DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-35530-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41606007
تاريخ النشر: 2026-01-28
المؤلف: Saleh Mobayen وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه البحث نموذجًا موحدًا جديدًا للإدراج التفاضلي لنماذج المعادلات البانطوغرافية الكسرية، والتي تتميز بتأخيرات متناسبة، وتأثيرات الذاكرة، وسلوكيات فردية، وعدم اليقين في النمذجة. بينما درست الدراسات السابقة نماذج البانطوغراف الكسرية والإدراجات التفاضلية الفردية بشكل منفصل، فإن هذا العمل يملأ فجوة كبيرة من خلال تطوير نظرية وجود شاملة لنوعين من مشاكل الإدراج الكسرية الفردية: صياغة قياسية وصياغة فردية محولة تدير بشكل فعال الشذوذات القوية باستخدام مساحات دوال موزونة بشكل مناسب.
تستخدم المنهجية نظرية النقاط الثابتة للخرائط متعددة القيم، مستفيدة من مقياس بومبيو-هاوسدورف وتقنيات انكماش θ-δ لمعالجة عدم الخطية ذات القيم المجموعة وسلوكيات الحلول غير السلسة. يتم توضيح النتائج من خلال ثلاثة أمثلة عددية، والتي تتحقق من النتائج النظرية وتظهر فائدة التحولات الموزونة في إدارة الشذوذات. تشير النتائج إلى قابلية تكيف الإطار لنمذجة الأنظمة متعددة المقاييس مع تأخيرات متناسبة وديناميكيات غير مؤكدة، مما يمهد الطريق لأبحاث مستقبلية حول الاستقرار، والأساليب العددية، وامتدادات متغيرة الترتيب.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة المعادلات البانطوغرافية، وهي نوع محدد من المعادلات التفاضلية ذات التأخير الممثلة بـ \( x'(t) = ax(t) + bx(\lambda t) \) مع \( 0 < \lambda < 1 \). هذه المعادلات، التي نشأت من ديناميات جمع تيار القاطرات الكهربائية، تظهر خصائص قياس فريدة تُنمذج ظواهر ذات انكماش هندسي وسلوك متعدد المقاييس، وتجد تطبيقات في مجالات متنوعة مثل نقل الإشارات والعمليات البيولوجية. يعكس مصطلح "بانطوغراف" الخصائص القياسية المتأصلة في هذه المعادلات. كما تسلط الورقة الضوء على التعميم إلى المعادلات البانطوغرافية الكسرية، التي تعزز نمذجة تأثيرات الذاكرة والخصائص الوراثية، خاصة من خلال استخدام مشتق كابوتو، الذي يعد مفيدًا للنمذجة الفيزيائية بسبب توافقه مع الشروط الابتدائية القياسية. علاوة على ذلك، تتناول المقدمة التحديات التي تطرحها المعادلات التفاضلية الفردية، التي تظهر في الأنظمة التي تعاني من اضطرابات أو بيانات مفقودة. يقترح المؤلفون إطار عمل جديد للإدراج التفاضلي للمعادلات البانطوغرافية الكسرية، بهدف سد فجوة في الأدبيات الحالية. يقدم هذا الإطار عدة مزايا، بما في ذلك التعامل الشامل مع الشذوذات، واستيعاب عدم اليقين من خلال الخرائط ذات القيم المجموعة، والقدرة على التقاط الظواهر القياسية الأساسية في الأنظمة متعددة المقاييس، مما يميزه عن نماذج التأخير الثابت التقليدية.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون تطوير نهج الشذوذ المحول الجديد، الذي يعزز الاكتمال الرياضي لنظريات الوجود للمشاكل الفردية، خاصة في سياق مشاكل الإدراج الكسرية (FIPs). يسمح هذا النهج بتحويل المشاكل الفردية القوية إلى مساحات موزونة، مما يمكّن من تطبيق نظريات النقاط الثابتة الكلاسيكية. يؤكد المؤلفون على أهمية هذه التقنية في معالجة مشاكل طبقة الحدود والأنظمة ذات الطاقة الابتدائية المتلاشية، والتي تكون عادةً صعبة بسبب سلوكها الفردي.
