DOI: https://doi.org/10.1007/s00025-026-02616-5
تاريخ النشر: 2026-03-03
المؤلف: Dmitry Badziahin
الموضوع الرئيسي: أبحاث نظرية الأعداد التحليلية
نظرة عامة
في هذه الدراسة، نستكشف المسافة الدنيا بين عدد غير عقلاني مكعب $\xi$ وعدد عقلاني $\frac{p}{q}$، مع التركيز على العلاقة بين هذه المسافة، والارتفاع $H(\xi)$ لـ $\xi$، والمقام $q$. نعرف المجموعة $D_{3,1}$، التي تشمل أزواج الأعداد الحقيقية الموجبة $(u, v)$ التي تلبي الشرط $|\xi – \frac{p}{q}| > c H(\xi)^{-u} q^{-v}$ لجميع الأعداد غير العقلانية المكعبة $\xi$ والعقلانية $\frac{p}{q}$.
تتضمن طريقتنا تحويل المشكلة الأصلية إلى واحدة تتعلق بفصل جذور كثيرات الحدود المكعبة. بناءً على فرضية تخمين abc، نقدم توصيفًا شبه كامل لمجموعة $D_{3,1}$، كاشفين أن النقاط $(u, v)$ التي تحقق $2v < 3$ في داخل $D_{3,1}$ تلبي عدم المساواة $u > 10^{-3}v$. بالإضافة إلى ذلك، من خلال افتراض تخمين هول الأضعف، نستخلص رؤى مهمة حول هيكل $D_{3,1}$، على الرغم من أن هذه النتائج أقل قوة من تلك التي تم الحصول عليها عبر تخمين abc. كما نوسع نتائجنا إلى نظير لـ $D_{3,1}$ في مجالات الدوال، حيث يمكننا تقديم وصف شبه كامل دون افتراضات إضافية.
مقدمة
في هذه المقدمة، يستكشف المؤلفون خصائص الأعداد الجبرية الحقيقية من الدرجة \( d \)، المشار إليها بـ \( A_d \)، خاصة في سياق التقريب الديوفانتي. يعرفون الارتفاع الساذج \( H(\xi) \) لعدد جبري \( \xi \) على أنه القيمة المطلقة القصوى لمعاملات كثير الحدود الأدنى الخاص به. تؤكد النتائج الكلاسيكية التي قدمها روث وليفيك أن أي عدد جبري حقيقي \( \xi \) في حقل الأعداد الجبرية \( K \) ولـ \( \lambda > 2 \)، فإن عدم المساواة \( |\xi – \alpha| < H(\alpha)^{-\lambda} \) لها عدد محدود فقط من الحلول \( \alpha \in K \). يشير المؤلفون إلى أنه لا يزال سؤالًا مفتوحًا ما إذا كان هذا ينطبق على \( \lambda = 2 \)، حيث يُعتقد على نطاق واسع أن الأعداد الجبرية من الدرجة الأكبر من 2 ليست قابلة للتقريب بشكل سيء. تقدم الورقة مشكلة جديدة تتعلق برقمين صحيحين مميزين \( d \) و \( r \)، مع التركيز على الدوال \( \Psi_{d,r} : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{R}^+ \) التي تلبي عدم المساواة \( |\xi - \alpha| \leq \Psi_{d,r}(H(\xi), H(\alpha)) \) لجميع الأزواج \( (\xi, \alpha) \in A_d \times A_r \). يعرف المؤلفون المجموعة \( D_{d,r} \) على أنها مجموعة الأزواج \( (u, v) \) التي تكون فيها \( A_d \) و \( A_r \) متباعدة بمقدار \( (u, v) \). يقدمون مثالًا من عدم المساواة الكلاسيكية ليوفيل، موضحين أن \( A_d \) و \( A_r \) دائمًا ما تكون متباعدة بمقدار \( (r, d) \). تهدف الورقة إلى التحقيق في الحالة المحددة لـ \( D_{3,1} \) وتربطها بمشكلة فصل الجذور في كثيرات الحدود المكعبة، مما يبرز التعقيد والطبيعة غير المستكشفة للمجموعة \( D_{d,1} \) لـ \( d \geq 3 \).
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون تداعيات النظرية 1 بشأن فصل الجذور لكثيرات الحدود المكعبة غير القابلة للاختزال $Q \in \mathbb{Z}[x]$. يثبتون أنه إذا كانت الحالة $Sep(Q) \leq c B^{2+s} A^{2-t}$ صحيحة لبعض الثوابت الموجبة $c$، $s$، و $t$، فإن الأزواج $(u, v)$ المعرفة بواسطة $u = 2 + \frac{s}{s+t}$ و $v = 2 + \frac{s}{s+t}$ تنتمي إلى المجموعة $D_{3,1}$. يقدم المؤلفون أيضًا رموزًا مختلفة تتعلق بنمو الثوابت وعدم المساواة، مؤكدين التحديات في التحقق من الحدود الدنيا من الشكل (2) لفصل الجذور، والتي تم استكشافها بشكل ضئيل في الأدبيات.
