DOI: https://doi.org/10.5269/bspm.82283
تاريخ النشر: 2026-08-01
المؤلف: C. Nalina وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها
نظرة عامة
في هذه الدراسة، نقدم مؤشر طوبولوجي جديد للرسوم البيانية، يُشار إليه باسم الجذر التربيعي لمؤشر الإجهاد الرباعي، والذي يتم اشتقاقه من الضغوط المرتبطة بعقد الرسم البياني. لقد أنشأنا العديد من المتباينات وأثبتنا نتائج متنوعة تتعلق بهذا المؤشر، مما يعزز أساسه النظري. علاوة على ذلك، قمنا بحساب الجذر التربيعي لمؤشر الإجهاد الرباعي لمجموعة من الرسوم البيانية القياسية، مما يوفر تحليلًا مقارنًا لقيمه.
تم استكشاف الصلة الكيميائية للجذر التربيعي لمؤشر الإجهاد الرباعي من خلال تحليل الانحدار المطبق على 22 هيدروكربون بنزيني. من خلال استخدام نماذج الانحدار اللوغاريتمي، نقوم بتقييم العلاقة بين الجذر التربيعي لمؤشر الإجهاد الرباعي ومجموعة متنوعة من الخصائص الفيزيائية الكيميائية لهذه الهيدروكربونات، مما يوضح إمكانيته في التطبيقات الكيميائية.
مقدمة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون المفاهيم الأساسية في نظرية الرسوم البيانية، مع التركيز بشكل خاص على إجهاد العقد داخل الرسم البياني \( G = (V, E) \). يتم الإشارة إلى درجة العقدة \( v \) باسم \( \text{deg}(v) \)، ويتم تعريف أقصر مسار (أو جيوديسي) بين عقدتين \( u \) و \( v \) على أنه المسار الذي يحتوي على أقل عدد من الحواف. يتم قياس إجهاد العقدة \( v \)، الذي قدمه شيمبل في عام 1953، كعدد الجيوديسيات التي تمر عبر \( v \)، ويشار إليه باسم \( \text{str}_G(v) \). يتم تمثيل أقصى وأدنى إجهاد عبر جميع العقد في \( G \) كـ \( \Theta_G \) و \( \theta_G \) على التوالي. كما يعرف المؤلفون رسمًا بيانيًا منتظمًا ذو إجهاد \( k \)، حيث تحتوي كل عقدة على نفس قيمة الإجهاد \( k \).
يقترح البحث مؤشر طوبولوجي جديد، يُطلق عليه الجذر التربيعي لمؤشر الإجهاد الرباعي (QSI)، والذي يتم اشتقاقه من قيم إجهاد العقد. يقوم المؤلفون بإنشاء العديد من المتباينات والنتائج المتعلقة بهذا المؤشر، بما في ذلك حسابه لمجموعة متنوعة من الرسوم البيانية القياسية. كما يستكشفون الأهمية الكيميائية لـ QSI من خلال تحليل الانحدار لـ 22 هيدروكربون بنزيني، حيث يفحصون العلاقات بين QSI ومجموعة متنوعة من الخصائص الفيزيائية الكيميائية. ومن الجدير بالذكر أنهم يستنتجون أنه لأي رسم بياني \( G \)، \( 0 \leq \text{QSI}(G) \leq \sqrt{2N^2 |E|} \)، حيث \( N \) هو عدد الجيوديسيات التي طولها ≥ 2 في \( G \). يختتم القسم بمقترحات وقوانين محددة توضح QSI للرسوم البيانية الكاملة، والرسوم البيانية الثنائية، والأشجار، مما يوفر إطارًا شاملاً لفهم آثار إجهاد العقد في نظرية الرسوم البيانية.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون الاقتراح 2.5، الذي يحدد مؤشر الإجهاد الرباعي (QSI) لرسم بياني طاحونة الهواء \( W_d(n, m) \) المكون من \( m \) نسخ من الرسم البياني الكامل \( K_n \) المتصلة عند عقدة عالمية \( v \). يتم إعطاء الصيغة المستمدة لـ QSI بواسطة \( QSI(W_d(n, m)) = \frac{m^3 (m – 1)^2 (n – 1)^5}{4} \). بالإضافة إلى ذلك، يُظهر QSI لرسم بياني الصداقة \( F_k \) أنه \( QSI(F_k) = 8k^3 (k – 1)^2 \). يبرز الإثبات أن العقد الأخرى غير العقدة العالمية لها إجهاد صفر، وأن الجيوديسيات الوحيدة التي تمر عبر \( v \) هي بطول 2، مما يؤدي إلى حساب الإجهاد وفي النهاية QSI.