تتناول الورقة أيضًا الأسس الرياضية اللازمة لتوسيع التحليل إلى أنظمة التأخير اللانهائي، مع التركيز بشكل خاص على التأخيرات المتناسبة وسلوكها من نوع القياس. يتم تسليط الضوء على الترتيب الكسرية $\alpha$ كعنصر حاسم لالتقاط تأثيرات الذاكرة المتأصلة في مثل هذه الأنظمة، والتي لا يمكن وصفها بشكل كافٍ بواسطة نماذج الترتيب الصحيح. يقدم المؤلفون اثنين من مشاكل الإدراج الكسرية المحددة، موضحين صيغها والشروط المطلوبة لوجود حلول جيدة، بما في ذلك استخدام شروط من نوع ليبشيتز وخصائص الدوال المتعددة. تشير النتائج إلى أنه تحت ظروف معينة، تضمن المنهجية المقترحة وجود حلول لهذه المشاكل الفردية المعقدة، مما يوسع نطاق القضايا القابلة للحل في هذا المجال.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-35530-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41606007
Publication Date: 2026-01-28
Author(s): Saleh Mobayen et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research presents a novel unified differential inclusion model for singular fractional pantograph equations, which are characterized by proportional delays, memory effects, singular behavior, and uncertainties in modeling. While previous studies have examined fractional pantograph models and singular differential inclusions separately, this work fills a significant gap by developing a comprehensive existence theory for two types of singular fractional inclusion problems: a standard formulation and a transformed singular formulation that effectively manages strong singularities using appropriately weighted function spaces.
The methodology employs fixed-point theory for multivalued maps, utilizing the Pompeiu-Hausdorff metric and θ-δ contraction techniques to address set-valued nonlinearities and non-smooth solution behaviors. The findings are illustrated through three numerical examples, which validate the theoretical results and demonstrate the utility of weighting transformations in managing singularities. The results indicate the framework’s adaptability for modeling multiscale systems with proportional delays and uncertain dynamics, laying a foundation for future research on stability, numerical methods, and variable-order extensions.
Introduction
The introduction of the paper discusses pantograph equations, which are a specific type of delay differential equation represented by \( x'(t) = ax(t) + bx(\lambda t) \) with \( 0 < \lambda < 1 \). These equations, originating from electric locomotive current collection dynamics, exhibit unique scaling properties that model phenomena with geometric contraction and multi-scale behavior, finding applications across various fields such as signal transmission and biological processes. The term "pantograph" reflects the scaling characteristics inherent in these equations. The paper also highlights the generalization to fractional pantograph equations, which enhance the modeling of memory effects and hereditary properties, particularly through the use of the Caputo derivative, which is advantageous for physical modeling due to its compatibility with standard initial conditions. Furthermore, the introduction addresses the challenges posed by singular differential equations, which arise in systems with disruptions or missing data. The authors propose a novel differential inclusion framework for singular fractional pantograph equations, aiming to fill a gap in the existing literature. This framework offers several advantages, including comprehensive handling of singularities, accommodation of uncertainties through set-valued maps, and the ability to capture essential scaling phenomena in multi-scale systems, distinguishing it from traditional constant-delay models.
Discussion
In this section, the authors discuss the development of a novel Transformed Singularity Approach, which enhances the mathematical completeness of existence theorems for singular problems, particularly in the context of fractional inclusion problems (FIPs). This approach allows for the transformation of strongly singular problems into weighted spaces, enabling the application of classical fixed-point theorems. The authors emphasize the significance of this technique in addressing boundary layer problems and systems with vanishing initial energy, which are typically challenging due to their singular behavior.
The paper also delves into the mathematical foundations necessary for extending the analysis to infinite delay systems, particularly focusing on proportional delays and their scaling-type behavior. The fractional order $\alpha$ is highlighted as crucial for capturing memory effects inherent in such systems, which cannot be adequately described by integer-order models. The authors present two specific FIPs, detailing their formulations and the conditions required for well-posedness, including the use of Lipschitz-type conditions and the properties of multifunctions. The results indicate that under certain conditions, the proposed methodology guarantees the existence of solutions to these complex singular problems, thereby broadening the scope of tractable issues in the field.