تربط الورقة أيضًا النتائج بتخمينات مثل تخمين هول وتخمين abc، مقدمة نتائج شرطية تؤدي إلى حدود دنيا غير تافهة على $Sep(Q)$. بشكل محدد، تحت فرضية تخمين abc، يصفون المجموعة $D_{3,1}$ بشكل أكثر شمولاً، مشيرين إلى أنها تحتوي على أزواج $(u, v)$ تلبي بعض عدم المساواة. يناقش المؤلفون أيضًا تداعيات هذه النتائج على معادلات ثوي وبناء كثيرات الحدود المكعبة المحددة، مختتمين باستكشاف موجز للمجموعة المماثلة $D_{3,1}(K)$ عبر مجالات الدوال، مع تسليط الضوء على الاختلافات في السلوك بناءً على خاصية الحقل الأساسي.
DOI: https://doi.org/10.1007/s00025-026-02616-5
Publication Date: 2026-03-03
Author(s): Dmitry Badziahin
Primary Topic: Analytic Number Theory Research
Overview
In this study, we explore the minimal distance between a cubic irrational number $\xi$ and a rational number $\frac{p}{q}$, focusing on the relationship between this distance, the height $H(\xi)$ of $\xi$, and the denominator $q$. We define the set $D_{3,1}$, which includes pairs of positive real numbers $(u, v)$ satisfying the condition $|\xi – \frac{p}{q}| > c H(\xi)^{-u} q^{-v}$ for all cubic irrationals $\xi$ and rationals $\frac{p}{q}$.
Our approach involves transforming the original problem into one concerning the separation of roots of cubic polynomials. Under the assumption of the abc-conjecture, we provide a nearly complete characterization of the set $D_{3,1}$, revealing that points $(u, v)$ with $2v < 3$ in the interior of $D_{3,1}$ satisfy the inequality $u > 10^{-3}v$. Additionally, by assuming the weaker Hall conjecture, we derive significant insights into the structure of $D_{3,1}$, although these results are less robust than those obtained via the abc-conjecture. We also extend our findings to an analogue of $D_{3,1}$ in function fields, where we can provide an almost complete description without additional assumptions.
Introduction
In this introduction, the authors explore the properties of real algebraic numbers of degree \( d \), denoted as \( A_d \), particularly in the context of Diophantine approximation. They define the naive height \( H(\xi) \) for an algebraic number \( \xi \) as the maximum absolute value of the coefficients of its minimal polynomial. The classical results by Roth and LeVeque establish that for any real algebraic number \( \xi \) in an algebraic number field \( K \) and for \( \lambda > 2 \), the inequality \( |\xi – \alpha| < H(\alpha)^{-\lambda} \) has only finitely many solutions \( \alpha \in K \). The authors note that it remains an open question whether this holds for \( \lambda = 2 \), as it is widely believed that algebraic numbers of degree greater than 2 are not badly approximable. The paper introduces a new problem involving two distinct positive integers \( d \) and \( r \), focusing on functions \( \Psi_{d,r} : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{R}^+ \) that satisfy the inequality \( |\xi - \alpha| \leq \Psi_{d,r}(H(\xi), H(\alpha)) \) for all pairs \( (\xi, \alpha) \in A_d \times A_r \). The authors define the set \( D_{d,r} \) as the collection of pairs \( (u, v) \) for which \( A_d \) and \( A_r \) are \( (u, v) \)-distanced. They provide an example from the classical Liouville inequality, showing that \( A_d \) and \( A_r \) are always \( (r, d) \)-distanced. The paper aims to investigate the specific case of \( D_{3,1} \) and relates it to the problem of root separation in cubic polynomials, highlighting the complexity and the unexplored nature of the set \( D_{d,1} \) for \( d \geq 3 \).
Discussion
In this section, the authors discuss the implications of Theorem 1 regarding the root separation of irreducible cubic polynomials $Q \in \mathbb{Z}[x]$. They establish that if the condition $Sep(Q) \leq c B^{2+s} A^{2-t}$ holds for some positive constants $c$, $s$, and $t$, then the pairs $(u, v)$ defined by $u = 2 + \frac{s}{s+t}$ and $v = 2 + \frac{s}{s+t}$ belong to the set $D_{3,1}$. The authors also introduce various notations related to the growth of constants and inequalities, emphasizing the challenges in verifying the lower bounds of the form (2) for root separation, which has been minimally explored in the literature.
The paper further connects the results to conjectures such as Hall’s and the abc-conjecture, providing conditional results that yield non-trivial lower bounds on $Sep(Q)$. Specifically, under the assumption of the abc-conjecture, they describe the set $D_{3,1}$ more comprehensively, indicating that it contains pairs $(u, v)$ satisfying certain inequalities. The authors also discuss the implications of these results for Thue equations and the construction of specific cubic polynomials, concluding with a brief exploration of the analogous set $D_{3,1}(K)$ over function fields, highlighting the differences in behavior based on the characteristic of the base field.