DOI: https://doi.org/10.1007/s43069-026-00646-x
تاريخ النشر: 2026-05-07
المؤلف: Maximilian Schaller وآخرون
الموضوع الرئيسي: سلوك السوق الاستهلاكية والتسعير
نظرة عامة
في هذا القسم، يتناول المؤلفون تحسين تسعير المنتجات لتعظيم الربح مع مراعاة كل من المرونة الذاتية والمرونة المتقاطعة، تحت قيود سعرية محددة. يقومون بصياغة المشكلة كتعظيم لمجموع دالة محدبة ودالة مقعرة. للعثور على حل تقريبي محلي مثالي، يقارنون بين ثلاث منهجيات: إجراء محدب-مقعر، نهج تخصيص-تعظيم مخصص يتضمن برامج تربيعية، وطريقة برمجة غير خطية عامة. توضح الأمثلة العددية أن جميع الطرق الثلاث تتقارب بشكل موثوق إلى نفس الحد الأقصى المحلي، مما يشير إلى أن الأسعار المحددة من المحتمل أن تكون مثالية على مستوى العالم.
في الختام، يحدد المؤلفون فئة واسعة من مشاكل تعظيم الربح المتعلقة بتسعير المنتجات المتعددة، مع مراعاة قيود عملية متنوعة. يقدمون ثلاث طرق حل فعالة تظهر قابلية جيدة للتوسع وتقارب متسق ضمن أطر زمنية قابلة للمقارنة. بالإضافة إلى ذلك، يقدمون كود بايثون مفتوح المصدر لتسهيل التطبيقات العملية لاستراتيجيات التسعير المثلى الخاصة بهم. ستركز الأبحاث المستقبلية على تقدير مصفوفة مرونة الأسعار، التي تم افتراض أنها محددة مسبقًا في هذه الدراسة.
مقدمة
تستعرض مقدمة هذه الورقة البحثية التطور التاريخي لاستراتيجيات التسعير المثلى، بدءًا من دراسات القرن التاسع عشر حول التفاعل بين السعر والطلب، والتي أكدت على توازن الإيرادات الحدية والتكاليف لتعظيم الربح. قدمت التطورات في أوائل القرن العشرين قاعدة علامة ليرنر، مما يبرز أهمية مرونة سعر الطلب، واستكشفت استبدال الأسعار المتقاطعة، مما وضع الأساس لاستراتيجيات التسعير التي تتضمن بدائل المنتجات والمكملات. أدت التقدمات اللاحقة في الخمسينيات إلى دمج قيود نقطة التعادل وطرق التحسين العددي، بينما شهدت التسعينيات إنشاء أطر عمل للتسعير الأمثل تحت قيود متنوعة.
تحولت الأبحاث الحديثة نحو التسعير الديناميكي والشخصي، مستفيدة من تقنيات التعلم الآلي الحديثة لتعزيز نمذجة الطلب. تشير الورقة إلى استكشاف إعدادات متخصصة، مثل التحسين المشترك للأسعار وخطط الإنتاج، وتسعير السلع القابلة للتلف. بينما تناولت الأدبيات الحالية تسعير المنتجات المتعددة من وجهات نظر اقتصادية ونظرية الألعاب، تقترح هذه الدراسة نهجًا جديدًا باستخدام نموذج طلب بسيط يعتمد على مصفوفة المرونة، جنبًا إلى جنب مع قيود محدبة على تغييرات الأسعار، لإنشاء إطار عمل قوي لتسعير المنتجات المتعددة.
طرق
في هذا القسم، يقدم المؤلفون ثلاث طرق لمعالجة مشكلة تحسين غير محدبة تتميز بمزيج من الدوال الأسية المحدبة والمقعرة. تستفيد الطريقتان الأوليان من هيكل الدالة الهدف من خلال خطي دالة الأسية المحدبة، مما يحول المشكلة إلى شكل مقعر يمكن حله بشكل تكراري. بالإضافة إلى ذلك، يقترح المؤلفون تقريب الدوال الأسية المقعرة باستخدام دوال تربيعية، مما يؤدي إلى صياغة برمجة تربيعية (QP) يمكن حلها بكفاءة باستخدام الحلول المعروفة، المشار إليها باسم تخصيص-تعظيم تربيعي.
