DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026340
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: M. A. Alawady وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقدير التوزيع الإحصائي وتطبيقاته
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة إنتروبات تساليس وريني كقياسات معلومات مستمرة قابلة للتطبيق على التوزيعات المستمرة المستمدة من المتغيرات المصاحبة للإحصاءات العامة (CGOS) ضمن عائلة سارمانوف (SAR). تبرز إنتروبات تساليس المتبقية التراكمية (CTRE) كقياس بديل للتشتت وتحقق في نسختها الديناميكية. تستكشف الأبحاث أيضًا تطبيقات هذه الإنتروبات في سياق إحصاءات الترتيب والقيم القياسية، تحديدًا للتوزيعات الهامشية الموحدة، وويبول، والأسية. يتم اقتراح بديل تجريبي لـ CTRE (ACTRE) لتقدير هذه القياسات المعلوماتية، وتظهر مجموعة بيانات من العالم الحقيقي تحسينًا في ملاءمتها وقابليتها للتفسير مقارنة بالتوزيعات الثنائية الكلاسيكية.
في الختام، تطور الدراسة وتحلل بنجاح مقاييس نظرية المعلومات المختلفة، بما في ذلك إنتروبة تساليس، وإنتروبة ريني، وCTRE، جنبًا إلى جنب مع أشكالها الديناميكية والبديلة لـ CGOSs من عائلة SAR. تقدم صيغًا واضحة لحالات محددة مثل إحصاءات الترتيب والقيم القياسية، وتؤسس اتساق المقدّر التجريبي لـ ACTRE. يوضح تطبيق نموذج SAR على بيانات موثوقية المحركات مزاياه العملية مقارنة بالنماذج الثنائية التقليدية من حيث ملاءمة البيانات. تقدم مقاييس الإنتروبات المقترحة طرقًا مبتكرة لقياس عدم اليقين والاعتماد في الأنظمة المرتبطة، مع آثار على هندسة الموثوقية، وتحليل البقاء، وتقييم المخاطر. تشمل اتجاهات البحث المستقبلية استكشاف عائلات SAR متعددة المتغيرات، والتقدير البايزي لمقاييس الإنتروبات، وتطبيقات على البيانات المقطوعة والمقصورة، بالإضافة إلى دمج هذه المقاييس في تحسين موثوقية النظام.
مقدمة
ت outlines مقدمة ورقة البحث تطور مفهوم الإنتروبة من أصوله في الديناميكا الحرارية إلى دوره المحوري في نظرية المعلومات. تم تقديمه في البداية من قبل بولتزمان كقياس للفوضى في الأنظمة المغلقة، وتمت صياغة المفهوم لاحقًا من قبل شانون، الذي عرف الإنتروبة من حيث عدم اليقين المرتبط بتوزيعات الاحتمالات. تسلط الورقة الضوء على تطوير الإنتروبات العامة، مثل إنتروبات ريني وتساليس، التي تتضمن معلمات إضافية لتعزيز المرونة في نمذجة الأنظمة المعقدة التي تتميز بتفاعلات بعيدة المدى وتأثيرات الذاكرة. ومن الجدير بالذكر أن إنتروبة تساليس تبرز لخصائصها غير القابلة للإضافة، مما يجعلها ذات صلة خاصة في الميكانيكا الإحصائية والحقول ذات الصلة.
يهدف المؤلفون إلى اشتقاق تعبيرات واضحة لإنتروبة تساليس، وإنتروبة ريني، وإنتروبة تساليس المتبقية التراكمية (CTRE) في سياق إحصاءات الترتيب العامة (GOSs) بناءً على عائلة توزيعات سارمانوف. يقترحون مقدّرًا غير معلمي لإنتروبة تساليس المتبقية التراكمية البديلة (ACTRE) ويخططون لتحليل خصائصه من خلال الحسابات العددية. سيتم عرض التطبيق العملي لهذه المقاييس باستخدام مجموعة بيانات موثوقية المحركات من العالم الحقيقي، مع التركيز على مقارنة ملاءمة نموذج سارمانوف ضد التوزيعات الثنائية التقليدية. تسعى هذه الأبحاث إلى المساهمة في فهم وتطبيق مقاييس الإنتروبة في تحليل الأنظمة المعقدة.
مناقشة
تؤكد قسم المناقشة في الورقة على أهمية تحليل المتغيرات العشوائية المرتبة (RVs) ومرافقها في مجالات مثل هندسة الموثوقية وتحليل البقاء. يبرز المؤلفون قيود النماذج الثنائية التقليدية، مثل عائلة فارلي-غومبل-مورغنشتيرن (FGM)، التي تفرض افتراضات صارمة على هياكل الاعتماد. بالمقابل، تقدم عائلة SAR (المتغيرات العشوائية المرتبة والمترابطة) إطارًا أكثر مرونة لنمذجة البيانات الثنائية، مما يسمح بارتباطات أقوى. تتناول الورقة فجوة في الأدبيات بشأن الخصائص النظرية المعلوماتية للمرافقين ضمن عائلة SAR، مع التركيز بشكل خاص على مقاييس الإنتروبة مثل إنتروبات تساليس وريني، بالإضافة إلى مقاييس الإنتروبة المتبقية التراكمية (CTRE).
