في هذه الدراسة، نحقق في مشاكل المرحلة المزدوجة اللوغاريتمية المميزة بشروط نمو حرجة على الحدود. يتم تأطير المشكلة ضمن مجال محدود $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ (حيث $N \geq 2$) مع حدود ليبشيتز $\partial \Omega$. نعتبر مشغل المرحلة المزدوجة اللوغاريتمية $\text{div} L$، مع معلمات تلبي $1 < p < N$، $p < q < p^* = \frac{(N-1)p}{Np}$،…