تعامل الطريقة الثالثة المشكلة كتحدي برمجة غير خطية عامة، مستخدمة تقنيات عامة متنوعة للحلول التقريبية. من المهم ملاحظة أن جميع الطرق الثلاث تنتج حلولًا محلية، والتي قد لا تكون بالضرورة مثالية عالمياً. علاوة على ذلك، يذكر المؤلفون نهجًا لاحقًا يستخدم التحسين المحدب لتحديد حد أداء لإطار عمل حل المشكلة المقترح.
نتائج
في قسم النتائج، تتناول الدراسة التقارب وتغييرات الأسعار لثلاث طرق حسابية: CCP، QMM، وNLP، المطبقة على مشكلة مع معلمات \( n = 320 \) و \( m = 64 \). كانت أوقات الحساب المسجلة 0.15 ثانية لـ CCP، 0.09 ثانية لـ QMM، و0.14 ثانية لـ NLP. توضح الشكل 2a تقدم الربح عبر التكرارات لـ CCP وQMM، كاشفة عن زيادة ثابتة في الربح من حوالي 146 إلى 161، مع حاجة QMM إلى تكرار إضافي واحد للوصول إلى التقارب بسبب أخطاء التقريب الأولية في الدوال الأسية المقعرة. من الجدير بالذكر أن QMM أظهرت وقت حل أسرع بشكل عام بسبب كفاءة حل كل برنامج تربيعي (QP).
علاوة على ذلك، تسلط الشكل 2b الضوء على تغييرات الأسعار الناتجة، مشيرة إلى أن تقريبًا جميع الأسعار تم تعديلها، مع وصول العديد من الأسعار إلى الحد المفروض ±15%. وهذا يشير إلى استجابة كبيرة في التسعير نتيجة للطرق المطبقة، مما يبرز فعالية الأساليب الحسابية في تحقيق كل من التقارب وتعديلات الأسعار ذات المعنى.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون صياغة وحل مشاكل التسعير المثلى، والتي تعتبر عادةً تحديات تحسين غير خطية. يبرزون أنه بينما يمكن حل العديد من المشاكل العملية باستخدام طرق التحسين المحدب التي تضمن العثور على حل قابل للتطبيق ومثالي، فإن مشاكل التسعير المثلى غالبًا ما لا تظهر المحدبية. ومع ذلك، يوضح المؤلفون أن هذه المشاكل يمكن تقريبها على أنها “قريبة من المحدبة”، مما يسمح بتطبيق تقنيات التحسين المحدب. يقدمون طريقتين محددتين: تخصيص-تعظيم (MM) وإجراء محدب-مقعر (CCP)، وكلاهما يقوم بتحسين الحلول بشكل تكراري من خلال التقريب الناقص لدالة الربح غير المقعرة باستخدام دوال مقعرة، مما يحول المشكلة إلى تنسيق محدب قابل للحل.
تشير التجارب العددية إلى أن كلا الطريقتين، جنبًا إلى جنب مع محلل برمجة غير خطية عام، تتقارب إلى نفس حلول التسعير، مما يشير إلى أن هذه الحلول قد تكون مثالية على مستوى العالم. كما يحسب المؤلفون حدود الأداء، كاشفين أنه بينما قد لا تحقق طرقهم أقصى ربح مطلق، إلا أنها عادةً ما تكون ضمن هامش معقول من المثالية. يختتم القسم بمخطط موجز لهيكل الورقة، مشيرًا إلى أن الأقسام التالية ستتناول مشاكل التسعير المحددة، والقيود، والأداء التجريبي للطرق المقترحة.
DOI: https://doi.org/10.1007/s43069-026-00646-x
Publication Date: 2026-05-07
Author(s): Maximilian Schaller et al.
Primary Topic: Consumer Market Behavior and Pricing
Overview
In this section, the authors address the optimization of product pricing to maximize profit while considering both self-elasticity and cross-elasticity, under specific price constraints. They formulate the problem as maximizing the sum of a convex function and a concave function. To find a locally optimal approximate solution, they compare three methodologies: the convex-concave procedure, a custom minorization-maximization approach involving quadratic programs, and a general nonlinear programming method. Numerical examples demonstrate that all three methods converge reliably to the same local maximum, suggesting that the identified prices are likely globally optimal.
