DOI: https://doi.org/10.5269/bspm.81880
تاريخ النشر: 2026-06-23
المؤلف: Manal Naji Al-harere
الموضوع الرئيسي: نظرية المجموعات الضبابية والناعمة
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة مفاهيم مجموعة الهيمنة الثنائية، مجموعة الهيمنة الدنيا الثنائية، ورقم الهيمنة الثنائية في سياق الرسوم البيانية الضبابية القوية. يعرف المؤلفون رقم الهيمنة الضبابية الثنائية، الذي يرمز له بـ $\gamma_{f \text{bi}}$، ويحسبونه لأنواع مختلفة من الرسوم البيانية الضبابية القوية، بما في ذلك الرسوم البيانية الكاملة، الرسوم البيانية الثنائية الكاملة، الرسوم البيانية الدائرية، الرسوم البيانية المسارية، و الرسوم البيانية الدوارة.
تسلط النتائج الضوء على تقديم نوع جديد من الهيمنة يسمى الهيمنة الضبابية الثنائية، والذي ينتج عنه عدة نتائج جديدة لفئات معينة من الرسوم البيانية. يتم التأكيد على أن جميع الرسوم البيانية الضبابية التي تم النظر فيها في هذه الدراسة مصنفة كرسوم بيانية ضبابية قوية، مما يساهم في فهم مفاهيم الهيمنة في هذا الإطار الرياضي.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة المفاهيم الأساسية في نظرية الرسوم البيانية، مع التركيز بشكل خاص على أرقام الهيمنة وتنوعاتها. تعرف الرسم البياني \( G = (V, E) \) كهيكل محدود، بسيط، وغير موجه بدون رؤوس معزولة. يتم تقديم الجوار المفتوح \( N_G(v) \) والجوار المغلق \( N_G[v] \) لرأس \( v \)، جنبًا إلى جنب مع مفهوم مجموعة الهيمنة \( D \subseteq V(G) \)، التي تضمن أن كل رأس ليس في \( D \) لديه على الأقل جار واحد في \( D \). تسلط الورقة الضوء على أهمية أرقام الهيمنة عبر مجالات رياضية متنوعة وتشير إلى تقديم الهيمنة الثنائية من قبل الهريري وبريسام، حيث تتطلب مجموعة الهيمنة الثنائية أن يكون لكل رأس في المجموعة جارَين بالضبط خارجها.
علاوة على ذلك، تستكشف الورقة الرسوم البيانية الضبابية، وهو مفهوم تم تقديمه لأول مرة من قبل كوفمان، والذي يدمج قيم الرؤوس في نظرية الرسوم البيانية. تعرف الرسوم البيانية الضبابية كأزواج من الدوال \( G_f = (V, \sigma, \rho) \) وتناقش مفهوم مجموعات الهيمنة الضبابية (FDS)، حيث يهيمن رأس \( u \) على \( v \) إذا كان هناك حافة فعالة بينهما. يهدف المؤلفون إلى توسيع مفهوم الهيمنة الثنائية إلى الرسوم البيانية الضبابية، مع التركيز بشكل خاص على الرسوم البيانية الضبابية القوية، والتحقيق في خصائص مجموعات الهيمنة الثنائية في هذا السياق.
مناقشة
في هذا القسم، يتم تقديم مفهوم مجموعات الهيمنة الثنائية الضبابية في الرسوم البيانية الضبابية، جنبًا إلى جنب مع عدة اقتراحات تصف هذه المجموعات في هياكل الرسوم البيانية المختلفة. يتم تعريف مجموعة الهيمنة الثنائية الضبابية \( D \subset V(G_f) \) بحيث يكون كل رأس \( v \in D \) متجاورًا بالضبط مع رأسين في \( V – D \) عبر حواف فعالة. يتم تحديد مجموعة الهيمنة الثنائية الضبابية الدنيا، ويتم استكشاف خصائصها من خلال اقتراحات متنوعة، بما في ذلك تلك الخاصة بالرسوم البيانية الضبابية الكاملة القوية، الرسوم البيانية الثنائية الكاملة، المسارات، الدورات، والرسوم البيانية الدوارة.