علاوة على ذلك، يقوم المؤلفون بإجراء تحليل علاقة هيكلية كمية (QSAR) على 22 هيدروكربون بنزيني، حيث يربطون خصائصها الفيزيائية – مثل نقطة الغليان، طاقة الإلكترون π، الوزن الجزيئي، القابلية للاستقطاب، الحجم المولي، والانكسارية المولية – مع الجذر التربيعي لمؤشر الإجهاد الرباعي لرسومها الجزيئية. باستخدام نموذج انحدار لوغاريتمي، يوضح المؤلفون أن QSI يمكن أن يتنبأ بفعالية بهذه الخصائص الفيزيائية، مما يؤكد فائدته في أبحاث QSPR. تشير النتائج، الملخصة في الجدول 1 والمفصلة أكثر في الجدول 2، إلى أن نماذج الانحدار المقترحة تعمل كأدوات قيمة للتنبؤ بخصائص الهيدروكربونات البنزينية بناءً على مؤشرات هيكلها.
DOI: https://doi.org/10.5269/bspm.82283
Publication Date: 2026-08-01
Author(s): C. Nalina et al.
Primary Topic: Graph theory and applications
Overview
In this study, we introduce a novel topological index for graphs, referred to as the square root of quartic stress index, which is derived from the stresses associated with the nodes of the graph. We have established several inequalities and proven various results concerning this index, enhancing its theoretical foundation. Furthermore, we computed the square root of quartic stress index for a range of standard graphs, providing a comparative analysis of its values.
The chemical relevance of the square root of quartic stress index is explored through regression analysis applied to 22 benzenoid hydrocarbons. By employing logarithmic regression models, we assess the correlation between the square root of quartic stress index and various physicochemical properties of these hydrocarbons, thereby demonstrating its potential utility in chemical applications.
Introduction
In this section, the authors introduce key concepts in graph theory, particularly focusing on the stress of nodes within a graph \( G = (V, E) \). The degree of a node \( v \) is denoted as \( \text{deg}(v) \), and a shortest path (or geodesic) between two nodes \( u \) and \( v \) is defined as the path with the minimum number of edges. The stress of a node \( v \), introduced by Shimbel in 1953, is quantified as the number of geodesics that pass through \( v \), denoted as \( \text{str}_G(v) \). The maximum and minimum stresses across all nodes in \( G \) are represented as \( \Theta_G \) and \( \theta_G \), respectively. The authors also define a \( k \)-stress regular graph, where each node has the same stress value \( k \).
The paper proposes a new topological index, termed the square root of quartic stress index (QSI), which is derived from the stress values of nodes. The authors establish several inequalities and results related to this index, including its computation for various standard graphs. They also explore the chemical significance of the QSI through regression analysis of 22 benzenoid hydrocarbons, examining correlations between the QSI and various physicochemical properties. Notably, they derive that for any graph \( G \), \( 0 \leq \text{QSI}(G) \leq \sqrt{2N^2 |E|} \), where \( N \) is the number of geodesics of length ≥ 2 in \( G \). The section concludes with specific propositions and corollaries that detail the QSI for complete graphs, bipartite graphs, and trees, providing a comprehensive framework for understanding the implications of node stress in graph theory.
Discussion
In this section, the authors present Proposition 2.5, which establishes the quartic stress index (QSI) for the windmill graph \( W_d(n, m) \) constructed from \( m \) copies of the complete graph \( K_n \) connected at a universal node \( v \). The derived formula for the QSI is given by \( QSI(W_d(n, m)) = \frac{m^3 (m – 1)^2 (n – 1)^5}{4} \). Additionally, the QSI for the friendship graph \( F_k \) is shown to be \( QSI(F_k) = 8k^3 (k – 1)^2 \). The proof highlights that nodes other than the universal node have zero stress, and the only geodesics through \( v \) are of length 2, leading to the calculated stress and ultimately the QSI.
Furthermore, the authors conduct a quantitative structure–activity relationship (QSAR) analysis on 22 benzenoid hydrocarbons, correlating their physical properties—such as boiling point, π-electron energy, molecular weight, polarizability, molar volume, and molar refractivity—with the square root of the quartic stress index of their molecular graphs. Using a logarithmic regression model, the authors demonstrate that the QSI can effectively predict these physical properties, confirming its utility in QSPR research. The results, summarized in Table 1 and further detailed in Table 2, indicate that the proposed regression models serve as valuable tools for predicting the characteristics of benzenoid hydrocarbons based on their structural indices.