In conclusion, the authors define a broad class of profit maximization problems related to multiple product pricing, accommodating various practical constraints. They present three effective solution methods that exhibit good scalability and consistent convergence within comparable time frames. Additionally, they provide open-source Python code to facilitate practical applications of their optimal pricing strategies. Future research will focus on estimating the price elasticity matrix, which was assumed to be predetermined in this study.
Introduction
The introduction of this research paper outlines the historical evolution of optimal pricing strategies, beginning with 19th-century studies on the interplay between price and demand, which emphasized the balance of marginal revenue and cost for profit maximization. Early 20th-century developments introduced the Lerner markup rule, highlighting the significance of price elasticity of demand, and explored cross-price substitution, laying the groundwork for pricing strategies involving product substitutes and complements. Subsequent advancements in the 1950s incorporated break-even constraints and numerical optimization methods, while the 1990s saw the establishment of frameworks for optimal pricing under various constraints.
Recent research has shifted towards dynamic and personalized pricing, leveraging modern machine learning techniques to enhance demand modeling. The paper notes the exploration of specialized settings, such as joint optimization of prices and production plans, and the pricing of perishable goods. While existing literature has addressed multi-product pricing from economic and game-theoretic perspectives, this study proposes a novel approach using a simple demand model based on an elasticity matrix, combined with convex constraints on price changes, to create a robust framework for multi-product pricing.
Methods
In this section, the authors introduce three methods for addressing a non-convex optimization problem characterized by a combination of convex and concave exponential functions. The first two methods leverage the structure of the objective function by linearizing the convex exponentials, transforming the problem into a concave form that can be solved iteratively. Additionally, the authors propose approximating the concave exponentials with quadratic functions, leading to a quadratic programming (QP) formulation that can be efficiently solved using established solvers, referred to as quadratic minorization-maximization.
The third method treats the problem as a general nonlinear programming challenge, employing various generic techniques for approximate solutions. It is important to note that all three methods yield local solutions, which may not necessarily be global optima. Furthermore, the authors mention a subsequent approach that utilizes convex optimization to establish a performance bound for the proposed problem-solving framework.
Results
In the results section, the study addresses the convergence and price changes of three computational methods: CCP, QMM, and NLP, applied to a problem with parameters \( n = 320 \) and \( m = 64 \). The computational times recorded were 0.15 seconds for CCP, 0.09 seconds for QMM, and 0.14 seconds for NLP. Figure 2a illustrates the profit progression across iterations for CCP and QMM, revealing a consistent increase in profit from approximately 146 to 161, with QMM requiring one additional iteration to reach convergence due to initial approximation errors in concave exponentials. Notably, QMM demonstrated a faster overall solve time due to the efficiency of solving each quadratic program (QP).
Furthermore, Figure 2b highlights the resultant price changes, indicating that nearly all prices were adjusted, with several prices reaching the imposed ±15% limit. This suggests significant responsiveness in pricing as a result of the applied methods, underscoring the effectiveness of the computational approaches in achieving both convergence and meaningful price adjustments.
Discussion
In this section, the authors discuss the formulation and solution of optimal pricing problems, which are typically nonlinear optimization challenges. They highlight that while many practical problems can be solved using convex optimization methods that guarantee finding a feasible and optimal solution, optimal pricing problems often do not exhibit convexity. However, the authors demonstrate that these problems can be approximated as “close to convex,” allowing for the application of convex optimization techniques. They introduce two specific methods: minorization-maximization (MM) and the convex-concave procedure (CCP), both of which iteratively refine solutions by under-approximating the non-concave profit function with concave functions, thereby transforming the problem into a solvable convex format.
Numerical experiments indicate that both methods, along with a generic nonlinear programming solver, converge to the same pricing solutions, suggesting that these solutions may be globally optimal. The authors also compute performance bounds, revealing that while their methods may not achieve the absolute maximum profit, they are typically within a reasonable margin of optimality. The section concludes with a brief outline of the paper’s structure, indicating that subsequent sections will delve into specific pricing problems, constraints, and the empirical performance of the proposed methods.