DOI: https://doi.org/10.1080/14697688.2025.2609643
تاريخ النشر: 2026-02-02
المؤلف: Ludovic Goudenège وآخرون
الموضوع الرئيسي: العمليات العشوائية والتطبيقات المالية
نظرة عامة
تبحث هذه الورقة في استخدام تقنيات التعلم الآلي لتسعير الخيارات عالية الأبعاد ضمن نموذج التقلب غير المؤكد (UVM). يعالج نموذج UVM بشكل فعال عدم القدرة على التنبؤ بتقلبات السوق من خلال تحديد حدود عليا وسفلى على التقلبات والارتباطات بين الأصول الأساسية. من خلال استخدام البيانات التاريخية والقيم القصوى للتقلبات والارتباطات المقدرة، ينشئ النموذج فترة ثقة للتقلبات المستقبلية، مما يعزز من واقعية تسعير الخيارات. تهدف دمج خوارزميات التعلم الآلي المتقدمة إلى تحسين كل من الدقة والكفاءة في تسعير الخيارات، وخاصة للخيارات المعقدة مثل خيارات السلة أو الخيارات المعتمدة على المسار.
يتم اقتراح نهجين مختلفين من التعلم الآلي في هذه الدراسة. الأول، المسمى GTU، يعمل في إطار تطور زمني عكسي، حيث يختار ديناميكيًا أعلى تقلب وارتباط مكلف لكل حالة سوق في كل خطوة زمنية. يتضمن ذلك حل مشكلة تحسين باستخدام انحدار العملية الغاوسية، والتوقعات المحسوبة من خلال شجرة متعددة الأبعاد، وبرمجة تربيعية متسلسلة. النهج الثاني، NNU، يستخدم الشبكات العصبية لتأطير مشكلة التسعير كمشكلة تحكم، حيث يتم تدريب الشبكة لتحديد أسوأ تقلب وارتباط لحالات السوق المحاكاة. يتم اشتقاق سعر الخيار النهائي من خلال محاكاة مونت كارلو بناءً على هذه المدخلات.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث نموذج التقلب غير المؤكد (UVM)، وهو تقدم كبير في النمذجة المالية لتسعير وتغطية الأوراق المالية المشتقة في بيئات ذات تقلبات غير متوقعة. تم تطويره في البداية بواسطة أفيلانيدا وآخرين (1995)، يعالج نموذج UVM قيود النماذج التقليدية مثل بلاك-شولز، التي تفترض تقلبًا ثابتًا. بدلاً من ذلك، يسمح بتقلبات تتأرجح ضمن حدود محددة، $\sigma_{\text{min}}$ و $\sigma_{\text{max}}$، المستنتجة من البيانات التاريخية أو التقلبات الضمنية. يتضمن هذا النموذج معادلة تفاضلية جزئية غير خطية، معادلة بلاك-شولز-بارينبلات (BSB)، التي تختار ديناميكيًا التقلب المناسب بناءً على تقعر دالة قيمة الخيار، مما يعزز من قوة استراتيجيات التسعير، خاصة في سيناريوهات التحوط الفائق.
تسلط الورقة أيضًا الضوء على الآثار العملية لنموذج UVM لإدارة المخاطر وامتداداته في الأبحاث اللاحقة، بما في ذلك التحليلات العددية والتطبيقات على أنواع مختلفة من الخيارات. يتم مناقشة التقدمات الحديثة في تقنيات التعلم الآلي (ML)، مثل انحدار العملية الغاوسية والشبكات العصبية، كأدوات تعزز من تقييم المشتقات تحت عدم اليقين في المعلمات. يقترح المؤلفون منهجيتين مبتكرتين: خوارزمية تسعير GPR-Tree (GTU) ونهج الشبكة العصبية (NNU)، وكلاهما مصمم لتقييم المشتقات عالية الأبعاد بشكل فعال تحت معلمات غير مؤكدة. تظهر هذه الطرق دقة استثنائية وكفاءة حسابية، خاصة بالنسبة للخيارات المعتمدة على المسار، مما يمثل مساهمة جديدة في مجال المشتقات المالية.
نقاش
في القسم المناقش، يتم تقديم نموذج التقلب غير المؤكد متعدد الأبعاد (UVM)، الذي يوسع إطار بلاك-شولز التقليدي من خلال السماح بتقلبات وارتباطات متغيرة زمنياً بين عدة أصول أساسية. يتم التحكم في النموذج بواسطة معادلة تفاضلية عشوائية، حيث لا يكون متجه التقلب $\sigma(t, S_t)$ ثابتًا ولكن يمكن أن يتغير ضمن حدود محددة، $\sigma_{\text{min}}^i \leq \sigma_i(t, S_t) \leq \sigma_{\text{max}}^i$. وبالمثل، فإن معاملات الارتباط $\rho_{i,j}(t, S_t)$ غير مؤكدة ومحدودة أيضًا. تتطلب هذه الحالة من عدم اليقين نهج تسعير قوي للمشتقات المالية، يتم صياغته كمشكلة تحكم عشوائية، حيث الهدف هو تعظيم العائد المتوقع تحت أسوأ سيناريو لتقلبات وارتباطات.
