتم إعطاء الوظيفة الطاقية المرتبطة كما يلي
\[
u \mapsto \int_{\Omega} \left( |\nabla u|^p + \mu(x) |\nabla u|^q \log(e + |\nabla u|) \right) \, dx,
\]
والتي تم استكشافها سابقًا في حالات محددة، لا سيما فيما يتعلق باستمرارية هولدر المحلية لتدرجات المحسنات المحلية.
يركز المؤلفون على مشاكل المرحلة المزدوجة اللوغاريتمية ذات النمو الحرج، المميزة بشرط حدود يتضمن مصطلح نيومان غير الخطي. يثبتون وجود تسلسل من الحلول الضعيفة المتغيرة الإشارة التي تتقارب إلى الصفر في كل من فضاء سوبوليف ومعيار \( L^\infty \). تتناول الورقة التحديات التحليلية التي تطرحها مصطلح الحدود الحرجة ومشغل المرحلة المزدوجة اللوغاريتمية، باستخدام مشاكل مساعدة ونظرية تمرير الجبل المتماثل للتغلب على هذه الصعوبات. يوسع هذا العمل الدراسات السابقة في سياق المرحلة المزدوجة إلى الإعداد اللوغاريتمي، مما يساهم في الأدبيات المحدودة الموجودة حول هذا المشغل.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون خصائص الفضاء \( W^{1,H}_{\log}(\Omega) \) والمشغل غير الخطي المرتبط \( A \) المعرفة من حيث \( p \)-لابلاسيان. يثبتون أنه تحت فرضيات معينة، يكون المشغل \( A \) محدودًا، مستمرًا، أحادي الاتجاه بشكل صارم، ويحقق خاصية (S+)، وهي ضرورية لإثبات وجود حلول للمشكلة التباينية المرتبطة. يقدم المؤلفون أيضًا مفهوم مشكلة مساعدة مقطوعة لمعالجة المصطلحات الحرجة في المشكلة الأصلية، مما يؤدي إلى تحديد حلول ضعيفة موجبة وسالبة غير تافهة.
يتم إثبات وجود حلول ذات إشارة ثابتة قصوى من خلال بناء مجموعات \( S^+ \) و \( S^- \) التي تحتوي على حلول موجبة وسالبة، على التوالي. يثبت المؤلفون أن هذه المجموعات غير فارغة وأن هناك حلولًا موجبة أصغر \( u^* \) وحلولًا سالبة أكبر \( v^* \). علاوة على ذلك، يعرفون دالة وظيفية مقطوعة \( \mathcal{Y}^* \) ويظهرون أن نقاطها الحرجة تنتمي إلى الفترة \([v^*, u^*]\). يؤدي ذلك إلى الاستنتاج بأن الوظيفة تحقق شرط باليس-سميل، مما يسمح بتطبيق نظرية النقاط الحرجة لإثبات وجود حلول متغيرة الإشارة للمشكلة الأصلية. تؤكد النتائج على التفاعل بين الطرق التباينية وخصائص المشغلين غير الخطيين في سياق المعادلات التفاضلية.
DOI: https://doi.org/10.1007/s41808-026-00446-8
Publication Date: 2026-02-26
Author(s): Eylem Öztürk et al.
Primary Topic: Meromorphic and Entire Functions
Overview
In this study, we investigate logarithmic double phase problems characterized by critical growth conditions on the boundary. The problem is framed within a bounded domain $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ (where $N \geq 2$) with a Lipschitz boundary $\partial \Omega$. We consider the logarithmic double phase operator $\text{div} L$, with parameters satisfying $1 < p < N$, $p < q < p^* = \frac{(N-1)p}{Np}$, and a non-negative function $\mu \in L^\infty(\Omega)$. The function $f: \partial \Omega \times [-K, K] \to \mathbb{R}$ is a Carathéodory function exhibiting specific local behavior near the origin. Employing suitable truncation techniques and an auxiliary problem, we derive an equivalent norm in our function space, which allows us to demonstrate the existence of an entire sequence of sign-changing solutions to the logarithmic double phase problem. Notably, these solutions converge to zero in both the logarithmic Musielak-Orlicz Sobolev space $W^{1,H \log}(\Omega)$ and in $L^\infty(\Omega)$. This finding contributes to the understanding of the solution structure in complex variational problems involving critical growth.
Introduction
In the introduction of this research paper, the authors present the logarithmic double phase operator defined as
\[
\text{div} \left( |\nabla u|^{p-2} \nabla u + \mu(x) \log(e + |\nabla u|) + |\nabla u|^q (e + |\nabla u|) |\nabla u|^{q-2} \nabla u \right),
\]
where \( u \) belongs to the logarithmic Musielak-Orlicz Sobolev space \( W^{1,H_{\log}}_0(\Omega) \). This operator is introduced to model a transition between standard polynomial growth and nearly linear behavior, incorporating a logarithmic factor that enhances growth slightly beyond pure \( q \)-growth while maintaining a variational framework. The associated energy functional is given by
\[
u \mapsto \int_{\Omega} \left( |\nabla u|^p + \mu(x) |\nabla u|^q \log(e + |\nabla u|) \right) \, dx,
\]
which has been previously explored in specific cases, particularly regarding the local Hölder continuity of gradients of local minimizers.
The authors focus on logarithmic double phase problems with critical growth, characterized by a boundary condition involving a nonlinear Neumann term. They establish the existence of a sequence of sign-changing weak solutions that converge to zero in both the Sobolev space and \( L^\infty \) norm. The paper addresses the analytical challenges posed by the critical boundary term and the logarithmic double phase operator, employing auxiliary problems and the symmetric mountain pass theorem to overcome these difficulties. This work extends previous studies in the double phase context to the logarithmic setting, contributing to the limited existing literature on this operator.
Discussion
In this section, the authors discuss the properties of the space \( W^{1,H}_{\log}(\Omega) \) and the associated nonlinear operator \( A \) defined in terms of the \( p \)-Laplacian. They establish that under certain hypotheses, the operator \( A \) is bounded, continuous, strictly monotone, and satisfies the (S+) property, which is crucial for proving the existence of solutions to the associated variational problem. The authors also introduce the concept of a truncated auxiliary problem to address critical terms in the original problem, leading to the identification of nontrivial positive and negative weak solutions.
The existence of extremal constant sign solutions is demonstrated through the construction of sets \( S^+ \) and \( S^- \) containing positive and negative solutions, respectively. The authors prove that these sets are nonempty and that there exist smallest positive solutions \( u^* \) and largest negative solutions \( v^* \). Furthermore, they define a truncated functional \( \mathcal{Y}^* \) and show that its critical points belong to the interval \([v^*, u^*]\). This leads to the conclusion that the functional satisfies the Palais-Smale condition, allowing the application of critical point theory to establish the existence of sign-changing solutions to the original problem. The findings underscore the interplay between variational methods and the properties of nonlinear operators in the context of differential equations.