يقترح المؤلفون صيغًا واضحة لهذه المقاييس الإنتروبية ونسخها الديناميكية للمرافقين المستمدة من عائلة SAR. كما يقدمون مقدّرًا غير معلمي لإنتروبة تساليس المتبقية التراكمية المتوسطة (ACTRE) ويحققون في اتساقه من خلال المحاكاة العددية. يتم توضيح الأهمية العملية لهذه المقاييس باستخدام مجموعة بيانات من العالم الحقيقي حول موثوقية المحركات، حيث يظهر نموذج SAR ملاءمة أفضل مقارنة بالتوزيعات الثنائية التقليدية. تحدد الورقة هيكلها، موضحة اشتقاق نتائج التوصيف، والحالات الواضحة لمقاييس المعلومات، وتطبيق التقنيات المقترحة على البيانات التجريبية، مما يساهم في فهم أعمق لعدم اليقين والموثوقية في الأنظمة المعقدة.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026340
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): M. A. Alawady et al.
Primary Topic: Statistical Distribution Estimation and Applications
Overview
This study introduces Tsallis and Rényi entropies as continuous information measures applicable to continuous distributions derived from concomitants of generalized order statistics (CGOS) within the Sarmanov (SAR) family. It highlights the cumulative Tsallis residual entropy (CTRE) as an alternative dispersion measure and investigates its dynamic version. The research further explores applications of these entropies in the context of order statistics and record values, specifically for uniform, Weibull, and exponential marginal distributions. An empirical alternative CTRE (ACTRE) is proposed for estimating these information measures, and a real-world dataset demonstrates its enhanced goodness-of-fit and interpretability compared to classical bivariate distributions.
In conclusion, the study successfully develops and analyzes various information-theoretic measures, including Tsallis entropy, Rényi entropy, and CTRE, along with their dynamic and alternative forms for CGOSs from the SAR family. It provides explicit formulations for specific cases such as order statistics and record values, and establishes the consistency of the empirical estimator for ACTRE. The application of the SAR model to motor reliability data showcases its practical advantages over traditional bivariate models in terms of goodness-of-fit. The proposed entropy measures present innovative approaches for quantifying uncertainty and dependence in correlated systems, with implications for reliability engineering, survival analysis, and risk assessment. Future research directions include exploring multivariate SAR families, Bayesian estimation of entropy measures, and applications to censored and truncated data, as well as integrating these measures into system reliability optimization.
Introduction
The introduction of the research paper outlines the evolution of the concept of entropy from its origins in thermodynamics to its pivotal role in information theory. Initially introduced by Boltzmann as a measure of disorder in closed systems, the concept was later formalized by Shannon, who defined entropy in terms of uncertainty associated with probability distributions. The paper highlights the development of generalized entropies, such as Rényi and Tsallis entropies, which incorporate additional parameters to enhance flexibility in modeling complex systems characterized by long-range interactions and memory effects. Notably, Tsallis entropy is emphasized for its nonadditive properties, making it particularly relevant in statistical mechanics and related fields.
The authors aim to derive explicit expressions for Tsallis entropy, Rényi entropy, and cumulative Tsallis residual entropy (CTRE) within the context of generalized order statistics (GOSs) based on the Sarmanov family of distributions. They propose a nonparametric estimator for the alternative cumulative Tsallis residual entropy (ACTRE) and plan to analyze its properties through numerical computations. The practical application of these metrics will be demonstrated using a real-world motor reliability dataset, with a focus on comparing the goodness-of-fit of the Sarmanov model against traditional bivariate distributions. This research seeks to contribute to the understanding and application of entropy measures in the analysis of complex systems.
Discussion
The discussion section of the paper emphasizes the significance of analyzing ordered random variables (RVs) and their concomitants in fields such as reliability engineering and survival analysis. The authors highlight the limitations of traditional bivariate models, like the Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM) family, which impose strict assumptions on dependence structures. In contrast, the SAR (Sorted and Associated Random variables) family offers a more flexible framework for modeling bivariate data, allowing for stronger correlations. The paper addresses a gap in the literature regarding the information-theoretic properties of concomitants within the SAR family, particularly focusing on entropy measures such as Tsallis and Rényi entropies, as well as cumulative residual entropy (CTRE) metrics.
The authors propose explicit formulations for these entropy measures and their dynamic variants for concomitants derived from the SAR family. They also introduce a nonparametric estimator for the Average Cumulative Tsallis Residual Entropy (ACTRE) and validate its consistency through numerical simulations. The practical relevance of these measures is demonstrated using a real-world dataset on motor reliability, where the SAR model shows superior goodness-of-fit compared to conventional bivariate distributions. The paper outlines its structure, detailing the derivation of characterization results, explicit instances of information measures, and the application of the proposed techniques to empirical data, ultimately contributing to a deeper understanding of uncertainty and reliability in complex systems.