يتم التعبير عن مشكلة التسعير رياضيًا كـ $V(t, S_t) = \sup_{\theta \in \Theta} E[e^{-r(T-t)} \Psi(S_T) | S_t]$، حيث $\Psi(S_T)$ هي دالة العائد عند الاستحقاق $T$. يضمن التحسين أن سعر المشتق يعكس أسوأ الظروف، مما يوفر تقديرًا محافظًا. يحدد القسم أيضًا طريقة GTU، التي تستخدم انحدار العملية الغاوسية (GPR) ضمن إطار شجرة ثنائية لحساب أسعار الخيارات الأمريكية متعددة الأبعاد بكفاءة. تستفيد هذه الطريقة من نهج احتمالي لتقدير قيم الاستمرار، مما يعزز الكفاءة الحسابية مع الحفاظ على الدقة في الإعدادات عالية الأبعاد. بشكل عام، يمثل نموذج UVM واستراتيجيات التسعير المرتبطة به تقدمًا كبيرًا في نمذجة المشتقات المالية تحت عدم اليقين، حيث يعالج تعقيدات ديناميكيات السوق في العالم الحقيقي.
DOI: https://doi.org/10.1080/14697688.2025.2609643
Publication Date: 2026-02-02
Author(s): Ludovic Goudenège et al.
Primary Topic: Stochastic processes and financial applications
Overview
This paper investigates the use of Machine Learning techniques for pricing high-dimensional options within the Uncertain Volatility Model (UVM). The UVM effectively addresses market volatility’s unpredictability by establishing upper and lower bounds on volatility and correlations among underlying assets. By utilizing historical data and extreme values of estimated volatilities and correlations, the model creates a confidence interval for future volatility, thereby enhancing the realism of option pricing. The integration of advanced Machine Learning algorithms aims to improve both the accuracy and efficiency of option pricing, particularly for complex options like basket or path-dependent options.
Two distinct Machine Learning approaches are proposed in this study. The first, named GTU, operates in a backward time evolution framework, dynamically selecting the most costly volatility and correlation for each market state at each time step. This involves solving an optimization problem using Gaussian Process regression, expectations computed through a multidimensional tree, and Sequential Quadratic Programming. The second approach, NNU, employs neural networks to frame the pricing problem as a control problem, training the network to identify the most adverse volatility and correlation for simulated market states. The final option price is derived through Monte Carlo simulations based on these inputs.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the Uncertain Volatility Model (UVM), a significant advancement in financial modeling for pricing and hedging derivative securities in environments with unpredictable volatility. Initially developed by Avellaneda et al. (1995), the UVM addresses the limitations of traditional models like Black-Scholes, which assume constant volatility. Instead, it allows for volatility to fluctuate within defined bounds, $\sigma_{\text{min}}$ and $\sigma_{\text{max}}$, inferred from historical data or implied volatilities. This model incorporates a non-linear partial differential equation, the Black-Scholes-Barenblatt (BSB) equation, which dynamically selects the appropriate volatility based on the convexity of the option’s value function, enhancing the robustness of pricing strategies, particularly in superhedging scenarios.
The paper also highlights the practical implications of the UVM for risk management and its extensions in subsequent research, including numerical analyses and applications to various option types. Recent advancements in machine learning (ML) techniques, such as Gaussian Process Regression and neural networks, are discussed as tools that enhance derivative valuation under parameter uncertainty. The authors propose two innovative methodologies: the GPR-Tree pricing algorithm (GTU) and a neural network approach (NNU), both designed to effectively evaluate high-dimensional derivatives under uncertain parameters. These methods demonstrate exceptional accuracy and computational efficiency, particularly for path-dependent options, marking a novel contribution to the field of financial derivatives.
Discussion
In the discussed section, the Multidimensional Uncertain Volatility Model (UVM) is introduced, which extends the traditional Black-Scholes framework by allowing for time-varying volatilities and correlations among multiple underlying assets. The model is governed by a stochastic differential equation, where the volatility vector $\sigma(t, S_t)$ is not fixed but can vary within specified bounds, $\sigma_{\text{min}}^i \leq \sigma_i(t, S_t) \leq \sigma_{\text{max}}^i$. Similarly, the correlation coefficients $\rho_{i,j}(t, S_t)$ are also uncertain and bounded. This uncertainty necessitates a robust pricing approach for financial derivatives, formulated as a stochastic control problem, where the goal is to maximize the expected payoff under the worst-case scenario of volatility and correlation.
The pricing problem is mathematically expressed as $V(t, S_t) = \sup_{\theta \in \Theta} E[e^{-r(T-t)} \Psi(S_T) | S_t]$, where $\Psi(S_T)$ is the payoff function at maturity $T$. The optimization ensures that the derivative’s price reflects the most adverse conditions, thus providing a conservative estimate. The section also outlines the GTU method, which employs Gaussian Process Regression (GPR) within a binomial tree framework to efficiently compute the prices of multidimensional American options. This method leverages a probabilistic approach to estimate continuation values, enhancing computational efficiency while maintaining accuracy in high-dimensional settings. Overall, the UVM and its associated pricing strategies represent a significant advancement in modeling financial derivatives under uncertainty, addressing the complexities of real-world market dynamics.