تشمل النتائج الرئيسية إنشاء صيغ لرقم الهيمنة الضبابية الثنائية \( \gamma_{f bi}(G) \) لأنواع معينة من الرسوم البيانية. على سبيل المثال، في رسم بياني ثنائي كامل \( K_{n,m} \)، يتم اشتقاق رقم الهيمنة الثنائية بناءً على أحجام الأقسام وقيمها القصوى المعنية. بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للرسوم البيانية المسارية \( P_n \) مع \( n \equiv 0 \mod 3 \)، يتم التعبير عن رقم الهيمنة الثنائية كـ \( \gamma_{f bi}(P_n) = \frac{n}{3} – 1 \sum_{i=0}^{\frac{n}{3}-1} \sigma(v_{2+3i}) \). تختتم القسم بالتأكيد على تقديم الهيمنة الضبابية الثنائية كشكل جديد من الهيمنة في الرسوم البيانية الضبابية، مع نتائج هامة تم اشتقاقها لفئات مختلفة من الرسوم البيانية، والتي جميعها مصنفة كرسوم بيانية ضبابية قوية.
DOI: https://doi.org/10.5269/bspm.81880
Publication Date: 2026-06-23
Author(s): Manal Naji Al-harere
Primary Topic: Fuzzy and Soft Set Theory
Overview
This paper introduces the concepts of bi-dominating set, bi-minimum dominating set, and bi-domination number within the context of strong fuzzy graphs. The authors define the fuzzy bi-domination number, denoted as $\gamma_{f \text{bi}}$, and calculate it for various types of strong fuzzy graphs, including complete graphs, complete bipartite graphs, cycle graphs, path graphs, and wheel graphs.
The findings highlight the introduction of a novel type of domination termed fuzzy bidomination, which yields several new results for specific graph classes. It is emphasized that all fuzzy graphs considered in this study are classified as strong fuzzy graphs, thereby contributing to the understanding of domination concepts in this mathematical framework.
Introduction
The introduction of the paper discusses foundational concepts in graph theory, specifically focusing on domination numbers and their variations. It defines a graph \( G = (V, E) \) as a finite, simple, and undirected structure without isolated vertices. The open neighborhood \( N_G(v) \) and closed neighborhood \( N_G[v] \) of a vertex \( v \) are introduced, along with the concept of a dominating set \( D \subseteq V(G) \), which ensures that every vertex not in \( D \) has at least one neighbor in \( D \). The paper highlights the significance of domination numbers across various mathematical fields and references the introduction of bi-domination by Al-Harere and Breesam, where a bi-dominating set requires that each vertex in the set has exactly two neighbors outside of it.
Furthermore, the paper explores fuzzy graphs, a concept first introduced by Kauffman, which incorporates vertex values into graph theory. It defines fuzzy graphs as pairs of functions \( G_f = (V, \sigma, \rho) \) and discusses the notion of fuzzy dominating sets (FDS), where a vertex \( u \) dominates \( v \) if there exists an effective edge between them. The authors aim to extend the concept of bi-domination to fuzzy graphs, particularly focusing on strong fuzzy graphs, and investigate the properties of bi-domination sets in this context.
Discussion
In this section, the concept of fuzzy bi-dominating sets in fuzzy graphs is introduced, along with several propositions that characterize these sets in various graph structures. A fuzzy bi-dominating set \( D \subset V(G_f) \) is defined such that each vertex \( v \in D \) is adjacent to exactly two vertices in \( V – D \) via effective edges. The minimal fuzzy bi-dominating set is identified, and its properties are explored through various propositions, including those for strong fuzzy complete graphs, complete bipartite graphs, paths, cycles, and wheel graphs.
Key findings include the establishment of formulas for the fuzzy bi-domination number \( \gamma_{f bi}(G) \) for specific graph types. For instance, in a complete bipartite graph \( K_{n,m} \), the bi-domination number is derived based on the sizes of the partitions and their respective maximum values. Additionally, for path graphs \( P_n \) with \( n \equiv 0 \mod 3 \), the bi-domination number is expressed as \( \gamma_{f bi}(P_n) = \frac{n}{3} – 1 \sum_{i=0}^{\frac{n}{3}-1} \sigma(v_{2+3i}) \). The section concludes by emphasizing the introduction of fuzzy bi-domination as a novel form of domination in fuzzy graphs, with significant results derived for various graph classes, all of which are classified as strong fuzzy graphs.